函数的基本性质-PPT课件
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16
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
2024/1/28
二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
2024/1/28
14
04
三角函数及其性质
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2024/1/28
1
目录
2024/1/28
• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
三角函数图像变换规律
振幅变换
通过改变函数前的系数，实现对函数图 像的纵向拉伸或压缩。
周期变换
通过改变函数内的系数，实现对函数图 像的横向拉伸或压缩。
2024/1/28
相位变换
通过改变函数内的常数项，实现对函数 图像的左右平移。
上下平移
通过在函数后加减常数，实现对函数图 像的上下平移。
17
三角函数周期性、奇偶性和单调性
了直线在 $y$ 轴上的位置。
03
性质
当 $k > 0$ 时，函数单调递增 ；当 $k < 0$ 时，函数单调递
减。
8
二次函数表达式与图像
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二次函数表达式
$y = ax^2 + bx + c$（$a neq 0$）
图像特点
一条抛物线，开口方向由 $a$ 决定（$a > 0$ 时向上开口 ，$a < 0$ 时向下开口），对称轴为 $x = -frac{b}{2a}$ ，顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
对数函数性质
单调性、定义域、值域等 。
13
指数对数方程求解
指数方程求解
通过换元法、配方法等方法将指数方 程转化为代数方程求解。
指数对数混合方程求解
综合运用指数和对数的性质及运算法 则进行求解。
对数方程求解
通过换底公式、消去对数等方法将对 数方程转化为代数方程求解。
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三角函数及其性质
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目录
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• 函数基本概念与性质 • 一次函数与二次函数 • 指数函数与对数函数 • 三角函数及其性质 • 反三角函数及其性质 • 复合函数与分段函数 • 参数方程与极坐标方程
新教材必修第一册第三章3.2函数的基本性质(全套课件)
题型二 求函数的单调区间 【典例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴 上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
2．函数的单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上 单调递增 或 单调递减 ，
那么就说函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做函数 y＝f(x)的 单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
它是函数的一个局部性质．
(2)函数 f(x)在定义域的某个区间 D 上单调，不一定在定义域 上单调．如 f(x)＝x2 等．
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2) 若 本 例 (2) 中 “ 定 义 域 ( － ∞ ， ＋ ∞)” 改 为 “ 定 义 域 ( － 1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－ a)2，
题型三 函数单调性的应用 【典例 3】 (1)已知函数 f(x)＝x2－2(1－a)x＋2 在[4，＋∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围． (2)已知 y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且 f(1－ a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围． [思路导引] 二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定， 与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关 系．
数 M 满足：
①∀x∈I，都有 f(x)≤M
高中数学必修一 《3 2 函数的基本性质》多媒体精品课件
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(× )
(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为
“存在两个自变量”．
(× )
(3)任何函数都有最大值或最小值．
( × )
(4)函数的最小值一定比最大值小．
( √ )
2.函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的
单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变
量的限制条件,以防出错.
[跟踪训练五]
1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
题型二
利用函数的图象求函数的最值
例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的
最值情况,并写出值域.
3-, ≥ 1,
解:y=-|x-1|+2=
函数图象如图所示.
+
+11,
, < 1,
1,
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域
为(-∞,2].
称 M 是函数 y＝f(x)
结论
称 M 是函数 y＝f(x)的最小值
的最大值
几何 f(x)图象上最 高 点
意义
的纵坐标
f(x)图象上最低 点的纵坐标
[点睛] 最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y
＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时， − < ，则
• − ＝ −
− ＝ − ＝ − ()．
• 综上，对 ∈ (−∞，) ∪ (，＋∞)，
• ∴ ()为奇函数．
都有 − ＝ − ()．
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −， 关于原点对称
• ③一个奇函数，一个偶函数的积是 奇函数 ．
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据
原来的结构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非
奇非偶函数．
• 2、如果满足定义域对称，则计算(−)，看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立，
• 则2(＋)2＋2＝0对任意的实数恒成立．
• ∴ ＝＝0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, ＋∞)上()的单调区间即可．
•
任取， ∈ (，＋∞)，且 < ，则
应值，故函数取得最值时，一定有相应的x的值．
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ，都有 ＋ ＝ ＋ − ，并且当
> 时，() > .
• (1)求证：()是上的增函数；
• (2)若()＝，解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()＝， ∴原不等式可化为( − − ) < ()，
• ∵ ()是上的增函数，
人教版高一数学必修一函数的基本性质最大(小)值课件PPT
●你是否曾遇到过这种情形,离下课还有一点时间时,你对学生 说:“如果你们保持安静,我就不会再布置更多的任务了。”学生 会有哪些反应? 你是否曾发现自己预先安排的内容已经讲完了,却还没到下课时 间,于是决定给学生布置课堂任务来填补这段空白,此时学生有哪 些反应?
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
高中数学1.3函数的基本性质 PPT课件 图文
f (x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数． 2、 证明函数f(x)=x 3 在(-∞，+∞)上是增函数.
思考：讨论函数 f(x )x22ax 3
在(-2,2)内的单调性.
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第1课时函数的单调性)
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
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第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
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第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
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第三章 函数的概念与性质
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
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第三章 函数的概念与性质
第三章 函数的概念与性质
由函数单调性求参数范围的类型及处理方法 (1)由函数解析式求参数
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第三章 函数的概念与性质
(2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变 量的关系 f(a)<f(b)⇔am<≤b（a≤a>nb，），
m≤b≤n. ②方法：依据函数单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是 D≠在区间 D 上单调． (1)单调区间是 D：指单调区间的最大范围是 D. (2)在区间 D 上单调：指区间 D 是单调区间的子集．
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第三章 函数的概念与性质
＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）. 因为 0＜x1＜x2＜2， 所以 x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)． 所以函数 f(x)＝x＋4x在(0，2)上单调递减．
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
(2)如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时，都有__f_(x_1_)_＞__f(_x_2_) ___，那么 就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减(如图②) 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上_单__调__递__减__时，我们就称它 是减函数．
栏目 导引
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第三章 函数的概念与性质
2．已知函数 f(x)＝2x－＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为减 函数． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)， 且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x21－＋x11－x22－＋x12
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第三章 函数的概念与性质
函数的基本性质ppt课件
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的基本性质ppt课件
−
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
第05节+函数的基本性质(课件帮)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
条件 A．充分不必要 C．充分必要 【答案】A
B．必要不充分 D．既不充分也不必要
【解析】若函数 f x 在 R 上严格递增，对任意的 x1 、 x2 R 且 x1 x2 ， f x1 f x2 ，
由不等式的性质可得 f x1 x1 f x2 x2 ，即 g x1 g x2 ，
所以 a 0 ，即实数 a 的取值范围是 ,0 .故选：D
2．已知 y f x 在定义域 1,1 上是减函数，且 f 1 a f a2 1 ，则 a 的取值范围为（ ）
A．（0，1） 【答案】A
B．（-2，1）
C．（0， 2 ）
【解析】因为 y f x 在定义域 1,1 上是减函数，所以由
2
2
所以，“ f x 在 R 上严格递增” “ g x f x x在 R 上严格递增”.
因此，“ f x 在 R 上严格递增”是“ g x f x x在 R 上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
方法技巧
定义法 一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调
f
x在
,
1 2
上单调递减，D
正确.故选：D.
7．（2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数
f
(x)
x3
1 x3
,则
f
(x)
（
）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
03
函数的概念和性质PPT课件
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为的振荡间 断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时, y D( x ) 0, 当x是无理数时,
在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点. ★
x , 当x是有理数时, f ( x) x , 当x是无理数时,
0
0
连续函数必有极限, 有极限不一定是连续函数. 例如
limsin x / x 1, 但函数sin x / x在x 0处不连续.
x 0
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
这种情况称为无穷间 断点.
1 例7 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性. x 解 在x 0处没有定义,
1 且 lim sin 不存在. x0 x
y sin 1 x
2
x0 是否连 续？又若| f ( x ) | 、 f ( x ) 在x0 连续， f ( x ) 在 续？
2
思考题解答
1、一类；一类；二类。 2、 f ( x ) 在x0 连续， lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
且 0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
f ( x ) f ( x 0 ) (或 f ( x ) f ( x 0 )) 则称 f ( x 0 )是函数 f ( x )在X上的最大值(最小值).
八年级下册函数ppt课件ppt课件
二次函数的图像
总结词：开口方向 总结词：顶点位置 总结词：与坐标轴交点
详细描述：根据$a$的正负，抛物线的开口方向分别为 向上和向下。当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
详细描述：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点的位 置由系数$b$和$c$决定。顶点的横坐标为$frac{b}{2a}$，纵坐标为$frac{4ac - b^2}{4a}$。
八年级下册函数ppt课件
contents
目录
• 函数的基本概念 • 一次函数 • 二次函数 • 反比例函数 • 实践应用
01
函数的基本概念
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了 两个变量之间的关系。具体来说，对 于每一个自变量x，都存在唯一一个因 变量y与之对应。
在实际应用中，函数的概念被广泛应 用于各种领域，如物理、工程、经济 等。
通过改变k和b的值， 可以绘制出不同的一 次函数图像。
当k>0时，函数图像 为上升直线；当k<0 时，函数图像为下降 直线。
一次函数的性质
01
02
03
一次函数的单调性
当k>0时，函数为增函数 ；当k<0时，函数为减函 数。
一次函数的奇偶性
对于所有x，若f(-x)=f(x) ，则函数为偶函数；若f(x)=-f(x)，则函数为奇函 数。
单调性是指函数在某个 区间内单调增加或单调 减少。如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)，则函数在 该区间内单调增加；反 之则为单调减少。
周期性是指函数在某个 周期内重复出现。如果 存在一个常数T，使得对 于定义域内的任意x，都 有f(x+T)=f(x)，则函数 具有周期T。
函数的性质ppt课件
社会学
在社会学中，函数被用于描述和分析各种社会现象。例如，犯罪率是社会环境和政策的函数，教育程度 是个人背景和社会环境的函数等。
05
总结与展望
总结
函数的导数
函数的导数是指函数在某一点处的切线斜 率，可以反映函数的变化速率和方向。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间上的函数 值变化趋势，可以分为单调递增和单调递 减两种情况。
周期性的判断
可以通过寻找是否存在这样的T来 判断函数是否具有周期性。
凹凸性
凹函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都大 于0，则称f(x)为凹函数。
凸函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都小 于0，则称f(x)为凸函数。
凹凸性的判断
可以通过计算二阶导数来 判断函数的凹凸性。
函数的值域是指因变 量取值范围。
02
函数的性质
奇偶性
奇函数
如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。
偶函数
如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。
奇偶性判断
根据奇偶函数的定义，可以通过计 算f(-x)与f(x)的关系来判断函数的奇 偶性。
单调性
概率统计
在概率统计中，函数用于描述随机变量的概率分布和统计特征。通过函 数，我们可以表示和解决许多实际问题，如概率密度函数和分布函数等 。
函数在自然科学中的应用
物理学
在物理学中，函数被广泛应用于描述物体的运动、力的相互作用、电磁场等。例如，牛顿 第二定律 F=ma 就描述了力与加速度之间的关系，而加速度是速度的函数。
函数的表示方法
01
02
03
在社会学中，函数被用于描述和分析各种社会现象。例如，犯罪率是社会环境和政策的函数，教育程度 是个人背景和社会环境的函数等。
05
总结与展望
总结
函数的导数
函数的导数是指函数在某一点处的切线斜 率，可以反映函数的变化速率和方向。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间上的函数 值变化趋势，可以分为单调递增和单调递 减两种情况。
周期性的判断
可以通过寻找是否存在这样的T来 判断函数是否具有周期性。
凹凸性
凹函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都大 于0，则称f(x)为凹函数。
凸函数
如果函数f(x)在区间I上任 一点处的切线的斜率都小 于0，则称f(x)为凸函数。
凹凸性的判断
可以通过计算二阶导数来 判断函数的凹凸性。
函数的值域是指因变 量取值范围。
02
函数的性质
奇偶性
奇函数
如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。
偶函数
如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。
奇偶性判断
根据奇偶函数的定义，可以通过计 算f(-x)与f(x)的关系来判断函数的奇 偶性。
单调性
概率统计
在概率统计中，函数用于描述随机变量的概率分布和统计特征。通过函 数，我们可以表示和解决许多实际问题，如概率密度函数和分布函数等 。
函数在自然科学中的应用
物理学
在物理学中，函数被广泛应用于描述物体的运动、力的相互作用、电磁场等。例如，牛顿 第二定律 F=ma 就描述了力与加速度之间的关系，而加速度是速度的函数。
函数的表示方法
01
02
03
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D．12，2
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有 最大值无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求最值的一般步骤
栏目 导引
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 函数的概念与性质
1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
利用函数的单调性求最值 已知函数 f(x)＝xx－＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
函数的概念和性质ppt课件
如果函数f(x)定义域为D,区间I D，如果对 于区间I内的任何两点x1和x2，当x1<x2时, 恒有
f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)) 则称函数f(x)在I内单调增加(或单调减少）， 用符号表示为 或
13
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
f (x1)
5
把开区间 (a , a) 称为a 的左δ邻域，
把开区间 (a , a ) 称为a 的右δ邻域，
a
a
a x
例 1 利用区间表示不等式 x2 x 12 0的全部解.
解: ( x 3)( x 4) 0 即 x 3 或 x 4 故
x x2 x 12 0 (, 4) (3, )
-4 -3 -2 -1 o-11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
11
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
Hale Waihona Puke x0 x0y x2 1
y 2x 1
12
三、函数的几种几何特性
1．函数的单调性
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
(2) 绝对值函数
y
x
x, x 0 x, x 0
y
1
o
x
-1
y
o
x
f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)) 则称函数f(x)在I内单调增加(或单调减少）， 用符号表示为 或
13
y
y f (x)
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
f (x1)
5
把开区间 (a , a) 称为a 的左δ邻域，
把开区间 (a , a ) 称为a 的右δ邻域，
a
a
a x
例 1 利用区间表示不等式 x2 x 12 0的全部解.
解: ( x 3)( x 4) 0 即 x 3 或 x 4 故
x x2 x 12 0 (, 4) (3, )
-4 -3 -2 -1 o-11 2 3 4 5 x -2 -3 -4
阶梯曲线
11
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
Hale Waihona Puke x0 x0y x2 1
y 2x 1
12
三、函数的几种几何特性
1．函数的单调性
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
(2) 绝对值函数
y
x
x, x 0 x, x 0
y
1
o
x
-1
y
o
x
函数的基本性质PPT精品课件
k p= V 例2：物理学中的玻意耳定律
（k为正常数） 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
点此播放讲课视频
1 探究： y= 画出反比例函数 x 的图象。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售 出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1 元，其销售量减少10个，为了赚到最大利 润，售价应定为多少？ 解：设利润为 x 元，每个售价为 x 元，则 每个涨（ x －50）元，从而销售量减少 10( x 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) 2 ∴ y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70) 9000 (50 x＜100） ∴ x = 70时 ymax = 9000 ∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70 元．
考点二 函数奇偶性的判定
判断函数的奇偶性，应该首先 分析函数的定义域，在分析时，不 要把函数化简，而要根据原来的结 构去求解定义域，如果定义域不关 于原点对称，则一定是非奇非偶函 数．
课堂互动讲练
例2 判断下列各函数的奇偶性： 1 2 (1)f(x)＝lgx ＋lg 2； x 1＋x (2)f(x)＝(x－1) ； 1－x x2＋x，x<0 (3)f(x)＝ 2 － x ＋x，x>0； lg(1－x2) (4)f(x)＝ . |x－2|－2
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具 有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点 对称．反之，若函数的定义域不关于 原点对称，则该函数无奇偶性．
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f ( x2)
x
2，
2
当x1
x
时
2
，有
f
(
x1
)
f ( x2 )，这时我们就
说函数f ( x) x2在区间0， 上是增函数.
一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区 间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区 间D上是减函数 ．
注意：
1.必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2； 当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增 函数和减函数.
13
从图中可知每阶段时间的病情的发展情况，增 加和减弱的趋势。
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上__升__? 2.在区间 _(_-_∞_,_+_∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值 随着 _增__大___ ．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
1.在区间_(_-_∞__, _0_] 上,f(x)的值随着x的增大而_减__小__． 2. 在区间_(_0_,_+_∞__)上,f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
x 01 23 4 … f(x)=x2 0 1 4 9 16 …
在区间0， 上任取两个x1, x2,得到f ( x1 ) x12 ,
Q x1, x2 , ，且 x1 x2 x2 x1 0
f (x2 ) f (x1) 0即f (x2 ) f (x1)
作差 化简
判号
所以函数 f (x) 3x 2 在区间上, 是增函数. 定论
三、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①取值： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上 的单调性）．
四、归纳小结
1.函数单调性的定义
2.会利用函数图像找出函数的单调区间 3.函数单调性的证明，证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论
2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的局部性质；
二.典例精析
例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函 数的单调区间，以及在每个区间上,它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
实例分析1:艾宾浩斯（关于时间间隔与记忆保持量）
实例分析2: 某市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
33.60
30
20
19.71
10
4.67 7.56
1985 1990 1994 1997 年份
实例分析3 :非典病例的变化统计图
1、2003年抗击非典时，北京市从4月21日至5月19 日期间每日新增病例的变化统计图。
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数， 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.
例2.证明：函数 f (x) 3x 2在 , 上是增函数.
思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？
证明：在区间 , 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
取值
则f (x2 ) f (x1) (3x2 2) (3x1 2) 3(x2 x1)