随机变量的数学期望教案

教 案：数学期望 试讲人 郑丽霞

教材来源：《概率论与数理统计》 袁荫棠 授课题目：数学期望 第三章第一节

教学目标：会计算数学期望；通过数学期望的学习了解数学期望的实际应用及统计意义 教学重点：数学期望的计算

教学难点：如何将实际问题转化为数学问题 教学过程： 1. 引入课题

引例：在一次射击比赛中，每个人射击10次，甲选手射了4个1分，1个2分，5个3分，问甲选手的平均得分是多少？

1.210

5

31012104110531241=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯

则其“均值”应为11

1k k

i

i i i i i n n x x n n ===∑∑. 所以上面的均值是以i

n n

频率为权重的加权平均。

我们前面学了随机变量，那我用随机变量ξ来表示甲射击得分情况，求ξ的分布？

平均得分=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1

大体上讲，数学期望(或均值)就是随机变量的平均取值 2. 概念讲解

（一）离散型随机变量的数学期望 定义3.1 设离散型随机变量ξ的分布列为

(),1,2,

,,.i i p P x i n ξ===

如果

1

||.i

i

i x p

+∞

=<+∞∑

则称

1

()i i i E x p ξ+∞

==∑

为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。若级数1

||()i i i x p x +∞=∑不收

敛，则称ξ的数学期望不存在。

例1 投掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷的点数，求ξ的数学期望。

解：6

117

()62

i E i ξ==⋅

=∑

例题2 设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中随机抽

取3个球，记ξ为抽取到的白球数，求)(ξE .

（二）连续型随机变量的数学期望

当遇到随机变量为无限不可数的情形，如连续型随机变量，该如何定义该随机变量的数学期望。

设ξ是连续型随机变量，其密度函数为()p x ,在数轴上取得很密的点012,x x x <<<

，则ξ落在小区间1[,)i i x x +的概率是

1

1()()()()i i

x i i i i i x p x dx p x x x p x x ++≈-=∆⎰

由于i x 与i x 很接近，所以区间1[,)i i x x +中的值可用i x 来近似地替代， 因此，ξ与以概率()i i p x x ∆取值i x 的离散型随机变量近似。该离散型随机变量的数学期望是1()i i i i x p x x +∞

=∆∑，这正是()xp x dx +∞

-∞⎰的渐近和式。

从该启示出发，我们引进如下定义：

定义3.2 设连续性随机变量ξ的密度函数为()p x ，如果

||().x p x dx +∞

-∞

<+∞⎰

则称

()()E xp x dx ξ+∞

-∞

=⎰

为ξ的数学期望，简称期望或均值。若级数||()x p x dx +∞-∞

⎰

不收敛，则

称ξ的数学期望不存在。

例题3 设ξ服从区间(,)a b 上的均匀分布，求E(ξ). 解 已知ξ的密度函数为

1

,()0,,a x b p x b a

x a x b

⎧<<⎪

=-⎨⎪≤≥⎩ 所以

1()2b

a b a

E x dx b a ξ+=⋅=

-⎰

例题3 已知随机变量ξ的分布函数为

,

4,140,4/0,0)(⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤<≤=x x x x x F

求)(ξE .

解：随机变量ξ的分布密度函数为

,

,

04

0,4/1)()(⎩⎨⎧≤<='=其它x x F x ϕ 故

.

28

41)()(4

24

==⋅==⎰

⎰∞+∞

-x dx x dx x x E ϕξ

3、巩固练习

课后习题第4题、第9题 4、布置作业