将军饮马题型总结

将军饮马题型总结

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 将军饮马最常见的三大模型

1. 如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上

求一点P 。使得PA+PB 最短（题眼）。

一般做法：作点A （B ）关于直线的对称点，

连接A ’B ，A ’B 与直线交点即为所求点。A’B

即为最短距离

理由：A ’为A 的对称点，所以无论P 在直线任何位置都能得到AP=A ’P 。所以PA+PB=PA ’+PB 。这样问题就化成了求A ’到B 的最短距离，直接相连就可以了。

2. 如图，在∠OAB 内有一点P ，在OA 和OB 各

找一个点M 、N ，使得△PMN 周长最短（题

眼）。

一般做法：作点P 关于OA 和OB 的对称点

P1、P2。连接P1P2。P1P2与OA 、OB 的交

点即为所求点。P1P2即为最短周长。

理由：对称过后，PM=P1M ，PN=P2N 。所以

PM+PN+MN=P1M+P2N+MN 。所以问题就化

成了求P1到P2的最短距离，直接相连就可以了。

B

3.如图，在∠OAB内有两点P、Q，在OA

PMNQ周长最短（题眼）。

一般做法：题目中PQ距离固定。所以只是

求PM+MN+QN的最短距离。最终P’Q’+PQ

即为所求最短周长。M、N即为所求的点。

理由：作完对称后，由于P’M=PM，Q’N=QN，

所以PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。所以就

化成了求P’到Q’的最短距离，所以相连即可。

常见问题

1.怎么对称，作谁的对称？

2.对称完以后和谁连接？

3.所求点怎么确定？

首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，

即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连

线的点。

那么第一个问题，怎么对称。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的

定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）

那么作谁的对称点？首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。

那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。

接下来对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个顶点相连。绝对不能和一

个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。

最后所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交

点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。

4. 将军饮马一定是求最短距离吗？

肯定不是。或者说求最短距离是将军饮马中的最简单一类题目。根据将军饮马的基本模型可以拓展出很多题型。根本原因是因为在作轴对称过程中不但是作了点的对称，还作了边长和角度的对称！或者说边长和角度的对称才是最关键。

如例题1.∠A=60°AE ⊥CE ，AB ⊥BC ，N

和M 是AB 和AE 上的动点。问：当△CMN

周长最短时（题眼），求∠CMN+∠CNM 的度

数。

5. 对称的点可以随便选吗？ 理论上来说，只要是定点，可以选择来对称。但事实上，为了方便解题，一般对称点是有所选择的。选择原则如下：对称点方便确定、方便计算长度。

如例题2：正方形ABCD ，AC 为对角线。△

ADE 是以AD 为边的等边三角形。求在AC 在找

一点P ，使得BP+EP 最短（题眼）。

对于这道题，由于定点是B 和E ，那么理论上

来讲这两个点的对称点都可以做。但是根据选择原

则，这题中显然作点B 的对称方便，直接就是点D 。

其实这样的题型也比较固定，一般点都是对称

图形上，如正方形，等边三角形等等，学生可以自

行总结。

C

D A

比较特殊的题型

例题3.∠OAB中有一点P，求在OA、OB上分别找一个点M，N，使得PM+MN最短（题眼）。

根据前面总结的，首先肯定是作点P的对称点，那么就面临第一个问题，点P关于OA和OB的对

称都要作吗？这个时候就要明白，作对称的本质并

不是对称点，而是对称边。换句话说关于OA对称

式在对称线段PM，关于OB对称实际上是在对称线段PN。那么对于这道题目，显然PN显然是无用的，所以这道题目就应该关于OA对称。接下里会面临第二个问题，对称完连接谁？根据前面的理论，应该找一个定点相连，这道题目里面显然没有第二个定点可用。切记不能直接与N相连，因为N点是个动点。但是从另一个侧面可以知道这条线段其实有无数条。但是最终要达到一个要求连线最短。最后就会想到过P’作OB垂线。则交点即为所求。

B

O

N

B O