单摆周期原理及公式推导

关于单摆的回复力

①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂

直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示.

②因为F '垂直于v，所以，我们可将重力G分解到速度v的方向及垂直于v 的方向.且G i =G sin 0 = mg pin 0G 2= G Cos 0 = mg pos 0

③说明：正是沿运动方向的合力G1= mg?in 0提供了摆球摆动的回

复力.

单摆做简谐运动的条件

■%

①推导：在摆角很小时，sin 0 = X

' i x

又回复力F = m®n 0 F = mg・一(

l

表示摆球偏离平衡位置的位移，1表示单摆的摆长)

②在摆角0很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相

反，大小成正比，单摆做简谐运动.

③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线

单摆周期公式推导

设摆线与垂直线的夹角为0,在正下方处时0=0,逆时针方向为正，反之为负。

则摆的角速度为0'(角度0对时间t的一次导数)，角加速度为0''(角度0对时间t 的二次导数)。对摆进行力学分析，

由牛顿第二运动定律，有

(m)*(l)* 0''= - mg*sin 0

即0' +( g/l )*sin 0 = 0

令3= (g/l) 1/2 ,有

2

0''+ ( 3 )*sin 0 = 0

当0很小时，sin 0 - 0 (这就是考虑单摆运动时通常强调’微”摆的原因)

这时，有

0'' ( 32)* 0 ~o

该方程的解为

0 = A*si n( 3+ 0)

这是个正弦函数，其周期为

T = 2 n 3 = 2 n* */g)