第4章 4.2.2 等差数列的前n项和公式(第1课时)

4.2.2等差数列的前n项和公式(第1课时)

素养目标学科素养1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．(难点)

2．掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点)

3．掌握等差数列的前n项和的简单性质．(重点、难点)

1.数学运算；

2．逻辑推理

情境导学

高斯在10岁时就发现了1＋2＋3＋…＋100的求和规律，而这正是等差数列前n项和的算法．

1．等差数列前n项和

S n＝

n(a1＋a n)

2＝na1＋

n(n－1)d

2.

(1)在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，a3＝7，公差d＝2，则S20＝440.

(2)已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，a n＝10，S n＝72，则n＝12.

2．等差数列前n项和的性质

(1)若数列{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和，则数列

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

S n

n也是等差数列，且公差为

d

2.

(2)设等差数列{a n}的公差为d，S n为其前n项和，则S m，S2m－S m，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.

(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 6，S 12，S 18也成等差数列．(×) (2)若等差数列{a n }共有20项，则S 奇S 偶＝a 8

a 10

.(×)

1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d ＝－2.若S 10＝S 9，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22

D ．24

A 解析：∵S 10＝S 9，∴S 10－S 9＝0，即a 10＝0. ∵a 10＝a 1＋9d ＝a 1－18＝0，∴a 1＝18.

2．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 30＝30，则S 30的值为( ) A ．456 B ．465 C ．930

D ．654

B 解析：S 30＝30×(a 1＋a 30)2＝30×(1＋30)

2＝465.

3．等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36

D ．48

B 解析：∵S 10＝10×(a 1＋a 10)

2＝120，

∴a 1＋a 10＝24.

4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列{a n }的通项a n ＝________.

2n 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝12，S 3＝3a 1

＋3d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，

d ＝2.

∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .

5．在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 解析：∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2×5＝4＋(S 6－9)，∴S 6＝15.

6．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________． 22 解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，所以数列{a n }的前11项和S 11＝(a 1＋a 11)×112＝(a 3＋a 9)×112

＝22.

【例1】(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 9＝________. (2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. (3)在等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________.

(1)81 (2)15 (3)－171 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2.

故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×8

2×2＝81.

(2)设等差数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎨⎧

S 3

＝3a 1

＋3×2

2

d ＝3，S 6

＝6a 1

＋6×5

2

d ＝24，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝－1，d ＝2，

所以a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. (3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，

解得n ＝4.

又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.

【例2】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49

D ．63

C 解析：∵a 2＋a 6＝a 1＋a 7＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)

2

＝49.

a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．

已知等差数列{a n }中，

(1)a 1＝32，d ＝－1

2，S n ＝－15，求n 及a 12；

(2)a 1＝56，a n ＝－3

2，S n ＝－5，求d ；

(3)S 5＝24，求a 2＋a 4.

解：(1)由题意知S n ＝n ×32＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，

整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， 所以a 12＝3

2

＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭

⎫56－322

＝－5，

得n ＝15.

又a 15＝56＋(15－1)d ＝－3

2，

∴d ＝－1

6

.

(3)(方法一)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则 S 5＝5a 1＋5×(5－1)

2d ＝24，即得5a 1＋10d ＝24，

∴a 1＋2d ＝24

5

，

a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48

5.

(方法二)由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝24，得a 1＋a 5＝48

5.

∴a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝48

5

.