高中数学 教学能手示范课 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教版必修4
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1.1.2弧度制课件人教新课标
1.1.2 弧度制
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
4 • PART 04达标检测
学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关 系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大
为100 cm2.
反思及感悟
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关 键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形 面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
60° 90°
弧度 0
度 120° 135° 150°
弧度
π
270° 360° 2π
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝
扇形的面积
S＝
S＝ ＝
题型探究
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
D.－1π2 rad
解析 时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－π6 rad，故选 B.
2.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角
的弧度数是( C )
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
4 • PART 04达标检测
学习目标
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关 系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大
为100 cm2.
反思及感悟
灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关 键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形 面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
60° 90°
弧度 0
度 120° 135° 150°
弧度
π
270° 360° 2π
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝
扇形的面积
S＝
S＝ ＝
题型探究
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
D.－1π2 rad
解析 时针经过一小时，转过－30°，
又－30°＝－π6 rad，故选 B.
2.已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角
的弧度数是( C )
高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制(第2课时)教学课件 新人教A版必修4
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4.
当 r＝1 时，l＝8(cm)，此时 θ＝8 rad＞2π rad，舍去． 当 r＝4 时，l＝2(cm)，此时 θ＝24＝12 rad. ∴综上，θ＝12. (2)设扇形弧长为 l， ∵72°＝72×1π80＝25π(rad)， ∴l＝αR＝25π×20＝8π(cm)． ∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧 度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把 π写成小数．
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再 化成弧度．
2．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集 合为________________．
解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α ＜2kπ＋π，k∈Z.
答案：{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
1．度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1 度的角：周角的3160作为一个单位． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于半__径___长__的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算 (1)弧度数 ①正角的弧度数是一个_正_数____． ②负角的弧度数是一个_负__数___． ③零角的弧度数是_0__.
l (2)弧度数的计算：|α|＝__r__.
如图：
3．角度制与弧度制的换算
1．想一想 角α＝5这种表达方式正确吗？ 提示：正确．角α＝5表示5弧度的角，这里 将“弧度”省去了．
2．判一判(判断下列说法的正误) (1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度 量角的单位．( )
提示：× “度”与“弧度”是度量角的 两种不同的度量单位．
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
②
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4.
当 r＝1 时，l＝8(cm)，此时 θ＝8 rad＞2π rad，舍去． 当 r＝4 时，l＝2(cm)，此时 θ＝24＝12 rad. ∴综上，θ＝12. (2)设扇形弧长为 l， ∵72°＝72×1π80＝25π(rad)， ∴l＝αR＝25π×20＝8π(cm)． ∴S＝12lR＝12×8π×20＝80π(cm2)．
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧 度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把 π写成小数．
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再 化成弧度．
2．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集 合为________________．
解析：若角α的终边落在x轴上方，则2kπ＜α ＜2kπ＋π，k∈Z.
答案：{α|2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z}
1．度量角的两种制度 (1)角度制 ①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1 度的角：周角的3160作为一个单位． (2)弧度制 ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1 弧度的角：长度等于半__径___长__的弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算 (1)弧度数 ①正角的弧度数是一个_正_数____． ②负角的弧度数是一个_负__数___． ③零角的弧度数是_0__.
l (2)弧度数的计算：|α|＝__r__.
如图：
3．角度制与弧度制的换算
1．想一想 角α＝5这种表达方式正确吗？ 提示：正确．角α＝5表示5弧度的角，这里 将“弧度”省去了．
2．判一判(判断下列说法的正误) (1)“度”与“弧度”是相同的，都是用来度 量角的单位．( )
提示：× “度”与“弧度”是度量角的 两种不同的度量单位．
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制讲义全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
1/10
1、角度量
角度制
角能够用度为单位进行度量，1度角 等于周角1/360。这种用度作为单位 来度量角单位制叫做角度制。
思索：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒
单位角相加、相减时，运算进率是什么进
制？那么我们能否重新选择角单位？
2/10
弧度制
r r
我们把长度等于半径长弧所正确圆 心角叫做1弧度角，用符号rad表示， 读作弧度。这种用弧度作为单位度 量角单位制叫做弧度制。
把角度换算成弧度 把弧度换算成角度
360 2 rad. 180 rad. 1 rad 0.01745rad.
180
1rad (180) 57.30 5718'
角度与弧度之间 换算
6/10
2、角度与弧度之间换算
填写以下特殊角度数和弧度数对应表。
角 度
0
30 45
60 90 120 135 150 180 270 360
4/10
• 弧AB长 • OB旋转方 • ∠AOB弧度
向
数
∏r
逆时针方向
∏
• ∠AO2∏
3600
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转
0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
5/10
2、角度与弧度之间换算
3、例题讲解
9/10
3、例题讲解
解:∵1=(180/π)0 ∴3.14=3.14× (180/π)0 ≈179.9090
10/10
1、角度量
角度制
角能够用度为单位进行度量，1度角 等于周角1/360。这种用度作为单位 来度量角单位制叫做角度制。
思索：
在角度制下，当把两个带着度、分、秒
单位角相加、相减时，运算进率是什么进
制？那么我们能否重新选择角单位？
2/10
弧度制
r r
我们把长度等于半径长弧所正确圆 心角叫做1弧度角，用符号rad表示， 读作弧度。这种用弧度作为单位度 量角单位制叫做弧度制。
把角度换算成弧度 把弧度换算成角度
360 2 rad. 180 rad. 1 rad 0.01745rad.
180
1rad (180) 57.30 5718'
角度与弧度之间 换算
6/10
2、角度与弧度之间换算
填写以下特殊角度数和弧度数对应表。
角 度
0
30 45
60 90 120 135 150 180 270 360
4/10
• 弧AB长 • OB旋转方 • ∠AOB弧度
向
数
∏r
逆时针方向
∏
• ∠AO2∏
3600
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转
0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
5/10
2、角度与弧度之间换算
3、例题讲解
9/10
3、例题讲解
解:∵1=(180/π)0 ∴3.14=3.14× (180/π)0 ≈179.9090
10/10
高中数学 教学能手示范课 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)课件 新人教版必修4
3 ta n 1 1 6 .
解 :1sin148010sin40104360
sin4010 0.6450
2 cos 9
4
cos
4
2
cos
4
2 2
3
tan
11
6
tan
6
2
t
a
n
6
3 3
8.下面从图形角度
认识一下三角函数
α的 终边
P
y
A(1,0)
MO
x
角α的终边与单位圆
交于点P.过点P作x轴
1.2.1 任意角的 三角函数(一)
1.复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数，如图：
C
sin A BC AC
A
B
cos A AB tan A BC
AC
AB
你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?
2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半 轴重合,那么它的终边在第一象限.
cosxxO MO M 0 3;
1 O P O P 0 5
tanxycsoins34
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.
r x2 y2
sin MP y ,
OP r
cos OM x,
x
P(x,y) y
M
α
O
x
6.三角函数的定义域
x
y T α的
终边
P
A(1,0)
OM x
(Ⅰ)
y
M A(1,0)
O
x
PT
α的
(Ⅳ) 终边
这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、
高中数学 1.11.1.2弧制课件 新人教A版必修4
第一章 三角函数 1.1 任意(rènyì)角和弧度制
1．1.2 弧 度 制
第一页，共42页。
栏 目 链 接
第二页，共42页。
1．理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义， 能熟练进行(jìnxíng)弧度与角度的互化．
栏 目
2．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运 链
接
用弧长、扇形面积公式计算．
目 链 接
(4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4，是第一象限角．
点评：快速准确地实现角度与弧度的互化在今后的学习中是必要的，
而实现这两者之间互化的桥梁就是 180°＝π rad.
第二十四页，共42页。
跟踪 训练
2．(1)把－1 480°角化(jiǎo huà)成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π) 的形式；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1 480°角的终边相同，求β.
栏
目
链
解析： (1)－1 480°＝－749π＝－10π＋169π＝2×(－5)π＋169π；
接
(2)β 与－1 480°角的终边相同，
∴β＝2kπ＋α＝2kπ＋169π，
又∵β∈[－4π，0]，
∴β1＝－2π＋169π＝－29π，β2＝－4π＋169π＝－209π.
分针转了 30×36600°，表示 180°，π 弧度．
第十六页，共42页。
自测 自评
4．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角
的弧度数是( )
π A.3
π B.6
C．1
D．π
栏 目
链
接
答案(dáàn)：A
第十七页，共42页。
栏 目 链 接
第十八页，共42页。
1．1.2 弧 度 制
第一页，共42页。
栏 目 链 接
第二页，共42页。
1．理解并掌握弧度制的定义，理解1弧度的定义， 能熟练进行(jìnxíng)弧度与角度的互化．
栏 目
2．理解弧度制表示的弧长、扇形面积公式，能运 链
接
用弧长、扇形面积公式计算．
目 链 接
(4)－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4，是第一象限角．
点评：快速准确地实现角度与弧度的互化在今后的学习中是必要的，
而实现这两者之间互化的桥梁就是 180°＝π rad.
第二十四页，共42页。
跟踪 训练
2．(1)把－1 480°角化(jiǎo huà)成2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π) 的形式；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与－1 480°角的终边相同，求β.
栏
目
链
解析： (1)－1 480°＝－749π＝－10π＋169π＝2×(－5)π＋169π；
接
(2)β 与－1 480°角的终边相同，
∴β＝2kπ＋α＝2kπ＋169π，
又∵β∈[－4π，0]，
∴β1＝－2π＋169π＝－29π，β2＝－4π＋169π＝－209π.
分针转了 30×36600°，表示 180°，π 弧度．
第十六页，共42页。
自测 自评
4．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角
的弧度数是( )
π A.3
π B.6
C．1
D．π
栏 目
链
接
答案(dáàn)：A
第十七页，共42页。
栏 目 链 接
第十八页，共42页。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A版必修4
1 周角的____3_6_0_____为1度角，记作1°
定义 弧
以_____弧__度____为单位来度量角的单位制
度 1弧度 长度等于___半__径__长____的弧所对的圆心角叫做1
制 的角 弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
2.弧度数的计算
3．角度与弧度的互化 角度化弧度
360°＝_2_π_r_a_d____
探究点一 角度制与弧度制的互化 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. [解] (1)20°＝12800π＝π9. (2)－15°＝－15×1π80＝－1π2. (3)71π2＝71π2×1π80°＝172×180°＝105°. (4)－151π＝－151π×1π80°＝－396°.
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 R， l＋2R＝10，①
依题意有12lR＝4.② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1，R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12 rad.
探究点三 扇形的弧长与面积的计算 (1)已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm，则此扇形 的面积为________ cm2. (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数． [解] (1)设扇形弧长为 l， 因为 120°＝120×1π80 rad＝23π(rad)， 所以 l＝αR＝23π× 3＝2 33π(cm)． 所以 S＝12lR＝12×2 33π× 3＝π(cm2)．故填 π.
第一章 三角函数
定义 弧
以_____弧__度____为单位来度量角的单位制
度 1弧度 长度等于___半__径__长____的弧所对的圆心角叫做1
制 的角 弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)
2.弧度数的计算
3．角度与弧度的互化 角度化弧度
360°＝_2_π_r_a_d____
探究点一 角度制与弧度制的互化 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. [解] (1)20°＝12800π＝π9. (2)－15°＝－15×1π80＝－1π2. (3)71π2＝71π2×1π80°＝172×180°＝105°. (4)－151π＝－151π×1π80°＝－396°.
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 R， l＋2R＝10，①
依题意有12lR＝4.② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1，R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12 rad.
探究点三 扇形的弧长与面积的计算 (1)已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm，则此扇形 的面积为________ cm2. (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数． [解] (1)设扇形弧长为 l， 因为 120°＝120×1π80 rad＝23π(rad)， 所以 l＝αR＝23π× 3＝2 33π(cm)． 所以 S＝12lR＝12×2 33π× 3＝π(cm2)．故填 π.
第一章 三角函数
高中数学第一章三角函数1.1.2弧度全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
单位
负角
负实数
符号“rad”能够省略 如：3表示3rad
3s．in一表些示特任意 殊ra角d角的角度集正合数弦与弧度数实对数集 应R值应
该记住（见书本P9表） 4．应确立以下概念：角概念推广之后，
不论用角度制还是弧度制都能在角集合
与实数集合之间建立一个一一对应关系。
5/8
例2 用弧度制表示
（1）终边在x轴上的角的集合
3/8
360 2rad
180 rad
把角度换成弧度
1 rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
180
57.30
5718'
例1把2230'化为弧度，3 rad 化为角度
5
4/8
注意几点：
1．度数与弧正度角数换算也可借助正实“数计算器”
《2．中今学后数在学详用零细角 表运》算进时行，“弧0度”二字和
8/8
C l 2r
C
A 2rad A
r
Oo
AOB=1rad AOC=2rad
周角= 2 rad
2/8
正角弧度数是正数，负角弧度数是负数， 零角弧度数是0
角弧度数绝对值
l (l为弧长r为半径)
r
（
用角度制和弧度制来度量零角，单位不一样， 但量数相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不一样，量数也不一样。
（2）终边在y轴上的角的集合
（3）终边在坐标轴上角集合 练习（P11 练习1 2）
例3已知四边形四个内角之比是1：3：5：6， 分别用角度制和弧度制将这些内角大小表示出来。
例4将下列各角化成0到2的角加上2k
（k Z）的形式。
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制课件新人教A版必修4 (1)
.弧度制与角度制的换算 π (1)角度转化为弧度:360° =2π rad,180° =π rad,1° = rad ≈0.017 180 45 rad. (2)弧度转化为角度:2π rad=360° ,π rad=180° ,1 rad=
180 π
° ≈57.30° = 57° 18'. (3)特殊角的弧度数与角度数对应表:
1 该弧 )的大小 ,而 1° 是圆的周长的 所对的圆心角(或该弧)的大小 ; 360 ������ 任意圆心角 α 的弧度数的绝对值 |α|= , 其中l 是以角 α 作为圆心角 ������
时所对的弧长 ,r 为圆的半径. (3)从换算上 ,1 rad=
(4)从写法上 ,用弧度为单位表示角的大小时,“弧度 ”两字可以省 略不写 ,这时弧度数在形式上虽是一个不名数,但我们应当把它理解 为表示角的弧度数;如果以度为单位表示角,表示度的符号 “°”就不 能省去 .
1
2
3
【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的 一种度量单位 答案:D
1
2
3
2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零 角的弧度数是0.
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度 数的绝对值是|α| = . 知识拓展 1.弧长公式 :l=|α|r. 2.扇形面积公式 :S= ������������ = |������|������2.
1 2 1 2 ������ ������
【做一做2】 已知半径为10 cm的圆上,有一条弧的长是40 cm,则 该弧所对的圆心角的弧度数是 (圆心角的范围为(0,2π)). 答案:4
180 π
° ≈57.30° = 57° 18'. (3)特殊角的弧度数与角度数对应表:
1 该弧 )的大小 ,而 1° 是圆的周长的 所对的圆心角(或该弧)的大小 ; 360 ������ 任意圆心角 α 的弧度数的绝对值 |α|= , 其中l 是以角 α 作为圆心角 ������
时所对的弧长 ,r 为圆的半径. (3)从换算上 ,1 rad=
(4)从写法上 ,用弧度为单位表示角的大小时,“弧度 ”两字可以省 略不写 ,这时弧度数在形式上虽是一个不名数,但我们应当把它理解 为表示角的弧度数;如果以度为单位表示角,表示度的符号 “°”就不 能省去 .
1
2
3
【做一做1】 下列表述中正确的是( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的 一种度量单位 答案:D
1
2
3
2.弧度数 一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零 角的弧度数是0.
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么,角 α 的弧度 数的绝对值是|α| = . 知识拓展 1.弧长公式 :l=|α|r. 2.扇形面积公式 :S= ������������ = |������|������2.
1 2 1 2 ������ ������
【做一做2】 已知半径为10 cm的圆上,有一条弧的长是40 cm,则 该弧所对的圆心角的弧度数是 (圆心角的范围为(0,2π)). 答案:4
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制课件新人教A版必修4
解析：设原来圆的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 θ，
变化后圆的半径为 3R，圆心角为 θ′，则 θ′＝3lR＝13θ.所
以该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的13. 答案：13
类型 1 弧度制的概念(自主研析)
[典例 1] 下列各种说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角
rad＝α·18π0°，n°＝n·1π80.
[变式训练] 把下列各角从角度化成弧度或从弧度
化成角度.(不必求近似值)
(1)10°； (2)－10°30′； (3)－210°；(4)400°；
(5)1.5 rad；
(6)－π5 rad；
11π (7) 36 rad.
π
π
解：(1)10°＝10×180 rad＝18 rad.
[迁移探究 2] (变换条件、改变问题)已知一扇形的 周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最 大？最大值是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，
半径为 r，面积为 S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r1＋2π<r<2，
所以 S＝12l·r＝12×(4－2r)×r＝ －r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当 r＝1 时，S 最大，且 Smax＝1，
[变式训练] (1)在半径不相等的两个圆内，1 弧度的
圆心角( )
A.所对弧长相等
B.所对的弦长相等
C.所对弦长等于各自半径 D.所对弧长等于各自半径
(2)圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆
变化后圆的半径为 3R，圆心角为 θ′，则 θ′＝3lR＝13θ.所
以该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的13. 答案：13
类型 1 弧度制的概念(自主研析)
[典例 1] 下列各种说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角
rad＝α·18π0°，n°＝n·1π80.
[变式训练] 把下列各角从角度化成弧度或从弧度
化成角度.(不必求近似值)
(1)10°； (2)－10°30′； (3)－210°；(4)400°；
(5)1.5 rad；
(6)－π5 rad；
11π (7) 36 rad.
π
π
解：(1)10°＝10×180 rad＝18 rad.
[迁移探究 2] (变换条件、改变问题)已知一扇形的 周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最 大？最大值是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，
半径为 r，面积为 S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r1＋2π<r<2，
所以 S＝12l·r＝12×(4－2r)×r＝ －r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当 r＝1 时，S 最大，且 Smax＝1，
[变式训练] (1)在半径不相等的两个圆内，1 弧度的
圆心角( )
A.所对弧长相等
B.所对的弦长相等
C.所对弦长等于各自半径 D.所对弧长等于各自半径
(2)圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆
数学必修Ⅳ人教新课标A版1-1-2弧度制课件(34张)
数学 必修3
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得 到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
数学 必修3
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
数学 必修3
第一章 三角函数
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角度制与弧度制的换算
数学 必修3
第一章 三角函数
学案·新知自解
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练案·学业达标
扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0<α<2π)为其圆心角，其中α＝n18π0，则
由－5π≤2kπ＋413π 6 ＜0，k∈Z 知 k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与 α 终边相同的角是－313π 6 ，－10336π，－17356π.
数学 必修3
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
[归纳升华] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其中 2kπ是π的偶数倍，而不 是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
数学 必修3
第一章 三角函数
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角；用_弧__度___作为单位来度 量角的单位制叫作弧度制．在弧度制下，1 弧度记作__1_r_a_d__，读作_1_弧__度___．
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弧度制
角度制
1、用“度”作单位来度量角的单位 制称作 “角度制”，规定：圆周 1/360的圆心角称作1°角.
2、角度制的单位有：度、分、秒.
3、在角度制下，当把两个带着度、分、秒为 单位的角相加、相减时，由于运算进率不是十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新 选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运 算与常规的十进制加减法一样去做呢？
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°
弧 度
0
6
4
32
3 2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用 “度”（°）为单位时不能省.
3、用弧度为单位表示角时，通常写
成“多少π”的形式.
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
实数集R
小结：
1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个 仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准.
2.量角的制度，除了角度制与弧度制以外， 还有其他的制度，弧度制除了使角与实 数有一一对应关系外，为以后学习三角 函数打下基础.
3.能熟练地进行角度与弧度之间的换算.
1、1弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧
度的角.
B
设弧AB的长为L，
若L=r，则∠AOB=
L r
=1 弧度
L=r
1弧度
Or A
若L=2r，则∠AOB=
L r
若L=2 π r，则∠AOB=
= 2 弧度 L r =2π弧度
B
L=2r
2弧度
Or A
L=2 π r
2π弧度
O r A（B)
l 解：设扇形的半径为r，弧长为 ，则有
2l r2rl,8,解得lr42., 故扇形的面积为S 1rl 4(cm2).
2
(5) 300 ° , (6) - 210 ° , (7)22 °30' , (8)225 °,
例3. 把下列各弧度化成度. (1)3π/5 , (2) π/12 ,(3) 3π/10 , (4) – π/5 (2)(5) - 12 π , (6) 5π/6 , (7) 7π/12.
注：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算 要熟记.
由180°= π 弧度 还可得 1°= —π— 弧度 ≈ 0．01745弧度
180
1弧度 =（—1π8—0 ）°≈ 57．30°= 57°18′
4、例1
（1）把67°30′化成弧度.
（2）把 —3 π 弧度化成度.
5
例2. 把下列各角化成弧度. (1) 67 °30' , (2)120 ° , (3)75 ° , (4)135 °,
例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
1、弧长公式：由 l 得：l r
r
2、扇形面积公式：S 1lr 1r2
22
练习：求图中公路弯道处弧A B 的长 。
（精确 到1 m ，图中长度单位： m）
解：6 0 3
lR453.141547(m)
3
答：弯道处 A B 的长约为47m.
❖ 例4：已知扇形的周长为8cm，圆心角 为2弧度，求该扇形的面积.
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它
所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是
L r
=
3，
即∠AOB=－
L r
=
－3弧度
O rA
B
-3弧度
L=3r
2.一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 对值：
︱α︱=
L r
其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制.
由弧度的定义可知：
圆心角∠AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径
定
长的比的绝对值.
义
B
的
B
L=r
1弧度
L=r
合
1弧度
OO r r A A
理
性
3、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
2π弧度
O r A（B)
180°=π 弧度
角度制
1、用“度”作单位来度量角的单位 制称作 “角度制”，规定：圆周 1/360的圆心角称作1°角.
2、角度制的单位有：度、分、秒.
3、在角度制下，当把两个带着度、分、秒为 单位的角相加、相减时，由于运算进率不是十进 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新 选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运 算与常规的十进制加减法一样去做呢？
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°
弧 度
0
6
4
32
3 2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但用 “度”（°）为单位时不能省.
3、用弧度为单位表示角时，通常写
成“多少π”的形式.
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
零
负角
负实数
角的集合
实数集R
小结：
1.圆心角α所对弧长与半径的比是一个 仅与角α大小有关的常数,所以作为度 量角的标准.
2.量角的制度，除了角度制与弧度制以外， 还有其他的制度，弧度制除了使角与实 数有一一对应关系外，为以后学习三角 函数打下基础.
3.能熟练地进行角度与弧度之间的换算.
1、1弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧
度的角.
B
设弧AB的长为L，
若L=r，则∠AOB=
L r
=1 弧度
L=r
1弧度
Or A
若L=2r，则∠AOB=
L r
若L=2 π r，则∠AOB=
= 2 弧度 L r =2π弧度
B
L=2r
2弧度
Or A
L=2 π r
2π弧度
O r A（B)
l 解：设扇形的半径为r，弧长为 ，则有
2l r2rl,8,解得lr42., 故扇形的面积为S 1rl 4(cm2).
2
(5) 300 ° , (6) - 210 ° , (7)22 °30' , (8)225 °,
例3. 把下列各弧度化成度. (1)3π/5 , (2) π/12 ,(3) 3π/10 , (4) – π/5 (2)(5) - 12 π , (6) 5π/6 , (7) 7π/12.
注：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算 要熟记.
由180°= π 弧度 还可得 1°= —π— 弧度 ≈ 0．01745弧度
180
1弧度 =（—1π8—0 ）°≈ 57．30°= 57°18′
4、例1
（1）把67°30′化成弧度.
（2）把 —3 π 弧度化成度.
5
例2. 把下列各角化成弧度. (1) 67 °30' , (2)120 ° , (3)75 ° , (4)135 °,
例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
1、弧长公式：由 l 得：l r
r
2、扇形面积公式：S 1lr 1r2
22
练习：求图中公路弯道处弧A B 的长 。
（精确 到1 m ，图中长度单位： m）
解：6 0 3
lR453.141547(m)
3
答：弯道处 A B 的长约为47m.
❖ 例4：已知扇形的周长为8cm，圆心角 为2弧度，求该扇形的面积.
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它
所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是
L r
=
3，
即∠AOB=－
L r
=
－3弧度
O rA
B
-3弧度
L=3r
2.一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 对值：
︱α︱=
L r
其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制.
由弧度的定义可知：
圆心角∠AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径
定
长的比的绝对值.
义
B
的
B
L=r
1弧度
L=r
合
1弧度
OO r r A A
理
性
3、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
L=2 π r
2π弧度
O r A（B)
180°=π 弧度