随机变量的数学期望教案
离散型随机变量的期望计算教案
离散型随机变量的期望计算教案一、教学目的本教案的教学目标是通过离散型随机变量的期望计算，使学生们掌握离散型随机变量的期望的概念、性质及计算方法。
二、教学内容1、离散型随机变量的期望概念与性质在概率论中，期望是一种统计平均数，用于反映一个事件发生的概率与事件发生时相对应的结果的大小之间的关系。
设离散型随机变量 X 取值为 x1、x2、…、xn，概率分别为 p1、p2、…、pn，其期望值μ 定义为μ = E(X) = ∑xi pi其中，E 表示期望的运算符，∑ 表示对所有可能的取值进行求和。
期望具有以下性质：（1）若 c 为常数，则 E(cX) = cE(X)。
（2）若 X 与 Y 为随机变量，则 E(X + Y) = E(X) + E(Y)。
（3）若 X 与 Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y)。
2、离散型随机变量的期望计算方法（1）计算期望的方法计算一个离散型随机变量的期望，只需求出每个可能取值 xi 与其对应的概率 pi，将 xi 与 pi 的乘积相加。
（2）离散型随机变量的期望的实例例 1：在一个掷骰子的游戏中，每次掷骰子都有可能得到 1、2、3、4、5、6 中的任意一个数字。
设 X 是可得到的数字，则 X 是离散型随机变量。
假设这个游戏是公平的，每个数字的概率都是相等的，即每个数字的概率为 1/6，有E(X) = ∑xi pi = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5掷骰子游戏中的期望值为 3.5。
例 2：某网站的访问量分别是 100、200、300、400，对应的概率分别是 0.2、0.3、0.4、0.1。
设 X 是访问量，则 X 是离散型随机变量。
计算期望：E(X) = ∑xi pi = 100 × 0.2 + 200 × 0.3 + 300 × 0.4 + 400 × 0.1 = 250该网站的访问期望为 250。
随机变量的数学期望教案
教案：数学期望 试讲人 X 丽霞教材来源：《概率论与数理统计》袁荫棠 授课题目：数学期望 第三章第一节教学目标：会计算数学期望；通过数学期望的学习了解数学期望的实际应用与统计意义 教学重点：数学期望的计算教学难点：如何将实际问题转化为数学问题 教学过程： 1. 引入课题引例：在一次射击比赛中，每个人射击10次，甲选手射了4个1分，1个2分，5个3分，问甲选手的平均得分是多少？1.210531012104110531241=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯则其“均值〞应为111k kii i i i i n n x x n n ===∑∑. 所以上面的均值是以in n频率为权重的加权平均。
我们前面学了随机变量，那我用随机变量ξ来表示甲射击得分情况，求ξ的分布？平均得分=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1大体上讲，数学期望(或均值)就是随机变量的平均取值 2. 概念讲解〔一〕离散型随机变量的数学期望 定义3.1 设离散型随机变量ξ的分布列为(),1,2,,,.i i p P x i n ξ===如果1||.iii x p+∞=<+∞∑则称1()i i i E x p ξ+∞==∑为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。
若级数1||()i i i x p x +∞=∑不收敛，则称ξ的数学期望不存在。
例1投掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷的点数，求ξ的数学期望。
解：6117()62i E i ξ==⋅=∑例题2 设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中随机抽取3个球，记ξ为抽取到的白球数，求)(ξE .〔二〕连续型随机变量的数学期望当遇到随机变量为无限不可数的情形，如连续型随机变量，该如何定义该随机变量的数学期望。
设ξ是连续型随机变量，其密度函数为()p x ,在数轴上取得很密的点012,x x x <<<，则ξ落在小区间1[,)i i x x +的概率是11()()()()i ix i i i i i x p x dx p x x x p x x ++≈-=∆⎰由于i x 与i x 很接近，所以区间1[,)i i x x +中的值可用i x 来近似地替代， 因此，ξ与以概率()i i p x x ∆取值i x 的离散型随机变量近似。
《离散型随机变量的数学期望》教案1
《离散型随机变量的数学期望》教案1
【教学目标】
①理解取有限值的离散型随机变量的均值或数学期望的概念，会求离散型随机变量的数学期望；
②掌握二项分布、超几何分布的均值的求法.
【教学重点】
会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望
【教学难点】
理解离散型随机变量的数学期望的概念
【教学过程】
一、课前预习
1.离散型随机变量的均值或数学期望：设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，，，这些值对应的概率是，，，，则叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称_______）.
2.若随机变量服从参数为的二点分布，则
3.若随机变量服从参数为，的二项分布，
4.若随机变量服从参数为，，的超几何分布，
二、课上学习
例1、根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：
射手8环9环10环
甲0.30.10.6
乙0.20.50.3
试比较甲、乙两射手射击水平的高低.
例2、一个袋子里装有大小相同的10个白球和6个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.
例3、袋中装有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分的数学期望.
例4、根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：
方案一：运走设备，此时需花费3800元.
方案二：建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.
方案三：不采取措施，希望不发生洪水.此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.试比较哪一种方案好.。
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望
《工程数学》教案19连续型随机变量的数学期望教学目标：1、了解连续型随机变量的概念及其特点；2、掌握连续型随机变量的数学期望的求解方法。
教学内容：一、连续型随机变量的概念及特点连续型随机变量是指取值在一个区间内的随机变量。
与离散型随机变量不同，连续型随机变量的取值可以是无数个，因此其概率密度函数（PDF）具有一定的连续性。
二、连续型随机变量的数学期望的定义对于连续型随机变量X，其数学期望E(X)可以通过积分的方式进行计算。
数学期望表示了随机变量在平均情况下的取值，并且是一个常数。
三、连续型随机变量的数学期望的计算方法1、如果概率密度函数f(x)在x=a和x=b处连续，并且在[a,b]区间内可积，那么连续型随机变量X在该区间内的数学期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫(a到b) x * f(x) dx2、如果概率密度函数f(x)在整个实数轴上连续并可积，那么连续型随机变量X的数学期望可以通过以下公式计算：E(X) = ∫(-∞到+∞) x * f(x) dx四、例题讲解例题1：已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=(3/2)*(x-1)，0<x<2，求X的数学期望。
解：根据连续型随机变量的数学期望的计算方法，可以得出：E(X) = ∫(0到2) x * f(x) dx= ∫(0到2) x * (3/2)*(x-1) dx= ∫(0到2) (3/2)*(x^2-x) dx=(3/2)*[x^3/3-x^2/2]在0到2之间的值=(3/2)*[(8/3)-2/2-0]=(3/2)*[(8/3)-1]=(3/2)*(5/3)=5/2因此，X的数学期望为5/2五、教学设计1、引入：通过提问和讲解的方式引导学生回顾离散型随机变量的数学期望的计算方法，并带入连续型随机变量的背景，引出连续型随机变量的概念。
2、知识讲解：对连续型随机变量的概念和数学期望的定义进行详细讲解，并结合具体例子进行说明。
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
-撰写一份小组报告，阐述研究过程、结果及意义。
4.写一篇学习心得，要求学生反思本节课的学习内容，包括以下要点：
-随机变量和数学期望在实际问题中的应用。
-学习过程中遇到的困难和解决方法。
-对随机变量和数学期望的理解，以及如何将其运用到生活中。
作业要求：
1.学生需按时完成作业，保持作业整洁、字迹清晰。
五、作业布置
为了巩固学生对随机变量和数学期望的理解，以及提升他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请学生完成教材第chapter页的习题，包括以下题目：
-第1题：理解随机变量的概念，并能正确表示给定随机现象的随机变量。
-第2题：根据实际情境，推导并分析随机变量的分布列。
-第3题：计算给定随机变量的数学期望，并解释其物理意义。
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解随机变量的概念，掌握离散型随机变量及其分布列的性质，能正确运用随机变量描述实际问题。
2.掌握数学期望的定义，理解数学期望的物理意义，能运用数学期望计算随机变量的平均取值。
3.学会运用方差描述随机变量的取值波动程度，理解方差的性质和意义，能计算简单随机变量的方差。
2.教学过程：
（1）教师引导：通过本节课的学习，我们知道随机变量是用来描述随机现象的数学模型，分布列反映了随机变量取值的概率分布，而数学期望和方差则分别反映了随机变量取值的集中趋势和波动程度。
（2）学生分享：邀请学生分享他们在学习过程中的心得体会，以及如何运用所学知识解决实际问题。
（3）教师总结：强调本节课的重点和难点，鼓励学生在课后继续巩固所学知识，为后续学习打下基础。
随机变量函数的数学期望
第12讲 随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。
教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。
教学难点：随机变量函数的数学期望。
教学时数：2学时 教学过程：一、知识要点回顾1. 随机变量X 的数学期望()E X对离散随机变量 ()()i i iE X x p x =∑若1,2,i=，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。
对连续随机变量 ()()E Xxf x d x+∞-∞=⎰假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。
2. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。
对离散随机变量 [()]()()i i iE g X g x p x =∑对连续随机变量 [()]()()E g Xg x f x d x+∞-∞=⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。
3. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元实函数。
对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j ijE g XY g x y p x y =∑∑对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y d xd y+∞+∞-∞-∞=⎰⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。
4. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）(), ()E c c c =为常数()(), ()E c X c E X c =为常数()(), (,)E a X b a E X b a b +=+为常数()()()E X Y E X E Y +=+11()()nni i i i i i E c X c E X ===∑∑若,X Y 相互独立，则()()()E X Y E X E Y =。
高中数学离散型随机变量期望的完整教案资料及解析
高中数学离散型随机变量期望的完整教案资料及解析一、教学目标1. 理解离散型随机变量的概念和特点。
2. 掌握离散型随机变量期望的定义及相关计算方法。
3. 能够熟练运用期望的理论及计算方法解决现实生活中的问题。
二、教学重点1. 离散型随机变量的概念和特点。
2. 期望的定义及相关计算方法。
三、教学难点1. 离散型随机变量如何计算期望。
2. 如何应用期望求解实际问题。
四、教学过程1. 离散型随机变量的概念和特点离散型随机变量指的是只能取有限或者可数个数值的随机变量，例如扔硬币的结果就是一个离散型随机变量，只能取到正面或反面两个结果。
其特点是每个结果发生的概率是已知的，而且每个结果之间是互不影响的。
2. 期望的定义及相关计算方法（1）期望的定义期望是衡量随机变量取值的平均数值，通常用 E(X) 表示，可以理解为随机变量 X 的重心或中心点。
对于离散型随机变量 X，期望的计算公式为：E(X) = ∑ XiP(Xi)，其中 P(Xi) 表示变量 X 取值为 Xi 的概率。
（2）期望的计算方法a. 均值法当每个取值的概率相同时，可以使用均值法计算期望：E(X) = (X1 + X2 + … + Xn) / n例如，抛一枚硬币，正面为 X1，反面为 X2，硬币的期望为：E(X) = (1 + 0) / 2 = 0.5b. 其他方法当每个取值的概率不相同时，可以使用加权平均法计算期望：E(X) = ∑ XiP(Xi)例如，抛一个色子，可能的结果为 {1, 2, 3, 4, 5, 6}，每个结果的概率都是 1/6，求色子的期望为：E(X) = (1×1/6 + 2×1/6 + 3×1/6 + 4×1/6 + 5×1/6 +6×1/6) = 3.5c. 概率分布表法对于复杂的离散型随机变量，可以制作概率分布表来计算期望：例如，某市场上某商品的销售量分别为 0，1，2，…，10 箱的概率分别为0.01, 0.02, 0.04, …，0.08，求该商品的期望销售量为：E(X) = 0×0.01 + 1×0.02 + 2×0.04 + … + 10×0.08 = 3.83. 如何应用期望求解实际问题（1）利用期望求解赌博问题例如，在一个赌场中，每次投掷两个色子，如果点数和为 7，则赢得 4 倍的赌注；如果点数和不为 7，则输掉赌注。
数学：2.3.1《离散型随机变量的数学期望》教案(新人教B版选修2-3)
2．3．1离散型随机变量的期望教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课课时安排： 2课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1 …k … nPn n q p C 00 111-n n q p C … kn k k n q p C - 0q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123…k … Pp pq2q p … 1k q p -…称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×kn k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(． 故 若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ， 所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水． 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望 解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 123456P61 61 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（ ）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η12P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶ξ所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=mn五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答） 解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8 故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望 解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.22.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，η（1）求ξ，η的概率分布； （2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E七、板书设计（略） 八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 。
离散型随机变量期望的教案
离散型随机变量期望的教案教案标题：离散型随机变量期望的教案教案目标：1. 理解离散型随机变量的概念和特点；2. 掌握计算离散型随机变量期望的方法；3. 能够应用期望计算解决实际问题。
教学重点：1. 离散型随机变量的定义和性质；2. 期望的概念和计算方法；3. 实际问题的期望计算。
教学难点：1. 离散型随机变量期望的计算方法；2. 如何应用期望计算解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、计算器等；2. 学生准备：课本、笔记本等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入离散型随机变量的概念，与学生讨论离散型随机变量的特点和例子。
二、概念讲解（15分钟）1. 解释期望的概念，与学生一起探讨期望的意义和应用场景；2. 讲解离散型随机变量期望的计算方法，包括离散型随机变量的概率分布列和期望的定义。
三、计算方法演示（20分钟）1. 通过具体的例子，演示如何计算离散型随机变量期望；2. 引导学生一起参与计算过程，解决一些简单的期望计算问题。
四、应用实例练习（25分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生应用期望计算方法解决；2. 学生个人或小组合作完成练习，教师巡回指导和解答问题；3. 学生展示解题过程和答案，并进行讨论和总结。
五、拓展延伸（10分钟）1. 引导学生思考离散型随机变量期望的更复杂应用；2. 鼓励学生自主学习相关知识，拓展自己的思维和应用能力。
六、课堂小结（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结；2. 强调离散型随机变量期望的计算方法和应用。
教学反思：本节课通过引入离散型随机变量的概念，讲解期望的概念和计算方法，以及应用实例练习，旨在帮助学生理解离散型随机变量期望的概念和计算方法，并能够应用期望解决实际问题。
教学过程中，教师要注重与学生的互动，引导学生思考和解决问题，提高学生的学习兴趣和能力。
同时，教师还可以根据学生的掌握情况进行适当的调整和拓展，提高教学效果。
高中数学教学备课教案概率统计的综合应用随机变量的期望和方差计算
高中数学教学备课教案概率统计的综合应用随机变量的期望和方差计算高中数学教学备课教案概率统计的综合应用：随机变量的期望和方差计算在高中数学教学中，概率统计是一个重要的内容领域。
学生们需要掌握随机变量的期望和方差的计算方法，以应用于实际问题的解决。
本教案将重点讲解随机变量的期望和方差的计算方法，并提供一些实例与习题供学生练习。
一、随机变量的期望计算方法在概率统计中，随机变量是一个具有确定数学规律的变量。
它的期望是对这个随机变量的平均值进行度量，也可以理解为多次试验下该随机变量的长期平均表现。
对于离散型随机变量，其期望的计算方法为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，x代表随机变量的取值，P(X=x)代表该取值的概率。
举例说明：已知一个骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，每个点数出现的概率相同为1/6。
则该骰子的期望为：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 21/6 = 3.5对于连续型随机变量，其期望的计算方法为：E(X) = ∫[x * f(x)]dx其中，f(x)代表该连续型随机变量的概率密度函数。
二、随机变量的方差计算方法随机变量的方差是对该随机变量取值不确定性的度量，它反映了随机变量的分散程度。
对于离散型随机变量，其方差的计算方法为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]其中，x代表随机变量的取值，E(X)代表该随机变量的期望。
举例说明：仍以上述骰子为例，其方差的计算为：Var(X) = [(1 - 3.5)^2 * 1/6] + [(2 - 3.5)^2 * 1/6] + [(3 - 3.5)^2 * 1/6] + [(4 - 3.5)^2 * 1/6] + [(5 - 3.5)^2 * 1/6] + [(6 - 3.5)^2 * 1/6] = 17.5/6 ≈ 2.92对于连续型随机变量，其方差的计算方法为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx其中，f(x)代表该连续型随机变量的概率密度函数。
大学数学期望教案
教学目标：1. 理解数学期望的概念，掌握其计算方法。
2. 能够运用数学期望解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
教学重点：1. 数学期望的定义和性质。
2. 数学期望的计算方法。
教学难点：1. 理解数学期望在实际问题中的应用。
2. 复杂随机变量的数学期望计算。
教学过程：一、导入1. 提问：什么是概率？如何用概率描述随机现象？2. 引入数学期望的概念，解释其在概率论中的重要性。
二、新课讲解1. 数学期望的定义- 引导学生回顾随机变量的概念。
- 介绍数学期望的定义：随机变量的数学期望是指随机变量取值的加权平均，权重为各取值的概率。
- 讲解数学期望的性质，如线性性、非负性、有界性等。
2. 数学期望的计算方法- 讲解离散型随机变量的数学期望计算公式。
- 讲解连续型随机变量的数学期望计算公式。
- 通过实例讲解如何计算随机变量的数学期望。
三、课堂练习1. 离散型随机变量的数学期望计算- 给出几个离散型随机变量的例子，让学生计算其数学期望。
- 检查学生的计算结果，纠正错误。
2. 连续型随机变量的数学期望计算- 给出几个连续型随机变量的例子，让学生计算其数学期望。
- 检查学生的计算结果，纠正错误。
四、案例分析1. 引入实际问题，如投资收益、保险理赔等。
2. 引导学生运用数学期望解决实际问题。
3. 讲解如何将实际问题转化为数学模型，并计算数学期望。
五、课堂总结1. 回顾数学期望的定义、性质和计算方法。
2. 强调数学期望在实际问题中的应用。
3. 鼓励学生在日常生活中运用数学期望解决实际问题。
教学反思：1. 本节课通过实例讲解，使学生更好地理解数学期望的概念和计算方法。
2. 在课堂练习中，注重培养学生的实际操作能力。
3. 通过案例分析，提高学生的数学应用能力。
4. 在今后的教学中，应进一步引导学生将数学知识与实际生活相结合。
《工程数学》教案18离散型随机变量的数学期望
《工程数学》教案18离散型随机变量的数学期望课程名称：工程数学一、教学目标：1.了解离散型随机变量的概念及特点。
2.学习计算离散型随机变量的数学期望。
3.掌握计算常见离散型随机变量的数学期望的方法。
二、教学内容：1.离散型随机变量的概念及特点。
2.离散型随机变量的数学期望计算方法。
3.常见离散型随机变量的数学期望计算。
三、教学过程：1.导入（5分钟）引导学生回顾前几讲所学内容，复习概率分布、随机变量等相关概念。
2.概念解释（15分钟）讲解离散型随机变量的概念及特点，包括离散型随机变量的取值有限且可列、每个取值对应的概率已知等。
3.数学期望的定义（10分钟）引出数学期望的概念，解释其物理含义，并给出数学期望的定义。
4.数学期望的计算（25分钟）（1）用离散型随机变量的概率分布列给出计算数学期望的算法。
（2）介绍计算数学期望的另一种方法，反演法。
（3）提供一些常见离散型随机变量的数学期望计算方法，例如二项分布、泊松分布等。
5.数学期望的性质（10分钟）介绍数学期望的线性性质和独立性质，分析其应用场景。
6.案例分析（20分钟）通过具体案例分析，巩固和运用所学知识，让学生理解数学期望的应用。
7.总结归纳（5分钟）总结本节课的重点内容，强调数学期望的重要性及计算方法。
四、教学资源：教材、黑板、彩色粉笔、案例题等。
五、教学评估：1.课堂问题互动：通过提问学生、让学生回答问题等方式，检查学生对离散型随机变量和数学期望的掌握情况。
2.案例分析：通过学生对案例的分析和计算，检查学生对计算离散型随机变量的数学期望方法的掌握情况。
3.小结反思：通过学生的课后作业完成情况和讨论，评估本次教学效果。
六、教学反思：本节课着重介绍了离散型随机变量的数学期望计算方法及其应用。
通过案例分析和练习题的运算，旨在让学生更好地掌握数学期望的概念和计算方法。
在教学过程中，注意对学生的理解和引导，及时解答学生的问题，帮助他们理解难点和疑惑。
大学数学期望的教案
一、教学目标1. 知识目标：理解数学期望的概念，掌握数学期望的性质，能够运用数学期望解决实际问题。
2. 能力目标：培养学生运用数学期望分析问题和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和抽象思维能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学重点与难点1. 教学重点：数学期望的概念、性质及其应用。
2. 教学难点：数学期望的应用。
三、教学过程（一）导入1. 回顾概率论的基本概念，如随机事件、样本空间、概率等。
2. 提出问题：如何衡量一个随机变量的波动大小？（二）新课讲解1. 数学期望的定义：设随机变量X的取值范围为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率为{p1, p2, ..., pn}，则X的数学期望E(X)为：E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn2. 数学期望的性质：（1）线性性质：设随机变量X和Y相互独立，则E(X+Y) = E(X) + E(Y)；（2）常数倍性质：设k为常数，则E(kX) = kE(X)；（3）非负性：对于任意随机变量X，E(X) ≥ 0；（4）期望值等于取值概率之和：E(X) = P{X=x1} + P{X=x2} + ... + P{X=xn}。
3. 数学期望的应用：（1）求随机变量的平均值；（2）分析随机变量的波动大小；（3）解决实际问题。
（三）课堂练习1. 计算以下随机变量的数学期望：（1）X～B(3, 0.5)；（2）X～P(2)；（3）X～N(μ, σ^2)；2. 分析以下随机变量的波动大小：（1）X～B(10, 0.3)；（2）X～P(5)；（3）X～N(50, 16)。
（四）课堂小结1. 回顾数学期望的概念、性质及其应用。
2. 强调数学期望在解决实际问题中的重要性。
（五）课后作业1. 查阅资料，了解数学期望在实际生活中的应用。
2. 结合所学知识，分析一个生活中的随机现象，并尝试运用数学期望进行解释。
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教 案：数学期望 试讲人 郑丽霞
教材来源：《概率论与数理统计》 袁荫棠 授课题目：数学期望 第三章第一节
教学目标：会计算数学期望；通过数学期望的学习了解数学期望的实际应用及统计意义 教学重点：数学期望的计算
教学难点：如何将实际问题转化为数学问题 教学过程： 1. 引入课题
引例：在一次射击比赛中，每个人射击10次，甲选手射了4个1分，1个2分，5个3分，问甲选手的平均得分是多少？
1.210
5
31012104110531241=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯
则其“均值”应为11
1k k
i
i i i i i n n x x n n ===∑∑. 所以上面的均值是以i
n n
频率为权重的加权平均。
我们前面学了随机变量，那我用随机变量ξ来表示甲射击得分情况，求ξ的分布？
平均得分=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1
大体上讲，数学期望(或均值)就是随机变量的平均取值 2. 概念讲解
（一）离散型随机变量的数学期望 定义3.1 设离散型随机变量ξ的分布列为
(),1,2,
,,.i i p P x i n ξ===
如果
1
||.i
i
i x p
+∞
=<+∞∑
则称
1
()i i i E x p ξ+∞
==∑
为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。
若级数1
||()i i i x p x +∞=∑不收
敛，则称ξ的数学期望不存在。
例1 投掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷的点数，求ξ的数学期望。
解：6
117
()62
i E i ξ==⋅
=∑
例题2 设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中随机抽
取3个球，记ξ为抽取到的白球数，求)(ξE .
（二）连续型随机变量的数学期望
当遇到随机变量为无限不可数的情形，如连续型随机变量，该如何定义该随机变量的数学期望。
设ξ是连续型随机变量，其密度函数为()p x ,在数轴上取得很密的点012,x x x <<<
，则ξ落在小区间1[,)i i x x +的概率是
1
1()()()()i i
x i i i i i x p x dx p x x x p x x ++≈-=∆⎰
由于i x 与i x 很接近，所以区间1[,)i i x x +中的值可用i x 来近似地替代， 因此，ξ与以概率()i i p x x ∆取值i x 的离散型随机变量近似。
该离散型随机变量的数学期望是1()i i i i x p x x +∞
=∆∑，这正是()xp x dx +∞
-∞⎰的渐近和式。
从该启示出发，我们引进如下定义：
定义3.2 设连续性随机变量ξ的密度函数为()p x ，如果
||().x p x dx +∞
-∞
<+∞⎰
则称
()()E xp x dx ξ+∞
-∞
=⎰
为ξ的数学期望，简称期望或均值。
若级数||()x p x dx +∞-∞
⎰
不收敛，则
称ξ的数学期望不存在。
例题3 设ξ服从区间(,)a b 上的均匀分布，求E(ξ). 解 已知ξ的密度函数为
1
,()0,,a x b p x b a
x a x b
⎧<<⎪
=-⎨⎪≤≥⎩ 所以
1()2b
a b a
E x dx b a ξ+=⋅=
-⎰
例题3 已知随机变量ξ的分布函数为
,
4,140,4/0,0)(⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<≤=x x x x x F
求)(ξE .
解：随机变量ξ的分布密度函数为
,
,
04
0,4/1)()(⎩⎨⎧≤<='=其它x x F x ϕ 故
.
28
41)()(4
24
==⋅==⎰
⎰∞+∞
-x dx x dx x x E ϕξ
3、巩固练习
课后习题第4题、第9题 4、布置作业。