泰勒公式的理解及泰勒公式

对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用

1 函数展开与向量空间

泰勒公式是函数展开的一种工具,也就是说,利用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方法,当然,函数的展开方法有多种,例如：用泰勒公式展开、三角级数的展开等。为更好地理解函数展开的意义以及泰勒公式的应用，文章先对函数的展开进行论述,然后,用例题对其应用做进一步的说明。

在高等数学中,函数展开有许多不同的形式,最常用的有如下两种类型的函数级数展开。

1.1 函数的泰勒展开（幂级数展开）

若函数f(x)在区间｛x｜｜x-x0｜＜R｝内无穷可微,且它的Lagrange余项r n(x)当n→∞ 时,收敛于零,则在这区间内有：

1 2 函数的三角级数展开

若函数f(x)在区间［-π,π］上连续且逐段光滑,则在这区间内有：

从函数展开式(1)和(2)两边的项来看,左边的函数f(x)作为一个整体,它只有有限的一项,而右边却包含着无限多项,说明在一定条件下,有限形式的函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点,可以从另一个视角来看，若把展开式(1)和(2)中的函数系：

｛1,(x-x0),(x-x0)2,(x-x0)3,…,(x-x0)n,…｝

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…}

分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中的函数就是相应的坐标向量,则f(x)就可以看作这个空间的一个点（或一个向量）,则两级数的系数组成的两个数列:

｛a0,a1,a2,…,a n｝与｛a0,a1,b1,a2,b2，…，n,b n,…｝

就是f(x)分别在这两个坐标系中的坐标,于是从形式来看，f(x)作为这无限维空间中的一个点（一个向量）,但从数来看，f(x)在这个空间中却要用无限个坐标来决定.在高等数学中, 根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常有的。可见,换个角度看函数的展开,会给人加深印象,能在原有的基础上根深蒂固。

谈到有限与无限,在高等数学中,根据问题的需要,进行有限与无限形式的相互变换,在解决数学问题中是常常会用到的,这就是泰勒公式的魅力所在.比如说：函数的分解与求和,函数关系的证明等,就要用这种有限与无限之间的变换方法。

可见,这种有限与无限的变换方法的重要性,也体现了泰勒公式的奥妙之处。通过认识这种函数展开与向量空间的联系可以更深刻的理解函数的展开,从而更会、深刻的理解泰勒公式,使它成为解决数学问题的更加有力的工具。

2 泰勒公式的应用

2 1 用泰勒公式求极限

运用泰勒公式方法时需要注意的一个问题是：将函数展开到多少项才可以呢？其实从例题中不难看出,只须展开至分子及分母分别经过化简后系数不为零的阶数即可。

从以上例子中可以看出泰勒公式在求一些极限问题中起着非常大的作用,它可简化运算,并且容易理解和掌握。

2.2 用泰勒公式证明不等式

其中.比较(5)式和(6)式可得k=f(c)。证毕