二阶线性微分方程
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6.3 二阶线性微分方程
一．二阶线性微分方程解的结构
把形如
()()()y P x y Q x y f x '''++= （1）
的方程叫做二阶线性微分方程。当()0f x ≡时，上式变成
()()0y P x y Q x y '''++= （2）
方程（2）叫做方程（1）对应的二阶齐次线性微分方程。当()0f x ≠时，方程（1）叫做二阶非齐次线性微分方程。
先讨论二阶齐次线性微分方程解的结构：
定理1 若y 1和y 2是二阶齐次线性微分方程的解，则其线性组合1122C y C y +也是二阶齐次线性微分方程的解。其中12,C C 是任意常数。（证明略）
如：可以验证函数2312,x x y e y e ==都是方程560y y y '''-+=的解，2312x x y C e C e =+也是这个方程的解，并且是这个方程的通解。
还可以验证函数2212,3x x y e y e ==也都是方程560y y y '''-+=的解，()222121233x x x y C e C e C C e =+=+也是这个方程的解，但是却不是这个方程的通解（因为123C C +还是一个常数）。
定义 对于两个都不恒等于零的函数1y 和2y ，如果存在一个常数k,使k=
12
y y ,则称函数1y 与2y 线性相关；否则，称1y 与2y 线性无关。
如：函数2312,x x y e y e ==是线性无关的，而函数2212,3x x y e y e ==是线性相关的。 定理 2 如果12,y y 是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的解，则
1122y C y C y =+（12,C C 是两个任意常数）是二阶齐次线性微分方程的通解。
现再讨论二阶非齐次线性微分方程解的结构。
定理3 设y 是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，0y 方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，则0y y y =+是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。
定理4 如果12,y y 分别是二阶非齐次方程
()()()1y P x y Q x y f x '''++=
和
()()()2y P x y Q x y f x '''++= 的解，则122C y C y +是方程
()()()()1222y P x y Q x y C f x C f x '''++=+
的解，其中12,C C 是两个人任意常数。
二． 二阶常系数齐次线性微分方程
在方程
()()0y P x y Q x y '''++=
中，如果y '和y 的系数均为常数，即
0y py qy '''++= （3）
其中,p q 都是常数，则称方程（3）为二阶常系数齐次线性微分方程。
由定理2可知，求线性齐次方程的解的关键是寻找两个线性无关的特解。
设rx y e =是方程（3）的一个特解，把它代入方程（3）中，得
20rx rx rx r e pre qe ++=
整理得 ()
20rx e r pr q ++= 所以有 2
0r pr q ++= （4）
这是一个以r 为未知数的一元二次方程，它的根为
1,2r = 对于方程20r pr q ++=的每一个根r ，rx e 就是方程0y py qy '''++=的一个特解。
把方程20r pr q ++=叫做方程0y py qy '''++=的特征方程，它的根22,r r 叫做特征根。
根据特征根的不同，分三种情况讨论方程0y py qy '''++=的通解。
1．12,r r 是两个相异实根。
此时方程（3）有两个特解： 11r x y e = 22r x y e =
且是两个线性无关的解，因此，方程（3）的通解为
1212r x r x y C e C e =+
例1 求微分方程560y y y '''+-=的通解。
解 所给方程的特征方程为 2560r r +-=
特征根为 16r =- 21r =
所以原微分方程的通解为 612x x y C e C e -=+
练习： P156 4（1）
2．1r 和2r 为相等实根。
此时方程（3）有一个特解：1rx y e =，可以证明2rx y xe =也是方程（3）的特解，且12,y y 线性无关，因此，方程（3）的通解为
()12rx
y C C x e =+ 例2 求微分方程20y y y '''++=的通解。
解 所给方程的特征方程为 2210r r ++=
特征根为 121r r ==-
所以原微分方程的通解为 ()12x y C C x e -=+
3．12,r i r i αβαβ=+=-是一对共轭复根。
此时()(),i x i x e e αβαβ+-是微分方程的两个复数形式解，利用欧拉公式cos sin ix
e x i x =+及齐次方程解的结构定理1可知，cos ,sin x x e x e x ααββ是方程（3）的两个线性无关的实数形式的解，所以方程（3）的通解为
()12cos sin x y e C x C x αββ=+
例3 求微分方程6250y y y '''-+=的通解。
解 略
于是求二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的通解的步骤为：
（1） 写出方程的特征方程2
0r pr q ++=；
（2） 求出特征根22,r r ； （3） 根据22,r r 的三种不同情况，写出方程的通解。
练习： P156 3（1）（2）
小结：1 二阶线性微分方程解的结构定理。
2 二阶常系数齐次线性微分方程的通解（三种形式）。