二次函数配方法例题

二次函数配方法例题

二次函数是高中数学中最基本的函数之一，也是非常重要的一部分，因为它在自然界和现实世界中有很多的应用，例如：自然界中的运动、经济中的变化、生态中的生长等等。然而，学习二次函数时，掌握它的基本概念是必要的，而掌握它的配方法则更是重中之重。

在学习二次函数配方法时，我们主要学习以下两种方法：配方法和公式法。本文将详细介绍这两种方法，并给出相应的例题来帮助大家更好地理解。

一、配方法

1.定义

配方法是将一个一般式的二次函数表示为顶点式的一种方法，即对于形如 $f(x)=ax^{2}+bx +c$ 的一般式二次函数，将它化为 $f(x)= a(x-h)^{2}+k$ 的顶点式。

2.配方法的步骤

步骤 1：将 $ax^{2}$ 和 $bx$ 构成一个完全平方，$ax^{2}+bx=a(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2} } -\frac{b^{2}}{4a^{2}}) =a(x+\frac{b}{2a})^{2}-

\frac{b^{2}}{4a}$

步骤 2：将步骤 1 得到的结果代入到一般式

$f(x)=ax^{2}+bx+c$ 中，即 $f(x)=

a(x+\frac{b}{2a})^{2} -\frac{b^{2}}{4a}+c $

步骤 3：化简步骤 2 得到的结果，可得到 $f(x)=

a(x+\frac{b}{2a})^{2} +\frac{4ac-b^{2}}{4a}$步骤 4：将 $a(x+\frac{b}{2a})^{2}$ 化为标准形式$\alpha(x-\beta)^{2}$，其中 $\alpha >0$。

步骤 5：对于 $f(x)=\alpha(x-\beta)^{2}+c'$，其中 $\alpha >0$，顶点坐标为 $(\beta, c')$，对称轴的方程为 $x=\beta$。

3.例题

(1).已知 $f(x)=3x^{2}-7x-2$，求 $f(x)$ 的顶点坐标。

解：根据配方法的步骤可得：

$f(x)= 3(x -\frac{7}{6})^{2}-\frac{121}{12}$。

故 $f(x)$ 的顶点坐标为 $(\frac{7}{6},-

\frac{121}{12})$。

(2).已知 $f(x)=x^{2}+6x-9$，求 $f(x)$ 的对称轴的方程。

解：根据配方法的步骤可得：

$f(x)=(x+3)^{2}-18$

故 $f(x)$ 的对称轴的方程为 $x=-3$。

二、公式法

1.定义

公式法是求一般式的二次函数的解的一种方法，即对于形如 $f(x)=ax^{2}+bx+c$ 的一般式二次函数，求它的根。

2.公式法的求解公式

对于一般式 $f(x)=ax^{2}+bx+c$，它的解为:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。

需要注意的是，如果 $b^{2}-4ac <0$，即无实数根；如果 $b^{2}-4ac=0$，则有一重实数根；如果 $b^{2} -

4ac>0$，则有两个实数根。

3.例题

(1).已知 $f(x)=x^{2}+6x-9$，求 $f(x)$ 的解。

解：根据公式法的求解公式可得：

$x=\frac{-6\pm \sqrt{6^{2} -4\times1\times(-9)}}{2\times1}$

故 $f(x)$ 的解为 $x=1$ 或 $x=-7$。

(2).已知 $f(x)=3x^{2}-7x-2$，求 $f(x)$ 的解。

解：根据公式法的求解公式可得：

$x=\frac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2} -

4\times3\times(-2)}}{2\times3}$

故 $f(x)$ 的解为 $x=\frac{2}{3}$ 或 $x=-1$。

通过本文的介绍，相信大家已经对二次函数配方法以及公式法有了清晰的认识。在实际的学习中，我们需要多做一些练习，以掌握这两种方法的应用，提高解题能力。