高等数学 定积分的元素法及其应用
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
《高等数学》
返回
下页
结束
例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
《高等数学》
返回
下页
结束
微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
《高等数学》
返回
与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
下页
结束
二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分
x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数． 由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy
高等数学第六章定积分的应用
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
定积分的应用
2
3
π
= 4 a2π3 . 3
例2 计算心形线ρ=a(1+cosθ)(a>0)所 + 所 围成的图形的面积. 围成的图形的面积. 解 S = 2∫π 1[a(1+cosθ]2dθ 0 2
=a2[3θ +2sinθ + 1 sin2 ]π = 3 a2π . θ0 2 4 2
a 2 a
计算由摆线x= − 的一拱, 例3 计算由摆线 =a(t−sint), y=a(1−cost)的一拱, 直线 =0 , = − 的一拱 直线y= 所围成的图形分别绕x轴 轴旋转而成的旋转体的体积 轴旋转而成的旋转体的体积. 所围成的图形分别绕 轴、y轴旋转而成的旋转体的体积. 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 解 所给图形绕 轴旋转而成的旋转体的体积为
b a2 −x2 x 解 旋转 椭球 体可以 看作是 由半个 椭圆 y= 及 a 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 轴旋转而成的立体. 轴围成的图形绕 轴旋转而成的立体.
旋转椭球体的体积为
b2 (a2 − x2)dx V =∫−aπy dx =∫−aπ 2 dx a b2 [a2x− 1 x3]a =π 2 3 −a a = 4πab2 . 3
解 dV = A( x )dx = π R 2 ( x ) dx = π ( x − 0) dx 4 1 2 4 16π V = ∫ π x dx = π x = = 8π 0
2 0 2
绕固定轴旋转所成旋转体的体积
V = π ∫ [ R ( x) − r 2 ( x)]dx
2 a
b
绕y 轴 旋转生 成的立 体体积:
2
0
π
高数例题 第六章 定积分的应用
s
t t dt
例17. 计算摆线
x a sin y a 1 cos
的
一拱
(0 2 ) 的长度。
2、直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程
y f x a x b 给出 f x 在a, b
球体体积的一半,试求该圆孔的直径.
(二)平行截面面积为已知的立体的体积
已知立体在过点 x a, x b且垂直于x 轴的两个平面之间，且垂直于轴的截面 面积为 A x , A x 为连续函数， 则
V A x dx
a
b
例14.一平面经过半径为R的圆柱体 的底圆中心,并与底面交成角
,计
算这平面截圆柱体所得立体的体积.
例15．求以半径为R的圆为底，平行 且等于底圆直径的线段为顶，高为h
的正劈锥体的体积。
例16. 证明由平面图形
0 a x b 0 y f ( x)
绕
y
轴旋转所成的旋转体的体积
b
为
V 2 xf x dx
a
三、平面曲线的弧长 (一)平面曲线弧长的概念 1、定义：设A,B是曲线弧上的两个端 点，在弧 AB 上依次任取分点
把区间 a, b 分成许多部分区间,则所求 量相应地分成许多部分量 ui ,而所求 量等于所有部分量之和，这一性质称为 所求量对于区间 a, b 具有可加性。
三.用定积分来表达的量 u 应具备的条件 1. 是与一个变量 x 的变化区间 a, b 有关的量。 2.量 对于区间 a, b 具有数量的可 加性。 3.部分量 ui 的近似值可表示为
在 , 上 , 围成，
定积分元素法
定积分元素法量积分，即定积分，是高等数学中非常重要的一部分，定积分的定义是对一个函数在某个区间上的面积或体积的精确计算。
然而，当我们面对复杂的函数求解时，使用定积分的定义进行计算是非常困难的。
因此，我们需要寻找一些方法来简化计算。
其中一个常用的方法就是定积分元素法。
本文将会介绍该方法的原理和实际应用。
一、原理定积分元素法是使用微小区间来逼近整个区间的方法。
我们将该区间划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后选择每个小区间上的一个点，记为xi。
那么，将定积分转化为求和公式可以表示为：∫a^b f(x)dx = lim(Δx -> 0) Σf(xi) Δx其中，Δx = (b - a)/n。
这个公式就是定积分元素法的基本公式。
二、分点方法分点方法是定积分元素法中的一种特殊方法。
在该方法中，我们将整个区间内的点分为两类：第一类为端点，第二类为非端点。
然后，将除了端点以外的点均匀地划分为n-1个点，并且从小到大排列。
最后，根据定积分元素法的基本公式进行求和即可。
下面以求解f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为例，解释如何使用分点方法计算。
（1）将整个区间内的点分为端点和非端点，因为本题是[0,1]，所以0和1为端点，非端点为所有不等于0和1的点。
（2）将非端点均匀地划分为n-1个点，这里我们假设n=3，那么非端点为0.25和0.75，它们被均匀地划分为2个点，即0.5和0.5。
（3）将所有点按照从小到大排序，那么排序后的点为0，0.5，0.5，1。
（4）根据定积分元素法的基本公式进行求和：∫0^1 x^2 dx = lim(Δx -> 0) Σ f(xi) Δx = lim(Δx -> 0) [f(0)Δx + f(0.5)Δx + f(0.5)Δx +f(1)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0^2)Δx + (0.5^2)Δx + (0.5^2)Δx + (1^2)Δx] = lim(Δx -> 0) [(0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx) + (0.25Δx +0.25Δx) + (0.25Δx + 0.25Δx)] = lim(Δx -> 0)[1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx + 1/4 Δx] = lim(Δx -> 0) Δx/4 = 1/3因此，f(x) = x^2在[0,1]上的定积分为1/3。
元素法定积分的应用(面积)
面积的计算方法
直接计算法
对于规则图形，直接使用公式计 算其面积。
微元法
将不规则图形划分为若干个小的规 则图形，然后分别计算其面积，最 后求和得到总面积。
积分法
将不规则图形划分为若干个小的规 则图形，然后对每个小图形的面积 进行积分，最后求和得到总面积。
05
元素法在面积计算中的应用
面积计算的难点
元素法可以处理不规则和 复杂几何形状的面积计算， 使得计算更加灵活和实用。
高精度计算
通过将整体划分为多个小 部分，元素法可以获得更 高的计算精度。
适用范围广
元素法不仅适用于二维面 积计算，还可以扩展到三 维和其他更高维度的计算中的贡献
简化计算过程
应用广泛
元素法将复杂的积分或面积计算分解 为更小、更易于处理的部分，从而简 化了计算过程。
元素法的原理是将积分区间分成若干个小区间，每个小区间上的函数值可以近似为一个常数或已知函数，从而 将积分转化为求和问题。
元素法的应用范围
元素法适用于不规则区域和复杂几何形状的面积计算。通过将面积划分为若干个 小的矩形或平行四边形，我们可以近似计算出整个区域的面积。
除了面积计算，元素法还可以应用于体积计算、曲线长度计算等其他类型的积分 问题。
元素法的优势
元素法的优点在于其简单易行，能够将复杂 问题转化为简单问题，降低了解决问题的难 度。
元素法具有广泛的应用范围，可以用于解决 各种类型的积分问题，尤其是不规则区域和 复杂几何形状的面积和体积计算。
元素法还具有直观性和可操作性强的特点， 能够通过图形直观地展示计算过程和结果。
03
元素法在积分中的应用
背景介绍
在实际应用中，许多复杂图形的面积 无法直接计算，如不规则的多边形、 曲线围成的区域等。
高等数学第六版(同济版)第六章复习资料
第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法 1.元素：由连续曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积为：.(由微分知识得) 为面积元素或面积微元,记为 2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为) 1．量与变量的所在区间有关; 2．量对于区间具有可加性；3．量的部分量有近似值，即. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤： 1．由实际情况选一变量如为积分变量，确定该其变化区间.2．分为个小区间，取其中一个小区间，计算其上的部分量，的所求量的一个元素 3．以为被积表达式，在注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积 1.直角坐标情形:曲线与直线及轴所围成的曲边梯形面积为，因为面积元素为 2.参数方程情形：若曲线的参数方程为，且满足 (1). , (2). 在或上具有连续导数，且连续，则由曲线所围成的曲边图形的面积为：3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为，且在上连续，则由曲线与射线以及所围成图形的面积为 . 由于当在上变动时，极径来计算. 推导：①.取极角为积分变量，②.在上任取一小区间，其上的曲边扇形面积的近似值：③. . 为被积表达式，在上作定积分，得曲边扇形的面积公式：例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 2y解：首先确定图形的范围，由得交点、，y取为积分变量，由于面积元素，所以所求面积为 . 注： . 例2. 计算抛物线与直线所围图形的面积解：由得交点、，若取为积分变量，则有 . 若取为积分变量，则有 . 例3. 求椭圆所围图形的面积解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为，则所求面积为设，当时，，当时，，且，于是 . 例4.计算阿基米德螺线对应从变到所围图形面积. 解：由题可知，积分变量，于是所求面积为例5.计算心形线所围图形的面积解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为，则心形线所围成的图形面积为.取极角为积分变量，，于是 . 二、体积 1．旋转体的体积： (1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线与直线以及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成的立体 (2).旋转体的体积：①．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：推导：取为积分变量，，在上任取一小区间轴旋转而成的薄层的体积近似等于以为底面半径、以为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为，以为被积表达式，在上作定积分即得所求旋转体的体积：②．由曲线与直线、以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体的体积：例6.连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，求其体积解：过及的直线方程为： . 取为积分变量，，则所求旋转体的体积为例7.计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与轴所围成的绕轴旋转而成的立体，半椭圆方程为： . 取为积分变量，，则所求立体体积为例8.计算由摆线，相应于的一拱，直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积解：记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则记摆线绕轴旋转而成的旋转体的体积为，取为积分变量，，则. 2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点、且垂直于轴的两个平面之间，该立体过轴上的点且垂直于轴的截面面积为，则该立体的体积为：推导：若为连续函数且已知，取为积分变量，,在，其上的薄层的体积近似等于底面积为、高为的扁圆柱体的体积，积元素：，以为被积表达式，在上作定积分，得所求立体的体积公式：例9.一平面经过半径为的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角，计算着平面截圆柱体所得立体的体积解：取该平面与圆柱体的底面的交线为轴，底面上过圆中心且垂直于轴的直线为轴，则底面圆方程为：，该立体中过轴上的点且垂直于轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为和即和，从而截面面积为，于是所求体积为例4.求以半径为的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积解：取底面圆所在的平面为平面，圆心为原点，并使轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：，过轴上的点作垂直于轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为，于是，所求正劈锥体的体积为三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念 (1).平面曲线弧长：若在曲线弧上任取分点，，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记限增加且每一个小弧段都缩向一点，即时，折线的长的极限存在，则称此极限值为曲线弧的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作 (2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线 (3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算 (1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为，，若在上具有一阶连续函数，则曲线弧长为推导：取为积分变量，曲线上的相应于上任意小区间上的一段弧的长度近似等于曲线在点处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为，从而有弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式：(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为，，若及在具有连续导数，则曲线弧长为推导：取参数为积分变量，曲线上相应于上任意小区间上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素，以为被积表达式，在上作定积分，得弧长公式： (3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为，，若在上具有连续导数，则曲线弧长为：推导：由直角坐标与极坐标的关系得：，，即为曲线的以极角。
高等数学讲义第六章定积分的元素法及其应用
高等数学讲义Higher Mathematics Materials(第六章定积分的元素法及其应用 )第六章定积分的元素法及其应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积公式1 由连续曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的面积为：⎰⎰⎰-+-=ca d c bd dx x f dx x f dx x f A )()()( （1） 例1 求椭圆 22221,(0,0)x y a b a b +=>>的面积 解 由对称性，知 14A A =上半椭圆方程为22b y a x a=- dx x a a b dx x a a b A a a ⎰⎰-=-=⇒0222201 ＝.44,4)2arcsin 2(10222ab A A ab x a x a x a a b a ππ==⇒=-+ 例2 求由0,4,1,232===-+=y x x x x y 所围成的面积.解 4)1(2+--=x y 为开口向下，顶点为)4,1(的抛物线，故⎰⎰⎰+==433141dx y A ＝⎰⎰-+--+432312)23()23(dx x x dx x x ＝323 2 设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，且 []b a x x f x g ,),()(∈≤，则由b x a x x g y x f y ====,),(),(，所围成的面积为：=A []()()ba f x g x dx -⎰ （2） 注：公式（2）对于)()(x g x f <有正有负的情形也成立.例3 求由1,,===-x e y e y x x 所围成的面积.解 由公式（2），得.21)(10-+=-=⎰-e e dx e e A x x 3 求由曲线)(),(y x y x ψϕ==及直线d y c y ==,所围成的面积为[]dy y y A dc ⎰-=)()(ψϕ （3） 例4 求由2,,1===y x y xy 所围的面积.解 由公式（3），得.2ln 23)1(21-=-=⎰dy y y A 二 定积分的微元法2.极坐标下的面积公式1 先介绍定积分的元素法（微元法）讲定积分概念时，为了求某个不均匀分部的整体量A ，是分四步解决的，即分割（将整体化为局部，即化整为零）——近似代替(局部范围“以直代曲”，“以匀代不匀”，近似求出各部)——求和（积零为整）——取极限（由近似到精确），最后得到整体量.实际问题中，往往将其简化为两步，即第一步：无限细分区间[]b a ,，考虑任意份[]x x x ∆+,，或[]dx x x +,，“以不变代变”，“以匀代不匀”，写出量A 的局部量的近似值：dA dx x f x x f A ==∆≈∆)()(——称为A 的元素或微元.第二步：无限求和，即将dA 沿[]b a ,相加，得到定积分⎰⎰=ba ba dx x f dA )(，这就是整体量. 由以上两步完成的求和方法，称为微元法.例如 求由连续曲线[]b a x x f y ,,0)(∈≥=及直线x b x a x ,,==轴所围成曲边梯形的面积.解 由微元法，在[]b a ,上任取一点x 使这点具有小区间的意义，其长为dx ，做一高为)(x f ，“底边长”为dx 的小矩形，其面积为dA ，则dA dx x f dA ,)(=叫该图形在点x 的面积微元.将[]b a ,上的每一点的面积微元无限累加，及连续作和，便得到曲边梯形的面积⎰⎰==ba ba dx x f dA A .)( 用微元法同样可求变速直线运动所走路程为：ds dt t v ds S ba ba (,)(⎰⎰==叫路程微、元） 2极坐标系下的面积公式设有一条连续曲线，其坐标方程为：)(θr r =，求曲线)(θr r =及两个向径βθαθ==,所围成的面积A （曲边扇形）.解 用微元法.分割区间[]βα,，任取一份[]θθθd +,，在这一份上，以小圆弧代替小曲线弧，得到面积微元 θθθd r rd r dA )(21212=⋅= （扇形面积＝21半径⨯弧长），再将dA 在[]βα,上无限求和，得到θθθθβαβαd r d r A )(21)(2122⎰⎰== （4） 例5 求)0(,cos 2>=a a r θ围成圆的面积.解 0,cos 0,()22r ππθθ≥∴≥-≤≤，代公式（4），得 θθθθππππd a d r A 2222222cos 421)(21⎰⎰--== ＝.221422a a ππ=⋅⋅ 0<a 时，曲线所围面积相同.例6 求阿基米德螺线θa r =上相应于θ从0到π2一段弧于极轴所围成的图形的面积.解 πθ20≤≤，代公式（4），得3220322202202343221)(21πθθθθθπππa a d a d r A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎰⎰ 三、体积1.旋转体的体积旋转体——连续曲线)(),(b x a x f y ≤≤=绕x 轴旋转一周所生成的体积.过[]b a ,上任一点x ，在小区间[]dx x x +,，的小曲边梯形绕x 轴旋转而成薄扁体积近 似于，以)(x f 为底半径，dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积微元[]dx x f dv 2)(π=，将dv 在[]b a ,上累加，即得旋转体体积. []dx x f dv V b a b a 2)(⎰⎰==π （5）注：由连续曲线)(),(d y c y x ≤≤=ϕ绕y 轴旋转一周所产生得旋转体体积为=V []dy y d c 2)(⎰ϕπ （6） 例7 求由椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转所成旋转体的体积（椭球）. 解 上半椭圆的方程为：a x a x a ab y ≤≤--=,22，代入公式（5），得.343)(232222222ab x x a a b dx x a a b V a a a a πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰ 绕y 轴旋转椭球体积为：b a V 234π= 特例：当b a =时，球体体积为：334a V π=2.已知平行截面面积，求立体体积设空间某立体是由一曲面和垂直于x 轴的平面b x a x ==.所围成.假设过点x 垂直于x 轴的截面面积)(x A 在[]dx x x +,上薄片体积微元dx x A dv )(=，（如油炸土豆片），将dv 沿[]b a ,求和（薄片相加），得⎰=ba dx x A V )( （7）例8 求“圆柱楔形段”的体积.解 截面为三角形，其面积为：ααtan 21tan 21)(2y y y x A =⋅⋅= 底圆的方程是222R y x =+)(tan 21)(22x R x A -=∴α，代入公式（7），得所求体积.tan 32)(tan 21)(322ααR dx x R dx x A V R R R R =-==⎰⎰--三、平面曲线的弧长设弧的两端B A ,，取分点B M M M M M M M A n n i i ==--,,,,,,,11210依次连折线，如分点无限增加，且每小段弧1i i M M -，缩为一点时，折线长∑=-11i i i M M n 的极限为曲线弧AB 的弧长. 定理 光滑曲线是可求长的.1 直角坐标情形设曲线弧的直角坐标方程为)(),(b x a x f y ≤≤=其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，取曲线弧上任一小区间[]dx x x +,对应的弧，可用曲线在点 [,()]x f x 处切线上相应一段长近似代替，即222()()1ds dx dy y dx '≈+=+，在闭区间[]b a ,上作定积分，得所求弧长dx y S ba ⎰'+=21例9 计算曲线2332x y =上x 从a 到b 的一段弧长. 解 21x y ='，)1(112x d x dx y S b a ba ++='+=⎰⎰＝.)1()1(32)1(32232323⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+a b x ba 例10 求悬链线cx chc y ⋅=在[]b b ,-上的弧长. 解 由对称性，先计算[]b ,0的一段长，c x sh y =' dx c x sh S b⎰+=0212dx cx ch b ⎰=02 ＝02()2.b x x b cch d c sh c c c =⋅⎰ 2参数方程情形设曲线弧的参数方程是 βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()( 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有连续导数，在相应[]βα,上任一区间[]dt t t +,的小弧段长度的近似值（弧微分）为dt t t dt t dt t dy dx ds )()())(())(()()(22222222ψϕψϕ'+'='+'=+=于是所求弧长 dt t t S ⎰'+'=βαψϕ)()(22例11 计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 的一拱πθ20(≤≤)的长度.解 弧长元素θθθθθθθd a d a d a a ds 2sin2)cos 1(2sin )cos 1(2222=-=+-=所求弧长为 a a d a S 8)2cos 2(22sin22020=-==⎰ππθθθ 3极坐标情形设曲线弧由极坐标方程 βθαθ≤≤=),(r r 给出.由直角坐标与极坐标的关系，可 得βθαθθ≤≤⎩⎨⎧==,sin cos r y r x 22222222()()(cos sin )()(sin cos )()()().ds dx dy r r d r r d r r d θθθθθθθθθ'''=+=-++=+⋅这是以极角θ为参数的曲线弧的参数方程，从而所求弧长为:.)()(22θθθβαd r r S ⎰'+=复 习 题 A1 . （1）(3) 3.（2）（4）5.。
大学高等数学_10定积分的元素法分析以及在几何和物理上的应用
16
3
32 a 3 2 sin 6 u d u 32 0 2 3
5 a
5 3 1 a 6 4 2 2
机动
t t d t (令 u ) 2 2
目录
上页
下页
返回
结束
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
o
y
x x2 ( y ) x x1 ( y )
因此所求弧长
2
2
y
(P168)
ds
y f ( x)
s
b b
a a
2 1 y dx
o a
xxdx b x
1 f 2 ( x) d x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
y
在第一象限所围
y2 x
2
(1,1)
Ad A 0
1
x x dx
o
y x2
x 1 x d x
x
1 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算抛物线 y 2 x 与直线 y x 4 所围图形
2
的面积 . 解: 由 得交点
y
(2 , 2) , (8 , 4)
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
高等数学教案定积分及其应用
高等数学教学教案第5章 定积分及其应用,n ），每个小区间的长度记为,2,,n ），在()i f ξi x ∆，再求和1,2,,n ），，如果该极限存在，则称函数上可积，此极限值为)d x x ，即⎰称为被积函数，x()]d n f x ±±(bn af ⎰()d b ak f x x =⎰（区间可加性）设,,a b c )d c ax x f =⎰（保序性）若在区间[a )d x 0≥．授课序号02授课序号03授课序号04为A 的平板水平的放置在液体深为h 处，那么平板一侧所受的液体静压力方向垂直于物体表面，各点压强的大小与方向皆不变，则物体所受的总压力为PA F =.如果平板倾斜放置在液体中，那么，由于液体深度不同的点处压强P 不相等，平板一侧所受的液体压力就不能用上述方法计算.3. 引力由万有引力定律知，质量分别为21,m m ，相距为r 的两个质点间的引力大小为221r m m G F ⋅=，其中G 为万有引力系数，引力的方向沿着两质点的连线.举例说明怎样用定积分解决某些引力问题.4. 函数的平均值函数)(x f 在],[b a 上的平均值1()d b a y f x x b a=-⎰,恰好是定积分中值定理中的)(ξf . 四．例题讲解例1.求由两抛物线2y x =与2x y =所围成图形的面积A ．例2.求由抛物线22y x =与直线4y x =-所围成图形的面积A ． 例3.求椭圆⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x （0>a ，0>b ）所围图形的面积.例4.计算心形线)cos 1(θρ+=a （0>a ）所围图形的面积.例5.如图5.25，连接坐标原点O 及点(,)P h r 的直线, 直线x h =及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋转一周构成一个底半径为r ，高为h 的圆锥体．计算这个圆锥体的体积．图5.25例6.计算由椭圆22221x y a b+=所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积．例7.计算由曲线3y x =，x 轴及直线2x =所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．例8.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成α角，计算该平面截圆柱体所得立体的体积．(a) (b)图5.29例9.计算曲线3223y x =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度． 例10.计算摆线(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0>a ）的一拱(02)t ≤≤π的长度（图5.32）． 例11.求阿基米德螺线θρa =（0>a ）相应于θ从0到π2一段（图5.33）的弧长.例12.设在x 轴上的原点处放置了一个电量为1q +的点电荷，将另一带电量为2q +的点电荷放入由1q +形成的电场中，求电场力将2q +从x a =排斥到x b =时所做的功．例13.一个底半径为R 米，高为H 米的圆柱体水桶，盛满了水，问水泵将水桶内的水全部抽出来要做多少功 （水密度为33100.1m kg ⨯=ρ）.例14.设半径为R 的圆形水闸门，水面与闸顶齐，求闸门一侧所受的总压力.图5.35例15.一个水平放置的线密度为μ，长度为l 的均匀细直棒，在其延长线上放置一个质量为m 的质点，该质点距细直棒最近端点的距离为r .求细直棒对质点的引力大小.Ox x yydyy +R2水面复合化成形加工方法及技术基础5.1 材料成形加工技术的复合化20世纪70年代开始，人们把信息、能源和材料誉为人类文明的三大支柱，20世纪80年代以来又把新材料技术与信息技术、生物技术一起列为高新技术革命的重要标志。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A( y) = 2x ⋅ y tanα = 2 tanα ⋅ y R2 − y2
∫ V = 2 tanα ⋅ R y R2 − y2 dy 0
这就是课本中给出的解法！
y α
o
(x, y)
R x
2009年7月3日星期五
15
目录
上页
下页
返回
例7
计算由曲面
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1
所围立体(椭球体)
弧长元素(弧微分) :
ds = (dx)2 + (dy)2
= ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t) dt
因此所求弧长
s = ∫αβ ϕ′2 (t) +ψ ′2 (t) d t
2009年7月3日星期五
19
目录
上页
下页
返回
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r = r(θ ) (α ≤ θ ≤ β ) 令 x = r(θ ) cosθ , y = r(θ )sinθ , 则得
2 利用对称性
∫ V = 2 R 1 (R2 − x2 ) tanα d x
02
= 2 tanα[ R2x − 1 x3 ] R = 2 R3 tanα
3 03
y α
ox α
R x
2009年7月3日星期五
14
目录
上页
下页
返回
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ?
= 2a sin t dt 2
∴
s
=
∫ 2π 0
2a sin
t 2
d
t
=
2a⎣⎡⎢−
2 cos
t⎤ 2⎥⎦
2π
0
= 8a
2009年7月3日星期五
22
目录
上页
下页
返回
例10（补充题）求阿基米德螺线 r = aθ (a > 0) 相应于
0≤θ≤2π一段的弧长 .（自行练习课本 例10）
解: d s = r 2 (θ ) + r′2 (θ ) dθ = a2θ 2 + a2 dθ = a 1+θ 2 dθ
第五章
第五节 定积分的元素法及其应用
（Element Method of Definite Integral and Its Applications）
一、定积分的元素法 二、定积分在几何学上的应用 三、定积分在物理学上的应用
四、思考与练习
2009年7月3日星期五
1
目录
上页
下页
返回
一、定积分的元素法
y
y = f (x)
ds
= 1+ y′2 dx
因此所求弧长
∫ s = b 1+ y′2 dx a
∫= b 1+ f ′2 (x) dx a
o a xx+dx b x
2009年7月3日星期五
18
目录
上页
下页
返回
(2) 曲线弧由参数方程给出:
⎩⎨⎧
x y
=ϕ =ψ
(t) (t)
(α ≤ t ≤ β )
的球体的体积
4π
3
a3 .
2009年7月3日星期五
13
目录
上页
下页
返回
例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 α 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 x2 + y2 = R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) = 1 (R2 − x2 ) tanα (−R ≤ x ≤ R)
1. 什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
nLeabharlann ∑ 表示为U=lim
λ →0 i=1
f
(ξi )Δxi
∫ ∑ 定积分定义
b a
f
提示: 交点为(1, −1) , (9, 3) , 以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分, 故以 y 为积分变量.
y
x−2y−3= 0
∫ A = 3 [ (2 y + 3) − y2 ] dy = 32
−1
3
3 y
弧线段部分
直线段部分
o
∫ ∫ s =
3
−1 1 + 4 y2 dy +
3 −1
1+ 22 dy
的体积.（补充题）
z
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
b2
y2 (1 −
x2 a2
)
+
c2
z2 (1 −
x2 a2
)
=
1
x
xa
它的面积为
A( x)
=
π bc(1 −
x a
2 2
)
(−a
≤
x
≤
a)
c o
b
y
因此椭球体体积为
∫ V
=
2
aπ
0
bc(1
−
x a
2 2
)
d
x
=
2π
bc
[
x
−
x3 3a 2
]a
0
=
4π abc
x −π
cos t d t 的弧长.
2
解:
∵
cos x ≥ 0,
∴
−
π
2
≤
x
≤
π
2
π
∫ s =
2
−π2
π
∫ = 2 2 0
1+ y′2 dx 1+ ( cos x)2 dx
∫π
=2 2
2 cos x dx
0
2
[π
=2
2
2
sin
x 2
]2
0
=4
（自行练习课本 例8）
2009年7月3日星期五
21
目录
上页
o
r = aθ
2π a x
∫ ∴ s = a 2π 1 +θ 2 dθ (课本公式26) 0
= a⎢⎣⎡θ2
1+θ 2 + 1 lnθ +
2
1+θ 2
⎤ ⎥⎦
2π
0
= aπ 1+ 4π 2 + a ln(2π + 1+ 4π 2 )
2
2009年7月3日星期五
23
目录
上页
下页
返回
内容小结
1. 掌握定积分的元素法，并会应用 元素法来解决一 些几何和物理方面的问题。
x
3
⎤ ⎥⎦
a 0
=
4π
3
ab2
2009年7月3日星期五
12
目录
上页
下页
返回
方法2 利用椭圆参数方程
⎧x = a cost
⎨ ⎩
y
=
b
sin
t
∫ ∫ 则
V = 2 aπ y2 dx = 2π
π
2 ab2 sin3t d t
0
0
= 2π ab2 ⋅ 2 ⋅1
3
= 4π ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
y
=
d
所围成的平面图形的面积为
A
=
∫d c
[ϕ
(
y)
−
ψ
(
y
)]
d
y
其中面积 A 的元素为 d A = [ϕ( y) −ψ ( y)]d y ．
2009年7月3日星期五
4
目录
上页
下页
返回
例 1 求直线 y = x 与 y = x2 所围成图形的面积.
解题步骤：
（1）画出函数的图形， 并求出交点。
（2）求出微元素
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
2009年7月3日星期五
3
目录
上页
下页
返回
二、定积分在几何学上的应用
1. 平面图形的面积
若函数 f (x) 、 g(x) 在 [a,b] 上连续，且 f (x) ≥ g(x) ，
则由曲线 y = f (x) 、 y = g(x) 及直线 x = a 、 x = b 所围
2009年7月3日星期五
8
目录
上页
下页
返回
例 4 求曲线 ρ = 2a cosθ (a > 0) 围成圆的面积. y
解：因为 ρ ≥ 0 ，
ρ
所以 cosθ ≥ 0(− π ≤ θ ≤ π )
2
2
θ
于是得
O
a
x
∫ A = 1 2
π
2 −π
ρ
2
(θ
)
dθ
2
∫ = 1 2
π
2 −π
4a2
cos2
θ
dθ
dV = A(x) d x
因此所求立体体积为
V
=
∫b
a
A(x) d
x
A( x)
a x x + dx b x
2009年7月3日星期五
10