最短路径 将军饮马 造桥选址
将军饮马最短路径类
课程主题：最短路径问题学习目标1、掌握和最小、差最大、造桥选址类、两点之间线段最短类的最短路径问题模型2、熟练运用模型在代数、几何中进行转化教学内容1、如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF＋EG等于。
2、如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是。
1、回顾将军饮马问题、造桥选址问题EDCBAP知识点一（最短路径问题）【知识梳理】1、两动点最短距离：两点之间，线段最短2、点到直线的距离：垂线段最短3、PA+PB最短：将军饮马问题，对称A.B不同侧，两点之间线段最短4、|PA-PB|最大：差最大，保证A.B同侧，当P.A.B三点共线时差最大5、造桥选址问题：先压缩桥变成将军饮马问题利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
最短路径将军饮马造桥选址ppt课件
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为 AB2+B2B1+B1B．
A
M
N
P
Q
B2
B1
M N
P Q
G H
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点， 建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点， 建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
B
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
பைடு நூலகம்
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时
路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最
短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化 为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
(完整版)将军饮马问题
点）上的一个动点，求当m取何值时，CM+DM有最小值？
y C'
M O
Bx
提示：作点C关于OB的对称点C', 连接C'D，C'D与OB相交于点M, 过点D作y轴的垂线，所以
C'OM与C' ED相似
所以 C'O OM C' E ED
C E
D
将军饮马问题
• 例题1：从A地到B地，哪一条路线最短？
路线1
路线2
A
路线3
B
路线4
定理：在同一平面上，两点之间的距离直线最短
变式1：
• P,Q两地分别位于河的两岸，现在在河上修建一座桥（桥
必须垂直于河岸），使得从P地到Q地的距离是最短的，请
问桥应该建在哪里？
作法：
P
1.先将Q点沿着垂直于河岸的方向向河
A 河岸
A'
B' B
草 地
• 例题3：一只蚂蚁沿着一个圆柱外壁从A点到B点，请问蚂 蚁应该怎样走才能使路程最短？
B
B
A
A
圆柱侧面展开图
• 变式3：一只蚂蚁在一个AB为5cm，BC为3cm，B'B为4cm的
长方体的A点，如果它想爬到C'点，那么这只蚂蚁应该怎
样走才能使路程最短？
D'
C
’
D’
C' A'
B'
C
A'
B
’ A'
B'
’
4
D
C
A
B
A
5
B3 C A
B
展开图1：由勾股定理AC' 5 3• 4 32 展开图2：由勾股定理AC' 5•4 3 35
专题07 最值模型之将军饮马精讲练(11大模型)(解析版)
专题07最值模型之将军饮马精讲练（11大模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一、两动一定型（2种模型）：两定点到直线上一动点的距离和最小。
例1-1：如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.图1-2lPABP'lAB图1-1反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
【变式】例1-2 如图1-3，如图，定点A 和定点B 在定直线l 的同侧 要求：在直线l 上找一点P ，使得PA+PB 值最小 。
作法：图1-41.作A 关于直线CD 对称点A’。
2.连A’B 。
3.交点P 就是要求点。
连线长A’B 就是PA+PB 最小值。
【证明】：图1-5在l 上任取异于点P 的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB ，即AP´+BP´>AP+BP ∴P 为直线AB 与直线l 的交点时，PA+PB 最小.二、造桥选址，移花接木。
最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型—2024学年八年级数学上册(解析版)
最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型模型一垂线段最短模型典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【思路引领】当PQ⊥OA时，PQ有最小值，利用角平分线的性质可得PH＝PQ＝5，即可解答．【解答】解：如图：当PQ⊥OA时，PQ有最小值，∵OC平分∠AOB，PH⊥OB，PQ⊥OA，∴PH＝PQ＝3，∴PQ长的最小值为3，故选：C．【总结提升】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对练习1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F 分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．3√2C．3√3D．3【思路引领】作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，根据直角三角形的性质得到BD=12CD，根据已知条件得到BB′＝BC，推出△CDB≌△BB′F，于是得到B′F＝CD=√32BC＝3√3．【解答】解：作B关于CD的对称点B′，过B′作B′F⊥BC于F交CD于E，则B′F的长度即为BE+EF的最小值，∵∠ABC＝60°，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，∴BD=12CD，∵BD=12BB′，∴BB′＝BC，在△CDB与△B′FB中，{∠CDB=∠B′FB ∠B′BF=∠CBD CD=BB′，∴△CDB≌△BB′F，∴B′F＝CD=√32BC＝3√3．故选：C．【总结提升】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明BE+EF的最小值为B′F的长度．2．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD ＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）A．1B．2C．2.5D．√5【思路引领】作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：作DH⊥AB于H，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝2，∵Q为AB上一动点，∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．故选：B．【总结提升】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．3．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB 上，则BE+EF的最小值是（）A．4B．4.8C．5D．5.4【思路引领】作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD平分∠BAC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出BN，根据对称性质求出BE+EF＝BM，根据垂线段最短得出BE+EF≥4.8，即可得出答案．【解答】解：作F关于AD的对称点M，连接BM交AD于E，连接EF，过B作BN⊥AC于N，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，∴BD＝DC＝3，AD平分∠BAC，∴M在AC上，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=√52−32=4，∴S△ABC=12×BC×AD=12×AC×BN，∴BN=BC×ADAC =6×45=4.8，∵F关于AD的对称点M，∴EF＝EM，∴BE+EF＝BE+EM＝BM，根据垂线段最短得出：BM≥BN，即BE+EF≥4.8，即BF+EF的最小值是4.8，故选：B．【总结提升】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出BE+EF＝BM的长是解此题的关键．题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．4．（2023春•鄄城县期中）已知∠ABC＝60°，点P为平面内一点，且BP为定长，∠ABP＝20°，Q为射线BC上一动点，连接PQ，当BP+PQ的值最小时，∠BPQ＝．【思路引领】分两种情况讨论，当BP+PQ的值最小时，PQ最小，此时PQ⊥BC，据此解答即可．【解答】解：当点P 在∠ABC 内部时，∵BP 为定长，∴当BP +PQ 的值最小时，PQ 最小，此时PQ ⊥BC ，∴∠PQB ＝90°，∵∠ABC ＝60°，∠ABP ＝20°，∴∠PBQ ＝40°，∴∠BPQ ＝90°﹣40°＝50°，当点P 在∠ABC 外部时，同理可求∠BPQ ＝10°，故答案为：50°或10°．【总结提升】本题考查了直角三角形的性质，正确理解点到直线上所有连线中垂线段最短是解题的关键．5．（2022秋•东港区校级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝15°，点P 为AC 边上的动点，点D 为AB 边上的动点，若AB ＝6cm ，则PB +PD 的最小值为 cm ．【思路引领】如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，证明△ACB ≌△ACE ，得到AE ＝AB ＝6cm ，∠CAE ＝∠BAC ＝15°，则∠BAE ＝30°，再证明△BCP ≌△ECP ，得BP ＝EP ，推出当D 、P 、E 三点共线且ED ⊥AD 时PD+PE 有最小值即PB+PD 有最小值(PB +PD)最小值=DE 最小值=12AE =3cm ． 【解答】解：如图所示，延长BC 到E 使得CE ＝BC ，连接EP ，AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，又∵AC＝AC，BC＝EC，∴△ACB≌△ACE（SAS），∴AE＝AB＝6cm，∠CAE＝∠BAC＝15°，∴∠BAE＝30°，同理可证△BCP≌△ECP（SAS），∴BP＝EP，∴PB+PD＝PD+PE，∴当D、P、E三点共线且ED⊥AD时，PD+PE有最小值，即PB+PD有最小值，∴(PB+PD)最小值=DE最小值=12AE=3cm，故答案为：3．【总结提升】本本题主要考查轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．模型二将军饮马模型类型一一直线同侧两定点典例2 （2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（）A ．7B ．3.5C ．5D ．2.5【思路引领】利用将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置即可求得结论．【解答】解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∴AD 为BC 的垂直平分线，∴B ，C 关于AD 对称，∴连接EC 与AD 的交点即为使BP+EP 取得最小值时的点P ，∴BP+EP 的最小值＝EC ＝5，故选：C ．【总结提升】本题主要考查了轴对称的性质，最短线路问题，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的三线合一的性质和将军饮马模型找出使BP+EP 取得最小值时的点P 的位置是解题的关键．类型二 两射线一顶点两动点典例3（2021秋•颍东区期末）如图，∠AOB ＝30°，点P 是∠AOB 内的定点且OP ＝3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．43D ．6【思路引领】作点P 关于OB 的对称点P'，点P 关于OA 的对称点P''，连接P'P''与OA ，OB 分别交于点M 与N ，则P'P''的长即为△PMN 周长的最小值；连接OP'，OP''，利用已知条件可以证明∠P ′OP ″＝60°即可求出P'P''；【解答】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P''，连接P'P''与OA，OB分别交于点M与N，则P'P''的长即为△PMN周长的最小值，连接OP'，OP''，∵OP＝3，∠AOB＝30°，由对称性可知OP＝OP'＝OP''，∠P′OP″＝60°，∴∠OP'P″＝∠OP''P′＝60°，∴OP′＝OP''＝P'P''，∴P'P''＝3；故选：A．【总结提升】本题考查利用轴对称求最短距离问题；通过轴对称将△PMN周长转化为P'P''的长是解题的关键．针对练习1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．10【思路引领】连接BM，依据DE是AB的垂直平分线，可得AM＝BM，进而得到当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，依据AC＝4，BC＝6，即可得到△AMC周长的最小值．【解答】解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．【总结提升】本题考查了轴对称—最短路线问题以及线段垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．2．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°【思路引领】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠MAN＝80°，即可求∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°．【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．【总结提升】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE P点的位置在（）A．△ABC三条中线的交点处B．AD的中点处C．A点处D．D点处【思路引领】由点D是等边三角形ABC的中点得到AD所在的直线是△ABC的中垂线，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，即可得到△PCE的最小周长．【解答】解：∵点D、E分别是等边三角形ABC的边BC、AC的中点，∴CE长度不变，AD所在的直线是△ABC的对称轴，∴当△PCE的周长最小时，PE+PC最小，如图，在AB上作点E关于AD的对称点F，连接CF，∴点F是AB的中点，∴CF⊥AB，此时，CF即为PE+PC的最小值，点P是△ABC的三条中线交点，∴当△PCE的周长最小时，P点是△ABC的三条中线的交点．故选：A．【总结提升】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质，解题的关键是利用轴对称的性质与垂线段最短找到△PCE周长最小的点P位置．模型三造桥选址模型类型一异侧两定点一定长典例1（2021春•奉化区校级期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A．B．【思路引领】虽然P，Q两点在河两侧，但连接P，Q的线段不垂直于河岸．关键在于使PM+NQ最短，但PM与QN未连起来，要用线段公理就要想办法使M与N重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．【解答】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．故选：C．【总结提升】考查了轴对称﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．类型二同侧两定点一定长典例2（2019•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为（）A．10B．12C．14D．16【思路引领】因为PQ和AB是定长，所以要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB【解答】解：四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB，∴AB＝5，BC＝4，PQ＝2，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ，要使四边形APQB周长的周长最小，只要AP+BQ最小即可；在AB上截取AM＝PQ，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CM与EF交于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值；∴BQ＝CQ，∴MB＝3，BC＝4，∴MC＝5，∴四边形APQB周长＝AP+PQ+QB+AB＝7+AP+BQ＝12；故选：B．【总结提升】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将四边形的周长转化为AP+BQ的最小值是解题的关键；针对练习1．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）A．B．C．D．【思路引领】根据轴对称确定最短路线问题，过村庄B作河岸的垂线并且等于河的宽度，然后与村庄A连接与河岸a相交于一点M，过点M作MN⊥a与b相交于点N，连接AM、BN，则AM+MN+BN即为最短距离．【总结提升】本题考查了轴对称确定最短路线问题，是此类题目的第二种类型，难度较大，利用的原理为平行四边形的对边相等．2．（2023•浠水县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．2√2【思路引领】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG 与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，故选：B．【总结提升】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．3．（2022秋•离石区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）【思路引领】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短．【解答】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交直线b于点P，∴BP＝B'P，∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最小，过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，∴B'M＝CD，∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p+q）m，∴AM＝（p+q）m，∴∠CAP＝45°，【总结提升】此题主要考查了最短路线问题，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键．4．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽不变，从A处到达B处，须经两座桥，如何恰当地架桥才能使从A地到B地的路程最短？【思路引领】由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至D′F、E′B'，即可得到桥所在位置．【解答】解：如图，作AF⊥CM，作BB'⊥CN，截取AF＝BB'，连接B'F交两河岸为D'，E'，作D'D⊥CM于D，作E'E⊥CN于E，连接AD，BE，则折线ADD′E′EB的长度等于折线AFD′E′B′B的长度，等于折线FD′E′B′的长度+AF+BB′．而折线FD′E′B′以线段FB′最短，∴确定两座桥的位置是线段DD'和BB'．【总结提升】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，由于有固定长度的线段，常用的方法是构造平行四边形，。
最短路径(将军饮马+造桥选址)
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
B
Ｑ＋ＱＢ．
11/24/2019
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
11/24/2019
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
11/24/2019
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
郧西县河夹中学
段廉洁
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马
人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
将军饮马问题总结
最短路径——“将军饮马”问题基本类型总结【问题1】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．在直线1l 、2l 上分别求点N ，使四边形PQMN 的周长最小．【问题5】“造桥选址”图形直线m ∥n ，在m 、上分别求点M 、N ，使m ，且AM +MN +BN 的值最小．【问题6】图形在直线l 上求两点M 、在左），使a MN ，并使MN +NB 的值最小．【问题7】图形1上求点A ，在2l ，使PA +AB 值最小．m n BA【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短．AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．。
勾股定理--与最短路径问题
17.1(11)勾股定理--与最短路径问题一．【知识要点】1.两点之间线段最短：⑴将军饮马型；⑵几何体上两点最短型2.垂线段最短型3.造桥选址型二．【经典例题】1．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .2．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，点B 距离上边缘1cm,一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cm .3．如图，圆柱形容器中，高为0.4m ，底面周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，与蚊子相对．．的点A 处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离（容器厚度忽略不计）.4.编制一个底面半径为6cm 、高为16cm 的圆柱形花柱架,需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根,如图中的111AC B ,222,A CB ,则每一根这样的竹条的长度最少是__________．5.如图，圆柱底面半径为cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B在同一高上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为______.6.一只蚂蚁从长为4cm,宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
7.已知 A （1，1）、B （4，2）．P 为 x 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值.8．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是__________dm.2A B三．【题库】【A 】1.如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A 出发，在盒子的表面上爬到点C 1，已知AB=7cm ，BC=CC 1=5 cm ，则这只蚂蚁爬行的最短路程是________.2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是________．3.如图，∠ABC ＝30°，点D 、E 分别在射线BC 、BA 上，且BD ＝2，BE ＝4，点M 、N 分别是射线BA 、BC 上的动点，当DM ＋MN ＋NE 最小时，（DM ＋MN ＋NE ）2的值为（ ）A 、20B 、26C 、32D 、36【B 】1.如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A.23 B. 26 C.3 D.6A 1B 1C 1D 1 A B C D2.如图，一个无盖的长方体长、宽、高分别为8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁从A 爬到C 1，怎样爬路线最短，最短路径是多少？3．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==，点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．22-B ．2C ．21+D ．14．如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）A ．4dmB ．2dmC ．2dmD ．4dm8cm 8cm12cm【C 】 1.（8分）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A 和李庄B 送水，已知张村A. 李庄B 到河边的距离分别为2km 和7km ，且张、李二村庄相距13km.(1)水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短?请在图中设计出水泵站的位置；(2)如果铺设水管的工程费用为每千米1500元,为使铺设水管费用最节省,请求出最节省的铺设水管的费用为多少元?2.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，PA+PD 长为（ ）A ．8 B.4+15 C ．152 D ．1723.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点 A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与 BC 、CD 交于点 E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A.2B.23C.2＋3D. 44.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8，点E 是BC 中点，点F 是边CD 上的任意一点，则△AEF 的周长最小时值为( )A ．17B ．21C ．13+41 D. 13+345.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
第11讲最短路径探究之将军饮马(原卷版)
第11讲最短路径探究之将军饮马【知识点睛】❖将军饮马模型总结：，❖其他“两动一定”型最值问题模型：、，❖ “造桥选址”类将军饮马模型：村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应该如何选择，才能使A 与B 之间的距离最短❖ 特别地：的两邻边中，一边是间距d 、另一边是定动线段AM 或BN 【类题训练】1．如图，在锐角三角形ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝60°，∠BAC AD和AB 上的动点，当BM +MN 取得最小值时，AN ＝（ ） A ．2B ．4C ．6D ．82．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．10D ．23．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的高，点E 是高AD 上任意一点，点F 是边AB 上任意一点，AB ＝5，BD ＝3，AD ＝4，则BE +EF 的最小值是（ ） A ．3B ．5C ．D ．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP +PE 的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．5．如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，点E 、F 分别是AD 、AB 上的动点，若∠BAC ＝50°，当BE +EF 的值最小时，∠AEB 的度数为（ ） A ．105°B ．115°C ．120°D ．130°6．如图，钝角三角形△ABC 的面积是20，最长边BC ＝10，CD 平分∠ACB ，点P ，Q 分别是CD ，AC 上的动点，则AP +PQ 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5A`7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，CE＝5，AD＝7，P是AD上一个动点，则BP+EP的最小值是（）A．7B．C．5D．8．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．69．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m10．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，则PM+MN的最小值是（）A．2B．4C．D．11．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．B．C．a+b D．a12．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（）A．13B．15C．16D．1713．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，则PM+PN的最小值为（）A．B．C．D．414．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD＝AB，则P A+PD的最小值为．15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，△ABD是等边三角形，P是∠BAC的平分线上一动点，连接PC，PD，则PC+PD的最小值为．16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，AB＝2，AD＝4，P、Q分别是边BC、CD上的动点，连接AP，AQ，PQ，则△APQ周长的最小值为．17．如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图：（1）作出△ABC关于直线MN的对称图形；（2）求△ABC的面积；（3）在直线MN上取一点P，使得AP+CP最小（保留作图痕迹）．18．古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图2，作B关于直线l的对称点B'，连结AB'与直线/交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答：（1）证明：如图3，在直线l上另取任一点C'，连结AC'，BC'，B'C'，∵直线l是点B，B'的对称轴，点C，C'在l上，∴CB＝，C'B＝，∴AC+CB＝AC+CB'＝．在△AC'B'中，∵AB'＜AC'+C'B'，∴AC+CB＜AC'+C'B'．∴AC+CB＜AC'+C'B'，即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短）．本问题可归纳为求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值的问题的数学模型．（2）问题解决如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程，即△PEF的周长最小．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）19．（1）如图，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距200米，C，D为两个菜园（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝80米，BC＝70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．请在图中作出点P，保留作图痕迹，并求出PC+PD的最小值．（2）借助上面的思考过程，请直接写出当0＜x＜15时，代数式+的最小值＝．20．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．。
中考压轴题突破：几何最值问题(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)
中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。
简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。
（二）动点路径待确定例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。
初二数学最短路径问题,“将军饮马”四种题型详解,折变直是关键
初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键初二数学最短路径问题，“将军饮马”四种题型详解，折变直是关键 -初二数学轴对称这一章节中，课题研究中的最短路径问题，是中考的热门考点，在初二的考试中也是经常会出现。
最短路径问题中，初中阶段主要涉及三方面的内容，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”，涉及到的知识点主要有“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”等，需要同学们根据题目给定的条件，做出最短路径问题，而这类题目的解题思路就是找对称点实现“折”转“直”，这是最为关键的，从而找到最短路径的点，解决出最短路径的问题，我们先来学习一个比较简单的“将军饮马”类型，最短路径的求解，通过四种题型，详解解释作图方法。
希望同学们能够认真总结，将这类题目掌握。
以“将军饮马”为原型常见的四种类型的题目分别是：（1）、A,B两点位于L的同侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（2）、A,B两点位于L的两侧，求出直线上一点P，使得PA+PB最小；（3）、在两条相交直线L1,L2内一点P，在两条直线上分别求出M,N,使△PMN的周长最小；（4）、在直线L1、L2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小。
例1：作图题.如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂P，向A村B村供水．（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则厂部P应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A、B两村的输水管长度之和最小，则厂部P应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）本题关键是掌握在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．例2：尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A和工厂B，位于两条公路OC、OD之间的地带，现要建一座货物中转站P．若要求中转站P到两条公路OC、OD的距离相等，且到工厂A和工厂B的距离之和最短，请用尺规作出P的位置．本题不仅考察了最短路径的作图方法，还要求根据题意明确点P还在角COD的角平分线上。
最短路径问题归纳总结
最短路径问题归纳总结本文介绍了数学中的最短路径问题，该问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。
具体的算法形式包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题和全局最短路径问题。
其中，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”是该问题的原型。
解决该问题需要涉及知识包括“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”和“平移”等。
在解题思路方面，可以通过找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
本文还列举了十二个基本问题，包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题、将军饮马、造桥选址等。
对于每个问题，本文都给出了详细的作法和图形原理，以及需要用到的知识原理。
问题6】给定直线m和直线n，求在它们上面的两个点M和N，使得XXX的值最小。
根据垂线段最短的原理，将点A向右平移a个长度得到A'，作A'关于直线m的对称点A''，连A''B，交直线MN于点M，直线NB于点N，使得MN⊥m且MN=a。
则AM+MN+BN的最小值为A''B+MN。
在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小。
将N点向左平移a个单位得到M。
问题7】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得PA+AB的值最小。
根据垂线段最短的原理，作点P关于l1的对称点P'，作P'B⊥l2于B，交l2于A。
则PA+AB的最小值为线段P'B的长。
在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小。
问题8】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得AM+MN+NB的值最小。
根据两点之间线段最短的原理，作点A关于l2的对称点A'，作点B关于l1的对称点B'，连A'B'交l2于M，交l1于N。
初二数学专题：最短路径问题
初二数学专题：最短路径问题问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。
算法包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点和终点的最短路径问题以及全局最短路径问题。
问题原型】最短路径问题有“将军饮马”、“造桥选址”、“费马点”等原型。
涉及知识】解决最短路径问题需要掌握“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”、“平移”等知识。
此外，角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等也可能涉及到该问题。
解题思路】解决最短路径问题的思路包括找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题。
十二个基本问题】问题1】已知点A、B和直线l，求在直线l上距离点A和点B之和最小的点P。
作法：在直线l上找到与AB连线垂直的交点P。
问题2】“将军饮马”已知点A、B和直线l，求在直线l上距离点A和点B之和最小的点P。
作法：将点B关于直线l对称得到点B'，连接AB'，在直线l上找到与AB'连线垂直的交点P。
问题3】已知两条直线l1、l2和点P，求在直线l1、l2上距离点P之和最小的两个点M、N。
作法：在直线l1、l2上找到与点P对称的点P'、P''，连接P'P''，在直线l1、l2上找到与P'、P''连线垂直的交点M、N。
问题4】已知两条直线l1、l2和点Q、P，求在直线l1、l2上距离点Q、P之和最小的两个点M、N。
作法：将点Q、P分别关于直线l1、l2对称得到点Q'、P'，连接Q'P'，在直线l1、l2上找到与Q'、P'连线垂直的交点M、N。
问题5】“造桥选址”已知点A、B和线段MN，求在点A向下平移MN长度单位后，在直线m上距离点A和点B之和最小的点N，以及在直线n上与N连线垂直的交点M。
线段和(将军饮马、造桥选址)最小问题
专题线段和差最值问题①——线段和最小值问题一、“将军饮马”几何模型基础模型问题答案在直线l上找一点P，使得PA+PB最小？作点B关于直线l的对称点B'，连接BA'与直线交于点P即可。
变式模型①问题答案在OA上找一点C，在OB上找一点D，使得PC+CD+PD 最小？作点P关于直线OA的对称点E，再作点P关于直线OB的对称点F，连接EF分别与直线的交点即为所求。
变式模型②问题答案在OA上找一点E，在OB上找一点F，使得DE+EF+CF最小？作点D关于直线OA的对称点D'，再作点C关于直线OB 的对称点C'，连接DC''分别与直线的交点即为所求。
变式模型③问题答案在OA上找一点E，在OB上找一点F，使得CE+EF+DF最小作点D关于直线OB的对称点D'，再作点C关于直线OA 的对称点C'，连接DC''分别与直线的交点即为所求。
变式模型④问 题答 案长度不变的线段CD 在直线l 上运动，如何确定点C ，D 的位置使得AC+BD 最小？以ACD 为边构造平行四边形A ACD '，并作点B 的对称点B '，连接B A ''，与直线交于点D '即为D 的位置。
二、 经典例题例1 如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线2ax y =上.（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称的点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ+BQ 最短，求出点Q 的坐标； （2）平移抛物线，记平移后A 的对应点为A '，点B 的对应点为 B '，点C （-2，0）和点D （-4，0）是x 轴上的两个定点。
①当抛物线向左平移到某个位置时，B C C A '+'最短，求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形CD B A '' 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由。
专题17 最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型(原卷版)
专题17 最值模型之垂线段最短、将军饮马及造桥选址模型（原卷版）模型一垂线段最短模型典例1（2023春•莲湖区期中）如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，若PH＝3，则PQ长的最小值为（）A．1B．2C．3D．4针对练习1．（2023秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，CD是△ABC的一条高线．若E，F 分别是CD和BC上的动点，则BE+EF的最小值是（）A．6B．3√2C．3√3D．32．（2022春•临湘市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，BD ＝3，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（）A．1B．2C．2.5D．√53．（2023•龙岩模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB 上，则BE+EF的最小值是（）A ．4B ．4.8C ．5D ．5.44．（2023春•鄄城县期中）已知∠ABC ＝60°，点P 为平面内一点，且BP 为定长，∠ABP ＝20°，Q 为射线BC 上一动点，连接PQ ，当BP +PQ 的值最小时，∠BPQ ＝ ．5．（2022秋•东港区校级期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝15°，点P 为AC 边上的动点，点D 为AB 边上的动点，若AB ＝6cm ，则PB +PD 的最小值为 cm ．模型二 将军饮马模型类型一 一直线同侧两定点典例2 （2022秋•和平区校级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，CE ＝5，AD ＝7，P 是AD 上一个动点，则BP +EP 的最小值是（ ）A ．7B ．3.5C ．5D ．2.5类型二 两射线一顶点两动点典例3（2021秋•颍东区期末）如图，∠AOB ＝30°，点P 是∠AOB 内的定点且OP ＝3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．43D ．6针对练习1．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．102．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°3．（2020秋•西城区校级期中）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）A．△ABC三条中线的交点处B．AD的中点处C．A点处D．D点处模型三造桥选址模型类型一异侧两定点一定长典例1（2021春•奉化区期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（）A．B．C．D．类型二同侧两定点一定长典例2（2019•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为（）A．10B．12C．14D．16针对练习1．有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是（）A．B．C．D．2．（2023•浠水县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（）时，四边形APQE的周长最小．A．3B．4C．5D．2√23．（2022秋•离石区期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为AC＝p（m），BD＝q（m），且CD＝（p+q）m，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）4．如图，某条护城河在CC'处直角转弯，河宽不变，从A处到达B处，须经两座桥，如何恰当地架桥才能使从A地到B地的路程最短？。
八年级上册最短路径难题讲解
八年级上册最短路径难题讲解
八年级上册最短路径问题是一个重要的数学问题，涉及到图论和几何知识。
以下是几个经典的最短路径问题及相应的解题思路：
1. 将军饮马问题：两个将军分别在河的两岸，他们想要到河的对面饮马。
河水流速很快，不能逆流而上。
他们应该选择怎样的路径才能使其中一位将军到河对岸的总时间最短？
解题思路：在这种情况下，两个将军都可以选择直接过河，但是这样会花费较长的时间。
为了使总时间最短，他们可以选择在河岸的某一位置相遇，然后一起走到河对岸。
这样，他们可以节省掉单独过河的时间。
2. 造桥选址问题：有两个人分别在河的两岸，他们想要通过建造一座桥来互相通行。
为了使造桥的成本最低，他们应该选择怎样的桥址？
解题思路：在这种情况下，最短的路径就是直接在两岸之间建造一座桥。
因此，他们应该选择在河的中心建造桥，这样可以使得桥的长度最短，同时也可以节省造桥的成本。
3. 费马点问题：在三角形中，任意选取三个点，要求找到一个点到其他三个点的距离之和最短的位置。
解题思路：首先，我们可以将这个问题转化为求三角形三个顶点的中点。
然后，我们可以利用三角形的性质来证明这个结论。
具体来说，我们可以证明任意一个点到其他三个点的距离之和都大于等于三角形三个顶点的中点到其他三个点的距离之和，当且仅当这个点是三角形三个顶点的中点时取等号。
因此，三角形的费马点就是其三个顶点的中点。
以上是最短路径问题的几个经典例子及相应的解题思路。
通过这些例子，我们可以了解到最短路径问题的基本概念和方法，以及如何利用几何和图论的知识来解决这些问题。
将军饮马问题之造桥选址问题
将军饮马问题之造桥选址问题【摘要】本文从定性角度和定量角度研究了将军饮马问题中的造桥选址问题，由于桥的长度一定，通过平移一个点的位置，把问题转化为求一条直线两侧两线段之和的最小值问题。
在直角坐标系中这个问题变得更加精确，所有的问题都可以量化，从而更具有说服力。
一题多解在这个问题的研究中体现地淋漓尽致，会让大家体会到从不同的角度研究问题，思路不一样，难易程度就会有大的变化。
【关键词】将军饮马造桥选址一题多解陕西省2023年中考数学第26题最后一问涉及到“将军饮马”问题中的“造桥选址”问题，这类问题出现在北师大版八年级下册第三章复习题第18题(课本90页)。
是非常重要的一类问题，具有重要的研究价值。
一、定性研究我们先把这个问题转化为一个平面几何问题，定性去研究它的解法，从而获得基本的解决之法。
已知:直线m∥n, 点A，B是m，n外两点，求作：在m、n上分别求点M，N,使MN丄m, MN丄n, 且A M+MN +BN 的值最小。
(直线m、n之间的距离是定值)作法:1将点A向下平移MN的长度得点A'.2连接A'B，交直线n于点N.3过点N作MN丄n交直线m于M.此时(AM+MN+BN)的最小值=(A'N+MN+BN)的最小值=A'B十MN证明：∵AA'∥MN，AA'=MN，∴把AA'平移得到MN，∴AM∥A'N，AM=A'N。
AM+BN=A'N+BN=A'B。
二.定量研究我们把这个问题置于平面直角坐标系中，利用一次函数方面的知识定量去研究它的解决之道。
已知:在平面直角坐标系中，直线m∥n,直线m为y=6, 直线n为y=3, 点A(1，8)、B(9，0) 是m，n外两点。
点M在m上，点N在n上， MN丄m, 当AM+MN+NB最小时，求点M,N的坐标，并求出这个最小值。
分析：∵直线m为y=6, 直线n为y=3,∴MN=6-3=3.∵A(1,8)，AA'=3 ，∴A'(1，5)∴A'B==这三条线段之和的最小值为+3如何求M，N的坐标呢？设A'B的表达式为y=kx+b(k≠0)把A'(1,5)，B(9,0)代入上式.得k+b=5, 9k+b=0。
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A A1
M
P
N
P
Q Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ １＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝
A
A1 A2
ＰＱ ；
M
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻
河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸
N P
于Ｎ点，建桥ＭＮ；
Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ
A
M N
P Q
G
H
B3
B2
B1
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平移至 A１，使AA１＝MN，平移B点至B1、 B2 ,使BB1＝GH，B1B2 =PQ ； 连接A1B2交第一条河与A点相对河岸 于N点，交第二条河与N相邻河岸于P 点，建桥MN、PQ； 连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G 点，建桥GH； 此时从A到B点路径最短.
A
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
桥MN和PQ在中间，且方向不能 改变，仍无法直接利用“两点 之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移到A 点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A 点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本 题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决
A
如图，平移A到A1，使Ａ A1等于河宽，连接A1Ｂ交
A1
M
河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时
路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最
短.
N
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
Ｍ１
Ｎ１
B
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化 为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
A
C
l
B
② 点A,B分别是直线l同 侧的两个点 B
A l
C
B′
解决问题 1
① 作图
B A
l C
B′
② 证明
B A
C l
C′
B′
A
C′
C
B 证明: l
B′
问题 2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河 的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
A A1
M
N P
Q G
H B2 B1 B
问题解决
A
沿垂直于河岸方向依次把A点平移至 A1 A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ A2 ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝GH ； 连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对 河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ； 连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸 的Ｎ点，建桥ＭＮ； 此时从A到B点路径最短.
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
郧西县河夹中学
段廉洁
最短路径问题
①垂线段最短 。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马
人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
D
A 图1
C
A
D
A″
B
N
M
B
A′
C
图2
郧西县河夹镇初级中学 段廉洁
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河 上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的 路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
B
思维分析
A
1、如图假定任选位置 造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ， 从A到B的路径是AM+MN+BN，那 么怎样确定什么情况下最短呢？
B
＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河
A
岸方向平移Ａ点至Ａ１ 点， A1
沿垂直于第二条河岸方向平
移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
分别交A、B的对岸于N、P两
点，建桥MN和PQ.
M
N P
最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化 为AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝ MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于P 点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为 AB2+B2B1+B1B．
M N
P Q
G
H
B1 B
问题解决
A
沿垂直于河岸方向依次把A点平移至 A1 A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ A2 ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝GH ； 连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对 河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ； 连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸 的Ｎ点，建桥ＭＮ； 此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H
B1 B
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１＝ MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点， 建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点， 建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
P
Q B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转 化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1
A
M
N
P
Q
B2
B1
B
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在何 处才能使从A到B的路 径最短？（假定河的 两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方向 不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决 问题，只有利用平移变换转移 到两侧或同一侧先走桥长.
a
A
M
b
NBLeabharlann 解决问题 2① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
A A′
M′ M
N
证明: a
b
N′ B
练习
1、如图1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB 边反弹后再撞到黑球? 2、如图2，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别 找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少？
平移的方法有四种：三个桥长都平移 到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平 移到A点处；PQ、GH平移到B点处
M N P Q
G
H
B
问题解决 A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１＝ A3 MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H点， 建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P点， 建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
Ｍ
Ｎ B
2、利用线段公理解决问题我们遇到了 什么障碍呢？
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提 下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助 我们呢？
各抒己见
1、把A平移到岸边. 2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连. 4、把桥平移到和B相连.
合作与交流
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验. 1、2两种方法改变了. 怎样调整呢？