高中数学平面向量知识点总结41376

平面向量知识点总结

第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念：

1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为

3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：|| 模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别

2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系：

1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥∥ 规定：与任一向量平行

2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：= 规定：=

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。

三．向量的加法：

1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：

强调： a b

c

a +

b A

A A

B

B B

C C a +b

a +

b a

a b b b

a a

1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点

2︒可以推广到n 个向量连加 3︒a a a =+=+00

4︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则

1︒向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2︒向量加法的交换律：+=+

3︒向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。

四．向量的减法：

1.用“相反向量”定义向量的减法

1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0

3︒向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b

3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数

总结：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、

相等向量、共线向量

2︒向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)

1.实数与向量的积

实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ

定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ

1︒|λa ρ|=|λ||a ρ

|

2︒λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ

=

2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ

①

第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ

②

第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ

+λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：

向量b ρ与非零向量a ρ

共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使b ρ=λa ρ

六．平面向量定理：用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。

（其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合）

平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么于一平

面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ

=λ11e +λ22e

注意几个问题：1︒ 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底

2︒ 这个定理也叫共面向量定理

3︒λ1，λ2是被a ρ

，1e ，2e 唯一确定的数量

第二部分：向量的坐标运算 七．向量的坐标表示与坐标运算

1.平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示

取x 轴、y 轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量a ρ

=x +y ，

记作：a ρ=(x, y) 称作向量a ρ

的坐标

2．注意：1︒每一平面向量的坐标表示是唯一的；

2︒设A(x 1, y 1) B(x 2, y 2) 则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1) 3︒两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

4．实数与向量积的坐标运算：已知a ρ

=(x, y) 实数λ

则λa ρ

=λ(x +y j )=λx +λy j

∴λa ρ

=(λx, λy )

结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 八．向量平行的坐标表示

结论：a ρ∥b ρ (b ρ

≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ρ

≠

∴x 2, y 2中至少有一个不为0