线代第六章答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题6.1
1． 解 (1) A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--011102120 (2) A = ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---0000012310233
10111
(3) A = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛57674256251 (4) A = ⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛0111110111110111110111110 2． 解 (1) 3231212
3213218622),,(x x x x x x x x x x x f ++--=
(2) 2
3222132153),,(x x x x x x f +-=
3．解 二次型f 的矩阵
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----=c A 33351315 因f 的秩为2 , 故R(A) = 2. 所以
A = 0, 由此解得c = 3.
4．证明 设
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=321x x x X 作变换 ⎪⎩⎪
⎨⎧===23
1231y
x y x y x , 即 X=CY 其中
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321,010001100y y y Y C , C 为非奇异矩阵. 则
Y
AC C Y CY A CY y a y a y a x a x a x a AX X T
T
T T )()
()(22
3212231233222211==++=++=
又 BY
Y y a y a y a AX X T
T =++=2
3
1223212
于是有 B AC C T
=, 故A 与B 合同.
习题6.2
1．解
23232232132232223213
1212
2213212)()( 2)( 222),,( )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+=+-+-+=-++=
令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+=333223211 x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33
3223211 2y x y y x y y y x 则 2
322212y y y f -+= 为标准形。
23223213
2232223213231212
221321)2
1
(4)( 44)( 6223),,( )2( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +
-+-=---+-=-+--=
令 ⎪
⎩⎪⎨⎧=+=+-=333223211 21 x y x x y x x x y 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
=-=-+=333223211
21 2
3y x y y x y y y x 则 2
2214y y f -= 为标准形。
),,,().3(44332
122
114342324131214321⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧==-=+=+++++=y x y x y y x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x f 令
4
342132142132121214321)()()()())((),,,(y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x f +-+-+++++-+=
24
242
32224312
4
2
4244323
2
2
2
43122
24432324312
24324432324312243243243143214
343122214341312
22143)2()()4
4()()(2)()()()(2)(222y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+--++=--++--++=----++=-+---++=-++-++++=+++-=+++-=
24
2
3222144
433
4
3212432114443322431143 21 2
121 2 z z z z f z x z z x z z z z x z z z z x y z y y z y z y y y z ---=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
=-=---=--+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==++=则即令
（4） 令
2221221222212
1221222222111122122212121212212111
1222
211 )
)(())(())(( n
n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y f y
y x y y x y y x y y x y
y x y y x ----+++=-++-+-=+-+++-++-=⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧+=+=+=-=-=-=-++-++----+++- 则2．解 不能。因变换为Y=CX
其中变换矩阵
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛---=101110101C , 因
0=C 故C 不是非奇异矩阵.
所以Y=CX 不是非奇异线性变换。
因此不能认为f = 2
32
22
1y y y ++是原二次型的标准形，也不能认为原二次型的秩为3.
以下采用配方法化原二次型为标准形: