经济数学基础图文 (5)

点ξ∈(a，b)处的函数值f(ξ)为高的矩形的面积，如图5-9所示.
通常我们把
f
(
)
b
1
a
b
a
f
(称x)dx为f(x)在[a，b]上的平均值.
例1
比较定积分
1
1
x10dx
和
1 1
x8
dx
的大小.
2
2
解 因为1/2≤x≤1，所以x10≤x8，故由定积分性质5可得
1 1
x10dx
1 1
x8dx
2
3 0
例5 求 ∫02π|sinx|dx.
解 因为
2
sin x dx
0
sin xdx
0
2
sin x dx
cos x cos x 2 4
0
第5章 定积分及其应用
第5章 定积分及其应用
5.3
5.3.1 定理5.3 设函数f(x)在[a，b]上连续，作变量替换x=φ(t)，
(1) 函数x=φ(t)在[α，β] (2) 当t在[α，β]上单调变化时，x在[a，b]内相应变化，且 φ(α)=a，φ(β)=b
些小区间[x0，x1]，[x1，x2]，…，[xn－1，xn]，记Δxi=xi－xi－1
(i=1，2，…，n)，λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，在每个小区
间上任取ξi∈[xi－1，xi]，作乘积的和式
n
f，(i如)x果i
n
i 1
lim
0
i 1
f
(i
)xi存在，则称f(x)在区间[a，b]上可积，其极限值称为
x0 x x
Φ′(x)=f(x) 由定理5.1可知，函数Φ(x)是f(x)的一个原函数， 从而有 以下推论. 推论 连续函数必有原函数.
第5章 定积分及其应用
例1
(1) (x) xt2 sin tdt 0
(2) (x)
3x2
ln(1
t )dt
1
(3)
(x)
1
t
arctan tdt
x
解 (1)
b
a f (x)dx f [(t)](t)dt
x0
sin x 2x
1 2
第5章 定积分及其应用
5.2.2 定理5.2 设函数f(x)在[a，b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，
则有 ∫baf(x)dx=F(b)－F(a)
该式称为微积分基本公式，也称为牛顿-莱布尼兹公式. 证明 由定理5.1得 ，Φ′(x)=f(x)，而F′(x)=f(x) ∫xaf(t)dt=F(x)+C (a≤x≤b)
最大值M为高的两个矩形面积之间，如图5-8所示.
第5章 定积分及其应用
图 5-8
第5章 定积分及其应用
性质7(积分中值定理) 如果f(x)在[a，b]上连续，则至少
存在一点ξ∈(a，b)
b
a f (x)dx f ( )(b a)
积分中值定理的几何意义：由连续曲线y=f(x)和直线x=a、
x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积等于以b－a为底、以某一
b
b
b
a f (x)d x a f (t)d t a f (u)d u
(2) 定义中要求a<b，为方便起见，允许b≤a
b
a
a
a f (x)d x b f (x)d x a f (x)d x 0
(3) 可积的条件：若函数f(x)在[a，b]上连续或仅有有限个
第一类间断点，则f(x)在[a，b]上可积.(证明略)
b
a
f (x)dx
表示曲
b
a f (x)dx A
(3)
若在[a，b]上f(x)有正有负，则
b
a f
(x)dx
等于[a，b]
上位于x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积. 例如，
图5-5
b
a f (x)dx A1 A2 A3
其中， A1、A2、A3分别是图5-5中对应图形的面积.
第5章 定积分及其应用
第5章 定积分及其应用
图5-1
第5章 定积分及其应用
图5-2
第5章 定积分及其应用
1. 求曲边梯形的面积 设函数f(x)在区间[a，b]上非负、连续，由直线x=a、x=b、 y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如图5-3所示.
图5-3
第5章 定积分及其应用
由函数的连续性质可知，当区间[a，b]的长度很小时， f(x)的改变量很小，这时曲边梯形的面积可用矩形面积近似替 代，由此启发我们把区间[a，b]划分为若干小区间，在每个 小区间上用同底的小矩形面积近似代替对应的小曲边梯形面 积，如图5-3所示，显然，小矩形越多，小矩形面积总和越接 近曲边梯形面积.
第5章 定积分及其应用
(3) 求和： 将n个小矩形的面积相加，得到曲边梯形面积的 近似值
n
A f (i )xi i 1
(4) 取极限： 当分割无限加细，各小区间的最大长度 λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}趋近于零(λ→0)时，小矩形的面积 之和趋近于曲边梯形面积，故有
n
A lim 0
第5章 定积分及其应用
5.1.2
5.1.1节中的两个引例虽然研究的对象不同，但解决问题
的思路和数学过程完全相同，抓住它们的共性加以概括，可
抽象出如下定义.
定义5.1 设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，在区间[a，b]
中任意插入分点a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把区间[a，b]分成一
图5-5
第5章 定积分及其应用
5.1.4
假设函数在所讨论的区间内可积，根据定积分的定义可
得如下性质.
性质1
性质2
b
b
k f (x)d x a
ka
f (x)d x
b
b
b
a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
这个性质可推广到有限个函数的代数和Байду номын сангаас定积分.
性质3(积分的可加性) 对任意的a≤c≤b
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
推论5.1
b
b
a
f (x)dx
a
f (x) dx
性质6(估值定理) 设f(x)在[a，b]上连续，其最小值、最
大值分别记为m和M
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
估值定理的几何意义：由连续曲线y=f(x)和直线x=a、x=b及x
轴所围成的曲边梯形的面积介于以b－a为底、以最小值m及
si≈v(τi)Δti，τi∈[ti－1，ti] (i=1，2，…，n) (3) 求和：物体在时间区间[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v( i )t i 1
第5章 定积分及其应用
(4) 取极限：记λ=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，则物体所经 过的路程为
n
S
lim
0
i 1
v(i )t
Φ′(x)=f(x)， x∈[a，b]
第5章 定积分及其应用
证明 给自变量x以增量Δx
xx
f (t)dt
x
f (t)dt
xx
f (t)dt
a
a
x
ΔΦ=f(ξ)Δx (ξ在x与x+Δx之间) 则当Δx→0时，ξ→x，且f(x)在[a，b]
(x) lim lim f ( ) f (x)
如图5-1所示的图形，由于不是规则图形，所以它的面积 不能用学过的规则图形的面积公式直接求解.
如图5-2所示的图形面积也不能用以前的面积公式计算. 观察图5-2所示的图形发现：阴影部分的面积是两个曲边 四边形面积之差. 这两个曲边四边形都是三条边是直线，并且 两条垂直于第三条，而第四条边是曲线段，这样的图形我们 称为曲边梯形.下面研究曲边梯形的面积.
f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为
第5章 定积分及其应用
b
n
f (x) d x lim
a
0
f (i )xi
i 1
其中: f(x)称为被积函数; f(x)dx称为被积表达式; x称为积分变
量; a称为积分下限; b称为积分上限; [a，b]称为积分区间.
n
如果
可积.
lim
0 i1
f (i )xi
初等函数在其定义区间内部都是可积的.
第5章 定积分及其应用
5.1.3
(1) 若f(x)在区间[a，b]上有f(x)≥0，则
梯形的面积，即
b
a f (x)d x A
b
a
f
(x)d
x表示曲边
如图5-4中阴影部分的面积可表示为
a
a
a2 x2 dx a2
2
图5-4
第5章 定积分及其应用
(2) 若f(x)在区间[a，b]上有f(x)≤0，则 边梯形的面积的相反数，即
第5章 定积分及其应用
第5章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本定理 5.3 定积分的计算方法 5.4 无限区间上的广义积分 5.5 定积分的应用
第5章 定积分及其应用
5.1
5.1.1 引例1(校园花坛面积问题) 某校园有一个椭圆花坛如图5-
1所示，已测得花坛边界最长距离为20米，最短距离为10米， 试计算花坛的面积.
2
第5章 定积分及其应用
例2
估计定积分
1 ln(1 x2 )dx 0
的取值范围.
解 令f(x)=ln(1+x2)
f
(x)
1
2x x
2
0
所以f(x)在[0，1]
x [0,1]
0=f(0)≤f(x)≤f(1)=ln2
故由定积分性质6
0 1ln(1 x2)dx ln 2 0
第5章 定积分及其应用
(1) 分割： 在区间[a，b]内插入分点a=x0<x1<…<xn－1<xn = b，把区间[a，b]任意分成n个小区间[xi－1，xi]，长度记为 Δxi=xi－xi－1(i=1，2，…，n).
(2) 近似： 在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi，第i个小 曲边梯形的面积近似为
Ai≈f(ξi)fΔxi (i=1，2，…，n)
5.2
5.2.1 定义5.2 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，x∈[a，b]，则
x
(x) a f (t)d t
是x的函数，称为变上限的定积分或变上限(积分)函数. 对于函数Φ(x)，有如下重要性质.
定理5.1 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则变上限积 分函数Φ(x)=∫xaf(t)dt在[a，b]
(x) x2 sin x
3x2 (2) (x) ln(1
t )dt 可以看作是
u
ln(1
t )dt 、u 3x 2
1
1
(x) d
u
ln(1
t ) d t d(3x 2)
du 1
dx
ln(1 u ) 3 3ln(1 3x 2)
第5章 定积分及其应用
一般地，有
d
(x)
i 1
f (i )xi
第5章 定积分及其应用
2. 引例2 已知变速直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续函 数，且v(t)≥0，计算物体在时间区间[T1, T2]内所经过的路程S. 由于速度v=v(t)连续，思路与引例1 (1) 分割：在时间区间[T1，T2]内插入分点T1=t0<t1<…<tn－ 1<tn=T2，把区间[T1，T2]任意分成n个小区间[ti－1，ti]，记 Δti=ti－ti－1(i=1，2，…，n). (2) 近似：物体在时间区间[ti－1, ti]内所经过的路程近似为
在上式中，令x=a，可得C=－F(a) ∫xaf(t)dt=F(x)－F(a)
再令x=b，并把积分变量t换成x ∫baf(x)dx=F(b)－F(a)
定理5.1和定理5.2揭示了微分与积分以及定积分与不定积分之间的 内在联系，因此定理5.1和定理5.2统称为微积分基本定理.
第5章 定积分及其应用
为方便表示，通常记F(b)－F(a)为F(x)|ba，于是，微积分
f (t) d t f [(x)](x)
dx a
(3) 所以
1
x
(x) t arctan tdt t arctan tdt
x
1
Φ′(x)=－x arctanx
第5章 定积分及其应用
x
例2
计算 lim x0
sin tdt
0
x2
.
解 这是一个“0/0”
x
lim
x0
0
sin tdt x2
lim
不存在，则称f(x)在区间[a，b]上不
由定积分的定义可知，前面讨论的两个引例可分别用定
(1) 曲边梯形的面积：A
b
f (x)dx
a
.
(2) 变速直线运动的路程 ：S T2 v(t)dt T1
第5章 定积分及其应用
(1) 定积分的结果是一个数，它只与被积函数f(x)和积分 区间[a，b]有关，与区间[a，b]的分法、点ξ i的取法及积分
b f (x)d x F(x) b F(b) F(a)
a
a
第5章 定积分及其应用
例3 计算∫10x2dx. 解 由于1/3x3是x2
1 x2 d x 1 x3 1 1
0
303
解例4因计为算(arc0t3a1ndxxx)2′=1/.(1+x2)
3 dx 0 1 x2
arctan x
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
注 c [a,b] 时，结论仍成立，如图5-6和图5-7所示.
第5章 定积分及其应用
图5-6
第5章 定积分及其应用
图5-7
第5章 定积分及其应用
性质4
如果f(x)在区间[a，b]上恒等于1，则
b a
dx
b
a
.
性质5(积分的比较性质) 在[a，b]上，若有f(x)≤g(x)，则