数理方程题库

第一章定义和方程类型
1、342
33
(,,)v v v xyv g x y z x x y z
∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( D )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 1、
22(,,)v
xy v g x y z z
∂+=∂ 是( A )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶
1、33232(,,)v v v
v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( C )偏微分方程
A 、 一阶
B 、二阶
C 、 三阶
D 、 四阶 2、2(,)t
xx u a u f x t -= (其中0>a ) 属于( A )型偏微分方程
A 、 抛物
B 、双曲
C 、 椭圆
D 、 混合 2、2(,)tt
xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( B )型偏微分方程
A 、 抛物
B 、双曲
C 、 椭圆
D 、 混合
2、
2
2(,,)tt xx u a u x y t ϕ+= (其中0>a ) 属于( C )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 2、
(,)
xx yy u u f x y += (其中(,)u u x y =) 属于( C )型偏微分方程
A 、 抛物
B 、双曲
C 、 椭圆
D 、 混合 4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ A ）
A 22(
)()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u
f x y x y
抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u
a x t
b x t x x t
抖+=抖 D 3433
(,,)v v v g x y z x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂ 7、下列方程是非齐次方程的是（ A ）
A
(,)(,)0
u u
x
y f x y f x y x y 抖+=?抖， B 2,0t xx u a u a =?
C 2
2(,)(,)0u u a x t b x t x t 抖+=抖 D 3433
0v v v x x y z ∂∂∂++=∂∂∂∂
3、在用分离变量法求解定解问题
200
,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪
==⎨⎪=⎩
时，得到的固有函数系为( D ) A 、,...2,1,sin
=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧n x l
n π B 、,...2,1,0,cos
=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧n x l n π C 、{},...2,1,sin =n x n π D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧-n x l
n π 3、在用分离变量法求解定解问题
⎪⎩⎪
⎨⎧====><<=====)
(|),(|0|,0|0,0,00
02x u x u u u t l x u a u t t t l x x x x xx tt ψϕ
时，得到的固有函数系为( B )
A 、,...2,1,sin
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π
B 、,...2,1,0,cos
=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧n x l n π
C 、(21)cos ,1,2,...2n x n l π-⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭ D 、 ,...2,1,2)12(sin =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n x l n π
3、在用分离变量法求解定解问题
⎪⎩⎪
⎨⎧===><<====)(|0|,0|0,0,0
02x u u u t l x u a u t l x x xx t ϕ
时，得到的固有函数系为( A )
A 、,...2,1,sin
=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos
=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧n x l n π
C 、(21)cos
,1,2,...2n x n l π
-⎧⎫
=⎨⎬⎩
⎭ D 、
,...2,1,2)12(sin
=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧-n x l n π
7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( A )类边界条件。

A 、一
B 、二
C 、三
D 、四
5、一个定解问题，如果解存在、 唯一 、稳定，则此定解问题称为适定的。

6、方程
160xx yy u u -=化标准型时，所做的两个特征变换为
4,4y x y x ξη=+=-。

6、方程90xx yy u u -=化标准型时，所做的两个特征变换为 3,3y x y x ξη=+=-
1、
Tricomi 方程
2222
0u u
y
x y ∂∂+=∂∂，当
0y <时，有两族实征线为
3/23/2121222
(),()33x y c x y c --=+-=（c ,c 为任意常数）。

1、方程
xx yy u xu +=，当
x <时，有两族实特征线为
3/23/2121233
(),()(,)
22
y x c y x c c c +-=--=为任意常数
五、试确定方程03103=++yy
xy xx u u u 是什么类型的方程，并将它化为标准形式。

解:判别式016>=∆ 所以方程为双曲型，特征方程为
031032
=+-⎪⎭
⎫
⎝⎛dx dy dx dy
解得特征曲线为
03=-y x ，03=-y x
令y x y x -=-=3,3ηξ则
ηξηξu u u u u u y x --=+=3,3
ηηξηξξu u u u xx 96++= ηηξηξξu u u u xy 39103---=
ηηξηξξu u u u xx ++=69
将上面的各个偏微导数代入原方程，则得
0=ξηu
此时取,,t s t s -=+=ηξ则tt ss u u u -=ξη，所以方程的标准形式为
0=-tt ss u u
第二章 分离变量法
4、用分离变量法求得定解问题
200
,0,0|0,|0|()t xx x x x l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪
==⎨⎪=⎩
的级数形式的解
2
(21)[
]21
(21)(,)cos[
]2n a t l
n n n u x t a e
x l ππ
-∞
-=-=∑，则
n a = 0
2(21)()cos 2l n x xdx l l π
ϕ-⎰
四、（用分离变量法或者本征函数展开法求解）
200
0,0,0
|0,|0
|cos ,|0
tt xx x x x x t t t u a u x t u u u x u ππ====⎧=<<>⎪
==⎨⎪==⎩ 设解为)()(),(t T x X t x u =，
代入方程并化简得
2
''()''()
()()
T t X x a T t X x λ==- 于是
2''()()0''()()0
T t a T t X x X x λλ+=+=
由齐次边界条件得固有值问题 ''()()0
'(0)'()0
X x X x X X λπ+=⎧⎨==⎩
于是得到固有值为2,0,1,2,...n n n λ==，固有函数系为{cos },0,1,2...nx n =
将2n
n λ=代入关于)(t T 的方程得 2''()()()0n n T t na T t +=
解得 000()()cos sin ,1,2,...
n n n T t A B t
T t A nat B nat n =+⎧⎨
=+=⎩
利用叠加原理得 001
(,)(cos sin )cos n
n
n u x t A B t A nat B
nat nx ∞
==++
+∑
由初始条件得 01
01cos cos 0cos n n n
n x A A nx B B na nx
∞
=∞
=⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
∑∑ 故 11,01
0,0,1,2...
n n A A n B n ==≠⎧⎨
==⎩，
因此代入得解 (,)cos cos u x t at x = 用固有函数法求解定解问题
200
0(),0,0
|0,|0|0,|0
tt xx x x l t t t u a u x l x x l t u u u u ====⎧=+-<<>⎪
==⎨⎪==⎩
解：由于本征函数系为1sin n n x l π∞
=⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
⎭，故设解
1
(,)()sin
n n n u x t T t x
l π∞
==∑
代入方程得
211[''()()()]sin ()sin n n n
n n n a n n T t T t x x l x f x l l l πππ
∞
∞
==+=-=∑∑ 其中22
33024()sin [1(1)],1,2...
l n n n l f lx x xdx n l l n ππ=-=--=⎰ 从而有 2
2334''()()()[1(1)]
n n n n a l T t T t l n ππ+=--
由初始条件得
(0)0,'(0)0,1,2...
n n T T n ===
通解 为
()cos
sin n n n n a n a
T t A t B t l l ππ=+
特解为 4
*
5524()[1(1)]
n n n l T t C n a π==--
于是 4
5524()cos sin [1(1)]
n n n n n a n a l T t A t B t l l n a πππ=++--
由(0)0n T =，得45524[1(1)]n
n l A n a π=---
由
'(0)0
n T =，得0n B =
所以
452514525141(,)[1(1)](1cos )sin
81(21)(21)(1cos )sin (21)n n k l n at n x
u x t a n l l
l k at k x a k l l ππππππ∞=∞==-----=--∑∑
四、（14分---难）长为l 的细杆，内部无热源，两个端点的温度保持C ο
0，已知初始温度分
布为
l x
π2sin
，求杆的温度分布。

（用分离变量法求解）
定解问题为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
===><<====l x u u u t l x u a u t l x x xx t π2sin
|0|,0|0,0,002
设解为)()(),(t T x X t x u =，代入方程并化简得
λ-==)()
('')()('2
x X x X t T a t T
于是有
0)()(''0
)()('2=+=+x X x X t T a t T λλ 由齐次边界条件得固有值问题
⎩
⎨
⎧===+0)()0(0
)()(''l X X x X x X λ
于是得到固有值为
,...2,1,)(
2==n l n n πλ，固有函数系为...2,1},{sin =n x l n π
将
2
)
(
l n n πλ=代入关于)(t T 的方程得
'2
()(
)()0n n n a T t T t l π+=
其通解为
,...
2,1,)(2
)(==-n e
C t T t l
a n n n π
所以
x
l n e
C t x u n t l
a n n ∑∞
=-=1
)(sin
),(2
ππ
由初始条件得
x l x l n C n n ππ2sin sin
1
=∑∞
=
故
⎩⎨
⎧=≠==⎰2,12,02sin sin 20n n xdx l x l n l C l n π
π
因此
2
2(
)2(,)sin
a t l
u x t e
x l ππ-=
五、（13分---中等）用本证函数展开法求解定解问题
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=
==><<+====ωωA u u u t l x t A u a u t l x x x x xx t 002|0||0
,0,sin
解：固有函数系为 ,...)2,1,0(cos
=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧n x l n π
， 令
x
l n t T t x u n n ∑∞
==0cos
)(),(π
代入方程得
'0()sin ,
T t A t ω= （2分）
2
'()(
)()0,1,2...n n n a T t T t n l π+== （2分）
由初始条件得
,...
2,1,0)0(,
)0(0===
n T A T n ω
（1分）
解得
0()(2cos ),
()0,1,2,...
n A
T t t T t n ωω
=
-== （2分）
故
)
cos 2(),(t A
t x u ωω
-==
用固有函数法求解定解问题
⎪⎩
⎪
⎨⎧===><<+=0)0,(0),(,0),0(0
,0,
sin 2x u t l u t u t l x t A u a u x x xx t ω
解：由边界条件得，
固有函数系为 ,...)2,1,0(cos
=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧n x l n π， （3分）
令
x
l n t T t x u n n ∑∞
==0
cos
)(),(π
（2分）
代入方程得 2
200'()cos ()[()]cos sin ,n n
n n n n n T t x T t a x A t l l l πππω∞
∞
===-+∑∑
整理得20
['()()(
)]cos sin ,n n n n a n T t T t x A t l l ππ
ω∞
=+=∑ 即
()201
['()()(
)]cos sin ,n n n n a n T t T t T t x A t l l ππ
ω∞=++=∑
比较系数得
'0()sin ,T t A t ω= （2分）
2
'()(
)()0,1,2...n n n a T t T t n l π+== （2分）
代入初始条件得
0(0)0,
(0)0,1,2,...
n T T n === （1分）
联立得'
00()sin ,(0)0T t A t T ω⎧=⎪⎨
=⎪⎩ 2'()()()0,1,2...(0)0n n n n a T t T t n l T π⎧
+=⎪=⎨⎪=⎩
解得 0()(1cos ),
()0,1,2,...
n A
T t t T t n ωω
=
-== （2分）
故
(,)()cos
(1cos )n n n A
u x t T t x t l πωω∞
===-∑
在矩形域内求解下列定解问题：
设
代入边界条件：
根据
得：(n=1,2…)
(n=1,2…)
, (n=1,2…)
· , (n=1,2…)
=>
比较系数得
111110b b a a C D C e D e ππ-
+=⎧⎪⎨⎪+=⎩ ；0,10n n n b n b a a n n C D n C e D e ππ-+=⎧⎪
≠⎨⎪+=⎩
因此
()
1111
,1;01n n b
b b b a
a
a
a
C D C D n e
e
e
e
ππππ--=
=-
==≠--
所以
()11
,1sin
y y a a b b b b
a a a a
x
u x y e e a e e e e πππππππ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=+-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎣⎦
六、（13分---中等）求解定解问题
22
000
sin ,0,0|,|sin |0,|tt xx x x l t t t x u a u t x l t l u t u t u u ωωωωω
====⎧=-<<>⎪⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎪⎩
解：令(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+ 取恰当的(,)w x t 使00
x x l v v ===
则
0,sin x x l w t w t
ωω==== …………①
设(,)()()w x t A t x B t =+
满足①式的定解条件 得
sin (),()t t
A t
B t t l ωωω-=
=
∴
sin (,)t t w x t x t l ωωω-=
+ ，sin (,)(,)t t
u x t v x t x t l ωωω-=++
将原定解条件化为关于(,)v x t 的定解问题
2sin tt tt t
u v t
l
ωω=-
xx xx
u v =
20000,0
0,000,00tt xx x x l t t t v a v x l t v v t v v x l ====⎧=<<>⎪⎪
==>⎨⎪==≤≤⎪⎩L L L L L L L L L
由分离变量法（或由物理意义）得
0=v
∴
sin (,)t t
u x t t l ωωω-=
+
用分离变量法求解定解问题
2,0,0(0,)0,(,)035(,0)sin ,(,0)sin 22tt xx x t u a u x l t u t u l t u x x u x x
l l ππ⎧
⎪=<<>⎪
==⎨⎪⎪==⎩
解、设解为 )()(),(t T x X t x u =， （1分） 代入方程并化简得
2
''()''()
()()T t X x a T t X x λ==- （1分）
于是有 2''()()0
''()()0T t a T t X x X x λλ+=+= 由齐次边界条件得固有值问题 ''()()0
(0)'()0X x X x X X l λ+=⎧⎨
==⎩
于是得到固有值为
2
21[
],1,2,...2n n n l πλ-==（）固有函数系为
(21){sin
},1,2...
2n x n l π
-= 将2(21)[]2n n l πλ-=代入关于)(t T 的方程得
2
21''()[]()0
1,2...
2n n n a T t T t n l
π-+==（）
所以有
(21)(21)()A cos
sin 1,2...
22n n n n a n a
T t t B t n l l
ππ--=+=
所以
1
(21)(21)(21)(,)(A cos
sin )sin 222n n n n n n u x t at B at x l l l πππ
∞
=---=+∑
代入初始条件有
1
1
(21)3sin sin 22(21)(21)5sin sin 222n
n n n n x A x l l n a n x B x l l l πππππ∞
=∞
=-⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩∑∑ （2分） 比较系数得
21,0(2)
n A A n ==≠ （1分）
32,0(3)5n l
B B n a π=
=≠ （1分）
33255(,)cos
sin sin sin 22522at x l at x u x t l l a l l πππππ=+
第三章行波法
4、已知定解问题()2
00,,,0|0,|0tt xx t t t u a u f x t x t u u ==⎧=+-∞<<+∞>⎪⎨
==⎪⎩的解为()t x u ,，若()τ;,t x w 是定解问题()2
,|0,|,tt xx t t t w a w x t w w f x ττττ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨
==⎪⎩的解，则()t x u ,和()τ;,t x w 的关系为
()t x u ,=
()0
,;t
w x t d ττ⎰
用行波法求定解问题 200,,0|0,|4
tt xx t t t u a u x t u u ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩
解：由D ’Alembert 公式有
11(,)[()()]()22x at
x at u x t x at x at s ds a
ϕϕψ+-=++-+⎰ 1442x at
x at
ds t a +-=
=⎰
初始位移2
)(x e x -=ϕ ，初始速度x x sin )(=ψ 的无界弦作自由振动，求其振动规律
),(t x u
定解问题为
220
,,0
||sin tt xx x t t t u a u x t u e u x -==⎧=-∞<<+∞>⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
由D’Alembert 公式得
22()()11(,)[]sin 22x at
x at x at x at
u x t e e sds
a +-+---=++⎰
22
()()11[]sin sin 2x at x at e e x at a -+--=++
三、求无界弦的自由振动规律，若此弦的初始位移为)(x ϕ，初始速度为)('
x a ϕ- 、解：
定解问题为
20'
0,,0|()|()tt xx t t t u a u x t u x u a x ϕϕ==⎧=-∞<<+∞>⎪
=⎨⎪=-⎩ （3分）
由D’Alembert 公式得
'11(,)[()()]()22x at
x at
u x t x at x at a s ds
a ϕϕϕ+-=++-+-⎰ （3分）
11
[()()][()()]22()
x at x at x at x at x at ϕϕϕϕϕ=++--++-=-
一长度为l 的均匀细杆，x=0端固定，另一端沿杆的轴线方向拉长b 后静止，突然放手后任其振动，试写出振动方程和定解条件。

三、（9分---基础）用行波法求解古尔莎问题
()()()()2
0,,0
|,|,00tt xx x at x at u a u x R t u x u x ϕψϕψ-=+=⎧=∈>⎪⎨
===⎪⎩ 解:方程的通解为
(,)()()u x t g x at f x at =-++ （2分）
其中,g f 为任意二次连续可微函数 由 ()0|x at u x ϕ-== ， 即 |()at x u x ϕ==，有(0)(2)()g f x x ϕ+= （1分） 由
()
0|x at u x ψ+== ， 即 |()at x u x ψ=-=，有(2)(0)()g x f x ψ+= （1分）
因此有 ()()(0)2x f x g ϕ=-，()()(0)
2x
g x f ψ=- （1分）
所以有
()(
)(0)2x at f x at g ϕ--=-，()()(0)2x at
g x at f ψ--=- （1分）
所以
(,)()()(
)()(0)(0)22x at x at
u x t g x at f x at g f ϕψ--=-++=+--（1分）
又因为(0)(0)(0)(0)f g ψϕ+== （1分）
所以
(,)(
)()22x at x at
u x t ϕψψ--=+-（0）
利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题
2000
,0,0
|()|()|0tt xx t t t x u a u x t u x u x u ϕψ===⎧=<<+∞>⎪
==⎨⎪=⎩，
对初始条件(),()x x ϕψ做奇延拓，延拓后的函数为
1()0()()0x x x x x ϕϕϕ>⎧=⎨--≤⎩
1()
0()()0x x x x x ψψψ>⎧=⎨
--≤⎩ （3分） 则延拓后的定解问题为
20101U U ,,0U |()U |()tt xx t t t a x t x x ϕψ==⎧=-∞<<+∞>⎪
⎨==⎪⎩， （2分）
由达朗贝尔公式得到延拓后的解为
11111U(,)[()()]()22x at x at x t x at x at s ds
a ϕϕψ+-=++-+⎰ （2分）
于是原定解问题的解为
11[()()](),22(,)11[()()](),2
2x at x at x at at x x x at x at s ds t a a
u x t x x at at x s ds t a a ϕϕψϕϕψ+-+-⎧++-+<⎪⎪=⎨
⎪+--+≥⎪⎩⎰⎰
第四章 傅里叶变换和拉氏变换
5、下列哪一个变换是Fourier 变换(D ) A 、⎰+∞
∞-=dx
e x
f F x i ωω)()( B 、
⎰
+∞
=0
)()(dt
e t
f p F pt C 、
⎰
+∞-=0
)()(dt
e
t f p F pt
D 、
⎰+∞∞
--=dx
e x
f F x i ωω)()(
5、下列哪一个变换是Laplace 变换( C ) A 、⎰+∞
∞-=dx
e x
f F x i ωω)()( B 、
⎰
+∞
=0
)()(dt
e t
f p F pt C 、
⎰
+∞-=0
)()(dt
e
t f p F pt
D 、
⎰+∞∞
--=dx
e x
f F x i ωω)()(
5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ B ）
A 22
[sin ](Re 0)L t p p w w w =
>+
B []2[][]L f g L f L g p *=?
C 0[()]()(Re )p L f t e F p p t t g --=>
D
0000[()]()
(Re Re )
p t L e f t F p p p p g =->+
5、对Fourier 变换下列式子错误的是（ C ）
A 、
()1[],0||F f ax F a a a w 骣÷ç=
?÷ç÷ç桫
B 、 [][][]F f g F f F g *=?
C 、 ()()()()1212[],,F f x f x F f x F f x 为任意常数a b b a a b 轾轾+=+臌臌
D 、
00[()]()
i t F e f x F w w w =-
5、下列式子错误的是（ D ）
A 、 22
[sin ](Re 0)
L t s s w
w w =
>+
B 、 [][][]L f g L f L g *=?
C 、 00[()]()i x
F f x x e F w w --=
D 、 00[()]()i x
F e
f x F w w w =+
4、下列对Laplace 变换和Fourier 变换说法正确的是( C )
A 、()()i x
F f x e dx w w p +?
-?=ò B 、0
[()]()pt L f t f t e dt +?
=
ò
C 、0
[()]()pt
L f t f t e
dt +?
-=
ò
D 、1()[]()i x f t L F F x e dx w +?
---?
==
ò
5、当初始扰动限制在有限区域上时，下列对二维波和三维波的说法正确的是（ B ） A 、空间任意一点的扰动他们都有清晰的“前锋”和“阵尾”
B 、空间任意一点的扰动他们都有清晰的“前锋”，但二维波无“阵尾”
C 、他们均存在“无后效现象”
D 、他们均不存在“无后效现象”
求Laplace 变换-2t -2t
[e sin6t-5e ]L =
已知()22i F f t a ωω
=⎡⎤⎣⎦-，则()0F f t t -=⎡⎤⎣⎦ 3
2x 已知()22a F f t a ω=⎡⎤⎣⎦-，则()0
i t F e f t ω⎡⎤=⎣⎦ ()
220a a ωω-- 。

3、
[()()]i x x at x at e dx ωδδ+∞
--∞
+--=⎰
2sin i a t ω
4、sin ()cos ()x x at x x at dx δδ+∞
-∞
-+-=
⎰
sin cos at at +
4、[2sin ]L t ω
22
p ω+ （在Re 0p >上）
[]m t =L 1!
m m p + (其中m N ∈，L 表示Laplace 变换）
5、
cos ()____2x x dx p
d +?
-?
-
=ò
2、
[]at m
e t =L 1!
()m m p a +- （其中m N ∈，L 表示 Laplace 变换） 1、Laplace 变换的微分性质可写为
()
[()]n L f t = 12(1)()(0)'(0)...(0)n n n n s F s s f s f f ------- 。

3、
121
[
](1)L s s -=- 1t
e t --
3、
11
[
](2)(1)s s -=
--L 2t t e e - （其中L 表示 Laplace 变换）
6、Fourier 的微分性质可写为：()
[()]n f
x =F ()[()]n i f x ωF （n N ∈）
用laplace 变换法求解定解问题
22
120,01
|cos |x y u x y y x x y u y u x ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
，
将方程两边关于y 取Laplace 变换 ，记 [(,)](,)L u x y u x s =%
%2
02[(,)|]y d x
su x s u dx s =-=，即 ~
232d u x x dx s s
=+
， 再对边界条件 1|cos x u y == 取关于
y 的Laplace 变换得%12|1
x s
u
s ==+， 故有
%%2312
2|1x du
x x dx s s s u s =⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪+⎩
解之得
%32323
1111
(,)313s u x p x x s
s
s s s
=++
--+ 所以取逆变换有
1323231111(,)[
]313s u x y x x s s s s s -=++--+L 322
211cos 166
x y x y y =++-- 用Fourier 变换法求解无界杆上的热传导问题
⎩⎨
⎧=>+∞<<∞-==)
(|0
,,02x u t x u a u t xx t ϕ
已知：222
21
4[]x a t a t
e ω-
--=
F
（其中 F 表示Fourier 变换）
解：记(,)[(,)]U t u x t ω=F ，()[()]x ωϕΦ=F ，.对方程及初始条件两端取关于x 的Fourier 变换得
⎪⎩⎪
⎨⎧Φ==+)
()0,(0),()
,(22ωωωωωU t U a dt
t dU 解之得t a e t U 2
2
)(),(ωωω-Φ= 故
1(,)[(,)]
u x t U t ω-=F
2
2
2211
[()]()*[]
a t a t
e x e
ωωωϕ----=Φ=F F
查表得
222
21
4[]x a t a t
e ω-
--=
F
因此原定解问题的解
ξξϕπξd e
t a
t x u t
a x 224)()(21),(--
∞
+∞
-⎰
=
六、（13分---难）用Fourier 变换法求解定解问题
2
00,,0|(),|()tt xx t t t u a u x t u x u x φψ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩
解：对方程及初始条件两端取关于x 的Fourier 变换， （2分） 记(,)[(,)]u t F u x t ω=%，()[()]F x ϕωϕ=%，()[()]F x ψωψ=%
则有
2220(,)
(,)0(,0)(),|()
t d u t a u t dt
du u dt ωωωωϕωψω=⎧+=⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩%%%%%% （4分）
解之得
1
(,)()cos ()sin u t at at a ωϕωωψωωω=+
%%% （2分）
11()()[()()][]
22iat iat iat iat e e e e a i i ωωωω
ψωψωϕωϕωωω--=++-%%%% （1分）
由平移性质和积分性质有
11
{[()][()]}[[()][()]]
22x at x at F x at F x at F s ds F s ds a ϕϕψψ+--∞-∞=++-+-⎰⎰
（2分） 两端取逆变换有
11(,)[()()][()()]
22x at
x at u x t x at x at s ds s ds a ϕϕψψ+--∞-∞=-+++-⎰⎰ （1分）
11[()()]()22x at
x at x at x at s ds a ϕϕψ+-=-+++⎰
六、（13分---中等）用Laplace 变换法求解定解问题
()''''00()2()3|0,|1t
t t y t y t y t e y y -==⎧+-=⎪⎨==⎪⎩
解：对方程的两端取Laplace 变换，并记[()]()L y t Y s =， （1分） 考虑到初始条件得
21
[()(0)'(0)]2[()(0)]3()1s Y s sy y sY s y Y s s --+--=
+ （2分）
即
21
()12()3()1s Y s sY s Y s s -+-=
+ （1分）
解上述代数方程得
222
()(1)(23)(1)(1)(3)s s Y s s s s s s s ++=
=
++-+-+ （2分）
设
()(1)(1)(3)A B C
Y s s s s =
++
+-+ （2分）
通分后与上式比较得
131,,488A B C =-==-
（2分） 即
113111
()4(1)8(1)8(3)Y s s s s =-
+-
+-+ （2分）
两端取逆变换有
3131
()488t t t
y t e e e --=-+-
第五章格林函数
2、0
|(,,)
u u x y z ϕ∂Ω=⎧⎨
=⎩V 的Green 函数满足的定解问题为
4()
|0G P Q G πδ∂Ω∆=--⎧⎨
=⎩ ，或 000()
|0
G
M M G ∂Ω∆=≠⎧⎨
=⎩（M,M ）
4、
(,,)|(,,)
u f x y z u x y z ϕ∂Ω=⎧⎨
=⎩V 的Green 函数满足的定解问题为
4()|0
G P Q G πδ∂Ω∆=--⎧⎨
=⎩， 或
000()
|0
G M M G ∂Ω∆=≠⎧⎨
=⎩（M,M ）
6、关于格林函数的的说法错误的是（ C ）
A 格林函数()0,G M M 除0M M =点外，在Ω内是调和函数
B 格林函数在边界上的值为零
C 格林函数与求解区域无关
D 格林函数具有对称性
7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上外法线方向的导数值
|(,),,0u
M t M t n
μΓ∂=∈Γ≥∂ 的边界条件，称为第( B )类边界条件。

A 、一 B 、二 C 、三 D 、四
4、 给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上外法线方向的导数值
|(,),,0u
M t M t n μΓ∂=∈Γ≥∂ 的边界条件，称为第 二 类边界条件
2、上半空间0z >的green 函数(,)G P Q ＝
'
11
(,'0)PQ PQ Q Q z r r -=其中，关于平面对称或者
'111(,'0)4PQ PQ Q Q z r r π⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭
其中，关于平面对称 3、Green 第一公式为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
-∂∂=∆dS n v
u
dV v u S
)(gradu gradv ⋅dV
3、Green 第二公式为
⎰⎰
⎰⎰⎰=∆-∆Ω
S
dV u v v u ][v u
u
v n n ∂∂-∂∂ dS
1、在边界∂Ω上给出未知函数u 及其沿∂Ω的外法线方向导数的某一线性组合的值的，即
3|u k hu f n ∂Ω∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭的边界条件称为第（ B ）类边界条件
A 、 一
B 、三
C 、 二
D 、 四
五、 在用静电源像法求解上半空间的格林函数时，如果在上半空间一点0M 放置一单位
正电荷，则像点'M 满足（A ） A 、和
0M 关于xoy 平面对称，带电量为单位负电荷 B 、 和0M 关于xoy 平面对称，带电量为单位正电荷 C 、和0M 关于yoz 平面对称，带电量为单位负电荷 D 、 和
0M 关于yoz 平面对称，带电量为单位正电荷
5、设球域(,)B O R 内一点0M ，
则用静电源像法求格林函数时，关于像点'M 的说法正确的
是（B ）
A 、
0,'
M M 的关系满足
00'
OM R R M M =，且'M 处放置负电荷，带电量为
0R
OM
B 、0,'M M 的关系满足
0'OM R
R OM =，且'M 处放置负电荷，带电量为0R OM C 、0,'
M M 的关系满足
00'OM R R M M =，且'M 处放置正电荷，带电量为
0R
OM
D 、
0,'
M M 的关系满足
00'
OM R
R M M =，且'M 处放置负电荷，带电量为0
OM R
5、在区域Ω内具有二阶连续偏导数，且满足方程 0u ∆= 的函数 u 叫做Ω内的调和函数。

7、下列函数不是调和函数的是（C ） A 、(,,)ax by c
a b c ++为常数 B 、 θ
C 、 2x
D 、 2222x y -
3、下列函数不是调和函数的是（ C ）
A 、 2x xy +
B 、 x
C 、 2
42xy x + D 、 2222x y -
利用Green 公式证明：
若Laplace 方程的Dirichlet 内问题
|u u f
Γ=Ω⎧⎨
=⎩V 在内
的解存在，且解在_
Ω上具有一阶连续偏导数，则解是唯一的。

证：设12,u u 是Dirichlet 内问题满足第一边界条件的两个解，（1分） 则
12
v u u =-满足定解问题
0|0v v Γ=Ω⎧⎨
=⎩V 在内
在第一Green 公式中，取
12
u v u u ==-则
0v
v
dS v vdV n Γ
Ω∂=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰由于 |0v Γ= 所以有 0v vdV Ω=∇⋅∇⎰⎰⎰
因此有0v ∇=亦即0v v v
x y z ∂∂∂===∂∂∂ 从而C v C =其中为常数
又|0v Γ= 所以
120
u u -= 也就是解是唯一的。

利用Green 公式证明：
Neumann 内问题 0|u u
f n
Γ=Ω⎧⎪⎨∂=⎪
∂⎩V 内
有解的必要条件为
fdS Γ
=⎰⎰
解：设ω为Neumann 问题的解，则
21
()()C C ω∈ΩΩI （2分） 又第二格林公式
S
v u
u v v udV u
v ds n n
Ω
∂∂∆+∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò （3分）
在第二格林公式中取 ,1u v ω== （3分）
则有 0u
dS n Γ∂=∂⎰⎰ （2分）
即
f dS
Γ
=⎰⎰。