量子力学-自旋 Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬和Bell不等式 Ⅵ. 全同粒子交换不变性

2ljm j
jl 1 2
jl 1 2
Hˆ nljm j Enlj nljm j
可表为
2 1 d2
l(l 1) 2
2 r dr2 (Rnljr) 2r2 Rnlj V(r)Rnlj
l 2 l 2
2(r)Rnlj 1 2(r)Rnlj
EnljRnlj
因 (r) 0 。因此，
j l 1 2
j l 1 2
2．对两个处于自旋单态的粒子，在四 个不同方向测量它们的自旋
根据定域隐变量理论，它们的关联测 量平均值的关系为
C(aˆ,bˆ ) C(aˆ,cˆ) C(aˆ,bˆ ) C(aˆ, cˆ) 2
g 的平均值为 g ˆ a1ˆ b2 ˆ a1ˆ c2 C(aˆ,bˆ ) C(aˆ,cˆ)
于是有
g g a1b2 (1 b2c2 )
a1b2 1 b2c2
(1 b1c2 )
所以，
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) 1
而对这一关联测量平均值的关系，量 子力学的预言为
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) cos(aˆ bˆ ) cos(aˆ cˆ) cos(bˆ cˆ)
若在测量时，取 aˆ,bˆ ,cˆ 三个方向共面，
且 aˆ bˆ ,
aˆ cˆ 2, bˆ cˆ
于是
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) cos cos 2 cos
我们可证
P12
1 (1 2
1 2 )
1 2
Sˆ 2
1
是交换算符
P121ms 1ms
P1200 00
10 ，00 被称为纠缠态。 纠缠态：体系的态矢量仅能表示为它的
各部分态矢量直乘的叠加态。 当两自旋为 1 2 的全同粒子，其相互
作用对空间坐标和自旋变量是变量可分离 时，则特解为
(r1,S1z, r2,S2z ) u(r1, r2)(S1z,S2z )
并没有这种实在性（即粒子的所有物理量
都有确定值）。要判断这两种观念谁是谁
非，只能由特定的实验来认证
B. 贝尔不等式 ( Bell Inqualities )
两个自旋为 1 2 的粒子系统处于自旋单
态
0, 0 1 , ,
2
z
1 , ,
2
nˆ
这是一个纠缠态。它是体系两部分状 态的乘积之和，即不能表示为体系的一部 分状态和体系的另一部分的状态的单个乘 积。
例 (x1,x2 ) (x1 x2 )
该态在动量表象中的表示为
(p1,p2 )
1 2
ei ( p1x1 p2x2
)
/
(x1
x2
)dx1dx2
21ei(p1p2 )x2 / dx 2
p1 p2
爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子
的坐标，测得值为 x0
则第二个粒子的坐标必为 x0
测量第二个粒子的动量，测得值为
C. 1z2z , 1x2x 表象中两自旋
为 1 2 的粒子的自旋态--Bell基
Ⅲ. 碱金属的双线结构 A. 总角动量 1.总角动量引入
当考虑电子具有自旋后，电子在中心 力场中的哈密顿量为
Hˆ 1 Pˆ 2 V(r) (r)Lˆ Sˆ 2
(r)
1 2m2c2
1 r
dV(r) dr
由于自旋－轨道耦合项的存在，Lˆ 和 Sˆ 都不是运动常数. 因此，( Hˆ , Lˆ2, Lˆ z ,Sˆ z )不 能构成力学量完全集
但
[Lˆ z Sˆ z , Lˆ Sˆ ] 0
[Lˆ Sˆ, Lˆ Sˆ] 0
引入 Jˆ Lˆ Sˆ
显然
[Jˆ i , Jˆ j] iijkJˆ k
对于有心势， Hˆ ,Lˆ 2,Jˆ 2,Jˆ z 彼此对易。 因此可作为力学量的完全集。
2. (Lˆ2, Jˆ2,Jˆz )的共同本征矢的表示（在
Jˆ znljmj m jnljmj
Hˆ nljmj Enljnljmj
B. 碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来
自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的 作用。所以，价电子的哈密顿量为
Hˆ Pˆ 2 V(r) (r)Lˆ Sˆ 2
Hˆ E
1 1 dV(r) (r) 22c2 r dr
V(r) l 2(r) V(r) l 1 2(r)
2
2
根据Hellmann-Feynman定理可证
Enljl1
2
Enljl1
2
如l 1, 则En1j3
2
j 1,3 22
En1j1 2
能级
En,l,l1 2
Enl En,l,l1 2
这即观测到纳光谱的双线结构。
Ⅳ. 两个自旋为 1 2 的粒子的自旋波函 数，纠缠态
p0
第一个粒子的动量必为
p0
所以，xi , pi都是物理实在（即都有确
定值），且坐标和动量可同时具有确定值
这与两个自旋为 1 2 的粒子处于自 旋 S 0 的态的状况是等价的
考虑两个自旋为 1 2 的粒子处于自旋 单态。
一旦测得第一个粒子的自旋 Z 分量 ，那直接允许我们去推断第二个粒子的自 旋 Z 分量，它始终与第一个粒子的自旋 相反。
a,b 就是平常称的幺正变换系数
A B (S† )BA
A
(S† )AB
Sˆ AB
1
1
2 l, j,mj l,ml , 2 ms
于是在中心势中，考虑了电子的自
旋，则其特解
R nljmj
nlj ljmj
Lˆ 2nljmj l(l 1)2nljmj
Jˆ 2nljmj j( j 1)2nljmj
1. 对两个处于自旋单态的粒子，在三 个不同方向测量它们的自旋
根据定域隐变量理论，它们的关联测 量平均值的关系为
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) 1
这称为 Bell 不等式。
论证：令关联量
g a1b2 (1 b2c2 )
在定域隐变量理论中，对第一个粒子 的测量将不影响第二个粒子的状态。每个 粒子同时有确定的自旋分量。因此，在这 理论中，沿三个方向的自旋分量都有确定 值。当然，重复的测量值可以是不同的。
(1)21x1z2x2z 1x1z2x2z 0
于是可选 Aˆ , Bˆ 的共同本征态作为两自 旋为 1 2 粒子的自旋态
1
A1B1
[(1)(2) (1)(2)] 2
1
A1B2
[(1)(2) (1)(2)] 2
A2B1
1 [(1)(2) (1)(2)] 2
A2B2
1 [(1)(2) (1)(2)] 2
如选力学量完全集 (Hˆ ,Lˆ2,Jˆ 2,Jˆ z ) （运动 常数的完全集），则
nljmj Rnlj(r)ljmj (, )
Jˆ 2 Lˆ Sˆ 2 Lˆ 2 2Sˆ Lˆ Sˆ 2
所以
(Sˆ
Lˆ )ljmj
1 2
(Jˆ 2
Lˆ 2
Sˆ 2 )ljmj
l 2
2ljm j
l1 2
A. 交换不变性 B. 全同粒子的波函数结构，泡利原理
C. 全同粒子的交换不变性的后果
Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬 和 Bell 不等式 A. Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬
爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为： 两个粒子构成一个量子力学态。对一个粒 子的测量将直接得知另一个粒子的状态
,
, Sz
表象中）
(,, )
(,
,
S
z
)
(,
2 , 2
)
1(, 2 (,
) )
于是可推得 Jˆ 2 的本征值 j(j 1) 2
jl1 2
(ljmj (,,Sz ))
1 2l 1
lm1 lm
Yl,m Yl,m1
mj m 1 2 l m l 1
jl1 2
(ljmj (,,Sz ))
A. (S1z , S2z )表象中,两个自旋为 1 2的粒 子的自旋波函数
设：两粒子的自旋分别为 Sˆ1, Sˆ 2。显然 ，如选 (S1z ,S2z ) 表象，则可能的态为
(1)(2), (1)(2)
(1)(2), (1)(2)
B. (Sˆ 2,Sˆ z )表象中两自旋为 1 2 的粒子 的自旋波函数
但是，这并不是体系可处的状态。微 观世界还有一重要规律，使体系波函数不 能完全任意选择，这就是微观粒子的全同 性问题。
C. 1z2z , 1x2x 表象中两自旋为1 2
的粒子的自旋态--Bell基 若取 Aˆ 1z2z Bˆ 1x2x
Aˆ , Bˆ 1z2z1x2x 1x2x1z2z
1z1x2z2x 1x2x1z2z
1
lm
2l 1 l m 1
Yl,m
Yl,m1
mj m 1 2 l 1 m l
由此可见，Jˆ z 取确定值 mj ，而 Sˆ z , Lˆ z 不具有确定值，它们取值为
1
1
2 m
2 (m 1)
事实上，上述就是基矢 Lˆ2,Sˆ 2,Jˆ 2,Jˆ z 以 Lˆ2,Sˆ 2,Lˆ z ,Sˆ z 基矢展开。
爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森则认为 若用态矢量来作为量子力学的描述是 不完全的。态矢量必须被补充或被某额外 的‘隐变量’所替代。自旋分量必然是这
.
些‘隐变量’的函数，所以，自旋分量能 同时确定。
量子力学否定这一假设，认为即使两 个粒子离开很远，对第一个粒子的测量将 影响第二个粒子的状态；另外，粒子本身
如令
S S1 S2
则 Sˆ i 满足角动量的对易关系 [Sˆ i ,Sˆ j] iijk Sˆ k
并有
[Sˆ 2,Sˆ z ] 0
可选 (Sˆ 2,Sˆ z ) 为力学量的完全集。得
11 (1)(2)
10
1 [(1)(2) (1)(2)] 2
11 (1)(2)
00
1 [(1)(2) (1)(2)] 2
第 二十 一 讲 回 顾
第七章 自旋
Ⅲ. 碱金属的双线结构 A. 总角动量 B. 碱金属的双线结构
Ⅳ. 两个自旋为 1 2 的粒子的自旋波函 数，纠缠态
A. (S1z , S2z ) 表象中,两个自旋为 1 2
的粒子的自旋波函数 B. (Sˆ 2,Sˆ z ) 表象中两自旋为 1 2的
粒子的自旋波函数
爱因斯坦等人进一步认为，由于我们 的测量并未接触到第二个粒子，所以测量 第一个粒子自旋前，第二个粒子的状态应 当与测量第一个粒子自旋后是相同的。所
以第二个粒子的自旋 Z分量的值，应当是 确定的，甚至是在测量第一个粒子自旋 Z 分量前就有确定值。
我们又可将这一论证应用于对第一个 粒子自旋 X 或 Y 分量的测量，从而也 推得，测量第一个粒子自旋或分量前，第 二个粒子的自旋 X 或 Y 分量也有确定的 值。这是与量子力学的描述相矛盾的。
如 bˆ 与 z 轴间的夹角为 ，则
由
σˆ b2 σˆ x2 sinθ σˆ z2 cosθ
得
C(aˆ,bˆ ) 1 2
σˆ x2 sinθ σˆ z2 cosθ
ˆ x2 sin ˆ z2 cos
而
σˆ x
所以
C(aˆ,bˆ ) cosθ
( aˆ bˆ )
称为Bell基。它们也都是纠缠态。
8.9 8.12
第 二 十 二讲
Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬 和 Bell 不等式
A. Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 B. 贝尔不等式 ( Bell Inqualities )
Ⅵ. 全同粒子交换不变性－波函数具有确 定的交换对称性
显然，在这个态中，测量第一个粒子
（在 z 方向）得到某一结果，则知道第 二个粒子随之测量（在 z方向）的结果。
现考虑对它们的自旋沿不同方向进行
相继测量。第一个粒子沿 aˆ 方向测量，
第二个粒子沿 bˆ 方向测量。它们的测量
结果都为 1
如 aˆ ，bˆ 方向相同，则平均值为 1 如 aˆ ，bˆ 方向不相同，这一相关联测量
Байду номын сангаас
的平均值为
C(aˆ, bˆ ) 0,0 ˆ 1 aˆˆ 2 bˆ 0,0
cos
( aˆ bˆ )
证： 不失一般性，假设 aˆ 在 z 方
向，bˆ 在 xz 平面上
0, 0 1 , ,
2
z
C(aˆ,bˆ )
1 (
2
ˆ z1
ˆ b2
ˆ z1
ˆ b2
ˆ z1 ˆ b2 ˆ z1 ˆ b2 )
jl 1 2
m
j
m
1 2
lm1
1 lm
1
S,l, j,mj
l,m S,
l,m 1 S,
2l 1
2 2l 1
2
jl 1 2
1 mj m 2
lm
1 lm1
1
S,l, j,mj
l,m 2l 1
S, 2
l,m 1 S,
2l 1
2
即从 A 表象 (S2,L2,J2,Jz )
SAB B 表象 (L2,Lz ,S2,Sz )