第十一章- 动量矩定理(修改)

n
LZ M Z (mi vi )
i 1
刚体平移： 可将全部质量集中于质心，作为 一个质点计算其动量矩。
刚体绕定轴转动： n n 2 LZ M Z (mi vi ) mi ri
i 1 i 1
Lz J z
刚体作一般运动时： LA rc mvc Lc
解： 小车与鼓轮组成质点系，以顺时针为
正，此质点系对O轴的动量矩为：
LO J m2vR
受力分析：P1、Fx、Fy对O轴的矩 为零。PN、Pn对O的矩相消。 系统外力对O轴的矩为： 由质点系对O轴的 动量矩定理
flash
d J m2vR M m2 g sin R dt MR m2 gR2 sin a 解得 J m2 R 2 小车的加速度沿斜坡向上。
质点系对任一点A的动量矩等于集中于系统质心
的动量 mvc 对于点A的动量矩和此系统对于质心C的 动量矩的矢量和。
§11-2 动量矩定理
1.质点的动量矩定理
质点对定点O的动量矩为 Mo(mv) 作用力F对同一点的矩为 Mo(F)
将动量矩对时间取一次导数， d dr d d M 0 (mv ) (r mv ) mv r (mv ) dt dt dt dt
应用时，取投影式：
n d L x M x Fi e dt i 1 n d L y M y Fi e i 1 dt n d L M F e dt z z i i 1

即： 质点系对于某定轴的动量矩对时 间的导数，等于作用于质点系的外 力对同一定轴的矩的代数和。
d 2 或： J z M z ( Fi ) 2 dt
—刚体绕定轴的微分方程
即：刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等 于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
J z M z ( Fi )
结论：
(1)作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动 状态发生变化； (2)如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等 于零，则刚体作匀速转动； 如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动 (3)在一定时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量 越大，转动状态变化越小；转动惯量越小，转动状态变化越大。 刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。即：转 动惯量是刚体转动时惯性的度量。
质点动量矩定理：
d 质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数， M (mv ) M ( F ) 0 0 dt 等于作用力对同一点的矩。
实际应用取在直角坐标轴上的投影式，由对点的动量矩与 对轴的动量矩的关系，得： 即： 质点对某定轴动量矩对时间一阶 导数等于作用力对于同一轴的矩。



2.质点的动量矩守恒定律
2
§11-3 刚体绕定轴的转动微分Байду номын сангаас程
1.刚体绕定轴转动
刚体上作用有主动力和轴承约束反力。
根据质点系对于 z 轴 的动量矩定理有：
n d J z M z Fi dt i 1 n d 或： J z M z Fi dt i1
也可写成： J z M z ( Fi )
n
L0
L
i 1
Z

i 1
n

M 0 (mi vi ) Z

0 Z
LZ
即：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等 于质点系对于该轴的动量矩。
刚体平移时： 可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。
刚体绕定轴转动时： n n LZ M Z (mi vi ) mi vi ri
例：两个均质绕线轮，质量各为m，半径为R，对 质心的转动惯量为mR2/2，图示瞬时两轮角速度均
为。求系统对固定轴O的动量矩。
解： 系统对轴O的动量矩为A和B对O动量 矩的代数和。
LO LOA LOB
2 A对O的动量矩，有： LOA J 1 mR
1 2
B对O的动量矩， B作平面运动
对点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对 z轴的动 量矩。 是代数量：M Z (mv ) 2OQA
质点对点O的动量矩在z轴上的 投影，等于对z轴的动量矩。
M Z (mv )

M0 (mv ) Z M Z (mv )

2 1 动量矩的量纲： ML T
2 动量矩的单位： kg m / s
LA J A
例：半径为R的均质圆盘质量为m，速度V，只滚不滑，已 知圆盘对质心的转动惯量Jc，求圆盘对点A的动量矩。 解：平面运动 LA rc mvc Lc
LA mvR J c v mvR J c R
例：半径为R的均质圆盘A、B质量 为m，A只滚不滑，圆盘对质心的转 动惯量JO，C质量为m1，以速度V下 落。求系统对点O的动量矩。
2. 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢 量和，或称为质点系动量对O点的主矩。
n L0 M 0 (mi vi ) i 1
质点系对某轴z的动量矩等于各质点对 同一z轴动量矩的代数和。
M Z (mv )
LZ M Z (mi vi )
注意： 上述动量矩定理的表达形式只适用于对固定点或固定轴
4.质点系动量矩守恒定律 由质点系动量矩定理：
n d L x M x Fi e dt i 1 n d L y M y Fi e i 1 dt n d L M F e dt z z i i 1
如果作用于质点的力对于某定点的矩恒等于零，则质点对该点 的动量矩保持不变， M 0 (mv ) =恒矢量 如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于零，则质点对该 轴的动量矩保持不变， M Z (mv ) =恒量
3.质点系的动量矩定理
质点上作用外力和内力； (e) (i ) d M 0 (mi vi ) M 0 ( Fi ) M 0 ( Fi ) dt
n (e) d L0 M 0 ( Fi ) dt i 1

内力不能改变质点系的动量 矩，外力才能使质点系的动量 矩发生变化。
质点系动量矩守恒定律：
当外力对于某定点（或某定轴）的主矩（或力矩的代数和） 等于零时，质点系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变。
例11-1：高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮的半径为R，质量为m1， 轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶为M，鼓 轮对转轴的转动惯量为J，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均不 计。求小车的加速度a。
1 2 LOB rc mvc LC 2 R mvc mR 2
系统对轴O的动量矩，为：
1 1 LO mR 2 4mR 2 mR 2 5mR 2 2 2
例：球C和D重均为G，杆中点固定在AB上。
杆绕AB以匀角速度转动。求质点系对转轴的 动量矩：(1)不计杆重；(2)均质杆CD重2G。
例：质量为m质点在 xoy 平面内运动，运动方程为 x=acost、 y=bsin2t，a、b、为常量。求该质点对O点动量矩。 解： 由定义，可得： Lo r mv
或用代数量
LO xPy yPx xmvy ymvx 2abm cos3 t
方向垂直xoy平面
d dr 根据质点动量定理： (mv ) F 且 v dt dt d M 0 (mv ) v mv r F dt r F M0 (F ) v mv 0
d M 0 (mv ) M 0 ( F ) dt
解： 质点的速度为
vC vD l sin l sin
(1)不计杆重，动量矩如下：
G 2G 2 L1 M AB (mv ) 2 l sin l sin l sin 2 g g
(2)均质杆CD重2G，动量矩如下： 取微元，质量和速度为：
例11-3：小球A、B以细绳相连，质量皆为m，其余构件质量不计。 忽略摩擦，系统绕z轴自由转动，初始时系统的角速度为0。当细绳 拉断后，求各杆与铅垂线成θ角时系统的角速度ω。
flash
解：
此系统所受的重力和轴承支反力对于转轴的矩都等于零， 因此系统对于转轴的动量矩守恒。
0
0
Lz1
Lz 2 2ma l sin a2 0 Lz 2 2 a l sin
ma F
例11-4：滑轮半径为R，转动惯量为J，胶
带拉力为F1和F2。求滑轮的角加速度。
i 1 i 1 n
miri ri mi ri
i 1
i 1
n
2
令: 则:
-称对Z轴的转动惯量
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转 动惯量与转动角速度的乘积。
例：物体质量为m，求物体对点A的动量矩。 解：物体平移 h mvh LA mv c 2 2 例：均质圆盘质量为m，以绕A转动，已知圆盘 对A点的转动惯量JA，求圆盘对点A的动量矩。 解：定轴转动
小结一下： 动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩。
M 0 (mv ) r mv
动量在Oxy平面内的投影 (mv ) xy
对点O的矩称为动量对于z轴的矩：
M Z (mv )

M0 (mv ) Z M Z (mv )

质点系的动量矩：
n L0 M 0 (mi vi ) i 1
微元对轴的动量矩： dL2
G 2 2 x sin dx lg l G 2G 2 2 2 l sin 2 sin x dx 杆对轴的动量矩：L2 20