量子力学-自旋 Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬和Bell不等式 Ⅵ. 全同粒子交换不变性
爱因斯坦 波多尔斯基 罗森佯谬
在圆括弧内，称第一个项目为直积态 I，是两个量子态、的张量乘积，第二个项目为直积态 II，是两个量 子态、的张量乘积。在直积态 I里，量子态为的电子，其自旋的z轴分量为正值；量子态为的正电子，其为负值。 在直积态 II里，量子态为的电子，其为负值；量子态为的正电子，其为正值。但假若不做测量，则无法知道这 两个粒子中任何一个粒子的；根据哥本哈根诠释，这变量根本不存在。
EPR论文接着描述，先前相互作用的两个粒子，在分离之后的物理性质。假设两个粒子A、B在原点位置相互 作用之后，以相反方向移动分离。根据不确定性原理，由于位置算符与动量算符不对易，无法同时确定粒子B的位 置与动量；位置越确定则动量越不确定，反之亦然。假设准确测量出粒子A的位置，则由于粒子A与粒子B之间相 隔很远，测量粒子A不会搅扰到粒子B，粒子B的位置可以准确地预测为（概率为1），因此，按照实在性判据，对 于测量粒子B的位置，必定存在物理实在的要素。在这里，作者假设测量粒子A这动作遵守定域论，另外，由于存 在物理实在的要素，遵守实在论，粒子B的位置可以被预测。类似地，假设准确测量出粒子A的动量，则由于测量 粒子A不会搅扰到粒子B，粒子B的动量可以准确地预测为（概率为1），因此，按照实在性判据，对于测量粒子B 的动量，必定存在物理实在的要素。
EPR论文表明，假若定域实在论成立，则可以推导出量子力学的不完备性。
理论概述
EPR论文
玻姆版本
量子力学中的贝尔不等式
量子力学中的贝尔不等式引言量子力学是描述微观世界的一种理论，它与经典物理学有着明显的区别。
贝尔不等式是量子力学中的一个重要概念，它对于理解量子力学的本质和量子纠缠现象具有重要意义。
本文将介绍贝尔不等式的概念、背后的物理原理以及实验验证等相关内容。
贝尔不等式的提出贝尔不等式是由爱尔兰物理学家约翰·贝尔于1964年提出的，他的研究旨在解决爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的“EPR悖论”。
EPR悖论是指根据量子力学的理论，存在一种称为“纠缠”的现象，即两个或多个粒子之间的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。
然而，根据相对论的原理，信息传递的速度是有限的，不能超过光速。
这就引发了一个问题：如果两个纠缠粒子之间的状态是相互依赖的，那么改变一个粒子的状态是否会立即影响到另一个粒子的状态？为了回答这个问题，贝尔提出了贝尔不等式。
贝尔不等式是通过对物理实验的结果进行统计分析得到的，它用于检验量子力学是否能够满足局域实在性原理。
局域实在性原理是指物理系统的性质只能由其邻近的物理系统决定，而不能受到远离的物理系统的影响。
贝尔不等式的物理原理贝尔不等式的推导基于对物理系统的实验观测。
假设我们有两个纠缠粒子，它们之间的状态是相互依赖的。
我们可以对这两个粒子进行一系列的测量，比如测量它们的自旋。
根据量子力学的理论，这些测量结果是随机的，但是它们之间存在一定的相关性。
贝尔不等式的核心思想是通过对这些测量结果进行统计分析，来确定是否存在一种隐藏变量的理论可以解释这些相关性。
隐藏变量理论是一种假设，认为存在一些未知的物理性质或参数，可以完全描述系统的状态和测量结果。
如果贝尔不等式成立，那么就意味着存在这样的隐藏变量理论，否则就需要重新思考量子力学的基本假设。
实验验证为了验证贝尔不等式，科学家们进行了一系列的实验。
其中最著名的实验是由阿尔茨和泰纳于1964年提出的阿尔茨-泰纳实验。
这个实验使用了光子对的纠缠态，通过测量它们的偏振来检验贝尔不等式。
贝尔不等式与量子纠缠
贝尔不等式与量子纠缠从古希腊时期的亚里斯多德，到近代的爱因斯坦，人类一直在试图理解和解释自然界的运行方式。
其中一个关键问题是如何解释“量子纠缠”，这是在量子力学中最难以理解和解释的概念之一。
量子纠缠的原始概念可以追溯到1935年，当时爱因斯坦、波多尔斯基和罗森提出了贝尔不等式，这个不等式是基于假设的，假设我们的世界是局部真实的，并且有局部隐藏变量来解释所有观测到的量子现象。
然而，从那时起，通过实验和理论的发展，我们知道这个假设是不正确的。
现在我们知道，贝尔不等式不仅可以被完全违反，而且量子纠缠的概念已经成为众多量子技术的核心，如量子隐形传态和量子密钥分发等。
在这篇文章中，我们将探讨贝尔不等式和量子纠缠之间的关系，以及这些概念如何引导我们了解量子力学和量子技术。
贝尔不等式背后的物理学贝尔不等式是基于类似于硬币的思想基础上的。
当一个硬币被抛掷时，它可以是正面朝上或反面朝上。
如果我们有两个硬币，我们可以观察它们的朝向，从而得到它们的结果：正-正、正-反、反-正或反-反。
现在，设想我们拥有两个处于纠缠状态的粒子。
当我们观察这两个粒子时，我们可以获取它们的特性（如自旋或电荷）。
如果这两个粒子是普通的，没有任何纠缠，我们可以假设每个粒子都有一个局部隐藏变量来解释这些特性。
如果这两个粒子是纠缠的，隐藏变量可能会决定它们中的一个特性，但它们不会决定另一个粒子的特性。
此时我们就会发现：用类似于硬币的情景描述量子纠缠是不准确的。
爱因斯坦、波多尔斯基和罗森就是试图通过这一种类比来证明量子纠缠是基于局部隐藏变量的理论的错误之处。
他们提出了三个看起来很合理的假设：真实性，局部性和完备性。
真实性意味着观察物理量的结果只取决于事实中存在的局部隐藏变量，而不是任意的选择。
局部性是指没有任何信息可以通过超越局部影响区域来传播。
完备性是指所有可能性都被考虑到了。
然而，事实证明，爱因斯坦等人的假设不能同时成立，而且实验结果违反了贝尔不等式。
史上最牛量子力学
史上最牛量子力学
量子力学是20世纪物理学的一大突破，也是目前最前沿的领域之一。
它涉及到微观粒子和系统的行为，挑战了我们对自然规律的经典认识。
在这个领域中，有很多令人惊叹的成就，以下是史上最牛的几个：
1. 波尔原子模型：丹麦物理学家尼尔斯·玻尔在1913年提出了电子绕着原子核运动的模型，这个模型成为了现代原子物理学的基础之一。
2. 海森堡不确定性原理：德国物理学家维尔纳·海森堡在1927年提出了不确定性原理，它表明对于一些物理量，比如位置和动量，我们无法同时准确地知道它们的值。
这个理论挑战了牛顿力学的经典观念。
3. 薛定谔方程：奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年提出了薛定谔方程，这个方程描述了微观粒子的行为，可以预测它们的位置和动量等量子量。
4. 爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论：在1935年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森提出了一个悖论，表明根据量子力学的理论，两个粒子可以瞬间相互作用，即使它们之间的距离很远。
这个悖论至今还没有完全解决。
5. 贝尔定理：爱尔兰物理学家约翰·贝尔在1964年提出了贝尔定理，通过实验验证，表明量子力学的理论是正确的，而且不存在任何隐含变量。
这个定理展示了量子力学的神奇之处，也为量子通讯和
计算打下了基础。
这些成就不仅改变了我们对自然的认识，也对现代科技的发展产生了深远的影响。
未来，我们将继续探索量子世界的奇妙之处，开拓出更多的可能性。
量子理论若干基本问题研究的新进展
第21卷 第3期物 理 学 进 展Vol.21,No.3 2001年9月PRO GRESS IN PHYSICS Sept.,2001文章编号:1000Ο0542(2001)03Ο0317Ο44量子理论若干基本问题研究的新进展孙昌璞(中国科学院理论物理研究所,北京 100080)摘 要: 本文结合最近的典型量子物理实验,如用冷原子Bragg散射实现的“whichΟway”实验,量子退相干过程的微腔Q ED检验和C60分子的量子干涉等,比较系统地介绍了量子理论基本问题若干研究的新进展,特别强调了处于其核心的量子测量问题及其相关的基本概念和基本思想,如EPR佯谬和Bell不等式,量子退相干和量子纠缠。
从理论和实验结合的角度,本文阐述了被测系统和测量仪器的相互作用怎样导致量子测量的一般动力学过程。
由此还讨论了外部环境和内部运动怎样诱导量子退相干和量子耗散,对“薛定谔猫佯谬”和“宏观物体空间局域化描述”给出了可能的物理解释。
最后,通过具体例子,本文简单地讨论了量子物理基本问题的研究结果对量子信息的应用。
关键词: 量子测量;量子退相干;量子耗散;量子纠缠;EPR佯谬和Bell不等式;薛定谔猫佯谬中图分类号: O437 文献标识码: A0 引 言以量子力学为核心的量子物理,不仅代表了人类对微观世界基本认识的革命性进步,而且带来了许多划时代的技术创新(如半导体和激光器的发明),直接推动了社会生产力的发展,从根本上改变了人类的物质生活。
量子理论过去的成功并不意味着它是一个彻底完善的物理学理论。
自量子力学诞生以来,关于量子力学的思想基础和基本问题的争论,从来就没有停止过。
人们对于量子力学本身的完备性及其一些基本观念的理解,甚至持有截然不同的观点[1～3]。
最近,由于这些量子力学基本问题所涉及的观念,在信息科学可能有着重要的应用,再加上实验方面的飞速进展,量子力学基本问题的研究得到了物理学界更加广泛的重视[4]。
在1927年Solvay物理学会议上,爱因斯坦和玻尔开始了关于量子力学基本问题的论战[5],引发了一系列关于量子物理的思想观念的深入讨论。
量子若干基本问题研究
的波包中“选择”动量为p1 = q 的平面波。按照量子力学的哥本
哈根解释,这一“选择”对应仪器和波包间某种“不可控制的相互
作用”的结果。在这种“不可控制相互作用”影响下,可能有p1 = q ,也可能p1 = s , ⋯⋯等等。但令人奇怪的是:只要探测器量出p1 = q ,那末不论是否对粒子2 的波包进行测量与否,就必然有p2 = q ,描述粒子2 的波包也将自动发生塌缩现象。粒子1 和粒子2 的
。对处于| f > = ∑cn| n > 的系统进行连续的 两次测量:第一次测量A ,然后再测量与A 不对 易的B 。若| m > 是B 的本征函数,相应的本征 值为bm ,则在给定| n > 态上得到bm 的几率为 | < m | n > | 2 。由于在| Ψ > 上第一次测量 得到an 的几率为| cn| 2 ,则两次连续测量得bm
量,从源S 产生的粒子束经双 缝分束后在屏C 上发生干涉。
上述的干涉效应代表了粒子
的波动特征。双缝干涉实验
强调了物质波粒二象性的波 动性侧面。
EPR 佯谬与Bell 不等式
以下先扼要地介绍一下EPR 佯谬的基本思想: 考虑一个由两个粒子组成的复合系统。如果这一双粒子系统的始
态中总动量p = 0 ,那末在两个粒子分开后,按照动量守恒定律,第 一个粒子的动量p1 必定与第二个粒子动量p2 有关联,即p1 = p2 ,作反向飞行。但在未测量前,人们并不十分清楚p1 或p2 的方 向和它们的绝对值的大小。当探测器测到了粒子1 ,得到p1 = q 以 后,粒子2 必将处在p2 = - q 态上。问题是,在量子系统的测量过程
的几率为:
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
量子力学中的贝尔不等式与量子非实在性
量子力学中的贝尔不等式与量子非实在性引言：量子力学是描述微观世界的基本理论，它在过去一个世纪中取得了巨大的成功。
然而，量子力学中的一些概念和现象却挑战了我们对于现实的直觉和常识。
其中一个引起广泛讨论的问题是贝尔不等式与量子非实在性的关系。
本文将探讨贝尔不等式的背景、含义以及与量子非实在性的关系。
一、贝尔不等式的背景贝尔不等式是由爱尔兰物理学家约翰·贝尔于1964年提出的，它是一种用于检验量子力学与局域实在论之间的矛盾的方法。
贝尔不等式的提出源于爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的著名的EPR实验，该实验旨在验证量子力学的完备性。
EPR实验提出了“纠缠”的概念，即两个粒子之间存在一种特殊的关联，这种关联不受距离的限制。
二、贝尔不等式的含义贝尔不等式是一种用于检验局域实在论的方法。
在局域实在论中，物理量的值是独立于观测者的选择的，而在量子力学中，物理量的值是由观测者的选择决定的。
贝尔不等式的基本思想是通过比较实验结果与局域实在论的预测来检验量子力学的非局域性。
三、贝尔不等式与量子非实在性的关系贝尔不等式的违背表明了量子力学中存在一种非局域性，即量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间的状态是相互关联的，无论它们之间的距离有多远。
这种关联不仅仅是一种相互依赖的关系，而是一种非常特殊的关系，被称为“非实在性”。
量子非实在性的概念源于量子力学的测量理论。
根据量子力学的测量理论，当我们对一个量子系统进行测量时，我们不能同时确定其位置和动量，或者同时确定其自旋在不同方向上的取值。
这种不确定性被称为海森堡不确定性原理。
然而，当两个纠缠的粒子之间进行测量时，它们的测量结果是高度相关的，即使它们之间相隔很远。
这种相关性违背了经典物理学的局域实在论，表明量子力学中存在一种非局域性。
四、实验验证贝尔不等式的违背贝尔不等式的违背已经在实验中得到了验证。
实验中使用的是纠缠态的光子对，通过测量它们之间的关联性来验证贝尔不等式的违背。
量子力学中的奇异现象解析
量子力学中的奇异现象解析量子力学是一门无法用经典物理学解释的学科，它对我们对于微观世界的认知带来了革命性的变化。
在量子力学的研究过程中出现了许多奇怪的现象，这些奇异现象带给了物理学家许多谜题和困惑，同时也激发了他们深入研究这一学科的热情。
在本文中，将会对几个量子力学中的常见奇异现象进行简单的解析，带领读者一起探索这个神奇的物理世界。
贝尔定理贝尔定理，也被称为贝尔不等式，是由物理学家约翰·斯图尔特·贝尔于1964年提出的定理。
它证明了量子力学中的一种重要悖论，即“爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论（EPR）”。
贝尔定理实验证明了，如果量子力学的局域实在性假设正确，即物理系统的相互作用不能以超光速的形式进行，那么我们就可以得到“密论（local realism）”结论，这意味着物理量的测量结果不可能同时满足所有自然的局域实在性假设，因此，我们必须放弃其中至少一个假设。
薛定谔的猫薛定谔的猫，是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔提出的一种思想实验。
该实验通过对微观世界中薛定谔方程进行推导，得出了一个令人惊讶的结果。
在实验中，一只猫被装置在一个密闭的盒子中，盒子中还有一些关键设备。
这些设备有可能使得某个时刻，这只猫的生命状态是死或者是活的，依据量子力学的性质，在这之前，无法确定它的状态。
量子纠缠量子纠缠是量子力学中最为神秘的奇异现象之一。
量子纠缠是指，两个量子粒子会在某些特定条件下产生一种不可思议的联系，纠缠的两个量子粒子的状态是任意组合，而在一组特定的条件下测量其中一个量子状态就会立即改变另一个量子态。
这意味着物理学家可以使用一个部分测量的量子粒子，来推导另外一个量子粒子的状态。
虽然目前我们并不能完全理解量子纠缠的本质，但这种奇怪的联动确实存在，并且被证明是量子力学中一个基本的现象。
虚拟粒子虚拟粒子是量子力学中另一个令人称奇的现象。
虚拟粒子是指，在空间中可以存在短暂时间的基本粒子，虽然它们是不会真正存在于物理空间中的，但是它们具有量子状态和粒子属性。
贝尔不等式及其实验验证
贝尔不等式及其实验验证
在理论物理学中，贝尔不等式（Bell's inequality）是一个有关是否存在完备局域隐变量理论的不等式。
实验表明贝尔不等式不成立，说明不存在关于局域隐变量的物理理论可以复制量子力学的每一个预
测（即贝尔定理）。
在经典物理学中，此一不等式成立。
在量子物理学中，此一不等式不成立，即不存在这样的理论，其数学形式为∣Pxz-Pzy∣≤1+Pxy。
贝尔不等式实验验证
继续发展爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬（简称为EPR佯谬）的论述（但是选择采用自旋的例子，如同戴维·玻姆版本关于EPR佯谬的论述），贝尔精心设计出一个思想实验：从衰变生成的两颗处于单态（singlet state）的自旋1/2粒子会分别朝着相反方向移动，在与衰变地点相隔遥远的两个地点，分别三维坐标系测量两个粒子的自旋，每一次测量得到的结果是“向上自旋”（标计为“+”）或“向下自旋”（标计为“-”）。
假设角动量为零的母粒子衰变成两个粒子A和B，根据角动量守恒定律，一个光子必具有与另一个光子相同的偏振态，这可以用垂直于粒子路径的静止的测量装置，并在某共同方向（比方说向上）测量其偏振态来加以证实。
事实上已发现：当粒子A通过其偏振片时，B也总是通过的，即：发现了100%的关联。
反之，如果偏振片相互垂直安配，那么，
每当A通过则B被挡阻，这时有100%的反关联。
在通常的经典力学中，这也是正确的。
贝尔 量子力学 -回复
贝尔量子力学-回复什么是贝尔量子力学？贝尔量子力学（Bell's Theorem）是关于量子力学的一个重要定理，它揭示了关于量子纠缠的奇异现象。
这个定理是由爱尔兰物理学家约翰·贝尔于1964年提出的，他通过分析爱因斯坦-波多尔斯基-罗森（EPR）悖论，证明了根据量子力学的精确预测，量子力学是一个不完备的理论。
贝尔定理为我们理解量子纠缠以及量子力学的本质提供了极为重要的线索。
首先，让我们回顾一下什么是量子机理学。
量子力学是描述微观领域中粒子行为的物理学理论，它通过波函数和算符的形式，对粒子的位置、动量、自旋等物理量进行了描述。
量子力学中的重要概念之一就是量子纠缠。
量子纠缠（Quantum Entanglement）是指当两个或多个粒子相互作用后，它们的状态将无法独立描述，而只能以一个整体的态进行描述。
这种纠缠状态下，即使两个粒子处于空间隔离的状态，当我们对其中一个粒子进行测量时，它的测量结果会立即影响到另一个粒子的状态，即使它们之间的信息无法通过任何已知的物理力传播。
这种现象被爱因斯坦称为“鬼魂般的遥远作用”。
在20世纪中叶，爱因斯坦等科学家对这种效应提出了质疑，他们认为这是一个不完全的理论，并试图通过隐藏变量理论来解释这种效应。
隐藏变量理论认为，存在一些我们当前所不知的隐藏变量，它们决定了粒子的状态，而不是量子力学所描述的随机性。
这样一来，量子纠缠现象可以被解释为隐藏变量对粒子状态的决定。
然而，贝尔定理却推翻了隐藏变量理论。
贝尔在1964年提出了一个不等式，即贝尔不等式（Bell's inequality）。
他通过理论推导和实验测量发现，贝尔不等式在量子力学框架中是被违背的，这意味着隐藏变量理论无法解释量子纠缠现象。
实验结果与贝尔不等式的预测相符合，这表明量子纠缠现象具有超出经典物理学框架的非局域性。
贝尔定理的证明过程主要基于对量子力学的统计解释和随机性的讨论，以及对实验结果的对比分析。
量子纠缠隐秘的相互联系
量子纠缠隐秘的相互联系量子纠缠是量子力学中一种奇特的现象，其具有隐秘的相互联系。
量子纠缠表明，在量子体系中的两个或多个粒子之间存在一种特殊的相互关系，这种关系不受时间和空间的限制。
纠缠粒子之间的状态是相互关系的，即一个粒子的状态发生改变会立即影响到其他纠缠粒子的状态，不管它们之间的距离有多远。
量子纠缠的概念最早由薛定谔和爱因斯坦提出。
爱因斯坦对于这种看似超距作用的现象表示质疑，他认为这与相对论的观念不一致，因为相对论认为信息传递的速度是有上限的。
这个问题被称为“爱因斯坦-波恩-罗森悖论”，而该悖论直到1964年贝尔首次提出“贝尔不等式”才得到解决。
量子纠缠是实现量子通信和量子计算的基础，也是量子信息科学中的一个核心概念。
量子纠缠可以用于远程通信、量子密码学以及量子计算等领域，具有广阔的应用前景。
例如，在量子密码学中，量子纠缠可以用于防止信息被窃取和篡改，提供更高的安全性。
在普通的加密通信方式中，信息的安全性往往依赖于数学难题的困难程度，而量子密码学利用纠缠态之间的关联性，可以提供更加安全可靠的通信。
除了通信领域，量子纠缠在量子计算方面也有着重要的应用。
量子计算利用量子纠缠的特性，可以同时处理多个可能性，并且能够在一次操作中执行多个计算步骤。
量子计算的速度和能力远远超过了经典计算机，这对于解决复杂的问题和优化算法具有重要意义。
纠缠态可以用于存储和传输量子信息，以及提供量子门操作和量子纠错等关键功能，为量子计算机的发展提供了理论基础。
量子纠缠的实现方式有多种，其中最常见的是通过相互作用的方式来生成纠缠态。
例如，通过对粒子进行测量或者在粒子之间施加操作，可以使它们处于纠缠态。
同时，观察和测量纠缠态也是了解量子纠缠性质的关键方法。
研究人员通过实验室中的量子光学装置以及超导电路等系统，成功实现了纠缠态的生成和测量，验证了量子纠缠的存在。
值得一提的是，量子纠缠的隐秘性使其成为量子信息科学中一个独特的研究课题。
从量子力学的两大悖论看量子 共19页
其次，玻尔以测量仪器与客体实在的不可分性为理由否定EPR 论证的前提——物理实在的认识论判据，从而否定了EPR实验的悖 论性质。玻尔的异议及其论证是对EPR悖论自身的合理性进行了质 疑。并且大量的实验事实都与哥本哈根学派的解释与经验事实一致。 但作为一种完备的理论，仅靠逻辑上的论证是不够的。
(2).测量结果必伴随着双粒子态从它的叠加纠缠态坍缩或跃迁到它的一个 本征态，坍缩或跃迁必是一个瞬时的非局域决定论的过程。
EPR认为，情况（1）说明正统的量子力学与定域性假设为基础的相对论相 悖的。情况（2）中出现的非局域决定论的坍缩或跃迁现象违反客观的物理实在 性要求或决定论要求。
4.Bohr对EPR悖论的反驳：
如果贝尔不等式成立，意味着这种形式的隐变量理论也成立，则
现有形式的量子力学就不完备。要是实验拒绝贝尔不等式，则表明量 子力学的预言正确。几十年来，人们就把贝尔不等式成立与否作为判 断量子力学与隐变量理论孰是熟非的试金石。
3.EPR悖论的数学模型：
A ,B1 2[ xB x A xB x A]
上式为EPR理想实验的简化公式。按量子力学中的测量方案，该公式中纠缠 态已经按被测量算符的本征态作展开。若测量结果为A粒子处于的本征态，则B 粒子也立刻自动处于本征态；反之亦然。按照量子力学的观点有：
(1).处于纠缠态中的二个粒子，即使不存在因果关连或其间隔为类空间 隔，上述测量结果依然成立。
2.EPR假设：
epr佯谬问题
EPR佯谬问题：概念，发展与影响一、引言量子力学是现代物理学的基石，它描述了微观粒子的行为。
然而，这个理论的某些方面与我们的直观理解相冲突，导致了许多争议和困惑。
其中最著名的就是EPR佯谬问题，由爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在1935年提出。
本文将详细介绍EPR佯谬问题的概念，发展历程以及其对物理学的影响。
二、EPR佯谬问题的概念EPR佯谬问题是爱因斯坦、波多尔斯基和罗森在1935年提出的，他们认为量子力学的描述方式存在逻辑矛盾。
他们提出了一个思想实验，即EPR佯谬，来揭示他们认为的这个问题。
在这个实验中，两个粒子被发射出去，然后分别向两个相反的方向飞去。
根据量子力学的叠加态原理，这两个粒子在没有被观测之前，既像粒子一样存在，又像波一样存在。
然而，一旦其中一个粒子被观测，另一个粒子的状态立即就会改变，即使它们相距非常远。
这种现象被称为“量子纠缠”。
三、EPR佯谬问题的发展历程爱因斯坦、波多尔斯基和罗森认为这种现象违反了物理世界的逻辑一致性，即“定域性原理”。
定域性原理认为，任何物理事件的发生都必须有原因，而且这个原因不能超过光速的传播速度。
他们提出了一个问题：如果两个粒子在空间中的分布是随机的，那么为什么一个粒子的测量结果会立即影响另一个粒子的状态呢？他们认为这不可能是一个超距作用，因此他们认为量子力学的描述方式存在逻辑矛盾。
然而，这个问题并没有得到明确的答案。
许多物理学家试图解决这个问题，但是他们都遇到了困难。
直到1960年，贝尔提出了他的不等式，这个问题才得到了进一步的发展。
四、EPR佯谬问题的影响EPR佯谬问题对物理学产生了深远的影响。
首先，它引发了关于量子力学解释的争论。
有些人认为量子力学是错误的，因为它与我们的直观理解相冲突。
而另一些人则认为量子力学是正确的，因为它能够预测实验结果。
其次，EPR佯谬问题推动了量子信息科学的发展。
量子纠缠是量子信息科学的基础，它使得量子通信和量子计算成为可能。
qm25
子交换是不可观测的。 （1）交换不变性 由于体系具有交换不变性，t 0 时经交换后 演化到 t ，应等于演化到 t 再进行交换，即
P12(r1, r2 , t ) U(t, t 0 )P12(r1, r2 , t 0 )
P12U(t, t 0 )(r1, r2 , t 0 )
由于 的任意性，所以
B. 与其他运动常数根本不同之处在于，体 系要么处对称态，要么处于反对称态。这是粒 子固有的属性，而不是人为地给－初条件所能 改变的； C. 实验表明：具有自旋为半整数的粒子体 系。当两粒子交换，波函数反号，即处于反对 称态；而自旋为整数的粒子，两者交换，波函 数不变，即处于对称态。
(2) 全同粒子的波函数结构，泡利原理： 忽略粒子间的相互作用，则全同粒子的哈氏 量为单粒子哈氏量之和
第 二 十 五 讲
Ⅰ. Einstein-Podolsky-Rosen佯谬和Bell 不等式 (1) Einstein-Podolsky-Rosen佯谬 爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为：两个 粒子构成一个量子力学态。对一个粒子的测量 将直接得知另一个粒子的状态。
例：
x1 , x 2 x1 x 2
Ⅱ. 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的 交换对称性 各种微观粒子有一定属性。实验证明每一 种粒子，都是完全相同的（如两个氢原子中的 质子或电子都一样）。经典物理中，我们能按 轨道来区分同一类粒子。 但从量子力学的观点来看，情况就发生变 化。它的描述不能用轨道概念，而只能用波函 数或根据一些力学量完全集来描述粒子所处状
2 N 1 P 2 N 1 来实现
由于对换（transposition）一对粒子， 波函数改号。而对某一置换（Permutation） 它相应的对换数的奇偶性是一定的。因此，置 换后的这一项的符号与标准排列项的符号差别 取决于该置换的对换数的奇偶性。 如
贝尔不等式理论解释
贝尔不等式理论解释相信很多人都听说过贝尔不等式，它是量子物理学基础理论之一。
贝尔不等式的提出引起了人们对量子世界的重新认识和关注。
那么，什么是贝尔不等式？为什么它会引起这么大的反响呢？本文将从理论角度探讨贝尔不等式的含义和应用。
贝尔不等式的基本概念首先，让我们来了解一下贝尔不等式的基本概念。
贝尔不等式是由爱因斯坦、波多尔斯基和罗森于1935年提出的一个基本原理，它是一种量子力学中的实验判据，用于判断量子物理学中的“局部现实性”是否成立。
所谓“局部现实性”，是指当两个物体相互作用后，它们之间所产生的量子纠缠状态不会立刻消失，即使它们相隔很远，也会互相影响。
而贝尔不等式可以用于测量量子纠缠现象是否存在。
在量子世界中，量子纠缠是一个非常奇特的现象。
当两个量子粒子相互作用后，它们的状态会变得相互依赖，相互影响。
即使它们在空间上相隔很远，两个量子粒子的状态也会是相互关联的。
这种现象被称为“量子纠缠”。
在量子纠缠中，两个粒子的状态并不是预定的，而是存在一定的概率性。
这个概率性符合量子力学中的波函数规律。
贝尔不等式的实验方法贝尔不等式的实验方法基于量子纠缠的特性。
当两个粒子发生纠缠时，它们的状态是不确定的，但是它们之间的相互作用存在一定的规律。
根据这个规律，我们可以进行一系列的实验，来测量它们之间的关系。
贝尔不等式的实验方法有很多种，其中最常见的是“迈尔斯-瑟恩实验”。
这个实验的方法比较简单，只需要使用两个粒子，然后将它们分别送到两个远离的位置，在每个位置进行各自的观测。
我们可以通过观测结果，来判断它们之间是否存在量子纠缠。
如果存在量子纠缠，我们将会观测到某种规律；如果不存在，那么这两个粒子之间的量子状态将会是独立的，观测结果也是随机的。
贝尔不等式的理论解释贝尔不等式是一个非常奇特的现象，它颠覆了传统科学对世界的认识。
在解释贝尔不等式的理论中，有两个重要的概念：量子力学的“非局部性”和“本地实在性”。
量子力学的“非局部性”指的是量子颗粒之间的联系不受距离限制，即使它们在空间上相隔很远，它们的量子状态也是相互关联的。
量子力学中的Bell不等式及其应用
量子力学中的Bell不等式及其应用量子力学是当今科学领域最具有争议的学科之一，它引发了人们对自然界最本质的疑问：物质的本质是什么？这个问题的答案并不简单，因为量子力学包含了一些我们普通人难以理解的概念和现象。
其中一个最重要的概念是Bell不等式，它揭示了量子世界中一些令人惊奇的现象。
本文将讨论Bell不等式的定义、实验验证以及在实际应用中的作用。
1. Bell不等式的定义Bell不等式是针对量子力学中“非局域性”的一个数学表述。
所谓非局域性是指一对物体（可以是粒子、原子、分子等）在某些情况下的相互关系不能通过任何距离的物理交互来解释。
也就是说，这种关系是随着它们之间的距离而改变的，而不是受距离的限制。
实现这种关系需要使用一对被称为纠缠对的物质粒子。
Bell不等式是用于判断纠缠对是否存在“隐变量”的一个定理，其数学表述如下：S≤2其中，S是一个与纠缠对相关的实验测量值，它的计算方式是：S=(A+B)-(A-B)其中，A和B是一对纠缠对粒子的实验结果。
简单来说，Bell不等式通过测量一对纠缠粒子的实验结果来判断它们之间是否存在一些我们无法通过物理解释的隐藏变量，如果存在，则S的取值将大于2，反之将小于等于2。
2. Bell不等式的实验验证Bell不等式是量子力学中一个非常有争议的概念，在该理论诞生的初期，很多科学家认为这只是个数学玩偶，没有实际意义。
但是，随着实验技术的不断发展，越来越多的实验数据证明了Bell不等式的有效性。
Bell不等式的实验验证通常是使用一种被称为“维尔滨光子对”的纠缠对进行的。
这些光子对被拆分成两个相互垂直的偏振方向，然后将它们分别投向两个远隔的探测器。
如果Bell不等式成立，那么这两个光子对的测量结果就应该是相关的，而如果它们之间存在隐变量，则这两个光子对的结果就应该是独立的。
根据实验数据，科学家发现，Bell不等式确实成立。
也就是说，这个定理能够准确地描述纠缠粒子之间的关系，而不需要假设存在一些隐变量。
贝尔不等式证明了量子纠缠效应的存在
贝尔不等式证明了量子纠缠效应的存在1964年，物理学家约翰·S·贝尔发表了一篇名为“On theEinstein-Podolsky-Rosen paradox”的论文，其中提出了一种新的思路，可以证明量子物理学中一些非常特殊的纠缠效应，之后这篇论文被命名为贝尔不等式(Bell's inequality)。
在量子物理学中，量子纠缠效应是一种非常特殊的现象，它甚至被认为是量子物理学的精髓，这种效应可以在两个量子系统之间产生质疑经典物理学的互动。
特别的，当两个或多个量子系统纠缠后，它们之间的量子状态之间会发生非常奇怪的变化，虽然它们在物理距离上相距很远，但它们仍然可以互相作用，即使其中一个量子系统发生了变化，其他系统的状态也会立即发生变化。
这种奇特的现象称为量子纠缠，也被称为“跨越距离的神秘力量”。
贝尔不等式是一种新的计算方法，可以帮助科学家证明量子物理学中的量子纠缠效应的存在。
它的计算过程非常复杂，但基本思路是利用两个或多个不同的空间点之间的粒子进行实验，通过对它们的测量结果来比较这些粒子是否在空间中独立。
如果两个粒子的测量结果在空间上是独立的，那么贝尔不等式将不成立；但如果它们的测量结果在空间上不独立，那么贝尔不等式将不成立，这表明两个相互作用的量子状态之间存在着某种形式的纠缠。
贝尔不等式的证明彻底颠覆了Einstein、Podolsky和Rosen(简称EPR)提出的著名的EPR佯谬，EPR佯谬反映了量子力学中著名的“不完整性定理”，即如果量子态的描述不涵盖每个因素，则量子力学的描述不完整。
Einstein认为量子物理学中的物理受到了某种隐含变量的影响，但是贝尔不等式证明这种想法是不正确的。
贝尔不等式的发现不仅对理论物理有着重要的意义，而且对实际应用也有着实用意义。
例如，量子通信和量子计算机的发展依赖于纠缠和其他量子效应，因此贝尔不等式的证明意味着这些技术可以更好地被关联和理解。
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,
, Sz
表象中）
(,, )
(,
,
S
z
)
(,
2 , 2
)
1(, 2 (,
) )
于是可推得 Jˆ 2 的本征值 j(j 1) 2
jl1 2
(ljmj (,,Sz ))
1 2l 1
lm1 lm
Yl,m Yl,m1
mj m 1 2 l m l 1
jl1 2
(ljmj (,,Sz ))
称为Bell基。它们也都是纠缠态。
8.9 8.12
第 二 十 二讲
Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬 和 Bell 不等式
A. Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 B. 贝尔不等式 ( Bell Inqualities )
Ⅵ. 全同粒子交换不变性－波函数具有确 定的交换对称性
jl 1 2
m
j
m
1 2
lm1
1 lm
1
S,l, j,mj
l,m S,
l,m 1 S,
2l 1
2 2l 1
2
jl 1 2
1 mj m 2
lm
1 lm1
1
S,l, j,mj
l,m 2l 1
S, 2
l,m 1 S,
2l 1
2
即从 A 表象 (S2,L2,J2,Jz )
SAB B 表象 (L2,Lz ,S2,Sz )
Jˆ znljmj m jnljmj
Hˆ nljmj Enljnljmj
B. 碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来
自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的 作用。所以，价电子的哈密顿量为
Hˆ Pˆ 2 V(r) (r)Lˆ Sˆ 2
Hˆ E
1 1 dV(r) (r) 22c2 r dr
如选力学量完全集 (Hˆ ,Lˆ2,Jˆ 2,Jˆ z ) （运动 常数的完全集），则
nljmj Rnlj(r)ljmj (, )
Jˆ 2 Lˆ Sˆ 2 Lˆ 2 2Sˆ Lˆ Sˆ 2
所以
(Sˆ
Lˆ )ljmj
1 2
(Jˆ 2
Lˆ 2
Sˆ 2 )ljmj
l 2
2ljm j
l1 2
例 (x1,x2 ) (x1 x2 )
该态在动量表象中的表示为
(p1,p2 )
1 2
ei ( p1x1 p2x2
)
/
(x1
x2
)dx1dx2
21ei(p1p2 )x2 / dx 2
p1 p2
爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子
的坐标，测得值为 x0
则第二个粒子的坐标必为 x0
测量第二个粒子的动量，测得值为
C. 1z2z , 1x2x 表象中两自旋
为 1 2 的粒子的自旋态--Bell基
Ⅲ. 碱金属的双线结构 A. 总角动量 1.总角动量引入
当考虑电子具有自旋后，电子在中心 力场中的哈密顿量为
Hˆ 1 Pˆ 2 V(r) (r)Lˆ Sˆ 2
(r)
1 2m2c2
1 r
dV(r) dr
由于自旋－轨道耦合项的存在，Lˆ 和 Sˆ 都不是运动常数. 因此，( Hˆ , Lˆ2, Lˆ z ,Sˆ z )不 能构成力学量完全集
如 bˆ 与 z 轴间的夹角为 ，则
由
σˆ b2 σˆ x2 sinθ σˆ z2 cosθ
得
C(aˆ,bˆ ) 1 2
σˆ x2 sinθ σˆ z2 cosθ
ˆ x2 sin ˆ z2 cos
而
σˆ x
所以
C(aˆ,bˆ ) cosθ
( aˆ bˆ )
1. 对两个处于自旋单态的粒子，在三 个不同方向测量它们的自旋
根据定域隐变量理论，它们的关联测 量平均值的关系为
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) 1
这称为 Bell 不等式。
论证：令关联量
g a1b2 (1 b2c2 )
在定域隐变量理论中，对第一个粒子 的测量将不影响第二个粒子的状态。每个 粒子同时有确定的自旋分量。因此，在这 理论中，沿三个方向的自旋分量都有确定 值。当然，重复的测量值可以是不同的。
g 的平均值为 g ˆ a1ˆ b2 ˆ a1ˆ c2 C(aˆ,bˆ ) C(aˆ,cˆ)
于是有
g g a1b2 (1 b2c2 )
a1b2 1 b2c2
(1 b1c2 )
所以，
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) 1
而对这一关联测量平均值的关系，量 子力学的预言为
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) cos(aˆ bˆ ) cos(aˆ cˆ) cos(bˆ cˆ)
若在测量时，取 aˆ,bˆ ,cˆ 三个方向共面，
且 aˆ bˆ ,
aˆ cˆ 2, bˆ cˆ
于是
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) cos cos 2 cos
A. 交换不变性 B. 全同粒子的波函数结构，泡利原理
C. 全同粒子的交换不变性的后果
Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬 和 Bell 不等式 A. Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬
爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为： 两个粒子构成一个量子力学态。对一个粒 子的测量将直接得知另一个粒子的状态
1
lm
ห้องสมุดไป่ตู้
2l 1 l m 1
Yl,m
Yl,m1
mj m 1 2 l 1 m l
由此可见，Jˆ z 取确定值 mj ，而 Sˆ z , Lˆ z 不具有确定值，它们取值为
1
1
2 m
2 (m 1)
事实上，上述就是基矢 Lˆ2,Sˆ 2,Jˆ 2,Jˆ z 以 Lˆ2,Sˆ 2,Lˆ z ,Sˆ z 基矢展开。
但
[Lˆ z Sˆ z , Lˆ Sˆ ] 0
[Lˆ Sˆ, Lˆ Sˆ] 0
引入 Jˆ Lˆ Sˆ
显然
[Jˆ i , Jˆ j] iijkJˆ k
对于有心势， Hˆ ,Lˆ 2,Jˆ 2,Jˆ z 彼此对易。 因此可作为力学量的完全集。
2. (Lˆ2, Jˆ2,Jˆz )的共同本征矢的表示（在
显然，在这个态中，测量第一个粒子
（在 z 方向）得到某一结果，则知道第 二个粒子随之测量（在 z方向）的结果。
现考虑对它们的自旋沿不同方向进行
相继测量。第一个粒子沿 aˆ 方向测量，
第二个粒子沿 bˆ 方向测量。它们的测量
结果都为 1
如 aˆ ，bˆ 方向相同，则平均值为 1 如 aˆ ，bˆ 方向不相同，这一相关联测量
爱因斯坦等人进一步认为，由于我们 的测量并未接触到第二个粒子，所以测量 第一个粒子自旋前，第二个粒子的状态应 当与测量第一个粒子自旋后是相同的。所
以第二个粒子的自旋 Z分量的值，应当是 确定的，甚至是在测量第一个粒子自旋 Z 分量前就有确定值。
我们又可将这一论证应用于对第一个 粒子自旋 X 或 Y 分量的测量，从而也 推得，测量第一个粒子自旋或分量前，第 二个粒子的自旋 X 或 Y 分量也有确定的 值。这是与量子力学的描述相矛盾的。
a,b 就是平常称的幺正变换系数
A B (S† )BA
A
(S† )AB
Sˆ AB
1
1
2 l, j,mj l,ml , 2 ms
于是在中心势中，考虑了电子的自
旋，则其特解
R nljmj
nlj ljmj
Lˆ 2nljmj l(l 1)2nljmj
Jˆ 2nljmj j( j 1)2nljmj
2．对两个处于自旋单态的粒子，在四 个不同方向测量它们的自旋
根据定域隐变量理论，它们的关联测 量平均值的关系为
C(aˆ,bˆ ) C(aˆ,cˆ) C(aˆ,bˆ ) C(aˆ, cˆ) 2
p0
第一个粒子的动量必为
p0
所以，xi , pi都是物理实在（即都有确
定值），且坐标和动量可同时具有确定值
这与两个自旋为 1 2 的粒子处于自 旋 S 0 的态的状况是等价的
考虑两个自旋为 1 2 的粒子处于自旋 单态。
一旦测得第一个粒子的自旋 Z 分量 ，那直接允许我们去推断第二个粒子的自 旋 Z 分量，它始终与第一个粒子的自旋 相反。
爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森则认为 若用态矢量来作为量子力学的描述是 不完全的。态矢量必须被补充或被某额外 的‘隐变量’所替代。自旋分量必然是这
.
些‘隐变量’的函数，所以，自旋分量能 同时确定。
量子力学否定这一假设，认为即使两 个粒子离开很远，对第一个粒子的测量将 影响第二个粒子的状态；另外，粒子本身
2ljm j
jl 1 2
jl 1 2
Hˆ nljm j Enlj nljm j
可表为
2 1 d2
l(l 1) 2
2 r dr2 (Rnljr) 2r2 Rnlj V(r)Rnlj
l 2 l 2
2(r)Rnlj 1 2(r)Rnlj
EnljRnlj
因 (r) 0 。因此，
j l 1 2
j l 1 2
如令
S S1 S2
则 Sˆ i 满足角动量的对易关系 [Sˆ i ,Sˆ j] iijk Sˆ k
并有
[Sˆ 2,Sˆ z ] 0
可选 (Sˆ 2,Sˆ z ) 为力学量的完全集。得
11 (1)(2)
10
1 [(1)(2) (1)(2)] 2
11 (1)(2)
00
1 [(1)(2) (1)(2)] 2