高一数学 函数及其表示

分析 (1)把 2 ＋1看成一个元素t，用换元法．
x
(2)知道函数类型，用待定系数法． (3)根据条件建立关于f(x)的另外一个等式，用方 程组求解．
2
解∴f(t)(＝1)令lgtt2＝1，x 即＋f1(x，)＝则lgx＝x21t
2
.
1
，
(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
3
3
规律总结 掌握求函数解析式的常用方法： 换元法、待定系数法．建立方程组，根据 不同条件灵活使用各种方法．
变式训练２ 已知f(0)＝1，f(x－y)＝f(x)－y(2x －y＋1)，求f(x)．
【解析】 令x＝y，得f(0)＝f(x)－x(x＋1)
＝1，
∴f(x)＝x2＋x＋1.
函数概念的实际应用
规律总结 分段函数问题的求解策略是分段处理 解决．在具体求解时，要注意自变量在不同段上 的取值与在该段上函数表达式的对应性．
2x x0, 变式训练1 已知函数f(x)＝
则 f 5等于( )
f x3x0,
A．32 B．16 C . 1
2
D
.
1 32
【解析】 f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1) ＝2－1＝ 1 ，故选C.
第一节 函数及其表示
分段函数问题
定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ log2 4xx0,
则f(3)的值为( )
f x1 f x2x0,
A．－1 B．－2 C．1 D．2
分析 由条件知当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－ 2)．从左往右x可化小，从而转到x≤0的区间 上．
解 当x＞0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ∴f(3)＝f(2)－f(1)＝[f(1)－f(0)]－f(1)＝－f(0)， 又x≤0时，f(x)＝log2(4－x)， ∴f(3)＝－f(0)＝－log24＝－2，故选B.
解 当0＜x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，
∴g(x)＝ 31 ＝1；2分
2
当1≤x＜2时，x－1≥0，x－2＜0，
∴g(x)＝
6
1 2
＝ 5 ；4分
2
当x≥2时，x－1＞0，x－2≥0，
∴g(x)＝ 6 2 ＝2. 6分
2
故g(x)＝
1 0
5 1
2 2 x
x x
1,
2,
2 .
所以走过的路程S(千米)与t(小时)的关系为：
S＝
25620t50tt65.5,,
260 65t 6.56.5 t 10.5.
规律总结 处理函数应用题的步骤为：审题→ 分析变量及取值范围→选择、确定函数模型→ 分析函数模型的性质、图象等→解决实际问 题．
变式训练３ “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的 兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它 醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时 已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1、s2分别表示乌龟 和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合 的是( )
设a＞1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a， a2]满足方程logax＋logay＝3，则a的取值集 合为________．
错解 由logax＋logay＝3得xy＝a3，
又x∈[a,2a]且a＞1，∴y＝ a3 . x
当a≤x≤2a时，有 ≤a2y≤a2， 2
又∵a≤y≤a2，∴ a＝2 a，∴a＝2. 2
错解分析 上述解法中，对条件“y∈[a，a2]”的
理解不正确，误把区间[a，a2]当作函数y＝ a3 的 x
值域来处理．
正解 函数y＝ a3 ，x∈[a,2a]的值域应该是区间
x
[a，a2]的子集，∴有
a1,
a
a2 2
,
Baidu Nhomakorabea∴a≥2.
故m的取值集合为{a|a≥2}．
A．f(x)＝3x B．f(x)＝sinx C．f(x)＝log2x D．f(x)＝tanx
【解析】 选项A满足f(x＋y)＝f(x)f(y)；选项C满足
f(xy)＝f(x)＋f(y)；选项D满足f(x＋y)＝ f x f y 1 f xf y
【答案】 B
1．正确理解函数的概念是掌握好本节内容的关键．函数 的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于： (1)它是非空数集到非空数集的对应； (2)定义域中的每个元素只有一个函数值； (3)定义域中的每个元素一定有函数值． 2．确定一个函数需要三个要素：(1)定义域；(2)对应法则； (3)值域．对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一 定能够用解析式表示，如列表法和图象法表示的函数．
某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260 千米远处的B地，到达B地并停留1.5小时后， 再以65千米/时的速度返回A地．试将此人驱 车走过的路程S表示为时间t的函数．
分析 路程＝速度×时间，不同时间段速度不同， 所以要分段求解．
解
从A地到B地，路上的时间为
260 52
＝5(小时)；
从B地回到A地，路上的时间为 260 ＝4(小时)． 65
3．判断两个函数是否为同一个函数的关键，是判定它 们的定义域是否相同，对应法则是否相同．若定义域相 同，对应法则相同，值域一定相同，则一定是相同函 数． 4．复合函数的计算，一般由内到外逐个运算，当“外” 函数为分段函数时，要用其条件对“内”函数进行分 层． 5．分段函数是一个函数，而不是几个函数，其对应法 则f从整体上只能理解为一个，只不过它像“变色龙”一 样，在不同环境下呈现出不同的颜色而已．
∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)当x∈(－1,1)时有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
以－x代x得
2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②
由①②消去f(－x)，得
f(x)＝ 2 lg(x＋1)＋1 lg(1－x)．
8分
其图象如图：
12分
规律总结 正确理解对应法则的意义是解决此题的 关键，准确地找出分类讨论的原始对象与原始的分 类标准是解决此题的保证．
变式训练４ 给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)；
f(x＋y)＝f(x)f(y)；f(x＋y)＝
f x. f y 1 f xf y
下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
2
【答案】 C
求函数的解析式
(1)已知f 2 1 ＝lgx，求f(x)； (2)设y＝f(xx)是 二次函数，方程f(x)＝0有两个 相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式； (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－ f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
【解析】 兔子在中间一段时间内路程不变，且 乌龟到达终点时，兔子还差一点，选B.
【答案】 B
函数概念的综合运用
(12分)设x≥0时，f(x)＝2；x＜0时，f(x)＝ 1.又规定：g(x)＝ 3 f x 1 f x (x2＞0)，
2
试写出y＝g(x)的表达式，并画出其图 象．
分析 首先求f(x－1)，f(x－2)．而x＞0时x－1＞－1， x－2＞－2，与已知不符合．因此需要对x分类讨论．