高等数学 定积分的元素法及其应用

射线 θ = α , θ = β 围成的曲边扇形的面积 . 在区间[α , β ]上任取小区间 [θ ,θ + dθ ]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA = 1 [ϕ(θ )]2 dθ
2 所求曲边扇形的面积为
r = ϕ(θ ) dθ
∫ A = 1 β ϕ 2 (θ ) dθ 2α
βα θ
x
第五章
第五节 定积分的元素法及其应用
（Element Method of Definite Integral and Its Applications）
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、定积分在物理学上的应用
四、思考与练习
2009年7月3日星期五
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一、定积分的元素法
y
y = f (x)
ds
= 1+ y′2 dx
因此所求弧长
∫ s = b 1+ y′2 dx a
∫= b 1+ f ′2 (x) dx a
o a xx+dx b x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
⎩⎨⎧
x y
=ϕ =ψ
(t) (t)
(α ≤ t ≤ β )
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
∑ 表示为
U
=
lim
λ →0 i=1
f
(ξi )Δxi
∫ ∑ 定积分定义
b a
f
2. 定积分几何学上的应用 （1）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程） （2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体） （3）平面曲线的弧长（三种形式）
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课外练习 习题5－5 1 (2)(4) ；2~7
思考练习
1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .
x −π
cos t d t 的弧长.
2
解:
∵
cos x ≥ 0,
∴
−
π
2
≤
x
≤
π
2
π
∫ s =
2
−π2
π
∫ = 2 2 0
1+ y′2 dx 1+ ( cos x)2 dx
∫π
=2 2
2 cos x dx
0
2
[π
=2
2
2
sin
x 2
]2
0
=4
（自行练习课本 例8）
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= 2a sin t dt 2
∴
s
=
∫ 2π 0
2a sin
t 2
d
t
=
2a⎣⎡⎢−
2 cos
t⎤ 2⎥⎦
2π
0
= 8a
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例10（补充题）求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0) 相应于
0≤θ≤2π一段的弧长 .（自行练习课本 例10）
解: d s = r 2 (θ ) + r′2 (θ ) dθ = a2θ 2 + a2 dθ = a 1+θ 2 dθ
dV = A(x) d x
因此所求立体体积为
V
=
∫b
a
A(x) d
x
A( x)
a x x + dx b x
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特别 , 当考虑连续曲线段 y = f (x) (a ≤ x ≤ b)绕 x 轴
轴旋转一周围成的立体体积时, 有 y
∫ V = bπ [ f (x)]2 dx a
提示:
A( y) = 2x ⋅ y tanα = 2 tanα ⋅ y R2 − y2
∫ V = 2 tanα ⋅ R y R2 − y2 dy 0
这就是课本中给出的解法！
y α
o
(x, y)
R x
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例7
计算由曲面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
所围立体(椭球体)
o
r = aθ
2π a x
∫ ∴ s = a 2π 1 +θ 2 dθ (课本公式26) 0
= a⎢⎣⎡θ2
1+θ 2 + 1 lnθ +
2
1+θ 2
⎤ ⎥⎦
2π
0
= aπ 1+ 4π 2 + a ln(2π + 1+ 4π 2 )
2
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内容小结
1. 掌握定积分的元素法，并会应用 元素法来解决一 些几何和物理方面的问题。
M i−1M i
并称此曲线弧为可求长的.
y M i−1
A= M0 o
Mi
B= Mn x
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略)
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出: y = f (x) (a ≤ x ≤ b)
弧长元素(弧微分) : ds = (dx)2 + (dy)2
(x)
dx
=
lim
λ →0
n i =1
f
(ξi )Δxi
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2. 如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的
近似值
微分表达式
dU = f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
U = ∫ab f (x) dx
当考虑连续曲线段
oa x b x
y = f (x)
x = ϕ( y) (c ≤ y ≤ d)
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有
∫ V = d π [ϕ ( y)]2dy c
y
d y x = ϕ(y) c
ox
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例5
计算由椭圆
x2 a2
+ y2 b2
= 1 所围图形绕 x 轴旋转而
成的平面图形的面积为
A
=
∫
b a
[
f
(
x)
−
g
(
x)]
d
x
其中面积 A 的元素为 d A = [ f (x) − g(x)]d x ．
类似地，若函数ϕ ( y) 、ψ ( y) 在[c, d ] 上连续，且
ϕ( y) ≥ψ ( y) ，则由曲线 x = ϕ ( y) 、 x = ψ ( y) 及直线 y = c 、
dA
y
y = x2
y=x
1
d A = [x − x2]d x
（3）把微元素累加起来，取极限 得图形的面积——定积分。
O x1 x
x + dx
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例 2 求抛物线 y2 = 2x 与直线 x − y = 4 所围成的图 形的面积. 解题步骤：
（1）画出函数的图形，并求出交点。 （2）求出微元素
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例 4 求曲线 ρ = 2a cosθ (a > 0) 围成圆的面积. y
解：因为 ρ ≥ 0 ，
ρ
所以 cosθ ≥ 0(− π ≤ θ ≤ π )
2
2
θ
于是得
O
a
x
∫ A = 1 2
π
2 −π
ρ
2
(θ
)
dθ
2
∫ = 1 2
π
2 −π
4a2
cos2
θ
dθ
转而成的椭球体的体积.（注意：课本例6是“绕 y 轴旋转”）
解: 方法1 利用直角坐标方程
y = b a2 − x2 (−a ≤ x ≤ a) a
y b
∫ 则 V = 2 a π y2 dx 0
o x ax
∫ =
2π
b2 a2
a
(a
2
−
x2 ) dx
0
(利用对称性)
=
2π
b2 a2
⎣⎡⎢a2 x
−
1 3
弧长元素(弧微分) :
ds = (dx)2 + (dy)2
= ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t) dt
因此所求弧长
s = ∫αβ ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t) d t
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r = r(θ ) (α ≤ θ ≤ β ) 令 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , 则得
3
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
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3. 平面曲线的弧长
定义 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大
边长 λ→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
∑ s = lim λ→0 i=1
的体积.（补充题）
z
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
b2
y2 (1 −
x2 a2
)
+
c2
z2 (1 −
x2 a2
)
=
1
x
xa
它的面积为
A( x)
=
π bc(1 −
x a
2 2
)
(−a
≤
x
≤
a)
c o
b
y
因此椭球体体积为
∫ V
=
2
aπ
0
bc(1
−
x a
2 2
)
d
x
=
2π
bc
[
x
−
x3 3a 2
]a
0
=
4π abc
的球体的体积
4π
3
a3 .
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例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 α 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 x2 + y2 = R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) = 1 (R2 − x2 ) tanα (−R ≤ x ≤ R)
(0 ≤ t ≤ 2π )
应用定积分换元法得
∫ ∫ A = 4
0
π
b sin t
⋅ (−a sin t) dt
= 4ab
π
2 sin 2 t dt
0
=
4
a
2
b
⋅
12⋅
π
2
=π
ab
当 a = b 时得圆面积公式
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设ϕ(θ ) ∈ C[α , β ] , ϕ(θ ) ≥ 0 , 求由曲线 r = ϕ (θ ) 及
弧长元素(弧微分) :
ds = [x′(θ )]2 + [ y′(θ )]2 dθ = r 2 (θ ) + r′2 (θ ) dθ (自己验证)
因此所求弧长
s = ∫αβ r2 (θ ) + r′2 (θ ) dθ
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∫ 例8（补充题） 求连续曲线段 y =
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例9
计算摆线
⎩⎨⎧
x y
= =
a (t − sin t) a (1− cost)
(a
>
0)
一拱 (0
≤
t
≤
2π )
的弧长 .
y
解: ds =
(
d d
x t
)
2
+
(
d d
y t
)2
d
t
o
2π a x
= a2 (1− cost)2+ a2 sin2 t d t
= a 2(1− cost) d t
提示: 交点为(1, −1) , (9, 3) , 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
x−2y−3= 0
∫ A = 3 [ (2 y + 3) − y2 ] dy = 32
−1
3
3 y
弧线段部分
直线段部分
o
∫ ∫ s =
3
−1 1 + 4 y2 dy +
3 −1
1+ 22 dy
x
3
⎤ ⎥⎦
a 0
=
4π
3
ab2
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方法2 利用椭圆参数方程
⎧x = a cost
⎨ ⎩
y
=
b
sin
t
∫ ∫ 则
V = 2 aπ y2 dx = 2π
π
2 ab2 sin3t d t
0
0
= 2π ab2 ⋅ 2 ⋅1
3
= 4π ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
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二、定积分在几何学上的应用
1. 平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在 [a,b] 上连续，且 f (x) ≥ g(x) ，
则由曲线 y = f (x) 、 y = g(x) 及直线 x = a 、 x = b 所围
2 利用对称性
∫ V = 2 R 1 (R2 − x2 ) tanα d x
02
= 2 tanα[ R2x − 1 x3 ] R = 2 R3 tanα
3 03
y α
ox α
R x
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思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ?
（3）把微元素累加起来，取极限得图形的面积—— 定积分。
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例3
求椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A = y dx
y b
∫ A = 4
a
ydx
0
利用椭圆的参数方程
o x x+dx a x
⎩⎨⎧
x y
= =
a cost b sin t
y
=
d
所围成的平面图形的面积为
A
=
∫d c
[ϕ
(
y)
−
ψ
(
y
)]
d
y
其中面积 A 的元素为 d A = [ϕ( y) −ψ ( y)]d y ．
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例 1 求直线 y = x 与 y = x2 所围成图形的面积.
解题步骤：
（1）画出函数的图形， 并求出交点。
（2）求出微元素
2
= 4a2 ⋅ 1 ⋅ π 22
= π a2.
思考 曲线 ρ = 2a sinθ (a > 0) 是什么图形？
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2. 平行截面面积为已知的立体的体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b] 上连续, 则对应于小区间[x , x + dx] 的体积元素为