抽象函数经典习题
高一抽象函数经典习题
抽象函数练习题参考答案第一组1、 若函数()21f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()2log f x 的定义域为________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、 若()()11f n f n +=+，n *∈N ，且()12f =，则()100f =________． 【答案】1023、 定义R 上的函数()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =________．4、 定义在区间()1,1-上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-．若()()2110f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,5、 已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对正实数,x y ，都有：()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集是_________．【答案】()1,26、 已知函数()f x 是定义在(],3-∞上的减函数，已知()()222f a t f a t -+-≤对[]1,1t ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎡⎢⎣⎦7、 已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在0x ∈R ，使得12,x x ∀∈R ，总有()()()()0102012f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则0x =________．【答案】1第二组8、 函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件()21f =，()()()f xy f x f y =+，()f x 是减函数．⑴ 证明：()10f =；⑵ 若()()32f x f x +-≥成立，求x 的取值范围．【答案】⑵ []1,3-．9、 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >，()0f x <，又()12f =-．⑴ 判断()f x 的奇偶性；⑵ 求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；⑶ 解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+．【答案】⑴ 奇函数；⑵ 6；⑶ 当0a =时，(),1-∞；当2a =时，()(),11,-∞+∞；当0a <时，2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当02a <<时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a >时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．10、 定义在R 上的函数()y f x =满足：① ()00f ≠；② 当0x >时，()1f x >；③ ,a b ∀∈R ，()()()f a b f a f b +=⋅． ⑴ 求证：()01f =；⑵ 求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >； ⑶ 证明：()f x 是R 上的增函数；⑷ 若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】⑷ ()0,3．11、 已知函数()f x 的定义域为R 满足：① 任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=⋅； ② 当0x >时，()01f x <<．⑴ 证明：()01f =，且0x <时()1f x >； ⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减； ※⑶ 设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()(){},21,B x y f ax y a =-+=∈R ，若AB =∅，试确定a 的取值范围．【答案】⑶ ⎡⎣12、 已知函数()f x 的定义域为R ，满足：① 任意实数,m n 都有()()()12f m n f m f n +=+=； ② 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ 当12x >时，()0f x >． ⑴ 求()1f ； ※⑵ 求和()()()()123f f f f n ++++（n *∈N ）；⑶ 判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】⑴ ()112f =；⑵ 22n ；⑶ 单调递增．13、 函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x ∈R ，有()0f x >；② 对任意,x y ∈R ，有()()yf xy f x =⎡⎤⎣⎦； ③ 113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：()f x 在R 上是单调减函数；※⑶ 若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()()2f a f c f b +>．【答案】⑴ ()01f =．14、 定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：① ()f x 不恒为零；② 对任何实数,x q ，都有()()q f x qf x =． ⑴ 求证：方程()0f x =有且只有一个实根；⑵ 若1a b c >>>，且a 、b 、c 成等差数列，求证：()()()2f a f c f b ⋅<⎡⎤⎣⎦；⑶ 若()f x 单调递增，且0m n >>时，有()()22m n f m f n f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，求证：32m <<【答案】略．15、 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()()4f x f x +=；⑶ 若()f x x =（01x <≤），求当x ∈R 时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象．【答案】⑴ ()00f =；⑶ ()4,414124,4143x k k x k f x x k k x k --+⎧=⎨-+-+<<+⎩≤≤，k ∈Z ．16、 设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有()()130f f ==．⑴ 试判断函数()y f x =的奇偶性；⑵ 试求方程()0f x =在闭区间[]2013,2013-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】⑴ 非奇非偶函数；⑵ 806个根．第三组17、 已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：函数()f x 是奇函数；⑶ 若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数； ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数（此问不用写理由）．【答案】⑴ ()00f =；⑷()arctan f x x =-或()1log 1axf x x-=+，其中0a >且1a ≠．18、 定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都有()()()()2f a b f a b f a f b ++-=⋅成立，且()00f ≠．⑴ 求()0f 的值；⑵ 试判断()f x 的奇偶性；⑶ 若存在常数0c >使02c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试问()f x 是否为周期函数，请说明理由．【答案】⑴ ()01f =；⑵ 偶函数；⑶ 2c ．19、 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且,a b ∀∈R ，()()()f ab af b b a =+．⑴ 求()0f ，()1f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； ⑶ 若()22f =，试求12nf ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】⑴ ()00f =，()10f =；⑵ 奇函数；⑶ 122nn n f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．20、 已知定义在R 上的函数()f x 满足：① 值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； ② 对于定义域内任意的实数,x y ，均满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+．⑴ 试求()0f 的值；⑵ 判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑶ 判断并证明函数()f x 的单调性．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 奇函数；⑶ 单调递减．21、 ()f x 的定义域关于原点对称，且满足①对()f x 定义域D 内的任意两个数1x 、2x （12x x ≠），()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；②()1f a =-，且当0x a <<时，()0f x <． ⑴ 证明：()f x 是奇函数；⑵ 求函数()f x 在()0,4a 上的单调性．【答案】⑵ 单调递增．22、 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒等于零．对任意实数m 、n ，总有()()22n m f m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证，对任意实数t ，均有()t f t ⋅≥0；※⑶ 若()01f y =，求所有满足条件的()f x ．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 取2m t =，2n t =，有()()242tf t f t =0≥，∴()0t f t ⋅≥ ⑶ ()()222442222n n mm mnf m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()()22222mnf m f n m f n n f m =+ ()()mf n nf m =取1m =，n x =，有()0f x xy =即为所求．23、 已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞的子集，且满足下列条件：①对任意的[),0,x y ∈+∞都有()()()f xf y f y f x y ⋅=+⎡⎤⎣⎦； ②()20f =；③当02x <≤时()0f x ≠． ⑴ 求证：当2x ≥时，()0f x =； ⑵ 求()f x 的解析式．【答案】⑴ 取2y =即得；⑵ 当[),0,2x y ∈时，取()2xf y =，有()20f y f y ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22y f y +≥，()22f y y -≤ 取2x y +=，有()20f xf x -=⎡⎤⎣⎦，∴()22xf x -≥，即()22f x x-≥ 综上，当02x <≤时()22f x x =-．于是()f x 的解析式为()2,0220,2x f x x x ⎧<⎪=-⎨⎪⎩≤≥．24、 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：① 对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； ② ()13f =；③ 若10x ≥，2x ≥0且121x x +≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥． ⑴ 求()0f 的值； ⑵ 求()f x 的最大值；※⑶ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()132n n S a =--，n *∈N ． 求证：()()()121312223n n f a f a f a n -++++-⋅≤． 【答案】⑴ ()02f =；⑵ 3．25、 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：① 对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥； ② ()11f =；③ 若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，都有()()()1212f x x f x f x ++≥成立． 则称函数()f x 为理想函数．⑴ 若函数()f x 为理想函数，求()0f 的值；⑵ 判断函数()21x g x =-（[]0,1x ∈）是否为理想函数，并予以证明；⑶ 若函数()f x 为理想函数，假定[]00,1x ∃∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，求证：()00f x x =．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 是．26、 已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，满足：① ,x y ∀∈R ，()()()()()f x y f x g y g x f y -=-； ② ()10f ≠．⑴ 求证：()f x 为奇函数；⑵ 若()()12f f =，求()()11g g +-的值．【答案】⑵ ()()111g g -+=．。
高一数学之抽象函数专题集锦-含详细解析
高一数学之抽象函数专题集锦一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(−2)，f(−π)，f(3)的大小顺序是( )A.B. C. D.2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =−2对称，若f(−2)=1，则f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. [−2,2]B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. (−∞,0]∪[4,+∞)D. [0,4]3. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]4. 函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是( )A. B. C. [0,4] D. [1,3]5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x −1)⩾0的x 的取值范围是( )A. [−1,1]∪[3,+∞)B. [−3,−1]∪[0,1]C. [−1,0]∪[1,+∞)D. [−1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={x 2+4x x ≥0 , 4x −x 2 , x <0若f(2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−2 , 1)B. (−1 , 2)C. (−∞ , −1)⋃(2 , +∞)D. (−∞ , −2)⋃(1 , +∞)7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是A. f(−1)<f(0)=f(2)B. f(0)<f(−1)<f(2)C. f(0)=f(2)<f(−1)D. f(−1)<f(0)<f(2)8. 设函数f(x)={x 2−6x +6,x ⩾03x +4,x <0，若互不相等的实数x 1,x 2,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是( )A. (113,6]B. (203,263)C. (203,263]D. (113,6) 9. f(x)是定义域在(−2,2)上单调递减的奇函数，当f(2−a)+f(2a −3)<0时，a 的取值范围是( )A. (0,4)B. (0,52)C. (12,52)D. (1,52) 10. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1+ x 2>0，则f (x 1)+ f (x 2)的值( )A. 恒为负值B. 恒等于零C. 恒为正值D. 无法确定正负11. 已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)上单调增加，则f(2x −1)<f(13)的x 取值范围是( ) A. (13,23). B. [13,23) C. (12,23) D. (12,23] 12. 已知函数y =f(x)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5] 13. 若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)+f(x +13)的定义域为( )A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13] 14. 已知函数f(x)={x 2+4x(x ⩾0)4x −x 2(x <0)，若f (2−a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 15. 设偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)≤f(1)的x 的取值范围是_____．16. 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是 ．17. 奇函数f(x)的定义域为[−5,5]，当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．18. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x +4)=f(x −2).若当x ∈[−3,0]时，f(x)=6−x ，则f(919)=______．三、解答题（本大题共15小题，共180.0分）19. 设函数f(x)是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)．(1)求f(0)；(2)证明f(x)奇函数；(3)解不等式．20.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1∈D,x2∈D，有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)．(Ⅰ)求f(1 )的值；(Ⅱ)判断f(x)的奇偶性并证明；(Ⅲ)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x−6)≤3，且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+bx ，且f(1)=2，f(2)=52．(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式，并判断奇偶性；(Ⅱ)用定义证明函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增；(Ⅲ)求满足f(1+2t2)−f(3+t2)<0的实数t的取值范围．22.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，且f(3)=6，(1)求f(0)，f(1)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；(3)若对于任意x∈[12,3]都有f(kx2)+f(2x−1)<0成立，求实数k的取值范围．23.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=x2−2x．(1)写出函数y=f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．24.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意a,b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立，证明：(Ⅰ)函数y=f(x)是R上的减函数；(Ⅱ)函数y=f(x)是奇函数.25.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[−1,1]，且a+b≠0时，有f(a)+f(b)>0恒成立．a+b(1)用定义证明函数f(x)在[−1,1]上是增函数;)<f(1−x);(2)解不等式：f(x+12(3)若f(x)≤m2−2m+1对所有x∈[−1,1]恒成立，求实数m的取值范围．26.定义域为R的函数f(x)满足，对任意的m，n∈R有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，有0<f(x)<1，f(4)=1．16(1)求f(0)；(2)证明：f(x)在R上是减函数；f(x2)恒成立，求实数a的取值范围．(3)若x>0时，不等式f(x)f(ax)>14)=1，如果对于0<x<y，都有f(x)> 27.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(12f(y)，(1)求f(1)；(2)解不等式f(−x)+f(3−x)≥−2。
数学中的抽象函数问题练习题
数学中的抽象函数问题练习题在数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到困惑和棘手。
抽象函数没有给出具体的解析式，需要我们通过题目所给的条件和性质，运用逻辑推理和数学方法来求解。
下面为大家准备了一些典型的抽象函数问题练习题，让我们一起来挑战一下吧！一、函数的单调性问题例 1：已知函数$f(x)＄对于任意的实数$x_1$，＄x_2$，都有$f(x_1＋ x_2) ＝ f(x_1) ＋ f(x_2)＄，且当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＞ 0$，判断函数$f(x)＄的单调性。
分析：要判断函数的单调性，我们可以设$x_1 ＜ x_2$，然后通过变形得出$f(x_2) f(x_1)＄的正负性。
解：设$x_1 ＜ x_2$，则$x_2 x_1 ＞ 0$，因为当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＞ 0$，所以$f(x_2 x_1) ＞ 0$。
＄f(x_2) ＝ f(x_1 ＋（x_2 x_1)）＝ f(x_1) ＋ f(x_2 x_1)＄所以$f(x_2) f(x_1) ＝ f(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) ＞ f(x_1)＄因此，函数$f(x)＄在其定义域上是增函数。
练习 1：设函数$f(x)＄对任意实数$x$，＄y$都有$f(x ＋ y) ＝ f(x)＋ f(y)＄，且当$x ＜ 0$时，＄f(x) ＜ 0$，＄f(1) ＝ 2$，求$f(x)＄在区间$－3, 3$上的最大值和最小值。
二、函数的奇偶性问题例 2：已知函数$f(x)＄的定义域为$R$，且对于任意的实数$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＝ x^2 ＋ 1$，求$f(x)＄的解析式。
分析：因为函数是奇函数，所以$f(0) ＝ 0$，然后利用奇函数的性质求出$x ＜ 0$时的解析式。
解：因为$f(x) ＝ f(x)＄，所以$f(0) ＝ 0$当$x ＜ 0$时，＄x ＞ 0$，所以$f(x) ＝（x)＾2 ＋ 1 ＝ x^2 ＋ 1$因为$f(x) ＝ f(x)＄，所以$f(x) ＝ f(x) ＝（x^2 ＋ 1) ＝ x^2 1$所以$f(x) ＝＼begin{cases} x^2 ＋ 1, ＆ x ＞ 0 ＼＼ 0, ＆ x ＝ 0 ＼＼x^2 1, ＆ x ＜ 0 ＼end{cases}＄练习 2：已知函数$f(x)＄对任意实数$x$，＄y$都有$f(x ＋ y) ＋ f(x y) ＝ 2f(x)f(y)＄，且$f(0) ＼neq 0$，判断函数$f(x)＄的奇偶性。
高一抽象函数练习题
高一抽象函数练习题高一抽象函数练习题高一数学课程中，抽象函数是一个重要的概念。
它是一种特殊的函数，其自变量和因变量都可以是函数。
抽象函数的引入，使得数学问题的描述和解决更加灵活和简洁。
为了帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数，以下将给出一些高一抽象函数练习题，希望能够对同学们的学习有所帮助。
1. 已知函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求抽象函数g(x) = f(f(x))的表达式。
解析：首先，我们需要求出f(f(x))的表达式。
根据抽象函数的定义，我们可以将f(f(x))展开为f(x^2 + 3x - 2)。
将f(x) = x^2 + 3x - 2代入，得到f(f(x)) = (x^2 +3x - 2)^2 + 3(x^2 + 3x - 2) - 2。
化简后，得到g(x) = x^4 + 7x^3 + 16x^2 +13x - 6。
2. 已知函数f(x) = 2x - 1，求抽象函数g(x) = f^3(x)的表达式。
解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f^3(x)的表达式。
f^3(x)表示f(f(f(x)))，即将f(x)连续作用三次。
根据给定的函数f(x) = 2x - 1，我们可以计算出f(f(x))和f(f(f(x)))的表达式，进而得到g(x) = 8x - 9。
3. 已知函数f(x) = x^2 + 2x，求抽象函数g(x) = f(f^2(x))的表达式。
解析：根据抽象函数的定义，我们需要求出f(f^2(x))的表达式。
f^2(x)表示f(f(x))，即将f(x)连续作用两次。
根据给定的函数f(x) = x^2 + 2x，我们可以计算出f(f(x))的表达式，进而得到g(x) = (x^2 + 2x)^2 + 2(x^2 + 2x)。
通过以上练习题，我们可以看到抽象函数的运用非常灵活。
在解题过程中，我们需要将给定的函数代入到抽象函数的定义中，然后进行计算和化简，最终得到所求的抽象函数表达式。
高中数学抽象函数经典综合题33例
抽象函数经典综合题抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查能力的较好途径；抽象函数问题既是难点，又是近几年来高考的热点；1．定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、，有)()()(b f a f b a f ⋅=+；I ．求证1)0(=f ； Ⅱ．求证：R x ∈∀，0)(>∃x f ；Ⅲ．证明：)(x f 是R 上的增函数；Ⅳ．若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围；2．已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=-且0)1(≠f ；I ．求证：()f x 为奇函数；II ．若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值；3．已知函数)(x f 对任意实数x ，y 恒有)()()(y f x f y x f +=+且当0>x ，0)(<x f ，又2)1(-=f .I ．判断)(x f 的奇偶性；Ⅱ．求)(x f 在区间]3,3[-上的最大值；4．已知)(x f 在)1,1(-上有定义，1)21(-=f ，且满足x ，)1,1(-∈y 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； I ．证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；II ．对数列211=x ，2112nn n x x x +=+，求)(n x f ；III ．求证+)(11x f +)(12x f +)(13x f 252)(1++->+n n x f n ；5．已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；I ．试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；II ．n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；Ⅲ．若(0)1f =，对任意,m n N ∈，有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12．6．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =；(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．I ．求(0)f 的值；II ．求()f x 的最大值；III ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈．求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-．7． 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． I ．若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；Ⅱ．判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； Ⅲ． 若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．8．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立；I ．求0x 的值；Ⅱ．若0()1f x =，且对任意正整数n ，有1()12n n a f =+，求数列{}n a 的通项公式；Ⅲ．若数列{}n b 满足1221n n b log a =+，将数列{}n b 的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：12311112924n c c c c ++++<； 9．设函数)(x f 是定义域在),0(+∞上的单调函数，且对于任意正数y x ,有)()()(y f x f y x f +=⋅，已知1)2(=f ．I ．求)21(f 的值；II ．一个各项均为正数的数列}{n a 满足：)(1)1()()(*∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求数列}{n a 的通项公式； Ⅲ．在II的条件下，是否存在正数M，使)12()12()12(12221321--⋅-+≥n n na a a n M a a a a ，对一切*∈Nn 成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由．10．定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=1120，，且x >12时，0)(<x f ； I ．设a fnn N n=∈()()*，求数列的前n 项和S n ； II ．判断)(x f 的单调性，并证明；11．设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数m ，n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当0>x 时，1)(0<<x f ； I ．求证：1)0(=f ，且当0<x 时，1)(>x f ；II ．求证：)(x f 在R 上单调递减； Ⅲ．设集合{}A x y f xf y f =>(,)|()()()221·，{}B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=∅，求a 的取值范围；12．定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a ．b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++成立，且f ()00≠； I ．求)0(f 的值；II ．试判断)(x f 的奇偶性；Ⅲ．若存在常数0>c 使f c()20=，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由；13．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：①f x x f x f x f x f x ()()()()()1212211-=+-·②存在正常数a ，使1)(=a f ， 求证：I ．)(x f 是奇函数；II ．)(x f 是周期函数，并且有一个周期为a 4；14．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：I ．x >0时，01<<f x ()；II ．f x ()在R 上为减函数；即f x ()为减函数； 15．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-22恒成立，求k 的值；16．设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <； I ．判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；II ．试问：当20032003≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； III ．解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥． 17．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：)()(1)()()(n f m f n f m f n m f ++=+，试回答下列问题：I ．试求)0(f 的值；Ⅱ．判断并证明函数)(x f 的单调性；Ⅲ．若函数)(x f 存在反函数)(x g ，求证：+)51(g +)111(g )21()131(2g n n g >+++．18．已知函数)(x f 对任意实数x ．y 都有)()()(y f x f xy f ⋅=，且1)1(-=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，)1,0[)(∈x f ；I ．判断)(x f 的奇偶性；II ．判断)(x f 在),0[+∞上的单调性，并给出证明；Ⅲ．若0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围；19．设函数)(x f y =的定义域为全体R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+成立，数列}{n a 满足)0(1f a =，且)12(1)(1+-=+n n n a a f a f （*∈N n ）I ．求证：)(x f y =是R 上的减函数； Ⅱ．求数列}{n a 的通项公式；Ⅲ．若不等式0121)1()1)(1(21≤+-+++n a a a k n 对一切*∈N n 均成立，求k 的最大值．20．函数)(x f 的定义域为D {}0x x =>， 满足： 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且1)2(=f ．I ．求)4(f 的值；II ．如果3)62(≤-x f ，且)(x f 在),0(+∞上是单调增函数，求x 的取值范围．21．函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x ．R y ∈，有yx f xy f )]([)(=；③1)31(>f ；I ．求)0(f 的值；II ．求证：)(x f 在R 上是单调增函数； Ⅲ．若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+22．定义在区间),0(∞上的函)(x f 满足：（1）．)(x f 不恒为零；（2）．对任何实数x ．q ，都有)()(x qf x f q =．I ．求证：方程0)(=x f 有且只有一个实根；II ．若1>>>c b a ，且a ．b ．c 成等差数列，求证：)()()(2b fc f a f <⋅； Ⅲ．若)(x f 单调递增，且0>>n m 时，有)2(2)()(nm f n f m f +==，求证：32m << 23． 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．I ．求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；Ⅱ．如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；Ⅲ．证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域．24．已知函数1)(1)()(+-=x g x g x f ，且)(x f ，)(x g 定义域都是r ，且0)(>x g ，2)1(=g ，)(x g 是增函数，)()()(n m g n g m g +=⋅(m ．R n ∈) ；求证：)(x f 是R 上的增函数25．定义在+R 上的函数)(x f 满足： ①对任意实数m ，)()(x mf x f m =；②1)2(=f ．求证：I ．)()()(y f x f xy f +=对任意正数x ，y 都成立；II ．证明)(x f 是*R 上的单调增函数；Ⅲ．若2)3()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围．26．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f ，1)()1(+≤+x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，求)2002(g ；27．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，1)(>x f ，且对任意x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+，2)1(=f ；I ．解不等式4)3(2>-x x f ；Ⅱ．解方程组1)2()3(21)]([2+=++f x f x f ；28、定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数x ，y 都有)()()(y f x f y x f +=+成立，且当0>x 时0)(<x f 恒成立． I ．判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅱ．证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在)3,3[-上总有6)(≤x f 成立，试确定)1(f 应满足的条件；Ⅲ．解关于x 的不等式)()(1)()(122a f x a f nx f ax f n ->-，n 是一个给定的自然数，0<a ； 29．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+I ．求()()0,1f f 的值；Ⅱ．判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅲ．若2)2(=f ，nf u n n )2(-=)(*∈N n ，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．30．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间]7,0[上，只有(1)(3)0f f ==． I ．试判断函数()y f x =的奇偶性；Ⅱ．试求方程()0f x =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．31．设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期；32．设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称；对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅； I ．设f ()12=，求f f ()()1214，；II ．证明)(x f 是周期函数；33．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足： ①当1x ，2x 是定义域中的数时，有)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；②1)(-=a f （0>a ，a 是定义域中的一个数）； ③当a x 20<<时，0)(<x f ；试问：I ．)(x f 的奇偶性如何？说明理由；II ．在)4,0(a 上，)(x f 的单调性如何？说明理由；。
专题拔尖：抽象函数压轴题(选择)
抽象函数压轴题汇总A1．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时，有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④op=0，=0，−1，≠0，是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④2．已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有2f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝1，则J0 1op=（）A．2n﹣1B．2−12C．1−12D．2−123．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有1o1)−2o2)1−2＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）4．已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）＝x3，则f（x）+ 27f（1﹣x）＞0的解集为（）A．∅B．（﹣3，12）C．（﹣2，32）D．（32，3）5．已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有o1)−o2)1−2＞0．给出以下三个命题：①直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f（x）是周期函数，且2是其一个周期；③o163)＜o12)；④关于x的方程f（x）﹣t＝0（0＜t＜1）在区间（﹣2，7）上的所有实根之和是12．A．①④B．①②④C．③④D．①②③7．已知定义在R上的函数满足f（x+2）＝﹣f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，则J12020 op=（）A．6B．4C．2D．08．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）=13，则f（2020）＝（）A．23B．−23C．−13D．139．定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）；②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0．则f（32）、f（2）、f（3）从小到大的关系是（）A．f（32）＞f（2）＞f（3）B．f（3）＞f（2）＞o32)C．f（32）＞f（3）＞f（2）D．f（3）＞o32)＞o2)10．已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+2）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有o2)−o1)2−1＜0，若f（a）≤f（3a+1），则实数a的取值范围是（）A．[−12，34]B．[﹣2，﹣1]C．(−∞，−12]D．(34，+∞)11．已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，则f（2）的值是（）A．4B．8C．10D．1212．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），又已知f（﹣2）＝2，则f （2022）＝（）A．0B．1C．32D．213．定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．设g（x）＝f（x）+sin x﹣x，若g（10）＝2020，则g（﹣10）＝（）A．﹣2020B．2020C．0D．101014．已知定义域为R的函数f（x）的图象关于原点对称，且f（2﹣x）+f（x+6）＝0，当x∈[0，4]时，f（x）=(32)−1，0≤＜2−58+52，2≤≤4，则f（f（2020））+f（2021）＝（）A．−58B．38C．58D．13815．设函数f（x）定义域为全体实数，令g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，有以下6个论断：①f（x）是奇函数时，g（x）是奇函数；②f（x）是偶函数时，g（x）是奇函数；③f（x）是偶函数时，g（x）是偶函数；④f（x）是奇函数时，g（x）是偶函数；⑤g（x）是偶函数；⑥对任意的实数x，g（x）≤0．那么正确论断的编号是（）A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，则f（0）+f（1）+…+ f（2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．202017．定义在R上的函数y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，且f（x+1）是偶函数，则使f（2x﹣1）＞f（3）成立的x的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）18．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣319．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1）＝0；②对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x）；③对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有o1)−o2)1−2＞0；记g（x）=2op−3o−pK1，则不等式g（x）≤0的解集为（）A．[﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）C．[﹣1，0）D．[﹣1，0]20．已知函数f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2020，则f（2020）＝（）A．2020B．12020C．11010D．021．设函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝log2（x+2）•log3（x+1），则f（7）＝（）A．1B．2C．6D．822．已知函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x≥1时，f（x）＝x−2，则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣3或x＞0}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x＜2或x＞4} 23．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），f（x+2）=1op，当x∈[0，2]时，f（x）＝2log2（x+3），则f（923）＝（）A．16B．923C．4D．124．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（）A．(−∞，23)∪(2，+∞)B．(23，2)C．(−23，23)D．(−∞，−23)∪(23，+∞)25．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f （2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．50B．2C．0D．﹣5026．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+ 1），则f（2019）＝（）A．1B．﹣1C．0D．log2327．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=−1op，且在（2，3）上f（x）＝4x，则f（2019.5）＝（）A．10B．0C．﹣10D．﹣2028．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0] 29．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若=o2c23p，=oc124.1)，=o20.8)，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b30．函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x+2）关于x＝﹣2对称，若f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]A1．若函数f（x）对∀a，b∈R，同时满足：（1）当a+b＝0时，有f（a）+f（b）＝0；（2）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称f（x）为Ω函数．下列函数中：①f（x）＝x﹣sin x，②f（x）＝e x﹣e﹣x，③f（x）＝e x+e﹣x，④op=0，=0，−1，≠0，是Ω函数的为（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】解：由（1）当a+b＝0时有f（a）+f（b）＝0，即为f（﹣a）＝﹣f（a），则f（x）为R上的奇函数；由（2）当a+b＞0时有f（a）+f（b）＞0，即为a＞﹣b，f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），可得f（x）为R上的增函数，则函数f（x）为R上的奇函数，且为增函数．由①f（x）＝x﹣sin x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x﹣sin（﹣x）＝﹣x+sin x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数；又f′（x）＝1﹣cos x≥0，可得f（x）为R上的增函数，故①是Ω函数；②f（x）＝e x﹣e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣f（x），即有f（x）为奇函数，又f′（x）＝e x+e﹣x＞0，可得f（x）为R上的增函数，故②是Ω函数；③f（x）＝e x+e﹣x，定义域为R，f（﹣x）＝e﹣x+e x＝f（x），可得f（x）为偶函数，故③不是Ω函数；④op=0，=0，−1，≠0，定义域为R，x≠0时，f（﹣x）=1=−f（x），可得f（x）为奇函数，又f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增，但在R上不为增函数，比如f（﹣1）＞f（1），故④不是Ω函数．故选：A．2．已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有2f（x+y）＝f（x）f（y），且f（1）＝1，则J0 1op=（）A．2n﹣1B．2−12C．1−12D．2−12【解析】解：令x＝1，y＝0，得2f（1）＝f（1）f（0），则f（0）＝2；令x＝n（n∈N*），y＝1，则有2f（n+1）＝f（n）f（1）＝f（n），∴or1)op=12，∴{f（n）}（n∈N*）为等比数列，公比为12，首项为1，则{1op}（n∈N*）为等比数列，公比为2，首项为1，则J0 1op=1o0)+1o1)+1o2)+⋯+1op=12+1+2+⋯+2K1=12+1×(1−2)1−2=2−12．故选：B．3．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（﹣1）＝0，若对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有1o1)−2o2)1−2＜0成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解析】解：根据题意，设g（x）＝xf（x），若函数f（x）是定义在R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝g（x），则g（x）为R上的偶函数，若f（﹣1）＝0，则g（﹣1）＝g（1）＝0，又由对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2时，都有1o1)−2o2)1−2＜0成立，即o1)−o2)1−2＜0，即函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数，则在（﹣∞，﹣1）上，g（x）＝xf（x）＞0，在（﹣1，0）上，g（x）＝xf（x）＜0，又由x∈（﹣∞，0），则在（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在（﹣1，0），f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，在在（0，1），f（x）＜0，综合可得：f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）；故选：C．4．已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满足f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），且x≥0时，f（x）＝x3，则f（x）+27f（1﹣x）＞0的解集为（）A．∅B．（﹣3，12）C．（﹣2，32）D．（32，3）【解析】解：∵f（x﹣1）＝﹣f（1﹣x），令x＝x+1，∴f（x）＝﹣f（﹣x），∴函数f（x）为奇函数，∵x≥0时，f（x）＝x3，∴f（x）＝x3，x∈（﹣3，3），∴f（x）+27f（1﹣x）＝x3+27（1﹣x）3＞0，∴x3＞[3（x﹣1）]3，∵f（x）＝x3为增函数，∴x＞3（x﹣1），∴﹣3＜x＜32，故选：C．5．已知函数f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有o1)−o2)1−2＞0．给出以下三个命题：①直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴；②函数f（x）在区间[﹣9，﹣6]上为增函数；③函数f（x）在区间[﹣9，9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】解：根据题意，对于任意x∈R，都有f（x+6）＝f（x）+f（3）成立，令x＝﹣3，则f（﹣3+6）＝f（﹣3）+f（3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）＝0，则有f（x+6）＝f（x），所以f（x）的周期为6；据此分析三个命题：对于①，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为y轴，又由函数的周期为6，则直线x＝﹣6是函数f（x）图象的一条对称轴，①正确；对于②，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有o1)−o2)1−2＞0，则函数y＝f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y＝f（x）在[﹣3，0]上为减函数，而f（x）的周期为6，所以函数y＝f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数；②错误；对于③，f（3）＝0，f（x）的周期为6，所以f（﹣9）＝f（﹣3）＝f（3）＝f（9）＝0，函数y＝f（x）在[﹣9，9]上有四个零点；③错误；三个命题中只有①是正确的；故选：B．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f（x）是周期函数，且2是其一个周期；③o163)＜o12)；④关于x的方程f（x）﹣t＝0（0＜t＜1）在区间（﹣2，7）上的所有实根之和是12．A．①④B．①②④C．③④D．①②③【解析】解：由题意，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，即f（x+2）＝f（﹣x）可知f（x）的图象关于直线x＝1对称，①正确；因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是f（x）的周期，故②错误；由f（x）的周期性和对称性可得o163)=o4+43)=o43)=o23)．又当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），所以f（x）在x∈[0，1]时单调递增，所以o12)＜o23)，即o163)＞o12)，③错误；又x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则可画出f（x）在区间[﹣4，8]上对应的函数图象大致如下．易得f（x）﹣t＝0（0＜t＜1）即f（x）＝t（0＜t＜1）在区间（﹣2，7）上的根分别关于1，5对称，故零点之和为2×（1+5）＝12，④正确．故选：A．7．已知定义在R上的函数满足f（x+2）＝﹣f（x），x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，则J12020 op=（）A．6B．4C．2D．0【解析】解：因为x∈（0，2]时，f（x）＝x﹣sinπx，所以f（1）＝1﹣sinπ＝1，f（2）＝2﹣sin2π＝2，因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（0）＝﹣f（2）＝﹣2，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，所以f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）＝0．因为f（x+2）＝﹣f（x），将x换为x+2，则f（x+4）＝﹣f（x+2），所以f（x）＝f（x+4），即函数的周期为4，所以J12020 op=505×[f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）]＝0．故选：D．8．函数f（x）满足3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），且f（1）=13，则f（2020）＝（）A．23B．−23C．−13D．13【解析】解：取x＝1，y＝0，得3f（0）f（1）＝f（1）+f（1）=23，∴f（0）=23，取x＝n，y＝1，有3f（n）f（1）＝f（n+1）+f（n﹣1），即f（n）＝f（n+1）+f（n﹣1），同理：f（n+1）＝f（n+2）+f（n），∴f（n+2）＝﹣f（n﹣1），∴f（n）＝﹣f（n﹣3）＝f（n﹣6）所以函数是周期函数，周期T＝6，故f（2020）＝f（3×336+4）＝f（4）．∵3f（x）f（y）＝f（x+y）+f（x﹣y）令x＝y＝1，得3f2（1）＝f（2）+f（0），可得f（2）=−13，令x＝2，y＝1，得3f（2）f（1）＝f（3）+f（1），解得f（3）=−23，令x＝3，y＝1，得3f（3）f（1）＝f（4）+f（2），解得f（4）=−13．∴f（2020）=−13；故选：C．9．定义在R上的函数y＝f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）；②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称；③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0．则f（32）、f（2）、f（3）从小到大的关系是（）A．f（32）＞f（2）＞f（3）B．f（3）＞f（2）＞o32)C．f（32）＞f（3）＞f（2）D．f（3）＞o32)＞o2)【解析】解：由①对于任意的x∈R，都有f（x+1）＝f（x﹣1）；得函数为周期函数，且周期为2，由②函数y＝f（x+1）的图象关于y轴对称；得函数的图象关于直线x＝1对称，由③对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＞0得函数在[0，1]为增函数，则f（32）＝f（12），f（2）＝f（0），f（3）＝f（1），又因为0＜12＜1，所以f（0）＜f（12）＜f（1），即f（2）＜f（32）＜f（3），故选：D．10．已知定义在R上的函数f（x），若函数y＝f（x+2）为偶函数，且f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有o2)−o1)2−1＜0，若f（a）≤f（3a+1），则实数a的取值范围是（）A．[−12，34]B．[﹣2，﹣1]C．(−∞，−12]D．(34，+∞)【解析】解：根据题意，函数y＝f（x+2）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x＝2对称，f（x）对任意x1，x2∈[2，+∞）（x1≠x2），都有o2)−o1)2−1＜0，则函数f（x）在[2，+∞）上为减函数，则f（a）≤f（3a+1）⇔|a﹣2|≥|3a+1﹣2|，即|a﹣2|≥|3a﹣1|，解可得：−12≤a≤34，即a的取值范围为[−12，34]．故选：A．11．已知函数f（x）在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，则f（2）的值是（）A．4B．8C．10D．12【解析】解：∵对任意x∈R，都有f[f（x）﹣3x]＝4，且函数f（x）在R上是单调函数，故f（x）﹣3x＝k，即f（x）＝3x+k，∴f（k）＝3k+k＝4，解得：k＝1，故f（x）＝3x+1，∴f（2）＝10，故选：C．12．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），又已知f（﹣2）＝2，则f（2022）＝（）A．0B．1C．32D．2【解析】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数且满足f（4﹣x）＝f（x），则有f（4﹣x）＝f（﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，则f（2022）＝f（﹣2+506×4）＝f（﹣2）＝2；故选：D．13．定义在R上的函数f（x）满足对任意的x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）．设g（x）＝f（x）+sin x﹣x，若g（10）＝2020，则g（﹣10）＝（）A．﹣2020B．2020C．0D．1010【解析】解：∵有f（x+y）＝f（x）+f（y），∴f（0+0）＝f（0）+f（0）＝f（0），即f（0）＝0，令y＝﹣x，则有f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0即f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，若g（x）＝f（x）+sin x﹣x，g（10）＝2020，则g（10）＝f（10）+sin10﹣10＝2020，则g（﹣10）＝f（﹣10）﹣sin10+10＝﹣f（10）﹣sin10+10，两式相加得：0＝2020+g（﹣10），得g（﹣10）＝﹣2020，故选：A．14．已知定义域为R的函数f（x）的图象关于原点对称，且f（2﹣x）+f（x+6）＝0，当x∈[0，4]时，f（x）=(32)−1，0≤＜2−58+52，2≤≤4，则f（f（2020））+f（2021）＝（）A．−58B．38C．58D．138【解析】解：根据题意，定义域为R的函数f（x）的图象关于原点对称，即函数f（x）为奇函数，则有f （﹣x）＝﹣f（x），又由f（2﹣x）+f（x+6）＝0，则有﹣f（x﹣2）+f（x+6）＝0，即f（x+6）＝f（x﹣2），变形可得f（x+8）＝f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2020）＝f（4+2016）＝f（4），f（2021）＝f（﹣3+2024）＝f（﹣3）＝﹣f（3），又由当x∈[0，4]时，f（x）=(32)−1，0≤＜2−58+52，2≤≤4，则f（4）＝0，f（3）=58；则f（2020）＝f（4）＝0，则有f（f（2020））＝f（0）＝0；故f（f（2020））+f（2021）＝0−58=−58；故选：A．15．设函数f（x）定义域为全体实数，令g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，有以下6个论断：①f（x）是奇函数时，g（x）是奇函数；②f（x）是偶函数时，g（x）是奇函数；③f（x）是偶函数时，g（x）是偶函数；④f（x）是奇函数时，g（x）是偶函数；⑤g（x）是偶函数；⑥对任意的实数x，g（x）≤0．那么正确论断的编号是（）A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤【解析】解：根据题意，g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，依次分析6个判断：对于①f（x）是奇函数时，有f（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故①错误；对于②f（x）是偶函数时，有f（﹣x）＝f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故②错误；③f（x）是偶函数时，f（﹣x）＝f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故③正确；④f（x）是奇函数时，f（﹣x）＝﹣f（x），则g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（x）|＝g（x），g（x）是偶函数，故④正确；⑤g（x）＝f（|x|）﹣|f（x）|，而g（﹣x）＝f（|﹣x|）﹣|f（﹣x）|＝f（|x|）﹣|f（﹣x）|，则g（x）不一定是偶函数，⑤错误；⑥设f（x）＝x+5，则f（|﹣2|）＝f（2）＝7，f（﹣2）＝（﹣2）+5＝3，|f（﹣2）|＝3，则g（﹣2）＝f（|﹣2|）﹣|f（﹣2）|＝7﹣3＞0，⑥错误；综上可得，③④正确；故选：A．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1﹣x）＝﹣f（1+x），f（0）＝1，则f（0）+f（1）+…+f （2020）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2020【解析】解：根据题意，f（x）满足f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即函数f（x）图象关于点（1，0）对称，则有f（x+2）＝﹣f（﹣x），又由f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即有f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）为周期为4的周期函数，f（0）＝1，则f（2）＝﹣f（0）＝﹣1，f（1）+f（3）＝0，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝0，则f（0）+f（1）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]×505+f（2020）＝f（0）＝1；故选：C．17．定义在R上的函数y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，且f（x+1）是偶函数，则使f（2x﹣1）＞f（3）成立的x的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，0）【解析】解：根据题意，f（x+1）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，若y＝f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，则f（x）在[1，+∞）上为增函数，f（2x﹣1）＞f（3）⇒|2x﹣2|＞|3﹣1|，解可得x＜0或x＞2，即x的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）；故选：B．18．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣3【解析】解：根据题意，对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），则有f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，又由f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，则f（3）＝﹣f（0）＝0，又由当∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（1）＝3，f（2）＝f（﹣1+3）＝﹣f（﹣1）＝f（1）＝3，f（4）＝f（1+3）＝﹣f（1）＝﹣3，f（5）＝f（2+3）＝﹣f（2）＝﹣3，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]×336+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝f（2）＝3；故选：B．19．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（1）＝0；②对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x）；③对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有o1)−o2)1−2＞0；记g（x）=2op−3o−pK1，则不等式g（x）≤0的解集为（）A．[﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）C．[﹣1，0）D．[﹣1，0]【解析】解：根据题意，f（x）满足对任意x∈R的都有f（﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，则有f（0）＝0；又由对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，总有o1)−o2)1−2＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，若f（1）＝0，则在区间（0，1）上，f（x）＜0，在区间（1，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，﹣1）上，f（x）＜0，在区间（﹣1，0）上，f（x）＞0，则g（x）≤0即g（x）=2op−3o−pK1=5op K1≤0，即op＜0−1＞0或op＞0−1＜0或op=0−1≠0，解可得：﹣1≤x≤0，即不等式g（x）≤0的解集为[﹣1，0]；故选：D．20．已知函数f（x+2）（x∈R）为奇函数，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f （x）=2020，则f（2020）＝（）A．2020B．12020C．11010D．0【解析】解：根据题意，函数f（x+2）为奇函数，即函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，则有f（﹣x）＝﹣f（x+4），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（﹣x）＝f（2+x），变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2），即f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（2020）＝f（0+505×4）＝f（0）＝0；故选：D．21．设函数f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈（0，2]时，f（x）＝log2（x+2）•log3（x+1），则f（7）＝（）A．1B．2C．6D．8【解析】解：根据题意，f（x）满足f（x+2）＝2f（x），则f（7）＝2f（5）＝4f（3）＝8f（1），又由当x∈（0，2]时，f（x）＝log2（x+2）•log3（x+1），则f（1）＝log23•log32＝1，则f（7）＝8f（1）＝8；故选：D．22．已知函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x≥1时，f（x）＝x−2，则{x|f（x+2）＞1}＝（）A．{x|x＜﹣3或x＞0}B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜﹣2或x＞0}D．{x|x＜2或x＞4}【解析】解：由f（1﹣x）＝f（1+x），得函数关于x＝1对称，当x≥1时，f（x）＝x−2，则f（x）为增函数，且f（2）＝2﹣1＝1，由f（x）＞1得x＞2，由对称性知当x＜1时，由f（x）＞1得x＜0，综上f（x）＞1得x＞2或x＜0，由f（x+2）＞1得x+2＞2或x+2＜0，得x＞0或x＜﹣2，即不等式的解集为{x|x＜﹣2或x＞0}，故选：C．23．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），f（x+2）=1op，当x∈[0，2]时，f（x）＝2log2（x+3），则f（923）＝（）A．16B．923C．4D．1【解析】解：因为定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，又因为f（x+2）=1op，所以f（x+4）=1or2)=11op=f（x），所以函数f（x）的周期是4，所以f（923）＝f（4×230+3）＝f（3）＝f（﹣1）＝f（1），因为当x∈[0，2]时，f（x）＝2log2（x+3），所以f（923）＝f（1）＝2log24＝4，故选：C．24．已知f（x+2）是偶函数，f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0的解集是（）A．(−∞，23)∪(2，+∞)B．(23，2)C．(−23，23)D．(−∞，−23)∪(23，+∞)【解析】解：根据题意，f（x+2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，又由f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，则f（x）在[2，+∞）上递增，又由f（0）＝0，则f（2﹣3x）＞0⇒f（2﹣3x）＞f（0）⇒|3x|＞2，解可得：x＜−23或x＞23，即不等式的解集为（﹣∞，−23）∪（23，+∞）；故选：D．25．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f （2）+f（3）+…+f（2020）＝（）A．50B．2C．0D．﹣50【解析】解：根据题意，f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0；又由f（1﹣x）＝f（1+x）即有f（x+2）＝f（﹣x），则f（x+2）＝﹣f（x），进而得到f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）＝2，可得f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2）＝f（0）＝0，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）＝505×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝0；故选：C．26．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2019）＝（）A．1B．﹣1C．0D．log23【解析】解：根据题意，f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），则有f（x+2）＝f（﹣x），又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+5×505）＝f（﹣1）＝﹣f（1），又由当x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（1）＝log2（1+1）＝1，则f（2019）＝﹣f（1）＝﹣1；故选：B．27．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=−1op，且在（2，3）上f（x）＝4x，则f（2019.5）＝（）A．10B．0C．﹣10D．﹣20【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+1）=−1op，则f（x+2）=−1or1)=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（2019.5）＝f（2022﹣2.5）＝f（﹣2.5），又由f（x）为奇函数，则f（﹣2.5）＝﹣f（2.5）＝﹣4×2.5＝﹣10，则f（2019.5）＝﹣10，故选：C．28．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]【解析】解：根据题意，对于函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x），有f（a﹣x）＝ln（a﹣x）+ln[a﹣（a﹣x）]＝lnx+ln（a﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，若函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则有2=1，则a＝2，则f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），其定义域为（0，2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，又由t＝﹣（x﹣1）2+1，0＜x＜2，则有0＜t≤1，则y＝lnt≤0，即函数f（x）的值域为（﹣∞，0]；故选：D．29．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，若=o2c23p，=oc14.1)，=o20.8)，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解析】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，a＝f（2cos23）＝f（2cos3）＝f（1），b＝f（c124.1）＝f（log24.1）c＝f（20.8），又由函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，且1＜20.8＜2＜log24.1，则a＜c＜b；故选：A．30．函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（x+2）关于x＝﹣2对称，若f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]【解析】解；根据题意，f（x+2）关于x＝﹣2对称，则f（x）为偶函数，且f（﹣2）＝f（2）＝1，则f（x﹣2）≤1⇒f（|x﹣2|）≤f（|﹣2|），又f（x）在（0，+∞）单调递增，所以|x﹣2|≤2，解可得0≤x≤4；故选：D．。
抽象函数_题型大全(例题_含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。
抽象函数的性质及其经典例题
抽象函数的性质及其金典例题函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数；7、若在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
函数图像的对称性：1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点成中心对称图形；4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0；5、形如的图像是双曲线，由常数分离法知：对称中心是点；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
第4节 抽象函数问题(有答案)
第4节抽象函数问题内容提要1．轴对称：如果函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等，如图1.2．中心对称：若函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()2f x f x b +=，则()f x 关于点(,)a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称，如图2.3．函数图象的对称轴和对称中心距离（规律：x 系数相反是对称，x 系数相同是周期）()()f x a f a x +=-或(2)()f a x f x +=-()f x 关于直线x a =对称（当0a =时，()f x 即为偶函数，关于y 轴对称）()()f a x f b x +=-()f x 关于直线2a bx +=对称()()0f a x f a x ++-=()f x 关于(,0)a 对称（当0a =时，()f x 即为奇函数，关于原点对称）()()f a x b x c++-=()f x 关于点(,)22a b c+对称4．双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.5．原函数与导函数的对称结论：（无需死记结论，想象图象，能理解就行）（1）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称中心(,)a b ，则()f x '必有对称轴x a =.特别地，若()f x 为奇函数，则()f x '为偶函数.（2）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称轴x a =，则()f x '必有对称中心(,0)a .特别地，若()f x 为偶函数，则()f x '为奇函数.（3）若()f x '有对称中心(,)a b ，则()f x 不一定有对称轴x a =；但若0b =，则()f x 一定有对称轴x a =.特别地，若()f x '为奇函数，则()f x 必为偶函数.（4）若()f x '有对称轴x a =，则()f x 必有对称中心(,)a b .特别地，若()f x '是偶函数，则()f x 不一定是奇函数，只能()f x 关于(0,)b 对称，但b 不一定是0.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x --=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >->答案：C解析：()(2)0()(2)()f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以(1)(3)f f -=，因为321>>，且()f x 在[1,)+∞上为增函数，所以(3)(2)(1)f f f >>，从而(1)(2)(1)f f f ->>.【反思】本题的关键是由()(2)0f x f x --=识别出()f x 的对称性.【变式1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x +-=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >>-答案：D解析：()(2)0()f x f x f x +-=⇒关于点(1,0)对称，又()f x 在[1,)+∞上 ，所以()f x 的草图如图，由图可知()f x 在R 上 ，所以(2)(1)(1)f f f >>-.【反思】本题只需由()(2)0f x f x +-=识别出()f x 的对称性，结合单调性想象图形就可以解题.【变式2】已知函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，若函数1()y x f x =--有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=.答案：3解析：看到()(2)f x f x =-，马上想到()f x 的图象关于1x =对称，而要研究1()y x f x =--的零点，可以分离一下，再作图看交点，1()01()x f x x f x --=⇔-=，函数()f x 没给解析式，只能从对称的角度来看，由于()y f x =和1y x =-的图象也都于1x =对称，故它们的交点关于直线1x =对称，如图，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【变式3】已知函数()f x 满足(2)2()()f x f x x -=-∈R ，若(1)(0)4f f -+=，则(2)(3)f f +=.答案：0解析：(2)2()(2)()2f x f x f x f x -=-⇒-+=，所以()f x 的图象关于点(1,1)对称，而(1)f -，(0)f ，(2)f ，(3)f 这几个函数值中，1-和3关于1对称，0和2关于1对称，所以(1)f -和(3)f 有关系，(0)f 和(2)f 有关系，抓住这点就可以求(2)(3)f f +了，在(2)()2f x f x -+=中取3x =可得(1)(3)2f f -+=，所以(3)2(1)f f =--，取2x =可得(0)(2)2f f +=，所以(2)2(0)f f =-，故(2)(3)4(1)(0)f f f f +=---，又(1)(0)4f f -+=，所以(2)(3)0f f +=.【例2】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=.答案：3解析：由题意，()f x 有对称轴0x =和2x =，所以()f x 的周期为4，故(1)(3)3f f -==.【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【变式1】偶函数()f x 满足(2)()2f x f x -+=，且(4)1f =-，则(0)(1)f f +=.答案：0解析：由题意，(2)()2()f x f x f x -+=⇒关于点(1,1)对称，又()f x 为偶函数，所以()f x 关于y 轴对称，从而()f x 的周期为4，故(0)(4)1f f ==-，在(2)()2f x f x -+=取1x =可求得(1)1f =，所以(0)(1)0f f +=.【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍.【变式2】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(50)f f f ++⋅⋅⋅+=（）（A ）50-（B ）0（C ）2（D ）50答案：C解法1：首先由双对称，推出周期，下面给出结论的推导方法，因为()f x 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)f x f x +=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，接下来还需计算(2)f 和(4)f ，不能只由周期来求，要结合奇函数满足(0)0f =这个隐含条件，在(1)(1)f x f x -=+中取1x =-知(2)(0)0f f ==，又(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)20(2)00f f f f +++=++-+=，故(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.解法2：也可以分析已知条件，举一个具体的函数来求解答案，()f x 为奇函数()f x ⇒有对称中心坐标原点，(1)(1)f x f x -=+⇒有对称轴1x =，既有对称轴又有对称中心，在三角函数中比较好找，结合(1)2f =，可取()2sin 2f x x π=，此时不难发现()f x 周期为4，(2)0f =，(3)2f =-，(4)0f =，所以(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式3】（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +是偶函数，(21)f x +是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）（A ）1()2f -（B ）(1)f -（C ）(2)f （D ）(4)f 答案：B解法1：先由题干的条件推导()f x 的对称性情况，(2)f x +是偶函数()f x ⇒关于直线2x =对称，题干给出(21)f x +是奇函数，这个条件怎么翻译？实际上，它和(1)f x +为奇函数效果一样，都能得出()f x 关于点(1,0)对称，理由如下，设()(21)v x f x =+，则()v x 是奇函数，所以()()v x v x -=-，即(2()1)(21)f x f x -+=-+，从而(21)(21)f x f x -+=-+，令2t x =，则(1)(1)f t f t -+=-+，故(1)(1)0f t f t -+++=，所以()f x 关于点(1,0)对称，从而()f x 周期为4，且(1)0f =，又()f x 的图象关于2x =对称，所以(3)0f =，故(1)(3)0f f -==，选B.解法2：也可以直接翻译已知条件，通过赋值来求解答案，但这种解法更抽象，由题意，(2)f x +是偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+①，又(21)f x +是奇函数，所以(21)(21)f x f x -+=-+②，在②中取0x =得(1)(1)f f =-，所以(1)0f =，已经得到一个等于0的函数值了，但没有这个选项，所以结合式①继续推理，为了在式①中构造出(1)f ，取1x =得(1)(3)f f =，故(3)0f =，选项中还是没有(3)f ，所以又结合式②继续推理，为了构造出(3)f ，在②中取1x =得(1)(3)0f f -=-=，所以选B.【反思】若()f x 的图象关于点(,)a b 对称，且()f x 在x a =处有定义，则必有()f a b =.【变式4】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()0f x f x ++-=，当[1,0]x ∈-时，()f x x =，则9()2f =.答案：12解析：由题意，()f x 有对称中心(0,0)和(1,0)，故其周期为2，所以9111(()()2222f f f ==--=.【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.【例3】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x +为偶函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，则(2)(2)f f '+=.答案：1解析：(1)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线1x =对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，所以(0)2f =，(0)1f '=，因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(2)2f =，（关于2x =对称的位置函数值相等）且(2)1f '=-（关于2x =对称的位置的切线也关于2x =对称，斜率相反，如图），故(2)(2)1f f '+=.【变式1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，(1)f x +为奇函数，设()()g x f x '=，(4)()0()g x g x x -+=∈R ，且(2)2f =，则(1)(2)(10)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2解析：先利用已知条件推出()f x 的对称性、周期性，再画草图看函数值，(1)f x +为奇函数()f x ⇒关于点(1,0)对称，所以(1)0f =，又(2)2f =，所以(0)2f =-，如图，(4)()0()g x g x g x -+=⇒关于(2,0)对称()f x ⇒关于直线2x =对称，所以()f x 周期为4，且(3)(1)0f f ==，(4)(0)2f f ==-，从而(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(10)[(1)(2)(3)(4)][(5)(6)(7)(8)](9)(10)f f f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+++++++++(9)(10)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式2】（2022·新高考Ⅰ卷）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则（）（A ）(0)0f =（B ）1()02g -=（C ）(1)(4)f f -=（D ）(1)(2)g g -=答案：BC解析：先把已知的3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数翻译一下，可以翻译成()f x 和()g x 的对称性，3(2)2f x -为偶函数33(2)(2)()22f x f x f x ⇒+=-⇒的图象关于直线32x =对称，(2)g x +为偶函数()g x ⇒的图象关于直线2x =对称()f x ⇒的图象关于点(2,(2))f 对称，（此处必须通过直观想象图形的样子，用()g x 的对称性反推()f x 的对称性，否则无法求解此题）所以()f x 是以2为周期的周期函数（双对称周期结论），故()g x 也是以2为周期的周期函数，A 项，(0)(2)f f =，而(2)f 的值无法确定，故A 项错误；B 项，()g x 周期为213()()22g g ⇒-=，因为()f x 的图象关于直线32x =对称，所以3()2f 必是()f x 的极值，从而3()02f '=，故3(02g =，所以1()02g -=，故B 项正确；C 项，()f x 的图象关于直线32x =对称(1)(4)f f ⇒-=，故C 项正确；D 项，()g x 周期为2(1)(1)g g ⇒-=，又()f x 的图象关于直线32x =对称，所以()f x 的图象在1x =和2x =处的切线斜率互为相反数，从而(1)(2)g g =-，所以(1)(2)g g -=-，故D 项错误.强化训练1．（2022·成都模拟·★★★）已知函数()y f x =满足(4)()0()f x f x x +--=∈R ，且()f x 在[2,)+∞上为减函数，则（）（A ）22(log 3)(log 5.1)(3)f f f >>（B ）22(log 5.1)(log 3)(3)f f f >>（C ）22(log 5.1)(3)(log 3)f f f >>（D ）22(log 3)(3)(log 5.1)f f f >>答案：B解析：(4)()0()f x f x f x +--=⇒的图象关于直线2x =对称，结合()f x 在[2,)+∞上为减函数可得当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故22(3)(log 3)(log 5.1)f f f <<.2．（2022·甘肃模拟·★★★）定义在R 上的奇函数()f x 满足(8)(4)f x f x +=--，且当[0,2]x ∈时，()13x f x =-，则(2022)f =（）（A ）8-（B ）2-（C ）2（D ）8答案：D解析：(8)(4)()f x f x f x +=--⇒关于2x =对称，()f x 为奇函数()f x ⇒关于原点对称，所以周期为8，故2(2022)(25286)(6)(2)(2)(13)8f f f f f =⨯+==-=-=--=.3．（2021·湖北模拟·★★★）（多选）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，则（）（A ）()f x 是周期函数，且周期为2（B ）()f x 的最大值是1，最小值是14（C ）()f x 在[2,4]上单调递减，在[4,6]上单调递增（D ）当[2,4]x ∈时，21()()2x f x -=答案：BC解析：A 项，()f x 是偶函数()f x ⇒关于0x =对称，(2)(2)()f x f x f x +=-⇒关于2x =对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，故A 项错误；B 项，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，结合()f x 是周期为4的偶函数可作出()f x 的大致图象如图，由图可知min 1()(0)4f x f ==，max ()(2)1f x f ==，故B 项正确；C 项，由图可知C 项正确；D 项，由图可知()f x 在[2,4]上 ，而21()2x y -=在[2,4]上 ，故D 项错误.4．（★★★）若()f x 是定义域为R 的奇函数，(2)()f x f x +=-，若(1)1f =，则(1)(2)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：1解析：()f x 有对称中心(0,0)和对称轴1()x f x =⇒周期为4，在(2)()f x f x +=-中取0x =知(2)(0)0f f ==，又(3)(1)(1)1f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(2022)(2021)(2022)(1)(2)1f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+=+=.5．（★★★）已知函数())1f x x =+，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，55(,)x y ，则51()i i i x y =+=∑（）（A ）0（B ）5（C ）10（D ）15答案：B解析：()g x 没给解析式，给的是()()2g x g x -+=，只能得出对称性，所以也要研究()f x 的对称性，注意到)y x =为奇函数，其图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称，又()()2g x g x -+=，所以()g x 的图象也关于点(0,1)对称，故()f x 与()g x 的交点关于点(0,1)对称，如图，由图可知，1250x x x ++⋅⋅⋅+=，1255y y y ++⋅⋅⋅+=，所以51()5i i i x y =+=∑.6．（2022·四川模拟·★★★）奇函数()f x 满足(2)()0()f x f x x ++-=∈R ，若当01x ≤≤时，2()44f x x x =-，则函数()lg y f x x =-的零点个数为.答案：9解析：(2)()0()f x f x f x ++-=⇒的图象关于点(1,0)对称，又()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 的周期为2，如图，lg y x =与()y f x =的图象共有9个交点，所以函数()lg y f x x =-有9个零点.7．（2022·江苏模拟·★★★）偶函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，当[0,1]x ∈时，2()22f x x =-，则函数4()()2log 1g x f x x =--的所有零点之和为（）（A ）4（B ）6（C ）8（D ）10答案：B解析：()(2)()f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()f x 为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为2，4()0()2log 1g x f x x =⇔=-，作出图象如图，由图可知两图象有6个交点，且它们两两关于直线1x =对称，故()g x 的零点之和为6.8．（★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x -为奇函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，则(2)(2)f f '-+-=.答案：1解析：(1)f x -为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)-对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，所以(0)2f =-，(0)1f '=-，因为()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以(2)2f -=，（点(2,(2))f --和(0,(0))f 关于(1,0)-对称）且(2)1f '-=-（关于(1,0)-对称的位置的切线斜率相等，如图），故(2)(2)1f f '-+-=.9．（★★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(2)f x +和()f x '均为奇函数，且(0)2f =，则(2)(4)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2-解析：先把已知条件翻译成()f x 的对称性，再利用对称性求函数值，最好画个图比较容易理解，(2)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(2,0)对称，所以(2)0f =，()f x '为奇函数()f x ⇒为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为8，因为(0)2f =，且()f x 关于(2,0)对称，所以(4)2f =-，又()f x 为偶函数，且周期为8，所以(6)(2)(2)0f f f =-==，(8)(0)2f f ==，从而(2)(4)(6)(8)0(2)020f f f f +++=+-++=，故(2)(4)(2022)[(2)(4)(6)(8)][(10)(12)(14)(16)]f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++++⋅⋅⋅[(2010)(2012)(2014)(2016)](2018)(2020)(2022)f f f f f f f +++++++(2018)(2020)(2022)(2)(4)(6)2f f f f f f =++=++=-.10．（2021·新课标Ⅱ卷·★★★★）设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，2()f x ax b =+.若(0)(3)6f f +=，则9()2f =（）（A ）94-（B ）32-（C ）74（D ）52答案：D解析：(1)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)对称，所以(1)(1)f x f x +=--，(2)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线2x =对称，所以(2)(2)f x f x +=-，从而()f x 是以4为周期的周期函数，所以91()(22f f =，在(1)(1)f x f x +=--中取12x =可得13()(22f f =-，所以939(()224f f a b =-=--，还得把a 和b 求出来才能得出答案，在(1)(1)f x f x +=--中取1x =可得(0)(2)4f f a b =-=--，在(2)(2)f x f x +=-中取1x =得(3)(1)f f a b ==+，所以(0)(3)36f f a +=-=，故2a =-，在(1)(1)f x f x +=--中取0x =得(1)0f =，而(1)f a b =+，所以0a b +=，故2b =，所以995()242f a b =--=.11．（2022·全国乙卷·理·12·★★★★）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=.若()y g x =的图象关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）（A ）21-（B ）22-（C ）23-（D ）24-答案：D解析：要求221()k f k =∑，得研究()f x 的性质，先用已知的()(2)5()(4)7f xg x g x f x +-=⎧⎨--=⎩把()g x 有关的消掉，在()(4)7g x f x --=中将x 换成2x -可得(2)(2)7g x f x ----=，所以(2)(2)7g x f x -=--+，代入()(2)5f x g x +-=可得()(2)75f x f x +--+=，所以()(2)2f x f x +--=-，故()f x 关于(1,1)--对称，题干给出了()g x 关于2x =对称，而()g x 和()f x 显然是有关系的，可以由此条件再推导()f x 的对称性，由()(4)7g x f x --=可得(4)()7f x g x -=-，将x 换成4x +可得()(4)7f x g x =+-，从而()f x 可由()g x 左移4个单位，下移7个单位得到，故()f x 关于直线2x =-对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，接下来求一个周期的整点函数值，就可以算出221()k f k =∑，首先，()f x 关于(1,1)--对称，所以(1)1f -=-，故(3)1f =-，又()f x 关于2x =-对称，所以(3)(1)1f f -=-=-，结合周期为4可得(1)(3)1f f =-=-，只要求出(2)f 和(4)f ，就大功告成，条件中(2)4g =还没用，先在题干给的等式中将(2)g 构造出来，因为(2)4g =，在()(2)5f x g x +-=中取0x =可得(0)(2)5f g +=，所以(0)5(2)1f g =-=，故(4)1f =，由(0)1f =以及()f x 关于(1,1)--对称可得(2)3f -=-，结合周期为4可得(2)3f =-，所以221()5[(1)(2)(3)(4)](1)(2)5(1311)1324k f k f f f f f f ==⨯+++++=⨯---+--=-∑.12．（2022·新高考Ⅱ卷·★★★★）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，(1)1f =，则221()k f k ==∑（）（A ）3-（B ）2-（C ）0（D ）1答案：A 解法1：本题要221()k f k =∑，应该要先求()f x 的周期，可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中对y 赋值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1y =可得(1)(1)()f x f x f x ++-=①，在①中将x 换成1x +可得(2)()(1)f x f x f x ++=+，结合式①可得(2)()()(1)f x f x f x f x ++=--，所以(2)(1)f x f x +=--，从而(3)()f x f x +=-，故(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为6；求出了周期，接下来需要计算一个周期内的整点函数值，问题就解决了，因为已知(1)f ，所以可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=通过赋值构造出(1)f 和其它的函数值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1x =，0y =可得2(1)(1)(0)f f f =，又(1)1f =，所以(0)2f =，结合周期为6可得(6)2f =，令1x y ==可得2(2)(0)(1)f f f +=，所以2(2)(1)(0)1f f f =-=-，令2x =，1y =可得(3)(1)(2)(1)f f f f +=，所以(3)(2)(1)(1)2f f f f =-=-，在(3)()f x f x +=-中令1x =可得(4)(1)1f f =-=-，令2x =可得(5)(2)1f f =-=，所以(1)(2)(6)1121120f f f ++⋅⋅⋅+=---++=，故221()(1)(2)(3)(4)11213k f k f f f f ==+++=---=-∑.解法2：设()2cos 3f x x π=，不难验证满足题干所有条件，进一步可求得221()3k f k ==-∑.。
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x 0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x a x x 当20<<a 时,}12|{<>∈x ax x x 或当a>2时，}12|{><∈x a x x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy y x ++1)⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n );⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212nn x x +)＝f (nnn nxx xx ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )∴)()(1nn x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1(Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数Nx f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数.（2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥∙∙∙ ∴f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证 （3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为nS ，且满足*12(3),n nS a n N =--∈.求证：123112332()()()()2nn f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max()(1)3f x f ∴== (III)*12(3)()nn S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n nn na a n a a --∴=≥=≠∴=111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n nf a f a +≤+。
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。
抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。
本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或 当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=n n n ni if6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。
必修一数学抽象函数习题精选含答案
抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。
若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。
2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。
分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。
抽象函数经典习题
题型7：抽象函数问题★★★★【例1】定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧>---≤-,0),2()1(,0,21x x f x f x x则f (－1)＝ ，f (33)＝ . 【解析】4；－2.例13．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅（Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围。
（Ⅰ）解：令.0)1(),1()1()11(,121=+=⨯==f f f f x x 解得有 （Ⅱ）证明：令121,x x ==-[(1)(1)](1)(1),(1)0f f f f -⨯-=-+--=有解得令).()(),()1()(,121x f x f x f f x f x x x =-∴+-=-=-=有 ∴)(x f 为偶函数。
（Ⅲ）.3)4()16()416(,2)4()4()44(=+=⨯=+=⨯f f f f f f ∴)64()]62)(13[(3)62()13(f x x f x f x f ≤-+≤-++即 （1） ∵),0()(+∞在x f 上是增函数， ∴（1）等价于不等式组：⎩⎨⎧≤-+-<-+⎩⎨⎧≤-+>-+.64)62)(13(,0)62)(13(,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>R x x x x x ,331,537,313或或 ∴.331313753<<--<≤-≤<x x x 或或 ∴x 的取值范 围为}.533313137|{≤<<≤--<≤-x x x x 或或点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。
抽象函数奇偶性判断练习
奇偶性判断练习（抽象函数）一、选择题1.定义在R上的函数f（x）满足：对任意的α，β∈R，总有f（α+β）-[f（α）+f（β）]=2011，则下列说法正确的是（）A．f（x）-1是奇函数 B．f（x）+1是奇函数C．f（x）+2011是奇函数 D．f（x）-2011是奇函数2.（2008•重庆）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数 B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数 D．f（x）+1为偶函数3.已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，f（x）满足关系式：f（a•b）=bf（a）+af（b），则f（x）的奇偶性为（）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数4.若定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数C．f（x）+2是奇函数 D．f（x）+2是偶函数二、填空题5. 定义在R上的函数f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x2+x，且对任意x，满足f（x-3）=2f（x），则f（x）在区间[5，7]上的值域是[-1/16 ，1 /2 ]三、解答题6．定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）为奇函数．答案:1.解：取α=β=0，得f（0）=-2011，取α=x，β=-x，f（0）-f（x）-f（-x）=2011⇒f（-x）+2011=-[f （x）-f（0）]=[f（x）+2011]故函数f（x）+2011是奇函数．故选：C．2.解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C3.解：令a=b=1则f（1）=2f（1）则f（1）=0令a=b=-1，则f（1）=-2f（-1）=0∴f（-1）=0令a=x，b=-1，则f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x）则f（x）为奇函数．故选A4.解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，∴令x1=x2=0，得f（0）=-2∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+2，∴f（x）+2=-f（-x）-2=-[f（-x）+2]，∴f（x）+2为奇函数．故选C5.解：因为；f（x-3）=2f（x），∴f（x-6）=2f（x-3）=4f（x），∴f（x）=1/ 4 f（x-6），x∈[5，7]⇒x-6⇒[-1，1]；∵当x∈[-1，1]时，f（x）=x2+x=（x+1 /2 ）2-1/ 4 ∴x=-1/ 2 时，y min=-1/ 4 ，x=1时，y max=2．故当x∈[-1，1]时，f（x）∈[-1 /4 ，2]．∴x∈[5，7]∴f（x）=1/ 4 f（x-6）∈[-1/ 16 ，1/ 2 ]．故答案为：[-1/ 16 ，1 /2 ]．6.证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．。
高考抽象函数专题
抽象函数专题几类抽象函数模型练习题1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，假设f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12．解：因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝12．2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009．解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×12＝1009．3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，假设f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1C ．19D ．43答案：D ． 解：因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9累加，得f (8)＝43．(2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，假设f (1)＝1，则f (－8)＝A．－1 B．1 C．19 D．43答案：C．解：因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此：f (1)－f (0)＝2f (0)－f (－1)＝1f (－1)－f (－2)＝0f (－2)－f (－3)＝－1f (－3)－f (－4)＝－2f (－4)－f (－5)＝－3f (－5)－f (－6)＝－4f (－6)－f (－7)＝－5f (－7)－f (－8)＝－6累加，得f (－8)＝19．另外：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1f (x)＋f (－x)＝x 2－24．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则以下说法正确的选项是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数答案：C解：x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1．x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数．5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8)答案：B 解：2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x ) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8<x ≤9.6．定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (0)＝0，f (x )＋f (1－x )＝2，f (x 5)＝12 f (x )，当0≤ x 1< x 2≤1时，f (x 1)≤f (x 2)，则f (325)的值为 ．答案：127．(1)已知函数f (x )满足2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0，求f (x )的表达式． 解：因为2xf (x )－3f (－x )－x ＋1＝0①，所以－2xf (－x )－3f (x )＋x ＋1＝0②． ①×2x 得4x 2f (x )－6 x f (－x )－2 x 2＋2 x ＝0； ②×3得－6xf (－x )－9f (x )＋3x ＋3＝0②． 相减得4x 2f (x )＋9f (x )－2 x 2＋2 x －3x －3＝0，所以f (x )＝2 x 2＋x ＋34x 2＋9．(2)设函数f (x )满足f (x )－2f (1x )＝x (x ≠0)，求证：|f (x )|≥223．证明：因为f (x )－2f (1x )＝x ①，所以f (1x )－2f (x )＝1x ②．②×2得2f (1x )－4f (x )＝2x③．①＋③得f (x )＝－x 3 －23x ， |f (x )|＝|x |3 ＋23|x|≥223．8．(12分)定义在R 上的单调函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，设f (3)＝log 23． (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)假设f (k ⋅3x )＋f (3x －9x －4)<0，求实数k 的取值范围． 解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)奇函数，(0)0f =，2(3)log 3f =，所以(3)(0)f f >， ()f x 是定义在R 上的单调函数，所以函数()f x 在R 上的单调递增函数，奇函数，不等式(3)(394)0x x x f k f ⋅+--<等价于(3)(394)x x x f k f ⋅<-++，因此3394x x x k ⋅<-++，即4133x xk <-++，因为413133x x -++≥-+=，当3log 2x =取等号，所以实数k 的取值范围是(,3)-∞． 9．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，当x >0时，f (x )<0，且f (1)＝－23． (1)判断f (x )为奇偶性；(2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3，6]上的最大值与最小值． 解：(1)取x ＝y ＝0代入f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，得f (0)＝0． 取y ＝－x 代入f (x )＋f (－x )＝f (0)，得f (－x )＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数．(2)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)＝f (△x )． 因为△x >0，所以△y <0，所以f (x )在R 上是减函数． (3)因为f (1)＝－23，所以f (2)＝f (1)＋f (1)＝－43；f (3)＝f (1)＋f (2)＝－2；f (－3)＝－ f (3)＝2；f (6)＝f (3)＋f (3)＝－4．由(2)知f (x )在[－3，6]上，所以求f (x )在[－3，6]上的最大值为f (－3)＝2，最小值为f (6)＝－4． 10．(12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 2x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，且当x >1时，f (x )<0．(1)证明：f (x )为单调递减函数．(2)假设f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值． 解：(1)设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么△y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因为当x >1时，f (x )<0，x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)<0，△y >0，所以f (x )为单调递减函数．(2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)．由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得，f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．所以f (x )在[2，9]上的最小值为－2． 11．(12分)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )满足f (x )＋f (y )＝f (xy )． (1)求证：f (1x )＝－f (x )；(2)求证：f (x )为偶函数；(3)当x >1时，f (x )>0，求证：f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解：(1)取x ＝y ＝1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (1)＝0．取y ＝1x 代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (1x )＝0，故f (1x )＝－f (x )．(2)取y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，得f (x )＋f (－1)＝f (－x )．取x ＝y ＝－1代入f (x )＋f (y )＝f (xy )，f (－1)＋f (－1)＝f (1)，所以f (－1)＝0． 所以f (x )＝f (－x )，f (x )为偶函数． (3)解法1：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0，△y >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由(2)知f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减． 解法2：设x 1，x 2∈(－∞，0)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1 )＝f (x 2x 1 )＝－f (x 1x 2)．因为x 1x 2>1，所以f (x 1x 2)>0，△y <0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．12．(12分)设定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )．当x >0时，f (x )>1，且f (0)≠0． (1)求证：f (0)＝1； (2)求证：f (x )>0；(3)求证：f (x )是R 上的增函数；(4)假设f (x )·f (2x －x 2)>1，求x 的取值范围． 解：(1)取a ＝b ＝0代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)2＝f (0)，因为f (0)≠0，所以f (0)＝1． (2)a ＝x ，b ＝－x 代入f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (0)＝f (x )·f (－x )，即f (x )＝1 f 〔－x 〕 ．当x >0时，f (x )>1； x ＝0时，f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )>1，所以f (x )＝1f 〔－x 〕 ∈(0，1)．综上，f (x )>0．(3)设x 1，x 2∈R ，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x )－f (x 1) ＝f (x 1)f (△x )－f (x 1)＝f (x 1)[f (△x )－1] ．因为 △x ＝x 2－x 1>0，所以f (△x )>1，故△y >0，f (x )是R 上的增函数．(4)f (x )·f (2x －x 2)＝f (x ＋2x －x 2)＝f (3x －x 2)，1＝f (0)，所以不等式f (x )·f (2x －x 2)>1可化为f (3x －x 2)> f (0)．由(2)知3x －x 2>0，得x 的取值范围为(0，3)． 13．(12分)已知定义在R 上的不恒为零的函数f (x )满足 f (xy )＝y f (x )＋x f (y )． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)假设f (2)＝2，*n ∈N ，设a n ＝ f 〔2n 〕2n ，b n ＝ f 〔2n 〕n，求证数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列． 解：(1)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (1)＝0． 取x ＝y ＝－1代入f (xy )＝y f (x )＋x f (y )，得f (－1)＝0．取y ＝－1代入f (－x )＝－f (x )＋x f (－1)，得f (－x )＝－f (x ) ，所以f (x )为奇函数． (2)因为f (2n ＋1)＝f (2·2n )＝2 f (2n )＋2n f (2)，所以f (2n ＋1)＝2 f (2n )＋2n ＋1．同除以2n ＋1，得 f 〔2n+1〕2n+1 ＝ f 〔2n 〕2n＋1，即a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }为等差数列．a 1 ＝ f 〔2〕2 ＝1，所以 a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n ，所以f (2n )＝2n ．因为b n +1b n＝2，所以数列{b n }为等比数列．14．(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①对任意实数m ，f (x m )＝mf (x )；②f (2)＝1． (1)求证：f (xy )＝f (x )＋f (y )；(2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数； (3)假设f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围． 解：(1)因为x ，y 均为正数，根据指数函数性质可知，总有实数m ，n 使得x ＝2m ，y ＝2n ． 于是f (xy )＝f (2m 2n )＝f (2m +n )＝(m +n )f (2)＝m +n ．而m ＝m f (2) ＝f (2m ) ＝f (x )， n ＝n f (2) ＝f (2n ) ＝f (y )，所以f (xy )＝f (x )+f (y )． (2)取x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (1)＝0． 取y ＝1x 代入f (1)＝f (x )＋f (1x )，得－f (x )＝f (1x )．设x 1，x 2∈(0，＋∞)，△x ＝x 2－x 1>0，那么 △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2x 1)．因为x 2x 1>1，根据指数函数性质可知，总有正实数r ，使得x 2x 1 ＝2r ，所以△y ＝f (2r )＝r >0．因此f (x )是(0，＋∞)上的单调增函数．(3)由(1)知假设f (x )＋f (x －3)＝f (x 2－3 x )，2 ＝f (2)＋f (2)＝f (4)． 所以不等式f (x )＋f (x －3)≤2即f (x 2－3 x )≤f (4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3 x ≤4x >0x －3>0得x 的取值范围为(3，4] 15．(12分)定义在[0，1]上的函数f (x )满足f (x ) ≥0，f (1)＝1．当x 1 ≥0，x 2 ≥0，x 1＋x 2 ≤1时，f (x 1＋x 2)≥ f (x 1)＋f (x 2) ．(1)求f (0)； (2)求f (x )最大值；(3)当x ∈[0，1]时，4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x ) ≥0，所以f (0) ≥0．取x 1＝x 2＝0代入f (x 1＋x 2) ≥f (x 1)＋f (x 2)得f (0) ≤0，因此f (0)＝0． (2)设x 1，x 2∈[0，1]，△x ＝x 2－x 1>0，则△x ∈[0，1]，所以f (△x ) ≥0． △y ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1＋△x ) －f (x 1) ≥f (x 1 )＋f (△x ) －f (x 1)＝f (△x ) ≥0． 所以函数f (x )在[0，1]上不是减函数，f (x )最大值是f (1)＝1．(3)当x ∈[0，1]时，f (x ) ∈[0，1]．假设f (x )＝1，则4－4(2－a )＋5－4a ＝10≥，不等式4[f (x )]2－4(2－a )f (x )＋5－4a 0≥成立．假设f (x ) ∈[0，1)，别离参数a ≤1－f (x ) ＋14[1－f (x )]．因为1－f (x ) ＋14[1－f (x )]≥2[1－f (x )]14[1－f (x )]＝1，当f (x )＝12时等号成立．所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．备选：1．(12分，重庆)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x ． (1)假设f (2)＝3，求f (1)； (2)求f (0)；(3)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式． 2．(12分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，且f (1)＝0． (1)求f (0)的值；(2)当x 1，x 2 (0，12)时， f (x 1)＋2<log a x 2，求a 的取值范围．3．(12分)已知偶函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x 2－1)< 2． 4．(12分)已知函数f (x )满足f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，且f (－21)＝0，当x >－12时，f (x )>0．求证：f (x )是单调递增函数． 5．(12分)已知函数f (x )满足f (xy )＝f (x )f (y )，且f (x )≠0，当x >1时，f (x )<1．试判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 6．(12分)已知函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足f (x －y )＝f (x )f (y )＋1f (x )－f (y )，存在正常数a ，使f (a )＝1．求证：f (x )是奇函数．。
高中高考数学专题：抽象函数经典题型大全(含答案和解析)
抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
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抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。
例 6.已知1()+2()1f x f x x=+，求()f x 的表达式解：用1x 代替x 得到11()+2()1f f x x x=+ （1） 又1()+2()1f x f x x =+ （2）2（1）-（2）得到23()1f x x x =-+，于是21()333x f x x =-+二、求值问题例7. 已知定义域为R +的函数()f x ，同时满足下列条件：①1(2)1,(6)5f f ==；②(.)().()f x y f x f y =，求(3),(9)f f 的值。
解：取2,3x y ==，得(6)(2)(3)f f f =+ 因为1(2)1,(6)5f f ==，所以4(3)5f =- 又取3x y ==得8(9)(3)(3)5f f f =+=-评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取2,3x y ==，这样便把已知条件1(2)1,(6)5f f ==与欲求的(3)f 沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、定义域问题例8. 已知函数2()f x 的定义域是［1，2］，求()f x 的定义域。
解：2()f x 的定义域是［1，2］，是指12x ≤≤，所以2()f x 中的2x 满足214x ≤≤ 从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数(())f x ϕ的定义域是A ，求f(x)的定义域问题，相当于已知(())f x ϕ中x 的取值范围为A ，据此求()x ϕ的值域问题。
五、判断函数的奇偶性：例11已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
六、单调性问题例12. 设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数,x y 有()()()f x y f x f y +=，求证：()f x 在R 上为增函数。
证明：在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f = 若(0)0f =，令0,0x y >=，则()0f x =，与()1f x >矛盾 所以()0f x ≠，即有(0)1f =当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0,()10x f x ->->>而()()(0)1f x f x f -== 所以1()0()f x f x =>- 又当0x =时，(0)10f => 所以对任意x R ∈，恒有()0f x >设12x x -∞<<<+∞，则21210,()1x x f x x ->-> 所以21211211()(()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=-> 所以()y f x =在R 上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例13：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩巩固练习练习一1．给出四个函数，分别满足①()()()+=；g x y g x g y+=+；②()()()f x y f x f y③()()()t xy t x t y=，又给出四个函数图象=+；④()()()h xy h x h y丁正确的匹配方案是（）（A）①—丁①—乙①—丙①—甲（B）①—乙①—丙①—甲①—丁（C）①—丙①—甲①—乙①—丁（D）①—丁①—甲①—乙①—丙2．定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f ( y )(x，y∈R)，当x<0时，, f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )A 有最小值f (a)B 有最大值f (b)C 有最小值f (b)D 有最大值f (2ba +) 3． 设函数()f x 的定义域为Ｒ，且对,,x y R ∈恒有()()(),f xy f x f y =+若()83,f f==则（ ）Ａ．12-Ｂ．１Ｃ．12Ｄ．144．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<-B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f5．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<．（1）试举出一个满足条件的函数()f x ；（2）试求()0f 的值；（3）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（4）若,21)1(=f 解不等式.81)12(<-x f 1-4 D C C D5．（1）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（2）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==．得：()()()110f f f =⋅．因为()10f ≠，所以，()01f =．（3）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <．在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-．由于210x x ->，所以()2110f x x >->．为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=．∵0x >时，()01f x <<，当0x <时，()()110f x f x =>>-．又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >．∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦．∴ 函数()f x 在R 上单调递减，（4）若,21)1(=f 则81)3(=f ，则不等式)3()12(81)12(f x f x f <-⇔<-，由函数()f x 在R 上单调递减，则312>-x ，则不等式的解集为}2|{>x x 。
练习二1.若奇函数()()f x x R ∈，满足(2)1,(2)()(2)f f x f x f =+=+，则(1)f 等于（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．122.设对任意实数1x 、2x ，函数)(x f y =)0,(≠∈x R x 满足)()()(211x x f x f x f ⋅=+。
（1）求证：0)1()1(=-=f f ；（2）求证：)(x f y =为偶函数。