大学数学分析题题库

大学数学分析题题库题目一：极限与连续性

1. 计算下列极限：

(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$

(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$

(c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$

2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：

(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？

(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？

(c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？

题目二：微分学基础

1. 计算下列函数的导数：

(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$

(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$

(c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$

2. 判断函数在给定点处的可导性：

(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？

(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？

题目三：积分与面积

1. 计算下列定积分：

(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$

(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$

(c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$

2. 计算两个曲线之间的面积：

(a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积；

(b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。

题目四：级数与收敛性

1. 判断下列级数的敛散性：

(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

(c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$

2. 判断函数项级数的一致收敛性：

(a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0,

\pi]$上是否一致收敛？

(b) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n}$在区间$(-\infty, \infty)$上是否一致收敛？

总结：数学分析题库涵盖了极限与连续性、微分学、积分与面积以及级数与收敛性等重要概念和技巧。通过解答这些问题，可以提升对大学数学分析的理解和应用能力。请根据个人学习需求，自行选择题目进行解答和练习。