解直角三角形(2)
2.4解直角三角形(2)PPT课件
9.4
解直角三角形(2)
情境导入
• 1. 回顾旧知:请回答解直角三角形的概念? • 2.分组思考下列问题,看哪组做的又快又对: 在直 角三角形ABC中，∠C﹦90°,由下列条件解直角三角 形。 （1） 已知a﹦2,b﹦2,则c﹦＿, ∠A﹦＿, ∠B﹦＿. (2) 已知b﹦1,c﹦2,则∠A﹦＿，∠B﹦＿，a﹦＿. (3 )已知∠A﹦45°，C﹦2,则∠B﹦＿，a﹦＿,b﹦＿. • 3.有一块三角形的土地，已知∠A=150°， AB=20m,AC=30m,求三角形土地的面积？
C
A D
B
• 解：过点C作CD⊥AB,垂足为D. • 在直角△ACD中，AC ﹦20, CD ∠A﹦60°,由sinA= AC 得 CD=AC∙sinA=20∙sin60 3 °=20× 2 =10. 3 由 cosA= AD ,得 AC AD=AC· cosA=20×cos60°= 1 20× 2 =10. 在直角 △DBC中,由∠B=45°,CD=10 3 ,得BD=CD=10 3 .所以 AB=AD＋DB=10＋10 3 =10(1 ＋ 3 ) (厘米)
比一比
• 练习2. 在等腰三角形 ABC中，AB=AC,且一腰 长与底边的比是5 ：8， 求sinB,cosB的值。
A
B D
C
比一比
练习2. 在等腰三角 形ABC中，AB=AC, 且一腰长与底边的比 是5 ：8，求 sinB,cosB的值。
AB DC来自• 解：过点A作AD⊥ BC,垂足为D.由等腰三 角形的性质可知 BD=CD,设 AB=5t,BC=8t,则 BD=4t.在直角三角形 ABD中，由勾股定理 得AD=3t,所 以,sinB=AD/AB=3/5, cosB=BD/AB=4/5.
第七章第6课时 解直角三角形(2)
BCD第6课时 解直角三角形（2）班级 姓名 学号 ［学习目标］1、能综合应用直角三角形边角关系的知识解直角三角形，进一步体会三角函数的意义与作用；2、经历研讨直角三角形边角关系以及利用这些关系解直角三角形的过程，发展归纳整理知识的能力和计算能力。
［学习过程］问题1、（1）如图，AB 表示地面上一段斜坡的坡面，BC 表示斜面上点B 相对于水平地面AC 的垂直高度，∠A ＝30°，AB=240m ，（1）求sinA 和cosA 的值；（2）求点B 相对于水平地面的高度。
练习：如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CD ⊥AB ，CD ＝33m ，∠CAD ＝∠CBD ＝60°，求拉线AC 的长。
问题2、小明正在放风筝，风筝线与水平线成30°角时，小明的手离地面1m ，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m ，求风筝此时的高度。
（精确到1m ）问题3、如图，求半径为10的圆的内接正五边形的边长（结果精确到0.1）。
（sin36°=0.59, cos 36°=0.81, tan36°=0.73）练习：求半径为20的圆的内接正三角形的边长和面积（结果保留根号）．问题4、在△ABC 中，∠B=30°，AB=10，BC=63，求AC 的长。
练习：在△ABC 中，∠A=75°，∠B=45°， BC=3+1，求AC 和AB 的长。
问题5、在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=23，DC=2，∠DAB=30°，∠C BA=60°，求AB 的长。
练习：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，BC=8，面积为A DB 三、课后作业：1．正三角形边长为a ，则其外接圆半径等于 （ ）A ．a 3 B.a 33 C.a 23 D.a 21第七章 锐角三角函数BAAOBH D E CA CBB C2．如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（ ）m 2A ．αsin 1600 B 。
28.2解直角三角形2
图3
图4
4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°
，则折叠后重叠部分的面积为
2 2
cm
2
（根号保留）．
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必做题： 书本P96/4、P97/7题．
选做题：
1.一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的俯 角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD
＝200米，求塔高AB？ 2.有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60米， AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场 地的面积．
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
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3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学
在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手
中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已 测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道BD的长 度，于是他向前走50米到达C处测得∠ACB=55°，但他们
在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
温故而知新
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
┌
A
C
例题
§28.2 解直角三角形（2）
斯辰学校九年级数学备课组
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
解直角三角形的函数值列举：(2)
∙概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
解直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，（1）三边之间的关系：（勾股定理）；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：。
∙解直角三角形的函数值:锐角三角函数：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b,cotA=b/a（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin2A+cos2A=1②tanA=sinA/cosA③tanA=1/tanB④a/sinA=b/sinB=c/sinC（3）锐角三角函数随角度的变化规律：锐角∠A的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。
∙解直角三角形的应用：一般步骤是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画图，转化为直角三角形的问题）；（2）根据题目的条件，适当选择锐角三角函数等去解三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）还原为实际问题的答案。
∙解直角三角形的函数值列举：sin1=0.01745240643728351 sin2=0.03489949670250097sin3=0.05233595624294383sin4=0.0697564737441253 sin5=0.08715574274765816sin6=0.10452846326765346sin7=0.12186934340514747 sin8=0.13917310096006544sin9=0.15643446504023087sin10=0.17364817766693033 sin11=0.1908089953765448sin12=0.20791169081775931sin13=0.22495105434386497 sin14=0.24192189559966773sin15=0.25881904510252074sin16=0.27563735581699916 sin17=0.2923717047227367 sin18=0.3090169943749474sin19=0.3255681544571567 sin20=0.3420201433256687 sin21=0.35836794954530027sin22=0.374606593415912 sin23=0.3907311284892737 sin24=0.40673664307580015sin25=0.42261826174069944 sin26=0.4383711467890774 sin27=0.45399049973954675sin28=0.4694715627858908 sin29=0.48480962024633706 sin30=0.49999999999999994sin31=0.5150380749100542 sin32=0.5299192642332049 sin33=0.544639035015027sin34=0.5591929034707468 sin35=0.573576436351046 sin36=0.5877852522924731sin37=0.6018150231520483 sin38=0.6156614753256583 sin39=0.6293203910498375sin40=0.6427876096865392 sin41=0.6560590289905073 sin42=0.6691306063588582sin43=0.6819983600624985 sin44=0.6946583704589972 sin45=0.7071067811865475sin46=0.7193398003386511 sin47=0.7313537016191705sin48=0.7431448254773941sin49=0.7547095802227719 sin50=0.766044443118978 sin51=0.7771459614569708sin52=0.7880107536067219 sin53=0.7986355100472928 sin54=0.8090169943749474sin55=0.8191520442889918 sin56=0.8290375725550417 sin57=0.8386705679454239sin58=0.848048096156426 sin59=0.8571673007021122 sin60=0.8660254037844386sin61=0.8746197071393957 sin62=0.8829475928589269 sin63=0.8910065241883678sin64=0.898794046299167 sin65=0.9063077870366499 sin66=0.9135454576426009sin67=0.9205048534524404 sin68=0.9271838545667873 sin69=0.9335804264972017sin70=0.9396926207859083 sin71=0.9455185755993167 sin72=0.9510565162951535sin73=0.9563047559630354 sin74=0.9612616959383189 sin75=0.9659258262890683sin76=0.9702957262759965 sin77=0.9743700647852352 sin78=0.9781476007338057sin79=0.981627183447664 sin80=0.984807753012208sin81=0.9876883405951378sin82=0.9902680687415704 sin83=0.992546151641322 sin84=0.9945218953682733sin85=0.9961946980917455 sin86=0.9975640502598242 sin87=0.9986295347545738sin88=0.9993908270190958 sin89=0.9998476951563913 sin90=1cos1=0.9998476951563913 cos2=0.9993908270190958 cos3=0.9986295347545738cos4=0.9975640502598242 cos5=0.9961946980917455 cos6=0.9945218953682733cos7=0.992546151641322 cos8=0.9902680687415704 cos9=0.9876883405951378cos10=0.984807753012208 cos11=0.981627183447664 cos12=0.9781476007338057cos13=0.9743700647852352 cos14=0.9702957262759965 cos15=0.9659258262890683cos16=0.9612616959383189 cos17=0.9563047559630355 cos18=0.9510565162951535cos19=0.9455185755993168 cos20=0.9396926207859084 cos21=0.9335804264972017cos22=0.9271838545667874 cos23=0.9205048534524404cos24=0.9135454576426009cos25=0.9063077870366499 cos26=0.898794046299167 cos27=0.8910065241883679cos28=0.882947592858927 cos29=0.8746197071393957 cos30=0.8660254037844387cos31=0.8571673007021123 cos32=0.848048096156426 cos33=0.838670567945424cos34=0.8290375725550417 cos35=0.8191520442889918 cos36=0.8090169943749474cos37=0.7986355100472928 cos38=0.7880107536067219 cos39=0.7771459614569709cos40=0.766044443118978 cos41=0.754709580222772 cos42=0.7431448254773942cos43=0.7313537016191705 cos44=0.7193398003386512 cos45=0.7071067811865476cos46=0.6946583704589974 cos47=0.6819983600624985 cos48=0.6691306063588582cos49=0.6560590289905074 cos50=0.6427876096865394 cos51=0.6293203910498375cos52=0.6156614753256583 cos53=0.6018150231520484 cos54=0.5877852522924731cos55=0.5735764363510462 cos56=0.5591929034707468cos57=0.5446390350150272cos58=0.5299192642332049 cos59=0.5150380749100544 cos60=0.5000000000000001cos61=0.4848096202463371 cos62=0.46947156278589086 cos63=0.4539904997395468cos64=0.43837114678907746 cos65=0.42261826174069944 cos66=0.4067366430758004cos67=0.3907311284892737 cos68=0.3746065934159122 cos69=0.35836794954530015cos70=0.3420201433256688 cos71=0.32556815445715675 cos72=0.30901699437494745cos73=0.29237170472273677 cos74=0.27563735581699916 cos75=0.25881904510252074cos76=0.24192189559966767 cos77=0.22495105434386514 cos78=0.20791169081775923cos79=0.19080899537654491 cos80=0.17364817766693041 cos81=0.15643446504023092cos82=0.13917310096006546 cos83=0.12186934340514749 cos84=0.10452846326765346cos85=0.08715574274765836 cos86=0.06975647374412523 cos87=0.052335956242943966cos88=0.03489949670250108 cos89=0.0174524064372836 cos90=0tan1=0.017455064928217585 tan2=0.03492076949174773 tan3=0.052407779283041196tan4=0.06992681194351041 tan5=0.08748866352592401 tan6=0.10510423526567646tan7=0.1227845609029046 tan8=0.14054083470239145 tan9=0.15838444032453627tan10=0.17632698070846497 tan11=0.19438030913771848 tan12=0.2125565616700221tan13=0.2308681911255631 tan14=0.24932800284318068 tan15=0.2679491924311227tan16=0.2867453857588079 tan17=0.30573068145866033 tan18=0.3249196962329063tan19=0.34432761328966527 tan20=0.36397023426620234 tan21=0.3838640350354158tan22=0.4040262258351568 tan23=0.4244748162096047 tan24=0.4452286853085361tan25=0.4663076581549986 tan26=0.4877325885658614 tan27=0.5095254494944288tan28=0.5317094316614788 tan29=0.554309051452769 tan30=0.5773502691896257tan31=0.6008606190275604 tan32=0.6248693519093275 tan33=0.6494075931975104tan34=0.6745085168424265 tan35=0.7002075382097097 tan36=0.7265425280053609tan37=0.7535540501027942 tan38=0.7812856265067174 tan39=0.8097840331950072tan40=0.8390996311772799 tan41=0.8692867378162267 tan42=0.9004040442978399tan43=0.9325150861376618 tan44=0.9656887748070739 tan45=0.9999999999999999tan46=1.0355303137905693 tan47=1.0723687100246826 tan48=1.1106125148291927tan49=1.1503684072210092 tan50=1.19175359259421 tan51=1.234897156535051tan52=1.2799416321930785 tan53=1.3270448216204098 tan54=1.3763819204711733tan55=1.4281480067421144 tan56=1.4825609685127403 tan57=1.5398649638145827tan58=1.6003345290410506 tan59=1.6642794823505173 tan60=1.7320508075688767tan61=1.8040477552714235 tan62=1.8807264653463318 tan63=1.9626105055051503tan64=2.050303841579296 tan65=2.1445069205095586 tan66=2.246036773904215tan67=2.355852365823753 tan68=2.4750868534162946 tan69=2.6050890646938023tan70=2.7474774194546216 tan71=2.904210877675822 tan72=3.0776835371752526tan73=3.2708526184841404 tan74=3.4874144438409087 tan75=3.7320508075688776tan76=4.0107809335358455 tan77=4.331475874284153 tan78=4.704630109478456tan79=5.144554015970307 tan80=5.671281819617707 tan81=6.313751514675041tan82=7.115369722384207 tan83=8.144346427974593 tan84=9.514364454222587tan85=11.43005230276132 tan86=14.300666256711942 tan87=19.08113668772816tan88=28.636253282915515 tan89=57.289961630759144 tan90=(无限)。
第23章 解直角三角形复习(2)
3 tanB= ，AC= 2 2
B
3 ，求AB的长.
A
C
例题分析
例3、 如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C 处测得其顶部 A 的仰角为 60°，然后，自 C 处沿 BC 方向 行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑 物的高（结果保留根号）
A的对边 a tan A A的邻边 b
解直角三角形的类型及其解法
已 知 条 件 解 法 步 骤
由 tan A a 求A; B 90 A; b a 求A; B 90 A; c c a 2 b2
两
边 一 边 一 角
两条直角边a,b
斜边，一直角边（如c，a）
A
解：设AB=x
在RtABC中， tan60 AB AB 3 BC x BC tan60 3
30° D 100 C 60° B
在Rt ABD 中， tan 30
BD BC 100 ， 3x
AB AB BD 3x BD tan 30
A B
C
练习
如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿 着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处， 这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，10分 钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着 火点B的距离.（结果保留根号，参考数据：
6 2 cos15 ， sin 15 4
在解决实际问题时，常用到的一些概念
(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的 叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。（如图1） (2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。 坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度i的比叫做坡度， h i tg 。（如图2） 即
《解直角三角形》教学PPT课件【青岛版九年级数学上册】 (2)
1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC 中，设∠C＝90°，∠α 为 Rt△ABC 的一个锐角，则：
∠α的对边 ∠α的正弦 sinα＝____斜__边______；
∠α的邻边 ∠α 的余弦 cosα＝_____斜__边_____；
∠α的对边 ∠α的正切 tanα＝__∠__α_的__邻__边___．
锐角三角函数和解直角三角形
1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA， cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．
2．
3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些 简单的实际问题．
(_3_)_边s_in_与A__＝角__的c_o_s关_B_系＝__：ac_，__c_o_s_A_＝__s_i_n_B_＝__bc_，__t_a_n_A_＝__ab_，___ta_n_B_＝ ___ba____．
5．直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经 常涉及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定 要根据题意明白其中的含义才能正确解题．
2．解直角三角形的类型和解法
命题点1：求锐角三角函数值 (2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )D
A．2
25 B. 5
5 C. 5
1 D.2
命题点2：解直角三角形的实际应用 1．如图，某地建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在 同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热 气球从C地出发，垂直上升100 m到A处，在A处观察B地的俯角为 30°，则B，C两地之间的距离为( A )
3．同角三角函数之间的关系：
sin2α＋cos2α＝____1；
《解直角三角形》课件2
∵
在直角三角形的6个元素中， 直角是已知元素，如果再 知道一条边和第三个元素， 那么三角形的所有元素就 都可以确定下来。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6， ∠BAC的平分线 AD = 4 3 ，求Rt△ABC的面积。
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时， 梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到 的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝ 75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长． BC 由 sin A = 得 AB BC = AB sin A = 6× sin75 由计算器求得 sin75°≈0.97
在Rt△ABC中，∠A， ∠B， ∠C，岁对应得便分别 是a，b，c，根据下面条件求出直角三角形的其他元 素（角度精确到1°） ( 2) a = 6 2 ， b = 6 6 (1)a＝19，c = 19 2 (2)解：在Rt△ABC 中 (1)解：在Rt△ABC 中， b=6 6 ∵∠C=90°，a = 6 2 ， ∠C=90° 6 6 ∵a=19 c = 19 2 tanB = = 3 6 2 2 2 ∴b = c - a =19 2 2
∵ AC=BC ∴ AD=0.5AB=10 ∠ACD=0.5∠ACB 又 CD=19.2
AD 10 tan ACD = = ≈ 0.52 CD 19.2
∴ ∠ACD=27.74°
∴ ∠ACB=55.48°3. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？
九
年
级
数
学
(
解直角三角形2
C
本题是已 知一直角边和一 锐角，求其他的 边和角。
6
则，AC=√AB2﹣BC2=√（4√3）2﹣62 =2√3 ∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣ 30°=60°
：如图，在△ABC中 ，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， ∠B=30° CD=6，求AB的长。
解：∵CD⊥AB ∴∠CDB=90°
C
又∵ ∠B = 30 ° CD = 6 ∴BC = 2CD = 2×6 =12 在Rt △ACB中∠ACB=90°， ∠B=30 °
1.4 解直角三角形2
9.11 辛庄初中 孙健
教学目标： 是学生能够熟练的解直角三角形
• 教学重难点 • 重点：会利用一边，一角解直角三角形 • 难点：利用所学知识解直角三角形
(1)直角三角形的三边有什么关系?
(2)直角三形的锐角之间有什么关系?
A B 90 (3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系 ?
B
24
D
课后作业
课后作业
配套练习册
解直角三角形的依据 在Rt△ABC中，若∠C=90°， ∠A 、 ∠B 、 ∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，AB边上的高为h (1) 三边间的关系:a2+b2=c2(勾股定理) (2) 锐角间的关系:∠A+ ∠B=90° (3) 边角间的关系:
a b ; cos A ; t an A c c b a sin B ; cos B ; t an B c c sin A a ; cot A b b ; cot B a b ; a a . b
A D
B
BC 那么 cosB = —— AB BC 12 ∴ AB = —— = —— =8√3 cosB cos30°
解直角三角形(二)
解直角三角形（二）主讲：黄冈中学数学高级教师 知识归纳:李平友仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从 上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示：精讲精练： 例 1、如图所示，一位同学在高为 40m 的建筑物的顶端 A 处，测得另一建筑物的 顶部 D 点的俯角α 为 50°，测得底部 C 点的俯角β 为 65°，试求另一建筑物的 高 CD（精确到 0.1m）．解： 延长 CD 交过 A 点的水平线于 E，则∠E=90°．设 AE 的长为 x m，在 Rt△ADE 中， ∴ED=AE·tanα =tan50°·x．，在 Rt△ACE 中，，∴CE=tanβ ·AE=tan65°·x．∵CE=40m，∴tan65°·x=40， ∴DE=tan50°·x=18.65×tan50°≈22.23（m） ∴DC=CE－DE=40－22.23≈17.8（m） 答：另一建筑物 CD 的高约为 17.8m． 变式练习 1：．如图，为测量建筑物 AB 的高度，先测标杆 CD 的高度为 2m，并分别在 C、D 处测得建筑物 AB 的顶点处的仰角为β =60°，α =45°，求建筑物 AB 的高度．解： 过 D 作 DE⊥AB 于 E，则四边形 EBCD 为矩形， ∴DE=CB，BE=CD，设 DE=BC=x m．（视频中应加括号）例 2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面 450 米的上空 P 点，测得 A 村的俯角为 30°，B 村的俯角为 60°，如图所示，求 A、B 两个村庄之间的距离．（精确到 1m．参考数据 ）解： 如图，过 P 作 PC⊥AB 于 C，依题意∠DPA=30°，∠DPB=60°， ∵PD∥AC，∴∠A=30°，∠PBC=60°．变式练习 2： 如图，B、C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，小明测得∠ABC=45°，∠ ACB=30°，BC=60m，他很快求出了河的宽度，你知道他是怎样求出来的吗？变式练习 3： 如图，河两岸 a，b 互相平行，C，D 为河岸 a 上间隔 50m 的两根电线杆，某 人在河岸 b 上的 A 处测得∠DAB=30°，然后沿河岸走了 100m 到达 B 处，测得∠ CBF=60°．求河流的宽（精确到 1m）．答案： 如图，过 C 作 CE∥AD 交 b 于 E，过 C 作 CF⊥AB 于 F， 则∠CEB=30°，∵∠CBF=60°，∴∠ECB=30°=∠CEB， ∴CB=BE=100－50=50（m）即河宽为 43m． 例 3、如图所示，A、B 两地间有一条河，原来从 A 地到 B 地需要经过 D、C，沿 折线 A→D→C→B 到达，现在新建了桥 EF，可直接沿直线 AB 从 A 地到 B 地．已 知 BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥 DC 与 AB 平行，则现在从 A 地到达 B 地可 比原来少走多少路程？（精确到 0.1km， 0.80） ，sin37°≈0.60，cos37°≈答案： 分别过 D、C 作 DH⊥AB 于 H，CG⊥AB 于 G． 在 Rt△CBG 中，CG=sin37°×11（km），∴DH=sin37°×11（km）， 在 Rt△ADH 中，AH=DH=sin37°×11≈6.60（km），， 在 Rt△CBG 中，BG=BCcos37°=11cos37°≈8.80（km）． ∴少走 9.33＋11－6.60－8.80≈4.9（km） 1、桥头堡高 10 米，在堡顶发现附近有一可疑点，测得其俯角为 40°，则可疑 物距堡底__________米（精确到 0.1 米）． 2、如图，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测 得大树在底面的影长为 10 米， 则大树的长约为__________ （保留两个有效数字） ．3、如图，小明在操场上距离旗杆 AB 的距离为 9m 的 C 处，用测角仪测得旗杆顶 端 A 的仰角为 30°，测角仪高 CD=1.2 米，则旗杆 AB 的高为__________米．4、把一块三角形草地记为△ABC，量得∠A=60°，AB=6m，AC=4m，则△ABC 的面 积为__________m ．25、一架飞机在空中 A 处测得地面 B 处的俯角为 30°，飞行高度 AC=1200m，则飞 机在 A 处距 B 处水平距离__________m． 6、 一架飞机在高为 1000m 的高空， 在前进的方向上同时测得桥头的俯角为 30°， 桥尾的俯角为 60°，由此算出桥长为__________m．隐藏答案1、11.9 2、17 米 3、4、5、6、二、选择题 7、王师傅在楼顶的 A 处测得楼前一棵树 CD 的顶端 C 的俯角为 60°，又知水平 距离 BD 为 10m，楼高 AB 为 24m，则树高 CD 为（ ）m．8、 如图， 在高为 60m 的小山上， 测得山底一建筑物顶端与底部的俯角分别为 30°， 60°，则这个建筑物的高度为（ ）m．A．20 三、综合题B．30C．40D．509、某市在迎接奥运圣火活动中，在一教学楼上悬挂着宣传条幅 DC，如图．小明 同学在点 A 处，测得条幅顶端 D 的仰角为 30°，再向条幅方向前进 10 米后，又 在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45°， 已知测点 A、 B 和 C 离地面高度都为 1.44 米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度．（结果精确到 0.1 米，参考数据 ）隐藏答案10、如图，小明为测量一氢气球离地的高度 CD，他在地面上相距 80 米的 A、B 两点，测得∠CAD=43.8°，∠CBD=39.2°，已知 A、D、B 三点在同一条直线上，求氢气球离地面的高度．（结果精确到 0.1 米．参考数据：sin43.8°=0.69， tan43.8°=0.96，sin39.2°=0.63，tan39.2°=0.82）隐藏答案11、如图，某海滨浴场的岸边可以近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现 海中 B 处有人求救，1 号救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而是在岸边自 A 处跑 300 米到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处．假若所在救生员在岸边跑的速度为 6m/s，在海中游的速度为 2m/s，∠BAD=45°． （1）根据以上条件分析 1 号救生员的选择是否正确； （2） 若 2 号救生员同时从 A 处在岸边跑到 C 处， 再游向 B 处， 且∠BCD=65°， 问哪名救生员先赶到 B 处救人（本题计算过程中的数值均可精确到 0.1）？隐藏答案解：（1）依题意△ABD 为等腰直角三角形，∴BD=AD=300（m）．，∴1 号救生员直接由 A 游到 B 的时间为：，1 号救生员由 A 到 D 再游到 B 的时间为 ∵210s＞200s，∴1 号救生员选择正确． （2）在 Rt△BCD 中，，∴AC=AD－CD=300－142.9=157.1（m）∴2 号救生员由 A 到 C 再游到 B 的时间为 而 1 号救生员到 B 处时间为 200s，200s＞192.9s， ∴2 号救生员先赶到 B 处救人．．如图 1 是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为 10cm 的正三角形，三个侧面都 是矩形．现将宽为 15cm 的彩色矩形纸带 AMCN 裁剪成一个平行四边形 ABCD（如 图 2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面 进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱 柱包装盒的侧面全部包贴满．在图 3 中，将三棱柱沿过点 A 的侧棱剪开，得到如 图 4 的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件 的平行四边形进行研究. （1）请在图 4 中画出拼接后符合条件的平行四边形； （2）请在图 2 中，计算裁剪的角度（即∠ABM 的度数）.分析： （1）将三棱柱侧面展开，通过平移拼成平行四边形． 解： （1）将图 4 中的△ABE 向左平移 30cm，△CDF 向右平移 30cm，拼成如图下 中的平行四边形，此平行四边形即为图 2 中的□ABCD．（2）由图 2 的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30． ∵纸带宽为 15，∴ sin∠ABM= ∴∠AMB=30°．．点评：如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A、B、C、D、分析：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数解得．解：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图,则在直角△OAQ中有，即．在直角△OAQ中,则∠O＝90°－∠A＝90°－α，由弧长公式得PQ为．故选B．例2、（宁德）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）.分析：（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40°≈1.350．∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝ABcos∠BAF＝2.1cos40°≈1.609．∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD．在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25°≈0.844．∴CE＝CD－ED＝1.350－0.844＝0.506≈0.51 ∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．。
人教版九年级下册数学作业课件 第28章解直角三角形 (2)
(2)∠A＝22°，AB＝10.(sin22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40，其中结果精确到 0.1) 解：在 Rt△ABC 中，∠B＝90°－∠A＝90°－22°＝68°. ∵∠A＝22°，AB＝10， ∴AC＝cosA·AB＝cos22°·10≈0.93×10＝9.3， BC＝AB·sinA＝10·sin22°≈0.37×10＝3.7.
又∵∠CDE＝90°，CD＝4，sinE＝CD，∠E＝30°， CE
∴CE＝sCinDE＝sin430°＝41＝8. 2
∴BC＝BE－CE＝6 3－8.
(2)若 sinA＝45，求 AD 的长． 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝45＝BAEE， ∴设 BE＝4x，AE＝5x，则 AB＝3x. ∴3x＝6，得 x＝2. ∴BE＝8，AE＝10.
10．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝2，BC＝CD＝ 2 3 ， ∠B ＝ 90°， ∠C ＝ 120°， 则 线 段 AD 的 长 为 7. 解析：如图，连接 AC. 在 Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2 3， ∴tan∠ACB＝BACB＝223＝ 33.
∴∠ACB＝30°. ∴AC＝2AB＝4. ∵∠BCD＝120°. ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝120°－30°＝90°. 在 Rt△ADC 中， ∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝2 3， ∴AD＝ AC2＋CD2＝ 42＋（2 3）2＝2 7.
解：在
Rt△ABC
中，∠C＝90°，tanA＝
3， 3
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°.
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝ 3， ∴BC＝taCn3D0°＝3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝siBn3C0°＝6.
28.2.2解直角三角形(2)
B 900 A B 900 A
在Rt△ABC中, ∠ C=Rt ∠，根据 下列条件，解直角三角形．
350 6400 6400
课堂小结：
解直角三角形时，运用直角三角形有关知识，通 过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角 的大小．在分析问题时，最好画出几何图形，按 照图中的边角之间的关系进行计算．这样可以帮 助思考、防止出错．
老师提示:当从低处观察高处的目标时.视线与水 平线所成的锐角称为仰角.当从高处观察低处的目 标时.视线与水平线所成的锐角称为俯角.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
解直角三角形
(1)三边关系：
a2+b2=c2；
∠A+∠B=90°；
(2)锐角之间关系：
(3)边角之间关系
• 解三角形
回味无穷 驶向胜利
的彼岸
B
C
60
D
45
A
3、山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B 的仰角为 600，杆底C的仰角为450，已知旗杆高 BC=20米，求山高CD。
B 20
C
x
60
D
45
A
4、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°.问题如下： 1.沿着水平地面向前300m到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为60 °，求山高AB. 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB.
解直角三角形（2）
回顾与思考 1
直角三角形的边角关系
a2+b2=c2.
直角三角形三边的关系: 勾股定理
直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=900. 直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数 a a b sin A cos B , cos A sin B , tan A = b c c 互余两角之间的三角函数关系:
解直角三角形(2)
A
B
4、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与 地面的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一 根长为的铁管AB斜靠在石堡坎B处，在铁管AB 上量得AF长为1.5m，F点离地面的距离为0.9m， 又量出石堡坎顶部B到底部D的距离为 ， 4 3m 这样能计算出∠ BDC吗？若能，请计算出∠BDC 的度数，若不能，请说明理由。
视线 铅 直 线
仰角 水平线 俯角 视线
例1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
α＝22°
1.20 22.7
E
图 19.4.4
例2:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯角 为60°,热气球与高楼 的水平距离为120m,这 栋高楼有多高?
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理） c (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º ；
(3)边角之间的关系:
Ｂ
a
a sinA＝ c
cosA＝
b c
1、建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B
D
40
C
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。 沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶 A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
解直角三角形(2)仰角 方向角
1．把实际问题转化成数学问题，这个转化为两个方面： 一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面 示意图，二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们 之间的关系.
2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是 直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.
BM CM 2 BC2 72 72 7 2
答：船与灯塔的距离为： 2 7
海里
例
某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一辆 拖拉机从O点出发，以5米/秒的速度沿北偏西530的方向行驶，如 果拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪 声污染范围内？若不在，试说明理由；若在请求出教室A受污染的 时间是多少？ （已知：sin530≈0.80，sin370 ≈0.60， tan370 ≈0.75 .）
4
解：作AB⊥OM于B ， ∠AOB=900－530 = 370 AB 北 在RtΔABO中 ∵sin ∠AOB = AO M D ∴AB= AO· sin370 ≈ 200×0.60 =120 （米） B ∵120米＜130米∴教室A在噪声污染范围内. C 在OM上取C、D两点，连结AC、AD使 530 AC =AD = 130（米） A 200米 O BC AC 2 AB 2 130 2 120 2 50(米） 东
解：作BC⊥AM，垂足为C.
北
C
M
在Rt⊿ABC中,AB=28×1/2=14
∠BCA=900, ∠CAB=300
东
∴BC=AB· sin∠CAB
=14· sin300=14×1/2=7
中考复习_解直角三角形(2)--
思考
∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180
∴A城受到沙尘暴影响的时间为
180÷12 = 15小时 答：A城将受到这次沙尘暴影响， 影响的时间为15小时。
E
B
A
B
D
C
例
1
如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得∠A=30°, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花圃的面积? 解：过点C作CD⊥AB于D 在Rt△ADC中， ∠A=30°, AC=40, ∴CD=20,AD=AC•cos30° =20√ 3 A 在Rt△CDB中， CD=20 , CB=25, √CB2 – CD2 = 15 ∴DB= ∴S△ABC= 1 AB•CD= 1 (AD+DB)•CD 2 2 √3 +150)(m2) =(200 C
逻辑推理 数学问题的解
翻译回去
实际问题的解
巩固练习
考点 解直角三角形的应用，角平分线的定义，等腰三角形的性质， 三角函数的定义
（2015· 安徽）如图，平台AB高为12 m，在B处测得楼房CD顶
部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高 度（ ＝3 1.7）
课堂精讲
【名师点拨】分析图形，本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解. 【解答】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°.
复习课
1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边 和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求 出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1.在△ABC中，∠C= 90° 2 2 ① 已知∠B=45°，BC=2, 则AB=__________, 2 45° AC=_________, ∠A=_________ 1 60° ②已知BC= 3 ，AB=2,那么AC=___, ∠A=___, 30° ∠B=___ ③已知∠A=30°,∠B=60°,那么AB=__, BC=__,AC=__ A
解直角三角形(第二课时)
物理问题中速度和加速度求解
在斜抛运动中，物体沿着斜线抛出，其 运动轨迹可以分解为水平方向的匀速直 线运动和竖直方向的上抛运动。通过解 直角三角形，可以求出物体沿着圆形轨迹运动， 在简谐振动中，物体在平衡位置附近做
其向心加速度指向圆心。通过解直角三 往复运动。通过解直角三角形，可以求
02
直角三角形的两个锐角互余，即 它们的角度和为90度。
直角边、斜边及角度关系
直角三角形的两条直角边分别垂 直于斜边，并且它们的长度可以 用正弦、余弦和正切等三角函数
表示。
斜边是直角三角形中最长的一条 边，其长度可以通过勾股定理计
算得出。
直角三角形的两个锐角与斜边所 对的两个锐角相等，即它们是相
似三角形。
舍入误差
在计算过程中，由于计算机或计算 器的舍入规则，导致计算结果存在 舍入误差。
提高计算精度方法论述
采用高精度测量工具
选择合适的近似计算方法
使用更精确的测量工具，如高精度角度计 或测距仪，以减小测量误差。
根据具体问题选择合适的近似计算方法， 以减小近似计算误差。例如，当角度较小 时，可采用小角度近似公式进行计算。
知识掌握情况
通过本节课的学习，我掌握了勾股定理及其逆定理的应用， 以及锐角三角函数的定义和性质。同时，我也能够熟练运 用这些知识来解直角三角形。
解决问题能力
在解题过程中，我能够准确识别问题类型，并选择合适的 解题方法。在遇到复杂问题时，我也能够运用所学知识进 行逐步分析和解决。
学习态度与习惯
我始终保持积极的学习态度和良好的学习习惯。在课前， 我会认真预习并思考相关问题；在课后，我会及时复习并 总结所学知识。
以及求解直角三角形的边长。
02 03
第6课时7.5解直角三角形(2) Microsoft PowerPoint 演示文稿 (2)
由直角三角形中的已知元素，求出所 有未知元素的过程，叫做 解直角三角形.
一、自主探究： 定义导入：坡角、坡度 坡度i= tanα
例1：植树节，某班同学决定去坡度为i= 1︰2的山坡上种树， 要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，斜坡上相 邻两树间的坡面距离为 .
合作交流
2.如图, ⊙O的半径为10，求⊙O的内 接正五边形ABCDE的边长.（精确到0.1） D
解：∵五边形ABCDE是正五边形, 360 E ∴∠AOB= =72° 5 作OH⊥AB,垂足为H, 在Rt△AHO中, ∵∠AHO=90 °, ∠AOH=36 °,OA=10, ∴ AH=OA· sin36 °. ∴正五边形ABCDE的边长 AB=2AH=2×10×sin36 °≈ 11.8
这节课你有哪些收获?
1 、在直角三角形中，除直角外还有五个 元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就 可以求出另三个元素．
2、体会到数学与生活紧密联系，生活离 不开数学.
.O
A
H B
C
例3：已知△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,且BD:CD=4:3. 求sinB的值.
B
E
D
C
A
B
例4：在△ABC中，∠C=90°，AC=6 ， D是AC上一点，若，tan DBC 1 ， 2 试求AD的长。
C
A D
例5：为了测量汉江某段河南的宽度，秋实同学设计了如下测量方案：先在 河的北岸选点A，再在河的南岸边选定相距a米的两点B、C（如图），分别 测得ABC ， ACB ，请你根据秋实同学测得的数据，计算 出河宽AD（结果用含和、的三角函数表示）。 若BC=12M,∠ABC=45°、∠ACB=60º 求两河之间的距离.
第11讲_解直角三角形2
明士教育格式化备课课题: 第十一讲解直角三角形 课型：备课人： 备课时间: 科目： 本备课适合学生：教学目标：教学内容：考点一、直角三角形的性质考点二、直角三角形的判定 考点三、锐角三角函数的概念 考点四、解直角三角形重点难点：教学策略与方法：教学过程设计：第十一章 解直角三角形考点一、直角三角形的性质 （3~5分）1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理本备课改进：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD ∙=2⇒ AB AD AC ∙=2CD ⊥AB AB BD BC ∙=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB ∙CD=AC ∙BC考点二、直角三角形的判定 （3~5分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分）1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60° 90°sinα 021 22231本备课改进：cos α 1232221 0tan α 03313不存在cot α 不存在31334、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系1cos sin 22=+A A（3）倒数关系 tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 （3~5）1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
北师大版初三(下)数学第81讲：解直角三角形(2)(学生版)(著名机构讲义)
解直角三角形（2）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用；2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解决简单的实际应用问题；3、认识到数学是解决现实问题的重要工具，强化利用三角函数解决问题的自信心．1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．1.解直角三角形的应用-方向角问题．【例1】（2014•四川自贡中学期末）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250m B．250m C．m D．250m练1.如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（）A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．a•cotα练2.如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（）A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【例2】（2015•承德第一中学月考）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）练3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．3.解直角三角形的应用-求长度问题．【例3】（2014•辽宁旅顺八中期中）一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距（答离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米．案保留根号）练4.．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=，则梯子AB的长度为米．4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【例4】（2014•山东费县中学期末）如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30度．求楼CD的高（结果保留根号）．练5.如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h（不必指出α的取值范围）；（2）当α=30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？5．解直角三角形的应用-方案问题．【例5】（2015•云南腾冲中学期末）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写）；（2）在图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测得 示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据：；（4）写出求树高的算式：AB= ．练6．为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是；（2）在下图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α等字母表示测得的数据；（4）写出求树高的算式：AB= m．1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A．m B．100m C．150m D．m2．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米 B．500cos55°米C．500tan55°米 D．500cot55°米3．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A，B间的距离应为（）A．15sin50°米 B．15tan50°米 C．15tan40°米 D．15cos40°米4．如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．7海里 B．14海里 C．7海里D．14海里5．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为米．2．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．3．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为米．4．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山破BC 行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD等于m．（结果用根号表示）5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为m．6．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA=90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取=1.414，=1.732）．7．小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图，她先在A处测得塔顶C的仰角为32°，再向塔（小的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度．刘的身高忽略不计，结果精确到1米）8．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°．又知建筑物共有六层，每层层高为3米．求避雷针AB的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）9．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．10．为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：≈1.4，≈1.7）11．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414）课程顾问签字： 教学主管签字：。
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2.4解直角三角形（2）
温故知新
1.什么叫做解直角三角形？
2. 解直角三角形需要已知哪几个元素？
3. 已知两边如何解直角三角形？ A
B
c a
b
C
• 本节课学习 • 已知一边，一角 解直角三角形。
探究一 已知一边一角 有哪几种情况？
A
B
c a
b
C
探究二
请根据一边一角的三种情况，对应编制三个题目，并进行解答。
— — 问题1：已知Rt△ABC ，∠C=90°,
直角三角形。
，
，解这个
— — 问题2：已知Rt△ABC ,∠C=90°，
,
角三角形。
，解这个直
— — 问题3：已知Rt△ABC ,∠C=90°，
，
直角三角形。
，解这个
Bc aAbC探究三1.请你总结下已知一边一角解直角三角形的基本步骤。
2.在△ABC中,∠C=90°,sin B= 3 ,b= 3 ,解直角三角
2
形ABC. 3.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,CD⊥AB于点 D,CD= 3 ,求Rt△ABC三边的长度.
归纳小结
知识层面：
思维层面：
课外作业
国庆作业：
1. 《同步训练》2.4之课巩（二），课后（二）
2.《直角三角形的边角关系》试卷一张。 3.自寻《反比例函数》一张试卷完成，拍照为证。