弹性与塑性力学基础-第六章塑性力学解题方法及应用举例
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6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 适合主应力法求解 物体几何上轴对称，受载荷也是轴对称的，属于轴对称问题，
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 切取基元块
列平衡方程(沿r向)
( r d r )( r dr ) d h r rd h 2 sin d 2 drh 2 rd dr 0
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化；
平衡微分方程：
d r dr
r
r
0 (6-1)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 解题方法 根据Mises屈服准则，有
可以计算变形力、确定塑性变形区内的应力分布和速度分布、接
触面上的应力分布及等静压迹线等； 构成滑移线的网格为在计算机上采用数值方法求解提供了自然单 元，为该方法在工程计算上应用提供了方便。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
(6-23)
摩擦系数较小的冷变形情况
τ=μs时
d p m s 1 3 h
(6-24)
摩擦系数较小的冷变形情况
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法 6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
解题步骤
随着μ及d/h增加，平均单位变形力将迅速增加 有相对厚度越小平均单位变形力越大的概念
分析上式知，截面的 θ总为拉应力， r总为压应力。 当r=a时，有最大的压力p，所以
p
2 3
s ln
r b
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 对于圆环受拉问题，平衡微分方程法依旧，由于是平面应力问题， 屈服准则为 r - θ = β s ，可取=1.1，将边界条件代入后可得
弹性与塑性力学基础
第 六 章
塑性力学解题方法及应用举例
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑Biblioteka Baidu状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 代入边界摩擦条件 边界上可能存在的摩擦条件为 s 0 z 设边界上选最大值，即
2 超过此数值工件与模板间的摩擦由剪切所代替
将式(6-10)代入式(6-9)，可得 s d r dr h
s
(6-10)
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 求总变形力 沿接触平面积分即可得总变形力
1 1 (0.5d r ) 2r dr h
P
0 .5 d
0
z 2rdr
s 1
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
rz
、
r
、
r
受力状态：圆筒的内壁作用有均匀压力p 几何尺寸：筒的尺寸如图所示 变形类型：平面应变(圆筒很长，相当于 压力容器、管道、挤压凹模等) 轴对称平面问题
一定的边界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布；
(4) 某些特殊情况下能够数学解析，一般空间问题，数学上极其困难， 甚至不可能解。
2、塑性力学问题求解方法
(1) 塑性理论基础上，引进各种简化假设，提出求解的近似解析方法；
(2) 主应力法(切块法)、滑移线法和上限法，数值模拟方法。
弹性与塑性 力 学 基 础
假设接触面上的正应力即为主应力(即忽略摩擦切应力的影响)
max - min = β s
将上述的平衡方程与近似屈服准则联解，以求接触面上的应力 分布，这就是主应力法。由于该方法需要截取基元块，又形象地 称为切块法。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 求平均单位力
τ=s/2时
如热锻等
d p m s 1 6h
h2
(6-22)
τ=μz时
hd d e 1 p m 2 s 2 2 6h d
d 6h
0 .5 d
0
d 2
4
(6-19)
P
d 2
hd d e 1 2 s 2 2 4 h d h2
(6-20)
d 2 d P s 1 4 3h
(6-21)
弹性与塑性 力 学 基 础
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 6.3.2 亨盖(Hencky)应力方程 6.3.3 常见的滑移线场类型 6.3.4 用滑移线场理论求解的二个典型问题
§6-4 上限法及其在平面问题中的应用
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 滑移线的定义 塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线 由于最大剪应力成对正交，因此滑移线在变形体内成两族互相正 交的线网，组成所谓滑移线场。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 求接触面上压力分布公式 将C代入式(6-15)得圆柱体镦粗压力分布公式
z s 1
若边界摩擦τ=μz
1 d ( r ) h 2
(6-16)
z s exp
若边界摩擦τ=μs
2 ( 0 .5 d r ) h
d z dr
联立求解
d r dr
(6-13)
由此可见只要τ=常数，式(6-13)总是成立的
将屈服准则式(6-13)与微分方程式(6-11)联解
d r dr
s
h
(6-11)
得
d z
s
h
dr
(6-14)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
整理并略去高次项得平衡微分方程
d r dr
2 h
r
r
0
(6-7)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 找 r与θ的关系 可以从 r与θ的关系和应力应变关系式判别 实心圆柱镦粗的径向应变为
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 联立式(6-2)得到塑性圆筒的应力解
r
b 3 2 r s (1 ln ) b 3 2
s ln
r
(6-3)
r dr / r
切向应变为
2r r 两者相等，根据应力应变关系理论必然有
2 ( r dr ) 2r
dr
r
将式(6-8)代入式(6-7)，可得
(6-8)
d r dr
2 h
0
(6-9)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
τ=s/2时 τ=μz时
d p m s 1 6h
(6-22)
d p m s 1 3h
(6-23)
τ=μs时
d p m s 1 3 h
(6-21)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
(6-17)
z s 1
2
( 0 .5 d r ) h
(6-18)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 镦粗单位压力分布
τ=s/2
τ=μs
弹性与塑性 力 学 基 础
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 积分上式，得
z
s
h
rC
(6-15)
定积分常数，当r=d/2 时， r =0 代入式(6-12)得
z =s
C s
s d
h 2
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
max - min = s
即视 r 、 z为主应力，有 (- r ) - (- z ) = s
即：
z - r = s
(6-12)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 从式(6-12)微分可得
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 滑移线法 移线法就是利用滑移线场特性来求解变形问题 严格地说仅适用于处理理想刚塑性体的平面应变问题，但在一定 条件下，也可推广到平面应力和轴对称问题以及硬化材料； 与其它方法相比，在数学上比较严谨，理论上比较完整；
θ - r = β s
式中β 为中间主应力影响系数，对于平面应变问题 代入式(6-1)，得 2 dr d r s r 3 积分得 2 r s ln Cr 3 利用边界条件确定积分常数C，当r=b， r =0，则
2
(6-2) ，
3
C
1 b
弹性与塑性 力 学 基 础
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 滑移线的基本概念
(6-11)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 写出屈服准则的表达式 由应变状态可见
r =θ >0
z <0
根据应力应变顺序对应规律(考虑到应力的符号) (- r ) = (- θ ) > (- z ) 此时的屈服准则
b r 1.1 s (ln 1) b
r 1.1 s ln
r
(6-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的要点 将问题近似地按轴对称问题或平面问题来处理
假设非接触面上仅有均布的正应力即主应力
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.1 求解方法
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的特点 6.2.2 主应力法的要点平行模板间圆柱体镦粗
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
6.4.1 上限法的概念 6.4.2 上限法原理
6.4.3 上限法在平面变形问题中的应用
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.1 求解方法 平衡微分方程和屈服准则联立求解，求出物体塑性变 形时的应力分布； 联解过程积分常数根据自由表面和接触面上的边界条 件确定。 一般只能求解平面轴对称等简单塑性问题。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 切取基元块
列平衡方程(沿r向)
( r d r )( r dr ) d h r rd h 2 sin d 2 drh 2 rd dr 0
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化；
平衡微分方程：
d r dr
r
r
0 (6-1)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 解题方法 根据Mises屈服准则，有
可以计算变形力、确定塑性变形区内的应力分布和速度分布、接
触面上的应力分布及等静压迹线等； 构成滑移线的网格为在计算机上采用数值方法求解提供了自然单 元，为该方法在工程计算上应用提供了方便。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
(6-23)
摩擦系数较小的冷变形情况
τ=μs时
d p m s 1 3 h
(6-24)
摩擦系数较小的冷变形情况
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法 6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
解题步骤
随着μ及d/h增加，平均单位变形力将迅速增加 有相对厚度越小平均单位变形力越大的概念
分析上式知，截面的 θ总为拉应力， r总为压应力。 当r=a时，有最大的压力p，所以
p
2 3
s ln
r b
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 对于圆环受拉问题，平衡微分方程法依旧，由于是平面应力问题， 屈服准则为 r - θ = β s ，可取=1.1，将边界条件代入后可得
弹性与塑性力学基础
第 六 章
塑性力学解题方法及应用举例
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑Biblioteka Baidu状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 代入边界摩擦条件 边界上可能存在的摩擦条件为 s 0 z 设边界上选最大值，即
2 超过此数值工件与模板间的摩擦由剪切所代替
将式(6-10)代入式(6-9)，可得 s d r dr h
s
(6-10)
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 求总变形力 沿接触平面积分即可得总变形力
1 1 (0.5d r ) 2r dr h
P
0 .5 d
0
z 2rdr
s 1
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
rz
、
r
、
r
受力状态：圆筒的内壁作用有均匀压力p 几何尺寸：筒的尺寸如图所示 变形类型：平面应变(圆筒很长，相当于 压力容器、管道、挤压凹模等) 轴对称平面问题
一定的边界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布；
(4) 某些特殊情况下能够数学解析，一般空间问题，数学上极其困难， 甚至不可能解。
2、塑性力学问题求解方法
(1) 塑性理论基础上，引进各种简化假设，提出求解的近似解析方法；
(2) 主应力法(切块法)、滑移线法和上限法，数值模拟方法。
弹性与塑性 力 学 基 础
假设接触面上的正应力即为主应力(即忽略摩擦切应力的影响)
max - min = β s
将上述的平衡方程与近似屈服准则联解，以求接触面上的应力 分布，这就是主应力法。由于该方法需要截取基元块，又形象地 称为切块法。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 求平均单位力
τ=s/2时
如热锻等
d p m s 1 6h
h2
(6-22)
τ=μz时
hd d e 1 p m 2 s 2 2 6h d
d 6h
0 .5 d
0
d 2
4
(6-19)
P
d 2
hd d e 1 2 s 2 2 4 h d h2
(6-20)
d 2 d P s 1 4 3h
(6-21)
弹性与塑性 力 学 基 础
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 6.3.2 亨盖(Hencky)应力方程 6.3.3 常见的滑移线场类型 6.3.4 用滑移线场理论求解的二个典型问题
§6-4 上限法及其在平面问题中的应用
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 滑移线的定义 塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线 由于最大剪应力成对正交，因此滑移线在变形体内成两族互相正 交的线网，组成所谓滑移线场。
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 求接触面上压力分布公式 将C代入式(6-15)得圆柱体镦粗压力分布公式
z s 1
若边界摩擦τ=μz
1 d ( r ) h 2
(6-16)
z s exp
若边界摩擦τ=μs
2 ( 0 .5 d r ) h
d z dr
联立求解
d r dr
(6-13)
由此可见只要τ=常数，式(6-13)总是成立的
将屈服准则式(6-13)与微分方程式(6-11)联解
d r dr
s
h
(6-11)
得
d z
s
h
dr
(6-14)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
整理并略去高次项得平衡微分方程
d r dr
2 h
r
r
0
(6-7)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 找 r与θ的关系 可以从 r与θ的关系和应力应变关系式判别 实心圆柱镦粗的径向应变为
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算 联立式(6-2)得到塑性圆筒的应力解
r
b 3 2 r s (1 ln ) b 3 2
s ln
r
(6-3)
r dr / r
切向应变为
2r r 两者相等，根据应力应变关系理论必然有
2 ( r dr ) 2r
dr
r
将式(6-8)代入式(6-7)，可得
(6-8)
d r dr
2 h
0
(6-9)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
τ=s/2时 τ=μz时
d p m s 1 6h
(6-22)
d p m s 1 3h
(6-23)
τ=μs时
d p m s 1 3 h
(6-21)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
(6-17)
z s 1
2
( 0 .5 d r ) h
(6-18)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 镦粗单位压力分布
τ=s/2
τ=μs
弹性与塑性 力 学 基 础
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 积分上式，得
z
s
h
rC
(6-15)
定积分常数，当r=d/2 时， r =0 代入式(6-12)得
z =s
C s
s d
h 2
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
max - min = s
即视 r 、 z为主应力，有 (- r ) - (- z ) = s
即：
z - r = s
(6-12)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 从式(6-12)微分可得
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 滑移线法 移线法就是利用滑移线场特性来求解变形问题 严格地说仅适用于处理理想刚塑性体的平面应变问题，但在一定 条件下，也可推广到平面应力和轴对称问题以及硬化材料； 与其它方法相比，在数学上比较严谨，理论上比较完整；
θ - r = β s
式中β 为中间主应力影响系数，对于平面应变问题 代入式(6-1)，得 2 dr d r s r 3 积分得 2 r s ln Cr 3 利用边界条件确定积分常数C，当r=b， r =0，则
2
(6-2) ，
3
C
1 b
弹性与塑性 力 学 基 础
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 滑移线的基本概念
(6-11)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗 解题步骤 写出屈服准则的表达式 由应变状态可见
r =θ >0
z <0
根据应力应变顺序对应规律(考虑到应力的符号) (- r ) = (- θ ) > (- z ) 此时的屈服准则
b r 1.1 s (ln 1) b
r 1.1 s ln
r
(6-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的要点 将问题近似地按轴对称问题或平面问题来处理
假设非接触面上仅有均布的正应力即主应力
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.1 求解方法
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
§6-2 圆柱体镦粗变形力计算的主应力法
6.2.1 主应力法的特点 6.2.2 主应力法的要点平行模板间圆柱体镦粗
6.2.3 平行模板间圆柱体镦粗
6.4.1 上限法的概念 6.4.2 上限法原理
6.4.3 上限法在平面变形问题中的应用
弹性与塑性 力 学 基 础
第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.1 求解方法 平衡微分方程和屈服准则联立求解，求出物体塑性变 形时的应力分布； 联解过程积分常数根据自由表面和接触面上的边界条 件确定。 一般只能求解平面轴对称等简单塑性问题。