中考数学复习题纲—10 函数(一次函数、正比例函数)

中考数学复习题纲—10 函数（一次函数、正比例函数）
函 数
x 数量（标量）：一些量在取定度量单位后，可用一个实数来表示。

如距离、时间、面积、质量等。

向量（矢量）：一些量不但有大小，而且有方向。

如位移、速度、力等。

量
常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量。

在某一变化过程中，如果对每一个实数 ，可以按变量：y y x x
y 照某一确定的对应法则，得到唯一一个实数 ，那么就称 是关于 的一个函数，
其中 叫做自变量， 叫做因变量。

自变量的广义解释：任何一个系统（或模型）都是由各种变量构成的，当我们分析这些系统（或模型）时，可以选择研究其中一些变量对另一些变量的影响，那么我们选择的这些变量就称为自变量，而被影响的量就被称为因变量。

例如：我们可以分析人体这个系统中，呼吸对于维持生命的影响，那么呼吸就是自变量，而生命维持的状态被认为是因变量。

系统和模型可以是一个二元函数这么简单，也可是整个社会这样复杂。

:::⎧⎧⎨⎪
⎩⎪
⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪
⎪⎪⎩⎩满足解析式的坐标所表示的点都在图象上函数与点的坐标在图象上的点的坐标都满足解析式函数列表法不必通过计算就可以知道自变量与因变量的对应关系。

表示方法解析法便于用解析式去研究函数的性质。

图象法可以从整体上直观形象地表示出函数的变化情况。

函数与二次函数的一些基本性质：⇔
点图象
坐标
解析式（即图象所对应的方程）
1. 坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标
一定满足函数解析式，因此判断平面直角坐标系中的一个点是否在函数图象上，只需把点的坐标代入函数解析式进行检验，能满足函数解析式的表明点在图象上，不满足函数解析式的则表明点不在图象上。

2. 求两个函数的交点坐标，即求这两个函数解析式组成的二元方程组的解。

3. 在解决有关函数的问题时，要注意利用平面直角坐标系中X 轴与Y 轴之间的
夹角为直角、以及勾股定理等平面几何知识，要能很熟练地求出函数与坐标轴的交点坐标。

4. 对于函数，能画出图象的要尽量画出函数的图象（草图），包括与坐标轴的
交点坐标、对称轴、顶点坐标、开口方向，有时，图象可能在开始时，并不能完全画出来，所以在解题过程中，可一边解题，一边把图象补充完整。

5. 根据函数的概念、性质以及它们的图象，进行形与数、形与方程、形与不等
式之间的相互转换，是解决函数问题的重要方法。

6. 根据二次函数()()()
2
2
0y ax bx c a o y a x m n a ⎧=++≠⎪
⎨=++≠⎪⎩求对称轴、最大（小）值、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标、画出草图。

7. 利用二次函数求最值问题，其关键在于找出自变量与因变量之间的数量关系，
解此类问题应注意，函数达到最大（小）值时的相应自变量的值是否在自变量的取值范围内。

一般情况下，当自变量的取值包括顶点对应的自变量的值，最值一般在端点和顶点处取到，若不包括顶点对应的值，则只能在端点处取到最值。

常用函数——一次函数()0y kx b k =+≠的图象与性质
图像 识别
上坡阶段，点的位置逐渐在升高
（y 随着x 的增大而增大，用数学符号可表示为：x ↗⇒y ↗）
下坡阶段，点的位置逐渐在降低
（y 随着x 的增大而减小，用数学符号可表示为：x ↗⇒y ↘）
增减性
y 随着x 的增大而增大，用数学符号可表示为： x ↗⇒y ↗ y 随着x 的增大而减小，用数学符号可表示
为： x ↗⇒y ↘
概念
一般地，形如y =kx +b （k ≠0）的函数，称y 是x 的一次函数；
特殊地，若b=0,即y=kx （k ≠0）的函数，称y 是x 的正比例函数。

k 的 作用
k 的 符号
图像必过象限 增减性 倾斜方向 与x 正半轴的夹角 k >0 一、三
x
y ↗
90 k <0 二、四
x
y ↘
90
180
|k |
|k|⇔直线的倾斜程度（倾斜程度与倾斜方向是两个不同的概念。

）|k|越大，
直线越逼近y 轴。

b 的
b 的 图像必过象限 直线与y 轴的交点
y x
x A <x B ⇒y A <y B 不等号开口方向相x A x B
y A y B
O A
B
y
x
x A <x B ⇒y A >y B 不等号开口方向相反
y A y B
x A
x B
O
B
A
α
x
l
α
x l
所以l1和l2不相交，所以l1和l2平行。

k＝k，b≠b2l∥l l
点坐标即可
一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系
与方
程
(组)
的关
系
方程kx+b=0的解
⇔函数y=kx+b(k≠0)中，y= 时，x的值
⇔直线y=kx+b(k≠0)与轴的交点的横坐标
如图，方程组11
22
y k x b
y k x b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
的解为
x m
y n
=
⎧
⎨
=
⎩
⇔直线
11
y k x b
=+和直线
22
y k x b
=+的交点B的
坐标为(m，n)
与
不等
式的
关系
(1)如图，不等式kx+b＞0的解集为x
⇔函数y=kx+b(k≠0)中，y0时x的取值
范围
⇔直线y=kx+b(k≠0)在x轴上方的部分对应的x
的取值范围；
(2)如图，不等式k1x+b1＞kx+b的解集是x＞m；
不等式k1x+b1≤kx+b的解集为
倾斜
角
与
斜率
1.直线的倾斜角
①倾斜角：与x轴正方向的夹角
②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0
③倾斜角的范围0180
2.直线的斜率（直线的倾斜程度）
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值.记作tan90
k
②当直线l与x轴平行或重合时, 0tan00
k
③当直线l与x轴垂直时, 90k不存在.
④经过两点
11122212
,,
P x y P x y x x
、的直线的斜率公式是:
21
12
21
y y
k x x
x x
⑤每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.
⑥角越
坡度越大
大坡面越陡
3.求斜率的一般方法：
①已知直线上两点，根据斜率公式21
12
21
y y
k x x
x x
求斜率；
②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tan90
k来
求斜率；
4.利用斜率证明三点共线的方法：
已知
112233
,,,
A x y
B x y
C x y
、、，若
AB BC
k k，则有A、B、C三点
共线。

5.任意两点的中点坐标公式
两点
y
x
A
B(m,n)
O m
n
1
2111222121
2
2,,,2
x x x
P x y P x y PP M x y y y y
、，且线段 的中点的坐标为
6.任意两点间的
距
离
公
式：
2
2
111222122
1
2
1
,,P x y P x y PP x x y y 已知、，则
名称 方程的形式 已知条件 局限性
①点斜式 11
y
y k x x 11,x y 为直线上一定点，k 为斜率
不包括垂直于x 轴的直线
② 斜截式 y =kx +b (k ≠0)
k 为斜率，b 是直线在y 轴上
的截距
不包括垂直于x 轴的直线
③ 两点式 1121
21
y y x x y y x x
1122
1212
,,x y x y
x x y y 经过两点、且， 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线
④ 截距式 1x y a b a 是直线在x 轴上的非零截距 b 是直线在y 轴上的非零截距
不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 ⑤ 一般式
2
2
Ax By C A B
A 、
B 、
C 为系数
无限制，可表示任何位置的直线
例
两直线交点坐标
L 1：3420x y L 2：220x y
解：解方程组3420
220
x y x y
得22
x y
所以L 1与L 2的交点坐标为M （-2，2）
点到 直线 的 距离
公式 1．点到直线距离公式： 点00,P x y 到直线:0l Ax
By
C
的距离为：00
22Ax By C
d
A B
2．两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线12l l 和的一般式方程为11:0l Ax By C ，2
2:0l Ax By C ，
则12l l 和的距离为12
22C C d A B
两条 直线
设两条直线的方程是11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ,
的
交点两条直线的交点坐标就是方程组
1111
2222
:0
:0
l A x B y C
l A x B y C
的解。

①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.。