函数的基本性质-PPT课件

2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区 间D上是减函数 ．
注意：
1.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2； 当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增 函数和减函数.
2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质；
二.典例精析
例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函 数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
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从图中可知每阶段时间的病情的发展情况，增 加和减弱的趋势。
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上__升__? 2.在区间 _(_-_∞_,_+_∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值 随着 _增__大___ ．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
①取值： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上 的单调性）．
四、归纳小结
1.函数单调性的定义
2.会利用函数图像找出函数的单调区间 3.函数单调性的证明，证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论
Q x1, x2 , ，且 x1 x2 x2 x1 0
f (x2 ) f (x1) 0即f (x2 ) f (x1)
Baidu Nhomakorabea
作差 化简
判号
所以函数 f (x) 3x 2 在区间上, 是增函数. 定论
三、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
实例分析1:艾宾浩斯（关于时间间隔与记忆保持量）
实例分析2: 某市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
33.60
30
20
19.71
10
4.67 7.56
1985 1990 1994 1997 年份
实例分析3 :非典病例的变化统计图
1、2003年抗击非典时，北京市从4月21日至5月19 日期间每日新增病例的变化统计图。
f(x) = x2
1.在区间_(_-_∞__, _0_] 上,f(x)的值随着x的增大而_减__小__． 2. 在区间_(_0_,_+_∞__)上,f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
x 01 23 4 … f(x)=x2 0 1 4 9 16 …
在区间0， 上任取两个x1, x2,得到f ( x1 ) x12 ,
f ( x2)
x
2，
2
当x1
x
时
2
，有
f
(
x1
)
f ( x2 )，这时我们就
说函数f ( x) x2在区间0， 上是增函数.
一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区 间D上是增函数．
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数， 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.
例2.证明：函数 f (x) 3x 2在 , 上是增函数.
思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？
证明：在区间 , 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
取值
则f (x2 ) f (x1) (3x2 2) (3x1 2) 3(x2 x1)