弹性与塑性力学基础-第六章塑性力学解题方法及应用举例
6弹塑性力学基本求解方法
d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
薄圆筒、柱 弹塑性力学详解
(6 11)
(6 12)
du i d u i ;
vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为ni ，则在 上有： (a)法向位移连续条件 du i (b)应力连续条件
(E)
ni du i ni ;
( p)
( p)
(6 13)
(6 14)
d ij ni d ij ni ;
无量纲化后得到：
(6-19)
d d d , d d 20)
消去 d 得：
(6 21)
简单的弹塑性问题
2 由（6-18）式知 1 及 d d 0,
故
d d d / 1 2
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1
弹塑性边值问题的提法
§6.2 “薄壁筒”的拉、扭联合变形
§6.5 “柱体”的弹塑性自由扭转
§6.6 受内压的“厚壁圆筒”
简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
一、弹塑性全量理论边值问题
设在物体V内给定体力 Fi ，在应力边界 ST 上给定面力Ti ，在位移 边界Su 上给定位移 u i ，要求应力 ij ，应变 ij ，位移 ui ，它们满足 以下方程和边条件：
(E)
上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。
简单的弹塑性问题
§6.2 “薄壁筒” 的 拉、扭变形
考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐 标，取z 轴与筒轴重合。设壁厚为h ，筒的内外平均半径为R ，则筒内应力 为：
z P / 2Rh , z T / 2R 2 h,
（6-10）
1 2v d kk d kk , E d d ij 0, 0, ij d hd , d d 0, ij ij
塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件
一、按增量理论求解
对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
d z
1 E
d z
d
2 3
z
,
1 2
d z
1 2G
dz
d
z
(6-19)
无量纲化后得到：
消去 d 得：
d d d, d d d,
d d d d
(6-20)
(6 21)
由（6-18）式知 1 2 及 d d 0,
路径①沿OBC。在B点有0 0, 0 0。
A
在BC段上有 1 ln1 , 2 1
D ③
解出 e2y 1 tanh ,
e2y 1
O
在C点
e2 e2
1 1
0.76,
1 2 0.65
(6 30)
C ①
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
Tp 2 A pdxdy
6 100
就是截面的塑性极限扭矩。
仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时， p 表面必然是一个
圆锥，既然斜率是 s , 高度就应为 sa，按（6-100）式求出
Tp
2 3
sa3.
6 101
与（6-96）式相比可知对圆柱体
Tp / Te 4 / 3.
6 102
塑性力学简单的弹 塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 薄壁筒的拉扭联合变形 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的厚壁圆筒 §6.7 旋转圆盘
应用弹塑性力学习题解答
应用弹塑性力学习题解答目录第二章习题答案设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。
解该平面的法线方向的方向余弦为而应力矢量的三个分量满足关系而法向分量满足关系最后结果为利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系可求得。
最终的结果为已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。
如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。
解求主方向的应力特征方程为式中：是三个应力不变量，并有公式代入已知量得为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系代入数据得，，已知应力分量中，求三个主应力。
解在时容易求得三个应力不变量为，，特征方程变为求出三个根，如记，则三个主应力为记已知应力分量，是材料的屈服极限，求及主应力。
解先求平均应力，再求应力偏张量，，，，，。
由此求得然后求得，，解出然后按大小次序排列得到，，已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。
解特征方程为记，则其解为，，。
对应于的方向余弦，，应满足下列关系（a）（b）（c）由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得，由此求得对，，代入得对，，代入得对，，代入得当时，证明成立。
解由，移项之得证得第三章习题答案取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得，由，得物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。
解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为，，该点处微单元体的转动角度为电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。
如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。
解：根据式先求出剪应变。
考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得则主应变有解得主应变，，。
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。
弹塑性力学课件第六章
图 6.2 非圆形截面等直杆的扭转实验
2018/10/31
8
第六章 柱体扭转问题
柱体扭转问题的实验研究
为了简化问题，圣维南（ Saint Venant）由实验观察中假定，任
意截面形状的柱体在发生自由扭转变形时，各个横截面的翘曲程度都
相同。这就是圣维南等翘曲假定。如果我们把轴取在柱体的轴线上， 根据等翘曲假定，就有
w w( x, y) ( x, y)
u zy v xz
刚性转动假定
u zy
v xz w ( x, y )
2 2
MT KT
MT KT
KT G ( x 2 y 2 x
A
y )dxdy y x y )dxdy y x
截面翘曲影响项
扭转刚度
G r 2 dxdy G ( x
第六章 柱体扭转问题
福州大学土木工程学院 卓卫东 教授
1
第六章 柱体扭转问题
引
言
柱体扭转问题的实验研究 基本方程
几个典型例子
柱体扭转问题的实验比拟方法
薄壁杆件的扭转问题
其他说明
2018/10/31
2
第六章 柱体扭转问题
引 言
柱体扭转问题在土木、机械等工程中是常见的一类问题。 所谓柱体扭转，是指圆柱体和棱柱体仅在端部受到扭矩的作 用，而且扭矩矢量与柱体的轴线方向重合。 本章将专门分析柱体扭转问题中较为简单的一类问题： 任意截面形状柱体的 自由扭转问题 ，即允许柱体在受扭变形 后的横截面自由翘曲的情形。关于柱体的 约束扭转问题 ，即 横截面的翘曲受到约束的情形，这里不进行讨论 。
《弹塑性力学》第六章 弹性力学平面问题的直角坐标解答PPT课件
37
§6-3 平面问题的基本解法
3.4 应力函数的特性
1. 应力函数加上一个线性函数 a+bx+cy，并 不影响应力，换句话说，某问题的应力函数为
，则 1=+a+bx+cy 也是问题的应力函数。
应力函数可确定到只差一个线性函数。
2. 无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数 的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢 量来确定。
(对B点取矩)逆时针为正。
下面推导一下
y F
B A
o x
30.11.2020
40
§6-3 平面问题的基本解法
对于无体力时 fx=fy= 0； 力的边界条件为
l 2y2 mx2y X l x2ym2x2 Y
l cosn(,e1)ddSy
mcosn,(e2)ddSx
y e2 dy
n ds
代入边界条件，得
xy
y
y
xxyB xy
得 ABA
x y
y
B y
xy
B x
30.11.2020
33
§6-3 平面问题的基本解法
从而导出(a)式。则 (a) 式使得齐次的平衡微分 方程自然满足，将(a) 式代入相容方程，得
2( 2 y 2 2 x 2) 2 2 40
Hale Waihona Puke 30.11.202034§6-3 平面问题的基本解法 4 0
1.1 平面应力问题 ▪ 受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X3 Z 0 ，在薄
板表面无面力，坐标系（x1 , x2 , x3）放在板 厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
弹性与塑性力学的实际应用
弹性与塑性力学的实际应用弹性力学和塑性力学是材料力学中重要的分支，它们研究材料在受力后的变形行为以及力学性能。
这两个领域的实际应用广泛，涉及到许多重要的行业和领域，如建筑工程、航空航天、汽车制造等。
本文将探讨弹性与塑性力学在实际应用中的重要性和具体例子。
一、桥梁工程弹性力学在桥梁工程中具有重要的应用。
桥梁是连接两个地点的重要交通枢纽，承受着巨大的力和重压。
桥梁的设计和施工必须考虑到材料的弹性变形和应力分布情况。
桥梁结构需要能够在受力后恢复原状，以满足不同条件下的荷载要求。
弹性力学的理论和实践指导了桥梁设计的合理性和稳定性。
然而，桥梁在长期使用过程中也面临着塑性变形的问题。
例如，大型桥梁和高速桥梁常常会受到车辆行驶引起的动力荷载和温度的影响，从而导致塑性变形和局部破坏。
为了保证桥梁的可靠性和持久性，塑性力学的知识和方法在桥梁维护和检修中应用广泛。
通过对桥梁的结构和材料进行分析和评估，可以及时采取措施来防止塑性变形和延长桥梁的使用寿命。
二、航空航天工程在航空航天工程中，弹性与塑性力学的应用尤为重要。
飞机、航天器等航空器件需要在极端的条件下工作，如高速飞行、大气压力和温度变化等。
因此，航空材料必须具备良好的弹性和塑性特性，以确保飞行器的安全和性能。
弹性力学的理论被广泛用于航空器的设计和性能评估。
通过对材料的弹性恢复和应力分析，可以保证飞机和航天器在受力后不会发生永久塑性变形，并且能够承受外界环境的冲击和压力。
同时，塑性力学的知识也被应用于航天器的失效分析和事故调查中，以确定外界因素和材料的塑性行为对飞行器引起的损伤和事故的影响。
三、汽车制造弹性与塑性力学在汽车制造中具有广泛的实际应用。
汽车是人们日常生活中不可或缺的交通工具，对于汽车的安全性、舒适性和经济性要求越来越高。
因此，汽车制造必须考虑到材料的弹性和塑性特性，以提高车辆的整体性能和使用寿命。
弹性力学的理论被广泛用于汽车零部件的设计和制造中。
例如，发动机的缸体、活塞和连杆等构件必须具备良好的弹性特性，以承受高压力和高温环境下的工作要求，同时尽量减少能量损耗和振动噪声。
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
7-弹塑性力学-弹性问题的求解
第六章 弹性问题的求解
轴对称问题(axi-symmetrical problem) 的求解
轴对称：几何与载荷场均中心对称。 应力函数 (r , ) ，由于轴对称， (r )
1 d r , r dr
2
d 2 2 , dr
2
r r 0
第六章 弹性问题的求解
厚壁筒受均压的应力解： 讨论： 2 2 qa q 常数（与r无关） （1） r 2 2 2 2 b b / a 1 1 a / b
从而 z ( r ) 常数 E
表明：厚壁筒变形后各载面（垂直z轴）仍为平面。（平面应力与平面应 变问题的转换条件） （2）当 qb 0 ，即只受内均压 作用时，
其中：
E1
E 1 2
, 1
1
这就是平面应变问题的广义虎克定律。
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
不难证明：
1 1 1 E1 E ,G E1 E 2(1 1) 2(1 )
x xy X 0 y x y xy Y 0 y x
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
x 2G x y 2G y 由物理方程可得应力分量 z 2G z G xy xy 0 zx yz
其中
E （拉梅常数）， (1 )(1 2 )
平面应变问题（长轴类问题）(plane strain problem)
ห้องสมุดไป่ตู้
第六章 弹性问题的求解
弹塑性力学(浙大通用课件)通用课件
塑性力学
研究材料在塑性状态下应 力和应变行为的科学。
塑性力学的基本假 设
塑性变形是连续的，且不改变物质的性质。 塑性变形过程中，应力和应变之间存在单值关系，且该关系是连续的。 塑性变形过程中，材料内部的应力状态是稳定的，不会出现应力振荡或波动。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
在塑性状态下，物体的内部应力场满 足平衡方程，即合力为零。
应变协调方程
本构方程
在塑性状态下，应力和应变之间的关 系由本构方程描述，该方程反映了材 料的塑性行为特性。
在塑性状态下，物体的应变状态满足 应变协调方程，即应变是连续的。
塑性力学的边值问题
01
塑性力学中的边值问题是指给定 物体的边界条件和初始条件，求 解物体内部的应力和应变状态的 问题。
02
边值问题可以通过求解微分方程 或积分方程来解决，具体方法取 决于问题的具体形式和条件。
04
材料弹塑性性质
材料弹性性质
弹性模量
材料在弹性变形阶段所表现出的 刚度，反映了材料抵抗弹性变形
的能力。
泊松比
描述材料在受到压力时横向膨胀 的程度，反映了材料在弹性变形
阶段的横向变形特性。
弹性极限
材料在弹性变形阶段所能承受的 最大应力，超过该应力值材料将
发生不可逆的塑性变形。
材料塑性性 质
屈服点
解析法的优点是精度高、理论严 谨，但缺点是适用范围较窄，对
于复杂问题难以得到解析解。
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的单元，通过求解这些小单元的 解来逼近原问题的求解方法。
它适用于各种复杂的几何形状和边界条件，能够处理大规模的问题，并且可以方便 地处理非线性问题。
弹性与塑性力学基础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法
➢ 滑移线的基本概念
作用于最大剪应力面上的正应力13恰等于平均应力m或中间主应
力2 ，即
1 3 m 2 1 2 (13 ) 1 2 (xy)
任一点应力状态可用静水压(平均
应力)与最大剪切力K相叠加来表
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念 塑性变形体（或变形区）内任一点的应力状态如图所示
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
压力容器、管道、挤压凹模等) 2020/10/16轴对称平面问题
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化； 平衡微分方程：
dr r 0 (6-1)
dr r
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
弹性与塑性力学基础
第六章
塑性力学解题方法及应用举例
2020/10/16
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑性状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
代入式(6-12)得
z =s
弹塑性力学
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
Q
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
Z
k i
x O j
X
S Y
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
(1) F 是坐标的连续分布函数；
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
l,m,n的线性齐次方程。若有非零解，则此方程组的 系数行列式应当等于零，即
x v xy xz yx y v yz 0 zx zy z v
展开行列式得到 其中
v I1 v I 2 v I 3 0
3 2
2 2 2 I 2 x y y z z x ( xy yz zx ) 2 2 2 I 3 x y z 2 xy yz zx ( x yz y zx z xy ) I1 x y z
( x v )l xy m xz n 0 yx l ( y v )m yz n 0 zx l zy m ( z v )n 0
几何关系
l m n 1
2 2 2
l,m,n不能同时为零 ，因此前式为包括三个未知量
y
x
Z
t/2
y
薄板如图：厚度为t,以薄板的中面为xy面,以垂直 于中面的任一直线为z轴,建立坐标系如图所示。 因板面上（z = t/2）不受力，所以有：
(
z z t 2
)
0, (
zx z t 2
)
0, (
弹塑性力学(
23
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
2 3
1 x
x x
x
zx
xz
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
n=cos(N,z) SDOAB=nS 26
1、斜截面上的应力 z
Fx 0
px S x lS yx mS zx nS 0
C pz
px l x m yx n zx
N
py l xy m y n zy
yx xy
x
pz l xz m yz n z
y
弹塑性力学 前言
❖弹塑性力学的定义 ❖弹塑性力学中的简化假设 ❖弹塑性力学的研究方法 ❖弹塑性力学的主要内容
1
弹塑性力学的定义
❖ 弹塑性力学的定义：弹塑性力学是固体力学的一个重 要分支，是研究弹性体和弹塑性体在载荷作用下应力 分布规律和变形规律的一门学科。
❖ 任务：
❖ 根据实验观察结果寻求弹塑性状态下的变形规律，建立本构关系及 有关基本理论。
②全应力：p ΔA0 ΔA
O
全应力分解为：
x
z
垂直于截面的应力称为“正应力”：
pcosa
位于截面内的应力称为“切应力”： O
psina
DF M
DA
y
n
M ap
y
x 19
应力状态
➢ 一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，
弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间（三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。
因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题,即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数.但是，当所考察的物体（结构）及其所承受的载荷具有某些特点时,则可将它们近似地看作平面(二维）问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,)的函数,从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度.由第二章知，弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。
1.1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题，由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ (6。
1—1)1。
2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系，因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6.1—2） 由式(6。
1—2)可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 （6.1—3） 1。
3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同,因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1)平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ,根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 (6。
1—4a ） 或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122（6。
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例
结构静力弹塑性分析的原理和计算实例一、本文概述结构静力弹塑性分析是一种重要的工程分析方法，用于评估结构在静力作用下的弹塑性行为。
该方法结合了弹性力学、塑性力学和有限元分析技术，能够有效地预测结构在静力加载过程中的变形、应力分布以及破坏模式。
本文将对结构静力弹塑性分析的基本原理进行详细介绍，并通过计算实例来展示其在实际工程中的应用。
通过本文的阅读，读者可以深入了解结构静力弹塑性分析的基本概念、分析流程和方法，掌握其在工程实践中的应用技巧，为解决实际工程问题提供有力支持。
二、弹塑性理论基础弹塑性分析是结构力学的一个重要分支，它主要关注材料在受力过程中同时发生弹性变形和塑性变形的情况。
在弹塑性分析中，材料的应力-应变关系不再是线性的，而是呈现出非线性特性。
当材料受到的应力超过其弹性极限时，材料将发生塑性变形，这种变形在卸载后不能完全恢复，从而导致结构的永久变形。
弹塑性分析的理论基础主要包括塑性力学、塑性理论和弹塑性本构关系。
塑性力学主要研究塑性变形的产生、发展和终止的规律，它涉及到塑性流动、塑性硬化和塑性屈服等概念。
塑性理论则通过引入屈服函数、硬化法则和流动法则等，描述了材料在塑性变形过程中的应力-应变关系。
弹塑性本构关系则综合考虑了材料的弹性和塑性变形行为，建立了应力、应变和应变率之间的关系。
在结构静力弹塑性分析中，通常需要先确定材料的弹塑性本构模型，然后结合结构的边界条件和受力情况，建立结构的弹塑性平衡方程。
通过求解这个平衡方程，可以得到结构在静力作用下的弹塑性变形和应力分布。
弹塑性分析在结构工程中有着广泛的应用，特别是在评估结构的承载能力、变形性能和抗震性能等方面。
通过弹塑性分析，可以更加准确地预测结构在极端荷载作用下的响应，为结构设计和加固提供科学依据。
以上即为弹塑性理论基础的主要内容，它为我们提供了分析结构在弹塑性阶段行为的理论框架和工具。
在接下来的计算实例中，我们将具体展示如何应用这些理论和方法进行结构静力弹塑性分析。
弹塑性力学 第六章 塑性力学基本概念
理想刚塑形模型？？？
2、线性硬化模型：硬化阶段曲线为线性
将硬化阶段的曲线简化为一条直线，即连续的应力-应 变关系曲线OAA’C简化为两条直线组成的折线OAC。 第一条直线OA代表线 弹性变形性质，其斜 率为E ；第二条直线 AC代表强化性质 ，其 斜率为Et。
b B
s
C
s,
s,
• 影响材料性质的其它几个因素： 1. 温度。当温度上升，材料屈服应力降低、塑性变形 能力提高。高温下，会有蠕变、应力松弛现象。 2. 应变速率。如果在实验时加载速度提高几个数量级， 则屈服应力会相应地提高，塑性变形能力会降低。一 般加载速度不考虑这个因素。高速撞击载荷或爆炸载 荷需要考虑。
§6.3 单轴应力-应变关系的简化模型
屈服条件（加载条件）
s
p
A
*
将累积塑性变形量作为内变量
H O E
k ( dε ) 0
p
*
k函数称为硬化函数，初值：
k (0) s
B‘
• (2)随动硬化模型： • 对一些材料有包辛 格效应的材料，应 变硬化提高了材料 的拉伸屈服应力， 在反向加载（压缩） 时，压缩屈服应力 降低。 • 这种硬化特征称为 随动硬化。
6.2 材料实验结果
一、单轴拉伸实验 • 材料塑形变形性质通过试验研究获得。
• 最简单实验是室温单轴拉压实验： •材料：金属多晶体材料 •试件如图
•名义应力和名义应变定义为
P / A0
A0
l l0 / l0
l0
－－材料的单轴拉伸实验曲线有如图所示两种形态。
conditional yield limit 条件屈服极限
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第 六 章
塑性力学解题方法及应用举例
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑性状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 求总变形力 沿接触平面积分即可得总变形力
1 1 (0.5d r ) 2r dr h
P
0 .5 d
0
z 2rdr
s 1
(6-11)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 写出屈服准则的表达式 由应变状态可见
r =θ >0
z <0
根据应力应变顺序对应规律(考虑到应力的符号) (- r ) = (- θ ) > (- z ) 此时的屈服准则
(6-23)
摩擦系数较小的冷变形情况
τ=μs时
d p m s 1 3 h
(6-24)
摩擦系数较小的冷变形情况
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法 6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
解题步骤
随着μ及d/h增加，平均单位变形力将迅速增加 有相对厚度越小平均单位变形力越大的概念
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化；
平衡微分方程：
d r dr
r
r
0 (6-1)
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 解题方法 根据Mises屈服准则，有
可以计算变形力、确定塑性变形区内的应力分布和速度分布、接
触面上的应力分布及等静压迹线等； 构成滑移线的网格为在计算机上采用数值方法求解提供了自然单 元，为该方法在工程计算上应用提供了方便。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.1 求解方法
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的特点 6.2.2 主应力法的要点平行模板间圆柱体镦粗
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
6.4.1 上限法的概念 6.4.2 上限法原理
6.4.3 上限法在平面变形问题中的应用
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.1 求解方法 平衡微分方程和屈服准则联立求解，求出物体塑性变 形时的应力分布； 联解过程积分常数根据自由表面和接触面上的边界条 件确定。 一般只能求解平面轴对称等简单塑性问题。
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 代入边界摩擦条件 边界上可能存在的摩擦条件为 s 0 z 设边界上选最大值，即
2 超过此数值工件与模板间的摩擦由剪切所代替
将式(6-10)代入式(6-9)，可得 s d r dr h
s
(6-10)
max - min = s
即视 r 、 z为主应力，有 (- r ) - (- z ) = s
即：
z - r = s
(6-12)
弹性与塑性 力 学 基 础
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 从式(6-12)微分可得
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 适合主应力法求解 物体几何上轴对称，受载荷也是轴对称的，属于轴对称问题，
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 切取基元块
列平衡方程(沿r向)
( r d r )( r dr ) d h r rd h 2 sin d 2 drh 2 rd dr 0
分析上式知，截面的 θ总为拉应力， r总为压应力。 当r=a时，有最大的压力p，所以
p
2 3
s ln
r b
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 对于圆环受拉问题，平衡微分方程法依旧，由于是平面应力问题， 屈服准则为 r - θ = β s ，可取=1.1，将边界条件代入后可得
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 联立式(6-2)得到塑性圆筒的应力解
r
b 3 2 r s (1 ln ) b 3 2
s ln
r
(6-3)
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 6.3.2 亨盖(Hencky)应力方程 6.3.3 常见的滑移线场类型 6.3.4 用滑移线场理论求解的二个典型问题
§6-4 上限法及其在平面问题中的应用
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 积分上式，得
z
s
h
rC
(6-15)
定积分常数，当r=d/2 时， r =0 代入式(6-12)得
z =s
C s
s d
h 2
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
假设接触面上的正应力即为主应力(即忽略摩擦切应力的影响)
max - min = β s
将上述的平衡方程与近似屈服准则联解，以求接触面上的应力 分布，这就是主应力法。由于该方法需要截取基元块，又形象地 称为切块法。
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
b r 1.1 s (ln 1) b
r 1.1 s ln
r
(6-4)
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的要点 将问题近似地按轴对称问题或平面问题来处理
Hale Waihona Puke 假设非接触面上仅有均布的正应力即主应力
一定的边界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布；
(4) 某些特殊情况下能够数学解析，一般空间问题，数学上极其困难， 甚至不可能解。
2、塑性力学问题求解方法
(1) 塑性理论基础上，引进各种简化假设，提出求解的近似解析方法；
(2) 主应力法(切块法)、滑移线法和上限法，数值模拟方法。
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r dr / r
切向应变为
2r r 两者相等，根据应力应变关系理论必然有
2 ( r dr ) 2r
dr
r
将式(6-8)代入式(6-7)，可得
(6-8)
d r dr
2 h
0
(6-9)
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§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
整理并略去高次项得平衡微分方程
d r dr
2 h
r
r
0
(6-7)
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 找 r与θ的关系 可以从 r与θ的关系和应力应变关系式判别 实心圆柱镦粗的径向应变为
τ=s/2时 τ=μz时
d p m s 1 6h
(6-22)
d p m s 1 3h
(6-23)
τ=μs时
d p m s 1 3 h
(6-21)
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 滑移线的基本概念
d 6h
0 .5 d
0
d 2
4
(6-19)
P
d 2
hd d e 1 2 s 2 2 4 h d h2
(6-20)
d 2 d P s 1 4 3h
(6-21)
弹性与塑性 力 学 基 础
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第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
rz
、
r