转动惯量
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d Z* Z M Y*
J
r*i
Y*i
C
在Z坐标系中距
r Z*轴为 ri*,
Mi
X*
X
ri x* Mi
Y
Z轴为 i, 在Z*坐标系中距
xi* xi , yi* yi d
2 2 2 M M
Yi
J z* r * dm ( xi * yi * )dm
取Y轴与Y*重合
把
xi* xi , yi* yi d
刚体的转动惯量
一般公式 简单形状均质物体的转动惯量 转动惯量的平行移轴定理
转动惯量的一般公式 z
1、刚体对转轴z的转动惯量
Jz mr 2( 1)
2、质量连续分布刚体 对转轴z的转动惯量
Jz
M 2 r dm( 2 )
ri
Mi mi
3、转动惯量
与刚体的运动状态无关 •计算 •为一恒正标量 原则上按(1)式 •大小 简单规则形状按(2)式 决定于轴的位置 组合体按类似重心求法 刚体的质量和分布情况 复杂形体用实验测定
b 2 2
M 1 3 J y r dm x bdx Ma ab 3 M 0
M M dm ds bdx ab ab
M 1 J x r dm y ady Mb2 ab 3 M 0
均质细圆环的转动惯量
均质细圆环，半径为 R，质量为M， 求其对Z轴的惯性矩。 解∶ y
M M
代入
J z* r * 2 dm ( x * 2 y * 2 )dm
M
x
2
y d
2
dm
M
x
M
2
y 2 2 yd d 2 dm
M
x
M
2
y 2 dm
2
2 d dm + d
M
ydm
r dm J z
M M dm dl Rd l 2R
Jz Jo
R
O x
M
r
2
dm
M Jz R Rd MR 2 2R 0
2
2
均质薄圆板的转动惯量
均质薄圆板半径为R，质量M。 求其对Z轴的惯性矩。 y
M M dm ds 2 rddr s R
d
dr
r
O
R
x
Jz Jo
dm
l
0
M 2 1 x dx Ml 2 l 3
均质矩形薄板的转动惯量
均质矩形薄板∶ 边长 a 和 b, 质量M，坐标系如图 求其对y 轴的转动惯量。 求其对x 轴的转动惯量。 O 解∶对x轴的转动惯量
b y x dx 对y轴的转动惯量
dy
y a
b 2 2
x
M M dm ds ady ab ab
r
M
2 r dm
M 1 2 Jo r MR 2 rddr R 2 0 0
2
2
均质圆柱的转动惯量
均质圆柱半径为R，质量M，长为L。
M M dm dv 2 rddrdz V LR
dz
z R
J z r dm
2 M
d
dr L
o x
r
y
M 2 r dv V V
0 yc Md
2
因为Z轴过质心C
d2M
Jz* Jz d M
转 动 惯 量 的 平 行 轴 定 理
刚体对于任何轴的转动惯量，
等于刚体对通过其质心并与该轴平
行的轴的转动惯量加上刚体质量与 这两轴间距离平方的乘积。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J z* J z d
2
M
均质细长杆的转动惯量
均质细长杆AB,质量为M∶ z* z x A C dx x B
中点为C，Z轴过此。
长为 l 取微段dx
M dm dx l
Jz
l/2
l/2
M
r
2
dm
l/ 2
l / 2
M 2 1 x dx Ml 2 l 12
对平行于Z轴的Z*轴
Jz
M
r
2
M Jz LR 2
L
2 R
1 2 r drddz MR 2 0 0
3
小 结
简单形状的 均质物体转动惯量
• 可以查手册 • 可以用积分的方法计算 • 在查手册时注意转动惯量对应的是哪根轴
转动惯量的平行轴定理
问题的提出∶
刚体总质量为M Z轴通过质心C， 且转动惯量为 z 过O点有Z*轴，它平行于Z轴， O 且垂直距离为 d。确定刚体对 Z*之转动惯量。
J
r*i
Y*i
C
在Z坐标系中距
r Z*轴为 ri*,
Mi
X*
X
ri x* Mi
Y
Z轴为 i, 在Z*坐标系中距
xi* xi , yi* yi d
2 2 2 M M
Yi
J z* r * dm ( xi * yi * )dm
取Y轴与Y*重合
把
xi* xi , yi* yi d
刚体的转动惯量
一般公式 简单形状均质物体的转动惯量 转动惯量的平行移轴定理
转动惯量的一般公式 z
1、刚体对转轴z的转动惯量
Jz mr 2( 1)
2、质量连续分布刚体 对转轴z的转动惯量
Jz
M 2 r dm( 2 )
ri
Mi mi
3、转动惯量
与刚体的运动状态无关 •计算 •为一恒正标量 原则上按(1)式 •大小 简单规则形状按(2)式 决定于轴的位置 组合体按类似重心求法 刚体的质量和分布情况 复杂形体用实验测定
b 2 2
M 1 3 J y r dm x bdx Ma ab 3 M 0
M M dm ds bdx ab ab
M 1 J x r dm y ady Mb2 ab 3 M 0
均质细圆环的转动惯量
均质细圆环，半径为 R，质量为M， 求其对Z轴的惯性矩。 解∶ y
M M
代入
J z* r * 2 dm ( x * 2 y * 2 )dm
M
x
2
y d
2
dm
M
x
M
2
y 2 2 yd d 2 dm
M
x
M
2
y 2 dm
2
2 d dm + d
M
ydm
r dm J z
M M dm dl Rd l 2R
Jz Jo
R
O x
M
r
2
dm
M Jz R Rd MR 2 2R 0
2
2
均质薄圆板的转动惯量
均质薄圆板半径为R，质量M。 求其对Z轴的惯性矩。 y
M M dm ds 2 rddr s R
d
dr
r
O
R
x
Jz Jo
dm
l
0
M 2 1 x dx Ml 2 l 3
均质矩形薄板的转动惯量
均质矩形薄板∶ 边长 a 和 b, 质量M，坐标系如图 求其对y 轴的转动惯量。 求其对x 轴的转动惯量。 O 解∶对x轴的转动惯量
b y x dx 对y轴的转动惯量
dy
y a
b 2 2
x
M M dm ds ady ab ab
r
M
2 r dm
M 1 2 Jo r MR 2 rddr R 2 0 0
2
2
均质圆柱的转动惯量
均质圆柱半径为R，质量M，长为L。
M M dm dv 2 rddrdz V LR
dz
z R
J z r dm
2 M
d
dr L
o x
r
y
M 2 r dv V V
0 yc Md
2
因为Z轴过质心C
d2M
Jz* Jz d M
转 动 惯 量 的 平 行 轴 定 理
刚体对于任何轴的转动惯量，
等于刚体对通过其质心并与该轴平
行的轴的转动惯量加上刚体质量与 这两轴间距离平方的乘积。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
J z* J z d
2
M
均质细长杆的转动惯量
均质细长杆AB,质量为M∶ z* z x A C dx x B
中点为C，Z轴过此。
长为 l 取微段dx
M dm dx l
Jz
l/2
l/2
M
r
2
dm
l/ 2
l / 2
M 2 1 x dx Ml 2 l 12
对平行于Z轴的Z*轴
Jz
M
r
2
M Jz LR 2
L
2 R
1 2 r drddz MR 2 0 0
3
小 结
简单形状的 均质物体转动惯量
• 可以查手册 • 可以用积分的方法计算 • 在查手册时注意转动惯量对应的是哪根轴
转动惯量的平行轴定理
问题的提出∶
刚体总质量为M Z轴通过质心C， 且转动惯量为 z 过O点有Z*轴，它平行于Z轴， O 且垂直距离为 d。确定刚体对 Z*之转动惯量。