江苏省连云港市赣榆实验中学2024届数学九年级第一学期期末学业水平测试试题含解析

江苏省连云港市赣榆实验中学2024届数学九年级第一学期期末学业水平测试试题 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，已知，点是的中点，，则的长为( )
A ．2
B ．4
C ．
D ．
2．如图，等腰Rt ABC ∆与等腰Rt CDE ∆是以点O 为位似中心的位似图形，位似比为1:3,90,4k ACB BC =∠==，则点D 的坐标是（ ）
A ．()18,12
B ．()16,12
C ．()12,18
D ．()12,16
3．抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）形状如图，下列结论：①b ＞0；②a ﹣b+c ＝0；③当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＞0；④一元二次方程ax 2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
4．如图，已知抛物线y 1＝12
x 1－1x ，直线y 1＝－1x ＋b 相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1．当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1，y 1，取m ＝12(|y 1－y 1|＋y 1＋y 1)．则（ ）
A ．当x ＜－1时，m ＝y 1
B ．m 随x 的增大而减小
C ．当m ＝1时，x ＝0
D ．m≥－1
5．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )
A ．2024
B ．2021
C ．2020
D ．2019 6．已知△ABC 与△DEF 相似且对应周长的比为4：9，则△ABC 与△DEF 的面积比为
A ．2：3
B ．16：81
C ．9：4
D ．4：9
7．已知ABC ∆如图，则下列4个三角形中，与ABC ∆相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线()0y x m m =+>分别交x 轴，y 轴于,A B 两点，已知点C 的坐标为(2,0)-，若D 为线段OB 的中点，连接,AD DC ，且ADC OAB ∠=∠，则m 的值是（ ）
A ．12
B ．6
C ．8
D ．4
9．如图，直线AC ,DF 被三条平行线所截，若 DE :EF =1:2，AB =2，则AC 的值为（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．52
10．如图，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转30°得到△AB ′C ′，若∠BAC ′=80°，则∠B ′AC =（ ）‘
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．35°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．把2288y x x =-+-配方成2
()y a x h k =-+的形式为y =__________． 12．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ 的面积为_______．
13．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2020＝0有一根为x ＝﹣1，则a+b ＝_____．
14．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球5个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有___个白球．
15．计算：23cos30°+tan45°﹣4sin 260°＝_____．
16．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .
17．如图，平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴分别交于A 、B 两点，点P 的坐标为(3，－1)，AB ＝23． 将⊙P 沿着与y 轴平行的方向平移，使⊙P 与x 轴相切，则平移距离为_____．
18．已知二次函数()2
(1y x m m =--+是常数)，当02x ≤≤时，函数y 有最大值2-，则m 的值为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）雾霾天气严重影响人民的生活质量．在今年“元旦”期间，某校九(1)班的综合实践小组同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了本地部分市民，并对调查结果进行了整理，绘制了如图不完整的统计图表，观察分析并回答下列问题． 组别
雾霾天气的主要成因 A
工业污染 B
汽车尾气排放 C
炉烟气排放 D 其他(滥砍滥伐等) (1)本次被调查的市民共有多少人？
(2)分别补全条形统计图和扇形统计图；
(3)若该地区有100万人口，请估计持有A 、B 两组主要成因的市民有多少人？
20．（6分）已知：在⊙O 中，弦AC ⊥弦BD ，垂足为H ，连接BC ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，DE 交AC 于点F
（1）如图1，求证：BD 平分∠ADF ；
（2）如图2，连接OC ，若AC ＝BC ，求证：OC 平分∠ACB ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB ，过点D 作DN ∥AC 交⊙O 于点N ，若AB ＝310，DN ＝1．求sin ∠ADB 的值．
21．（6分）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.
（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；
（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若23AB = ,219BE = ,求四边形ADPE 的面积.
22．（8分）如图，在Rt△ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，
连结AD ．已知∠CAD=∠B,
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若BC=8，tanB=12，求⊙O 的半径．
23．（8分）某市计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为5210⨯米3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．
（1）完成运送任务所需的时间t （单位：天）与运输公司平均每天的工作量v （单位：米3/天）之间具有怎样的函数关系？
（2）已知这个运输公司现有50辆卡车，每天最多可运送土石方3410⨯米3，则该公司完成全部运输任务最快需要多长时间？
（3）运输公司连续工作30天后，天气预报说两周后会有大暴雨，公司决定10日内把剩余的土石方运完，平均每天至少增加多少辆卡车？
24．（8分）解下列两题：
(1)已知34a b =，求23a b a
+的值； (2)已知α为锐角，且23sinα=4cos30°﹣tan60°，求α的度数．
25．（10分）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，OA ＝2，OC ＝6，连接AC 和BC ． （1）求抛物线的解析式；
（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标；
（3）点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和BE ．求△BCE 面积的最大值及此时点E 的坐标；
26．（10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC 的度数；
（2）求证：AE 是⊙O 的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC 的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【题目详解】解：∵点是的中点，，， ∴AD=2， ∵
， ∴
∴
∴AB=
， 故选C ．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的性质，能够根据相似三角形列出比例式是解答本题的关键，难度不大．
2、A
【分析】根据位似比为1:34k BC ==，，可得13
OC BC OE DE ==，从而得：CE=DE=12，进而求得OC=6，即可求解． 【题目详解】∵等腰Rt ABC ∆与等腰Rt CDE ∆是以点O 为位似中心的位似图形，位似比为
1:3,90,4k ACB BC =∠==， ∴13
OC BC OE DE ==，即：DE=3BC=12， ∴CE=DE=12，
∴1123
OC OC =+，解得：OC=6， ∴OE=6+12=18，
∴点D 的坐标是：()18,12．
故选A ．
【题目点拨】
本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的位似比等于相似比，是解题的关键．
3、B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，以及二次函数与一元二次方程的关系逐个进行判断即可．
【题目详解】解：由抛物线开口向上，可知a ＞1，对称轴偏在y 轴的右侧，a 、b 异号，b ＜1，因此①不符合题意； 由对称轴为x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，1），可知与x 轴另一个交点为（﹣1，1），代入得a ﹣b+c ＝1，因此②符合题意；
由图象可知，当x ＜﹣1或x ＞3时，图象位于x 轴的上方，即y ＞1．因此③符合题意；
抛物线与y ＝﹣1一定有两个交点，即一元二次方程ax 2+bx+c+1＝1（a≠1）有两个不相等的实数根，因此④符合题意； 综上，正确的有3个，
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质和二次函数同一元二次方程的关系，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握二次函数的性质.
4、D
【分析】将点A 的横坐标代入21122y x x =
-，求得12y =-，将2x =，2y =-代入22y x b =-+求得2b =，然后将21122
y x x =-与222y x =-+联立求得点B 的坐标，然后根据函数图象化简绝对值，最后根据函数的性质，可得函数m 的增减性以及m 的范围． 【题目详解】将2x =代入21122
y x x =-，得12y =-， ∴点A 的坐标为()2,2-．
将2x =，2y =-代入22y x b =-+，得2b =，
222y x ∴=-+． 将21122y x x =-与222y x =-+联立，解得：12x =，12y =-或22x =-，26y ．
∴点B 的坐标为()2,6-．
∴当x ＜－1时，12y y >，
∴m ＝12(|y 1－y 1|＋y 1＋y 1)= 12
(y 1－y 1＋y 1＋y 1)= y 1， 故A 错误；
当2x <-时，12y y >，
21122
m y x x ∴==-． 当22x -<时，12y y <
222m y x ∴==-+．
当2x 时，12y y >，
21122
m y x x ∴==-． ∴当x ＜1时，m 随x 的增大而减小，
故B 错误；
令2m =，代入21122
m y x x ==-
，求得：2x =+
2x =-， 令2m =，代入222m y x ==-+，求得：0x =，
∴当m ＝1时，x ＝0
或2x =+
故C 错误．
∵m=2212(2)
222(22)12(2)2
x x x x x x x x -<--+-≤<-≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，画出图像如图，
∴2m -．
∴D 正确．
故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查的是二次函数与一次函数的综合，根据函数图象比较出1y 与2y 的大小关系，从而得到m 关于x 的函数关系式，是解题的关键．
5、A
【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=（a+b ）2-2ab+2016即可求解.
【题目详解】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，
∴23b b =-，1a b +=-，-3ab =，
∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；
故选A ．
【题目点拨】
本题考查一元二次方程的根与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行化简代入是解题的关键． 6、B
【解题分析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答.
【题目详解】解：∵△ABC 与△DEF 相似且对应周长的比为4：9，
∴△ABC 与△DEF 的相似比为4:9，
∴△ABC 与△DEF 的面积比为16:81.
故选B
【题目点拨】
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
7、C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一分析即可．
【题目详解】解: ∵AB=AC=6，∠B=75°
∴∠B=∠C=75°
∴∠A=180°－∠B－∠C=30°，对于A选项，如下图所示
∵
6
5
AB AC
EF ED
，但∠A≠∠E
∴ABC
∆与△EFD不相似，故本选项不符合题意；对于B选项，如下图所示
∵DE=DF=EF
∴△DEF是等边三角形
∴∠E=60°
∴
6
5
AB AC
EF ED
，但∠A≠∠E
∴ABC
∆与△EFD不相似，故本选项不符合题意；对于C选项，如下图所示
∵
6
5
AB AC
EF ED
，∠A=∠E=30°
∴ABC
∆∽△EFD，故本选项符合题意；对于D选项，如下图所示
∵65AB AC DE DF ，但∠A ≠∠D ∴ABC ∆与△DEF 不相似，故本选项不符合题意；
故选C ．
【题目点拨】
此题考查的是相似三角形的判定，掌握有两组对应边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似是解决此题的关键． 8、A
【分析】根据“一线三等角”，通过构造相似三角形~∆∆DEC ABD ，对m 的取值进行分析讨论即可求出m 的值.
【题目详解】由已知得,45OA OB m OAB OBA ︒==∠=∠=，∴45ADC ︒∠=.
如图，在y 轴负半轴上截取OE OC =， 可得OCE ∆是等腰直角三角形，
∴45CEO DBA ︒∠=∠=.
又∵135CDE ADB CDE DCE ︒∠+∠=∠+∠=，
∴ADB DCE ∠=∠，∴ABD
DEC ∆∆， ∴AB BD DE CE
=， 即2222
22
m
m m =+，解得0m =（舍去）或12m =，m 的值是12.
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的判定与性质的知识点，解题时还需注意分类讨论的数学思想的应用
9、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出BC ，计算即可．
【题目详解】解：∵l 1∥l 2∥l 3，
∴12
AB DE BC EF == ， 又∵AB=2，
∴BC=4，
∴AC=AB+BC=1．
故选：A ．
【题目点拨】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
10、A
【解题分析】根据图形旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，对应点旋转的角度即是图形旋转的角度，可直接得出∠C ′AC =30°，由∠BAC ′=80°可得∠BAC=∠B ′AC ′=50°，从而可得结论.
【题目详解】由旋转的性质可得，∠BAC=∠B ′AC ′，
∵∠C ′AC =30°
， ∴∠BAC=∠B ′AC ′=50°，
∴∠B ′AC =20°
. 故选A.
【题目点拨】
此题主要考查了旋转的性质，图形旋转前后不发生任何变化，这是解决问题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、22(2)x --
【分析】对二次函数进行配方，即可得到答案．
【题目详解】2
288y x x =-+-
=22(4)8x x ---
=22(444)8x x --+--
=22(2)x --．
故答案是：22(2)x --．
【题目点拨】
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的配方，是解题的关键．
12、25364+ 【分析】由旋转的性质可得△BPQ 是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ 是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．
【题目详解】解：连接PQ ，
由旋转的性质可得，BP=BQ ，
又∵∠PBQ=60°，
∴△BPQ 是等边三角形，
∴PQ=BP ，
在等边三角形ABC 中，∠CBA=60°，AB=BC ，
∴∠ABQ=60°-∠ABP
∠CBP=60°-∠ABP
∴∠ABQ=∠CBP
在△ABQ 与△CBP 中
BQ BP ABQ CBP AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABQ ≌△CBP(SAS)，
∴AQ=PC ，
又∵PA=4，PB=5，PC=3，
∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，
在△APQ 中，因为2229,16,25AQ AP PQ ===，25=16+9，
∴由勾股定理的逆定理可知△APQ 是直角三角形，
∴2312535346424
BPQ APQ APBQ S S S =+=⨯+⨯⨯=+四边形， 故答案为：25364
+
【题目点拨】
本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．
13、1
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【题目详解】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0得：a+b﹣1＝0，
即a+b＝1．
故答案为：1．
【题目点拨】
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
14、1
【分析】先由“频率=频数÷数据总数”计算出频率，再由简单事件的概率公式列出方程求解即可．
【题目详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是
501 1503
=，
设口袋中大约有x个白球，则
51
53
x
=
+
，解得10
x=．
故答案为：1．
【题目点拨】
考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系．15、1
【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【题目详解】解：°+tan45°﹣4sin260°
＝×
2
﹣4×2
＝3+1﹣4×3 4
＝4﹣3
＝1
故答案为：1．
【题目点拨】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从
高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16、2
5(1)1y x =-+-
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可．
【题目详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），
∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度，
∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2），
∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-．
故答案为：()2511y x =-+-．
【题目点拨】
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
17、1或1
【分析】过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，连接PA ，由垂径定理得⊙P 的半径为2，因为将⊙P 沿着与y 轴平行的方向平移，使⊙P 与x 轴相切，分两种情况进行讨论求值即可．由 【题目详解】解：
过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，连接PA ，
AB ＝23∴132
AC BC AB === 点P 的坐标为(1，－1)，∴PC=1， ∴222PA PC AC =+=，
将⊙P 沿着与y 轴平行的方向平移，使⊙P 与x 轴相切，
∴①当沿着y 轴的负方向平移，则根据切线定理得：PC=PA=2即可，
因此平移的距离只需为1即可；
②当沿着y 轴正方向移动，由①可知平移的距离为３即可．
故答案为1或1．
【题目点拨】
本题主要考查圆的基本性质及切线定理，关键是根据垂径定理得到圆的半径，然后进行分类讨论即可．
18、(2+或
【分析】由题意，二次函数的对称轴为x m =，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m 的值，即可得到答案.
【题目详解】解：∵()21y x m =--+，
∴对称轴为x m =，且开口向下，
∵当02x ≤≤时，函数y 有最大值2-，
①当0m ≤时，抛物线在0x =处取到最大值2-，
∴()2012m --+=-，
解得：m =m （舍去）；
②当02m <<时，函数有最大值为1；不符合题意；
③当2m ≥时，抛物线在2x =处取到最大值2-，
∴()2212m --+=-，
解得：2m =+或2m =；
∴m 的值为：(2+或
故答案为：(2+或【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论.
三、解答题(共66分)
19、 (1)200人；(2)图见解析；(3)75万人.
【分析】(1)根据A 组的人数和所占的百分比可以求得本次被调查的市民共有多少人；
(2)根据统计图中的数据可以求得C 组和D 组的人数，计算出B 组和D 组所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
(3)根据统计图中的数据可以计算出持有A 、B 两组主要成因的市民有多少人．
【题目详解】解：(1)90÷45%＝200(人)，
即本次被调查的市民共有200人；
(2)C 组有200×15%＝30(人)，D 组有：200﹣90﹣60﹣30＝20(人)，
B组所占的百分比为：60
200
×100%＝30%，D组所占的百分比是：
20
200
×100%＝10%，
补全的条形统计图和扇形统计图如右图所示；
(3)100×(45%+30%)＝75(万人)，
答：持有A、B两组主要成因的市民有75万人．
【题目点拨】
本题考查了扇形统计图和频数直方图，解决本题的关键是扇形统计图和频数直方图里的数据关系要相对应.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）sin∠ADB的值为3
5
．
【分析】(1)根据等角的余角相等即可证明；
(2)连接OA、OB．只要证明△OCB≌△OCA即可解决问题；
(3)如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q，则四边形OPHQ是矩形，可知BN
是直径，则HQ=OP=1
2
DN=
9
2
，设AH=x，则AQ=x+
9
2
，AC=2AQ=2x+1，BC=2x+1，CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1，
在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=(310)2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2即(2x+1)2=(310)2﹣x2+(x+1)2，解得x=3，BC=2x+1=15，CH=x+1=12求出sin∠BCH，即为sin∠ADB的值．
【题目详解】(1)证明：如图1，
∵AC⊥BD，DE⊥BC，
∴∠AHD=∠BED=10°，
∴∠DAH+∠ADH=10°，∠DBE+∠BDE=10°，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠ADH=∠BDE，
∴BD平分∠ADF；
(2)证明：连接OA、OB．
∵OB=OC=OA，AC=BC，
∴△OCB≌△OCA(SSS)，
∴∠OCB=∠OCA，
∴OC平分∠ACB；
(3)如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．
则四边形OPHQ是矩形，
∵DN∥AC，
∴∠BDN=∠BHC=10°，
∴BN是直径，
则OP=1
2
DN=
9
2
，
∴HQ=OP=9
2
，
设AH=x，则AQ=x+9
2
，AC=2AQ=2x+1，BC=AC=2x+1，
∴CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1
在Rt △AHB 中，BH 2=AB 2﹣AH 2=(2﹣x 2．
在Rt △BCH 中，BC 2=BH 2+CH 2，
即(2x+1)2=(2﹣x 2+(x+1)2，
整理得2x 2+1x ﹣45=0，
(x ﹣3)(2x+15)=0，
解得： x =3(负值舍去)，
BC =2x+1=15，CH =x+1=12，BH=1
∵∠ADB =∠BCH ，
∴sin ∠ADB =sin ∠BCH =
BH BC =915=35． 即sin ∠ADB 的值为
35． 【题目点拨】
本题考查了圆的垂径定理、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
21、（1）BP=CE ； CE ⊥AD ；（2）成立，理由见解析；（3） .
【解题分析】（1）①连接AC ，证明△ABP ≌△ACE ，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE ；②根据菱形对角线平分对角可得ABD 30∠=︒，再根据△ABP ≌△ACE ，可得ACF ABD 30∠∠==︒，继而可推导得出CFD 90∠=︒ ，即可证得CE ⊥AD ；
（2）(1)中的结论：BP=CE ，CE ⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；
（3）连接AC 交BD 于点O ，CE ，作EH ⊥AP 于H ，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE 的长，AP 长，由△APE 是等边三角形，求得PH ， EH 的长，再根据ADP APE ADPE S S
S =+四，进行计算即可得. 【题目详解】（1）①BP=CE ，理由如下：
连接AC ，
∵菱形ABCD ，∠ABC=60°
， ∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC ，∠BAC=60°
， ∵△APE 是等边三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60°
， ∴∠BAP=∠CAE ，
∴△ABP ≌△ACE ，∴BP=CE ；
②CE ⊥AD ，
∵菱形对角线平分对角，
∴ABD 30∠=︒，
∵△ABP ≌△ACE ，
∴ACF ABD 30∠∠==︒，
∵ACD ADC 60∠∠==︒，
∴DCF 30∠=︒，
∴DCF ADC 90∠∠=︒＋，
∴CFD 90∠=︒ ，
∴CF ⊥AD ，即CE ⊥AD ；
（2）(1)中的结论：BP=CE ，CE ⊥AD 仍然成立，理由如下：
连接AC ，
∵菱形ABCD ，∠ABC=60°
， ∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形，
∴AB=AC ，∠BAD=120°
， ∠BAP=120°
＋∠DAP ， ∵△APE 是等边三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60°
， ∴∠CAE=60°
＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP ， ∴∠BAP=∠CAE ，
∴△ABP ≌△ACE ，∴BP=CE ，ACE ABD 30∠∠==︒，
∴∠DCE=30°
，∵∠ADC=60°， ∴∠DCE ＋∠ADC=90°
， ∴∠CHD=90° ，∴CE ⊥AD ， ∴(1)中的结论：BP=CE ，CE ⊥AD 仍然成立；
(3) 连接AC 交BD 于点O ，CE ，作EH ⊥AP 于H ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，BD 平分∠ABC ，
∵∠ABC=60°，AB 23=， ∴∠ABO=30°
，∴AO 3=， BO=DO=3， ∴BD=6，
由(2)知CE ⊥AD ，
∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ， ∵BE 219=， BC AB 23==，
∴()()22CE 219238==－，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5， ∴()22AP 5327==＋
∵△APE 是等边三角形，∴PH 7=
， EH 21= ∵ADP APE ADPE S S
S =+四， ∴ADPE 11S DP?AO AP?EH 22
=+四， =1123272122
⨯⨯373
=83，
∴四边形ADPE 的面积是83 .
【题目点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.
22、（1）证明见解析；（2）352
r =. 【分析】（1）连接OD ，由OD=OB ，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r ，利用锐角三角函数定义求出AB 的长，再利用勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到结果．
【题目详解】（1）证明：连接OD ，
OB OD =，
3B ∴∠=∠，
1B ∠=∠，
13∴∠=∠，
在Rt ACD ∆中，1290∠+∠=︒，
()41802390∴∠=︒-∠+∠=︒，
OD AD ∴⊥，
则AD 为圆O 的切线；
（2）设圆O 的半径为r ，
在Rt ABC ∆中，tan 4AC BC B ==，
根据勾股定理得：224845AB =+=
45OA r ∴=，
在Rt ACD ∆中，1tan 1tan 2
B ∠==， tan 12CD A
C ∴=∠=，
根据勾股定理得：22216420AD AC CD =+=+=，
在Rt ADO ∆中，222OA OD AD =+，即()2220r r =+，
解得：r = 【题目点拨】
此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
23、（1）5
210t v
⨯=；（2）该公司完成全部运输任务最快需要50天；（3）每天至少增加50辆卡车． 【分析】（1）根据“平均每天的工作量×工作时间=工作总量”即可得出结论；
（2）根据“工作总量÷平均每天的工作量=工作时间” 即可得出结论；
（3）先求出30天后剩余的工作量，然后利用剩余10天每天的工作量÷每辆汽车每天的工作量即可求出需要多少辆汽车，从而求出结论．
【题目详解】解：（1）由题意得：5210vt =⨯， 变形，得5
210t v
⨯=； （2）当3
410v =⨯时，5
321050410t ⨯==⨯， 答：该公司完成全部运输任务最快需要50天．
（3）53421030410810⨯-⨯⨯=⨯
()()438101041050100⨯÷÷⨯÷=辆，
1005050-=辆
答：每天至少增加50辆卡车．
【题目点拨】
此题考查的是反比例函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
24、 (1) 6；(2) 锐角α=30°
【分析】（1）根据等式34
a b =,设a =3k ，b =4k ，代入所求代数式化简求值即可；
（2）由cos30°=2
，tan60°sinα的值，根据特殊角的三角函数值即可得． 【题目详解】解：(1)∵
34
a b =， ∴设a =3k ，b =4k ，
∴23
a b
a
+
=
612
3
k k
k
+
=6，
故答案为：6；
(2)∵﹣tan60°=4×
2
，
∴sinα=1
2
，
∴锐角α=30°，
故答案为：30°．
【题目点拨】
本题考查了化简求值，特殊角的三角函数值的应用，掌握化简求值的计算是解题的关键．
25、（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）点D的坐标为（1
2
，﹣5）；（3）△BCE的面积有最大值
27
8
，点E坐标为（
3
2
，﹣
21
4
）．
【分析】（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x2+bx+c即可；
（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；
（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面积S与a 的函数关系式，由二次函数的图象及性质可求出△BCE的面积最大值，并可写出此时点E坐标．
【题目详解】解：（1）∵OA＝2，OC＝6，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），
将A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，
得
420
6
b c
c
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得，b＝﹣1，c＝﹣6，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；（2）在y＝x2﹣x﹣6中，
对称轴为直线x＝1
2
，
∵点A与点B关于对称轴x＝1
2
对称，
∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，
在y＝x2﹣x﹣6中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，将点B（3，0）代入，
得，k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
当x＝1
2
时，y＝﹣5，
∴点D的坐标为（1
2
，﹣5）；
（3）如图2，连接OE，
设点E（a，a2﹣a﹣6），
S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC
＝1
2
×6a+
1
2
×3（﹣a2+a+6）﹣
1
2
×3×6
＝﹣3
2
a2+
9
2
a
＝﹣3
2
（a﹣
3
2
）2+
27
8
，
根据二次函数的图象及性质可知，当a＝3
2
时，△BCE的面积有最大值
27
8
，
当a=3
2
时,
2
2
3321
66
224
a a
⎛⎫
=--=-
⎪
⎝⎭
﹣﹣
∴此时点E坐标为（3
2
，﹣
21
4
）．
【题目点拨】
本题考查的是二次函数的综合，难度适中，第三问解题关键是找出面积与a的关系式，再利用二次函数的图像与性质求最值.
26、（1）60°;(2)证明略;(3)8 3π
【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°；
（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角
∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．
【题目详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为120
180
R
π
=
1204
180
π
=
8
3
π
．
【题目点拨】
本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.。