比例线段的基本性质
比例线段的划分及比例的基本性质
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比例的内项乘积等于外项乘积.
因为 a：b=c：d， 两边同乘以 bd，得
a即d=babc；=
c d
，
上述性质反过来也对，就是
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
比例线段的划分及比例的基本性质
(1)比例的基本性质
综合地说：
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c b 2=ac.
比例线段的划分及比例的基本性质
练习1—1：
如果
PA PB
=
PC PD
，
那么 PA·PD= PB·PC；
如果
CD EB
=
DF AD
，
那么 AD·CD=EB·DF；
如果
AC EF =
BD EA
，
那么 EF·BD=AC·EA；
比例线段的划分及比例的基本性质
AF BF
=
AE BE
；
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b=d
ad bc cb = da .
比例线段的划分及比例的基本性质
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF
练习3—1：
A
D
如图，已知
AB BC
=
DE EF
，
B
E
那么
AC BC =
DF EF
，
C
F
理由：
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
《比例线段》课件
在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样 不可忽视。建筑师需要利用比例来协 调各个部分之间的关系，以创造和谐 、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使 用比例尺来表示实际建筑与设计图纸 之间的比例关系，以确保施工过程中 的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地 图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这 两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在 解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相 等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段 被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和 应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关 系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。
成比例线段与比例的基本性质
000,2
000,∴ac
3
=6
1
=2
,
d = 1 000 = 1 ,∴a =d ,
b 2 000 2 c b
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
1 成比例线段
栏目索引
知识点二 比例的性质
名称 比例的 基本性质 等式的 基本性质 合比性质 等比性质
(b,d不为0)
如果 a
b
=
c d
=
e f
=…=mn
(b+d+f+…+n≠0),那么ab
ce df
m n
=
a b
1 成比例线段
例2 (1)根据下列各题的条件求a∶b的值.
①2a=3b;② a b = 1 ;③ a 2b = 5 .
a 2 3b 3
(2)已知 a = b = c ,且a,b,c都是正数,求 a 3b 2c 的值.
1 成比例线段
栏目索引
解析
(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,4,5,7,da
3
=4
,b
c
=
5 ,且3 ≠5 ,∴ a ≠b .
7 47 d c
∴这四条线段不成比例.
(2)a=3 cm,b=20 m=2 000 cm,c=6 cm,d=10 m=1 000 cm.
∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,6,1
栏目索引
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第四章 图形的相似
第四章 图形的相似
栏目索引
1 成比例线段
栏目索引
知识点一 线段的比及成比例线段
线段的比与比例线段的概念
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。
九年级上册数学 4.1线段的比和比例的基本性质
（2）已知线段a、b、c满足关式
a b
b c
，
且b＝5，那么ac＝__2_5___．
如果线段a、b、c满足关式
ab bc
，
那么b是a、c的比例中项，且b2=ac.
• 2、反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d
四个数成比例，即 a c 吗 ？
bd
由ad=bc,得出
ac bd
是有条件的,
1、如果a,b,c,d四个数成比例，即 a c ， bd
那么ad=bc吗？
由等式的基本性质：
在 a c 两边同乘以bd，得ad＝bc.
bd
两外项之积＝两内项之积。 交叉相乘积相等
(1)a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 ， b = 2 ，c = 9 ，则d 的长____6_____.
即a,b,c,d都不等于0
解： a, b, c, d都不等于0，
两边同时除以bd得：
ad bc bd bd
整理得：a c bd
两边同时除以dc得到
的比例式是什么？a b cd
d c或d b ba ca 或b d或b a
ac dc 或c d或c a
ab db
1.如果2x=5y，那么
n
CD
五边形 ABCDE与五边 形A’B’C’D’E’形状相同， AB=5cm，A’B’=3cm。 请问：线段AB与线段 A’B’的比是多少？
◎这个比值刻画了两个五边形大小关系
注： 1、线段的比要统一单位长度。 2、线段的比是一个正数，无单位
已知线段a=30cm，b=60cm，c=0. 15m ，d=30cm. (1)求线段a与线段b的比； (2)求线段c与线段d的比；
比例线段
������ = ������������
������
即 ������
������
= ������������
������
类型二
2. 若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则：①AB＝ 5－1 AC；
②AC＝ 3－
5 AB;
③AB∶AC＝AC∶CB;
2
④AC≈0.618AB.
2
其中正确的有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. 已知-1，9，x，其中一个数是其他两个数的比例中项，求 x 的值.
7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作 CD∥AB， 且 BD⊥AB，连结 AD．
（1） 判断线段 AC，AB，BD，BC 是否成比例，并说明理由. （2） 若 AB=5，AC=3，求 BD 的长. （3） 若 AB=2AC，求△ACD 与△ABC 的面积比.
6.
已知
������−������������ = ������
������
������
，求
������ ������
的值．
解：������ − ������ = ������
������
������
������ ������
=
������������ ������
解：������������ − ������������������ = ������������
度单位(即统一长度单位)．
2．四条线段成比例与它们的排列顺序有关．线段 a，b，c，d
成比例表示成a＝c，而线段 bd
b，a，c，d
成比例则表示成ba＝cd.
理解成比例线段的概念
室内设计
在室内设计中，家具、装饰品和 空间布局等也常常需要遵循一定 的成比例关系，以达到视觉上的
舒适和平衡感。
03 成比例线段的性质和判定 方法
成比例线段的性质
1 2
对应线段长度成比例
如果四条线段a、b、c和d成比例，则它们的长 度之间存在一定的比例关系，即a/b = c/d。
对应角相等
如果四条线段成比例，则它们所构成的三角形中， 对应的角相等。
黄金分割在艺术和设计中广泛应用，如建筑设计、绘画和摄影等，而成比例线 段是实现黄金分割的关键。
与等比数列的关联
等比数列
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中任何项都与它 前面的项成相同的比例。这与成比例线段的定义相呼应。
数学分析
通过成比例线段，可以进一步研究等比数列的性质，如公比 、项数等，以及它们在数学分析和实际生活中的应用。
3
相似图形
如果四条线段成比例，则由它们构成的两组相似 多边形也是相似的。
成比例线段的判定方法
定义法
如果四条线段满足a/b = c/d，则 它们成比例。
平行线法
如果两条线段平行且被一条横截线 所截，截得的对应线段成比例，则 原线段也成比例。
三角形法
如果两个三角形相似，则它们的对 应边成比例。
判定成比例线段的注意事项
分形几何
分形几何中的许多图形都是由成比例 线段构成的。例如，科赫雪花就是通 过不断将线段按照一定比例进行分割 和拼接而形成的。
建筑中的成比例线段
建筑设计
建筑设计中，成比例线段的运用 可以增强建筑的和谐感和美感。 例如，古希腊的帕台农神庙和罗 马的万神庙都是运用了成比例线
段的经典建筑。
建筑结构
建筑物的各个部分之间也存在成 比例关系，如梁和柱的尺寸、窗 户和门的高度等。合理的比例关 系可以使建筑物更加坚固和美观。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例线段
比例线段一.知识要点：（一）比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．（二）比例的性质：(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且(三) 平行线分线段成比例定理1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。
2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。
4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。
首先要弄清三个基本图形。
这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。
2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。
基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。
二. 本讲内容所需要的计算与证明方法计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。
2. 会利用比例式建立方程求线段的长。
初三数学--线段的比和比例线段
初三数学 线段的比和比例线段一、线段的比：1.在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。
即两条线段的长度的比。
如：线段a 与b 的比，记作b a （或a ：b ），若b a ＝31，则说明a 是b 的31，b 是a 的3倍。
2.n 1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位。
[练习]1.已知一矩形的长a=1.35m ，宽b=60cm ，则a ∶b 的值为2.图纸上画出的某个零件的长是32mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .a ，b 的长度分别为8㎝，32㎝，则a ∶b = 。
4.如图，点C 是AB 的中点，点D 在BC 上，AB=24，BD=5， （1）AC ∶CB ＝ ；AC ∶AB ＝ ；（2）_____=BD BC ；_____=AB CD ；_____=CD AD。
5..如图延长线段AB 到C ，使BC=4，若AB=8，则线段AC•：BC=6.延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，则AC ：AB 为（ ） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：3 D ．3：17.等边三角形的一边与这边上的高的比是（ ） A.3∶2 B. 3∶1 C. 2∶3 D. 1∶3，等边三角形的一边与这一边的高的比是△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB ＝15 cm ，AC ＝10 cm ，且BD ∶DC ＝AB ∶AC ，BD －DC ＝2 cm ，则BC= ． 10.如图所示，已知直角三角形的两条直角边的长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ， 那么这个三角形的面积是（ ）cm 2．A. 32B. 16C. 8D. 411.已知A 、B 两地相距300km ，在地图上量得两地相距15cm ，则图上距离与实际距离之比为 ．∶30000的地图上，如果两点的图上距离为5厘米，那么两点的实际距离为 千米．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________.13.已知在同一时刻物高与影长成比例．12时整，1.5m 的标杆在地上的影子长3m ，•现在量得一建筑物的影长20m ，则该建筑物有多高？ 二、比例线段AD CBb a的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
24.1比例线段及比例的基本性质
两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比因为例a的：内b=c项：d乘，积即等于ab =外dc项， 乘积.
两边同乘以 bd，得 ad=bc； 上述性质反过来也对，就是
BE CF EA = FA
，
E
F
那么
AE AB =
AF AC
，
B
C
理由：
BE CF
EA = FA
AE+BE AE
=
AF+CF AF
AB AC AE = AF
AE AF AB = AC .
练习3—5：
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
=
a b
.
练习3—5：
A
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AC BC =
DF EF
，
23.1.1成比例线段的性质
生活中相似的图形
我们刚才所见到的图形 有什么相同和不同的地方?
形状相同． 相同点： 不同点： 大小不一定相同．
概念：
我们把具有相同形状的图形称为相似图形. 思考：全等图形与相似图形有什么关系？ 你还能说出日常生活中的相似图形吗？
我们把具有相同形状的图形叫做相似图形. 形状 相同 相似图形： 不一定相同 大小 同一底片扩印出来的不同的照片是 相似图形，放电影时胶片上的图像和它映 射到屏幕上的图像，也是相似图形。
1.判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两 条线段的比和后两条线段的比是否相等。 (2)查看是否有两条线段的积等于其余 两条线段的积 。
2、生活中的成比例现象：如比例尺；在同一 时刻，物体的长度与物体的影长成比例。 3、成比例线段的基本性质：商的形式与积的 形式之间的转化。
因为 a：b=c：d， 即 b=d，
两边同乘以 bd，得 ad=bc；
上述性质反过来也成立，就是
如果 ad =bc，那么说：
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c
2 b =ac.
a c a d bc 称为 称为比例式。 b d
练习12：
已知三个数 1,2, 3 ,请你再添上 一个数,使它们能构成一个比例式,
3 2 2 3 或 或 3 则这个数是_____________________. 2 3
方法：把其中任意两个数相乘，再除以第 三个数就可以了。
1 :2 3 :23
3 2 : 3 1: 2
2 1: 3 3: 2 3
2、若是特定要判断a，b，c，d成比例， 则必须按顺序： a c ( 或 a :b c :d ) b d a b 3、如果是 就称为a，c，b，d成比例. c d
比例线段及相似性质和判定
比例线段与相似性质和判定一、比例的性质1．,a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理); 4．ac a b c db d b d ++=⇔=(合比定理); 5．a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理); 6．a c a b c db d a bcd ++=⇔=--(合分比定理); 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、成比例线段1．比例线段对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的项在比例式a cb d=（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（::a b b c =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3．黄金分割BAC如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，350.3822BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．AB C D E FFEDC B A当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，． A BCE F F ECB A考点一：比例的性质☞考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质 【例1】 若345x y z==，则2332x y z x y z ++--的值为________【巩固】设14a c e b d f ===，则a c e b d f +-=+-_______【拓展】若a b a c b ck c b a+++===，则k 的值为_________【例2】 已知::1:3:5x y z =，求33x y zx y z+--+的值【巩固】已知：234x y z==．求33x y z x y -+-.考点二：黄金分割☞考点说明：如果要考查可能出现在22题之中，需要掌握黄金分割的定义【例3】 如图所示，乐器上的一根弦80AB cm =，两个端点A B ，固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，则AC =________cm ，DC =________cm ．DBAC【例4】 如图所示，在黄金分割矩形ABCD 512AB BC ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭中，分出一个正方形ABFE ，求FCCD ． F EDB AC考点三：平行线分线段成比例定理☞考点说明：平行线分线段成比例定理的考查多数以选择或填空的形式展开 【例5】 如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．EDCBA【例6】 如图，已知DE BC ∥，EF AB ∥，则下列比例式中错误的是（ ）FEDCB AA ．AD AEAB AC =B ．CE EACF FB =C ．DE AD BC BD =D ．EF CF AB CB =【拓展】如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若2A D D E =，求证:3AP AB =．PEDCBA【例7】 已知，如图边长为2的等边ABC ∆，DE BC ∥，:1:4BCD ABC S S ∆∆=，则EC 的长为_____【例8】 如图，在OCE ∆中，AD BE ∥、BD CE ∥，若3OA =，9AC =，则AB 的长为________【例9】 已知，如图在平行四边形ABCD ，P 为BC 上任一点，连接DP 交AB 的延长线于Q求证：1BC ABBP BQ-=E D CBAEDC BA O QPDC BA考点四：梅涅劳斯定理☞考点说明：梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多，需要熟练掌握该定理以提高解题速度梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点，那么1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=．这条直线叫ABC △的.梅氏线，ABC △叫梅氏三角形． GF EDCBAGFE DCBAH3H 2H 1F E DCBA证法一：如左图，过C 作CG ∥DF∵DB FB DC FG =，EC FGAE AF= ∴1AF BD CE AF FB FGFB DC EA FB FG AF⋅⋅=⋅⋅=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G ∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DCEA AG= 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DCFB DC EA BD DC AG⋅⋅=⋅⋅=． 证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、、． 则有123AH BH CH ∥∥，所以3122311CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ⋅⋅=⋅⋅=．【例10】 如图，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______.MEDCBA【例11】 如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想11AE AC n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想. E OD CBA【巩固】如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. AB CDEF【拓展】在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分别交BM于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =MH G FECBA考点五：相似三角形的性质☞考点说明：利用相似三角形的性质如对应边成比例，求线段的长，或者转化角度。
比例性质和平行线分线段成比例定理
4,如图,
AB BD AC DC
AB=4,AC=2,BC=3,
A
求DC,BD的长.
B D
C
AE AD 5,如图,AD=2,AB=5,且 EC DB
求AC.
A
D
E
B
C
四、平行线分线段成比例定理及推论
定理：三条平行线截两条直线，所得的对 应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两 边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比 例. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的 两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
16 3 3.若4是x和 3 的比例中项，则x= 3
x y z ≠0，那么 x y z = = 【例1】如果 x yz 2 3 4 的值是( C )
A.7 B.8 C.9 D.10
典型例题解析
【解析】方法1：设x=2k，y=3k，z=4k，代入求值，这种 方法比较适用，故选C.
x y z 23 4 9 9 方法2：利用比例的性质， x yz 234 1
课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC, E、F分别是AB、CD的中点，EF 分别交BD、AC于G、H，设 BC-AD=m,则GH的长为 ( D ) A.2m B.m C.2m/3 D.m/2 5. 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AE:EB=1:2,BF//DE,SΔAGE=6cm2, 则 四 边形FDGH的面积为 ( A ) A.48cm2 B.24cm2 C.18cm2 D.12cm2
图6-1-3
【例4】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD=3，P是BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F， 设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P点在BC边上移 动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若 不变，求出x的值，并说明理由.
专题：比例线段与平行推相似定理
专题：比例线段与平行推相似定理考点一 比例线段与比例的基本性质1．比例线段与比例中项若线段a ，b ，c ，d 满足： ，则称这四条线段成比例； 若线段a ，b ，c 满足 ，则称b 叫a ，c 的比例中项． 2．比例的性质(1)基本性质：如果a b ＝cd，那么： ．反之也成立；(2)合比性质：如果a b ＝cd ，那么：a ＋b b ＝ ；(3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么：a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝ .【例1】1．下列各选项中的四条线段成比例的是( ) A ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝11 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝232．若mn ＝ab ≠0，则下列比例式中错误的是( )A ．a m ＝n bB ．a n ＝m bC ．m a ＝n bD ．m a ＝b n3．若a=3，b=6，且b 是a 和c 的比例中项，则c= ．4．若x 2＝y 3＝zm (x ，y ，z 均不为0)，x ＋2y －z z ＝1，则m = ．5．若c a ＋b ＝a b ＋c ＝ba ＋c ＝k ，则k 的值为 ．6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．考点二 黄金分割1．黄金分割的相关概念(如下图)(1)黄金分割点：如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP >PB ，且____________，则称线段AB 被点P _________；(2)黄金分割比：黄金比APAB ＝________≈________．【例2】1．已知C 是AB 的黄金分割点(AC >BC )，下列结论错误的是( )A ．AC AB ＝BC ACB ．BC 2＝AB ·ACC ．AC AB ＝5－12D ．BCAC≈0．6182．宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH3．如图1，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ．若S 1是以P A 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，则S 1 S 2(填“＞”“＝”或“＜”)．图14．如图2，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB 长为20 m ，试计算主持人站到离A 点多远处主持节目较为合适．图2考点三 平行线分线段成比例1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___________． 2．平行线分线段成比例推论：________三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段 ．【例3】1．如图3，l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与DF 交于点O ，且与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则下列比例式不正确的是( )A ．AB BC ＝DE EF B ．AB BO ＝DE EO C ．OB OC ＝OE OFD ．OD OF ＝OA AB图32．如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AB ＝AE EC B ．AG GF ＝AE BD C ．BD AD ＝CE AE D ．AG AF ＝AC EC图4 3．如图，过平行四边形ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于点E，F，G．求证：EA2＝EF·EG．4．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．(1)求证：AF·BD＝AD·FD；(2)若AB＝15，AD：BD＝2：1，求FD的长．考点四平行线分三角形相似定理1．平行线分三角形相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形________．【例4】1．如图5，在△ABC中，D，E分别在AB边和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与B，C重合)，连接AM 交DE于点N，则() A ．ADAN＝ANAE B．BDMN＝MNCE C．DNBM＝NEMC D．DNMC＝NEBM图5 2．如图6，在□ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC 于点F，交CD于点G，则下列结论中错误的是( )A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGEC．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF图63．如图7，直线l1∥l2，AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1，则AE：EC为()A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2图74．如图8，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AF：FC的值是()A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5图85．如图9，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为．图96．如图10，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且AEEB＝16，射线CF交AB于E点，则AFFD等于．图107．如图，点M ，N 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，MN ∥BC ，过顶点A 作BC 的平行线PQ 分别交CM 和BN 的延长线于点P 和点Q ．试判断线段AP 与AQ 之间的数量关系，并说明理由．※课后练习1．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )A．a b ＝b c B ．a d ＝b c C ．b c ＝c d D ．a b ＝c d2．如图1，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于D ，E ，F ．已知AB AC ＝13，则( )A ．AB BC ＝13 B ．DE EF ＝13 C ．DE EF ＝12D ．DE DF ＝14图13．如图2，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A ．ED EA ＝DF AB B ．ED BC ＝EF FB C ．BC DE ＝BF BED ．BF BE ＝BC AE图24．如图3，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则EF ：EA 为( ) A ．1：4 B ．1：3 C ．2：3 D ．1：2图35．如图4，在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．5－12B ．5＋12C ． 5D ．2图46．已知a 2＝b 3＝c5≠0，则3a ＋2b －2c 2a －b ＋c的值为 ．7．如图5，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且AE DE ＝32，CE 交BD 于点F ，BF ＝15 cm ，则DF 的长为 cm ．图58．如图6，菱形BEFD 的顶点E ，F ，D 在△ABC 的边上，且AB ＝18，AC ＝BC ＝12，则菱形的边长为 ．图69．如图7，在△ABC 中，D 在AC 边上，DC ＝2AD ，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝ ．图7 10．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金比)．如图8，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，则DE的长为．图8 11．如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；(2)OA2＝OE·OF．12．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，BD，AC于点E，F，G．若AD＝6，BC＝10，AE＝5，AB＝8．求EG和FG的长．13．如图，在△NBE中，点D，C分别在NE和NB上，DC∥BE，延长BE到点A，使AE＝BE，连接AD，AC，AC交EN于点M．求证：DM·NE＝ME·DN．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N．求证：BM＝MC．15．探究与应用型问题(1)小明遇到一个问题：如图①所示，AD是△ABC的角平分线．求证：BDCD＝ABAC．他通过思考发现：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，通过证三角形相似，可以解决问题(如图②)．请证明：BDCD＝ABAC．(2)请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC与BD相交于点O．则：①AOOC＝________；②ODCD＝________．。
14初中数学“成比例线段”知识点全解析
初中数学“成比例线段”知识点全解析一、引言成比例线段是初中数学中的一个重要概念，它是研究比例关系的基础。
理解并掌握成比例线段的概念和性质，对于提高学生分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
本文将详细解析成比例线段的概念、性质、判定方法以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、成比例线段的概念1.定义：如果四条线段a, b, c, d满足a/b = c/d，那么我们就说这四条线段是成比例的，记作a:b = c:d。
2.术语解析：在a:b = c:d中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。
三、成比例线段的性质1.等比性质：若a:b = c:d，则(a+b)/b = (c+d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之和与原线段的比例关系相同。
2.合比性质：若a:b = c:d，则(a-b)/b = (c-d)/d。
这一性质表明，成比例线段的对应项之差与原线段的比例关系相同。
3.更比性质：若a:b = c:d，则a/c = b/d。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之比相等。
4.反比性质：若a:b = c:d，且b和d均不为0，则a/b = d/c。
这一性质表明，成比例线段的交叉项之积相等。
四、成比例线段的判定方法1.直接判定法：根据定义直接判断四条线段是否满足a/b = c/d。
2.等比中项法：如果两条线段的平方等于另外两条线段的乘积，那么这四条线段是成比例的。
即如果a² = bc，那么a, b, c以及另一条与它们成比例的线段d构成成比例线段。
3.相似三角形法：在相似三角形中，对应边之间的比例是相等的。
因此，可以通过证明两个三角形相似来判定四条线段是否成比例。
五、成比例线段的应用1.几何图形中的应用：在几何图形中，常常利用成比例线段的性质来解决一些问题，如证明两直线平行、证明两角相等、计算线段的长度等。
2.实际生活中的应用：在实际生活中，许多现象都与成比例线段密切相关。
例如，建筑设计师在设计建筑物时需要考虑不同部分之间的比例关系；摄影师在拍摄照片时需要运用成比例线段的原理来构图等。
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4.1比例线段(2) 教学设计及课后反思
一、学情和教材分析：
学习比例线段是为了进一步学习相似三角形而作的准备，相似三角形和相似多边形中的对应边成比例就是用到本节中比例线段的知识，所以本节知识就显得比较重要了。
二、教学目标：
1.了解两条线段的比和比例线段的概念；
2.能根据条件写出比例线段；
3.会运用比例线段解决简单的实际问题。
三、教学重点和难点：
教学重点：比例线段的概念。
教学难点：例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点。
四、教学方法：启发式、讨论式
教学辅助：多媒体
五、教学过程：
(一)、复习引入:
1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项。
2.说出比例的基本性质。
由ad＝bc可推出哪些比例式？
3.练习：(1)若3x＝4y，求、、的值。
(2)若＝，求的值。
(3)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm。
求AB:CD的值。
(4)完成P98网格问题。
(问题建立在相似变换基础上，可复习相似变换)
（二）、设置问题，探究新课：
如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？
在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这两线段的比。
记为a：b或
注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；
(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必须在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。
(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.
比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即=，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段)
完成P99做一做
（三）、模仿与应用：
例题：已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么?
答：这四条线段成比例
∵a=10mm=1cm
∴＝，＝＝
∴＝，即线段a、c、d、b是成比例线段。
想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.
反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。
例3如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。
请找出一组比例线段，并说明理由。
分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否
成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积
是否等于另两条线段的乘积)
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？
(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得
的等式可以写出怎样的比例式。
例4如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km？
注意：要设实际距离为s；求角度时要注意方位。
解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离
为s，则：
=315000000(mm) 即s＝315(km)
如果量得图中,我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28的315km处。
课堂练习：P99课内练习、P100作业题(学生板演)
补充练习：
1.已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线段。
2.已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多上？
3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三角形的周长为18cm，求各边的长。
4.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
类题：相同时刻的物高与影长成比例。
如果一电视塔在地面上影长为180m，同一时刻高为2m 的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？
6.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
7.如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC,请找出一组比例线段，并说明理由。
8.如图，已知,求
（四）、课堂小结：
1.两条线段的比及比例线段的概念；
2.方程思想的体现；
3.比例线段在实际问题中的应用。
（五）、布置作业：见作业本。
六、教后反思：
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。
学生在初学时容易在书写顺序上出错误，所以强调书写顺序就显得很有必要，并说明检验内项积等于外项积的重要性，这样就可以避免书写顺序上出错。