概率论与数理统计：第一章3第四讲几何概率

区域内任意掷一质点M，此点落于S内任 一位置是等可能的，且落在S内任何子区 域A上的可能性与A的度量（如长度，面 积，…）成正比，而与A的位置和形状 无关，则这个试验称为几何概型试验；
并定义M落在A中的概率P（A）为：
P(
A)
A的几何度量 S的几何度量
L（A） L（S）
例1．（约会问题）甲、乙两人约定在6点到7点之间在
第四讲 几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的.
把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
请看演示 几何概率
一.定义: 设有一个可度量区域S（这个区域可以是
直线区域、平面区域或空间区域），向
1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.
即通过规定概率应具备的 基本性质来定义概率.
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且 极为简单， 但在此基础上建立起了概率论 的宏伟大厦.
下面介绍用公理给出的概率定义.
概率的公理化定义 设E是随机试验，S是它的样本空间，对 于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为 P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:
此定义适合于一切类型的试验，
当n充分大时，频率作为概率的近似值，即
fn(
A
)
m n
P(
A
)
，足以满足实际需要。
例1．用某种药物对患有胃溃疡的512个病人进 行治疗，结果368人有明显疗效，现有胃 溃疡病人预服此药，你能对其效果作何 估计？
解： 有明显效果的频率为：368 0.72 ，由统
512
计概率定义该患者服此药有明显效果的可
公理1 P(A)≥ 0 —— 非负性
(1)
公理2 P(S)=1 —— 规范性
(2)
公理3 若事件A1, A2 ,… 互不相容，则有
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)
(3)
这里事件个数可以是有限或无限的 .
——可列可加性或完全可加性
推论1： P( ) 0.
证明： S S ,P( S ) P( S ) P( ) ,
y 2
1≤y≤2, 确定平面S， 如图正方形，设A=两人
乘同一辆公共汽车，则：
1.5
A发生的充要条件是：
两人到达时间x, y在同一
1
发车区间，即阴影部分。
源自文库
01
1.5
2 x 故 P（A）=4/16=1/4。
二. 性质:
1．对任意事件A，有0≤P（A）≤1； 2．P（S）=1； 3．若 A1,A2 ,An互斥，则：
证明： 1 P( S ) P( A A ) P( A ) P( A ).
P( A ) 1.
P( A ) 1 P( A )
同理可证：4. 若A B，则P（A） P（B）
15 0 15
60
x
P(
A)
SA SS
602 452 602
7 16
例2．甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公
共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别
为1：15，1：30，1：45，2：00。如果规定见车就
上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。
解：设甲、乙到达车站的时间分别为x, y 则1≤x≤2,
某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，
过时即可离去，求两人能会面的概率。
解： 以x, y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则
两人能够会面的充要条件是：|x－y|≤15. 在平面
上建立直角坐标系，如图
y
则（x, y）的所有可能结果是边
60
长为60的正方形，图中阴影表示
可会面的时间。
设A=两人能会面，则
试验在相同的条件下重复进行n次，
用m表示A出现的次数，则比值
m/n称为事件A的相对频率，
记为fn(A),即
fn(
A
)
m n
一般情况下：f1( A ) f2( A ) ，只有当n充分大
时，频率才呈现出稳定性。
二. 统计概率: 在一组固定条件下，重复做n次试验 ， 如果当n增大时，事件A出现的频 率fn(A)围绕着某一个常数p摆动；而 且一般说来，随着n的增大，这种摆 动的幅度越来越小，则称常数p为事 件A的概率，即 P（A）=p。
1. 0≤P（A）≤1； 2. P（S）=1；
3. 若A1 , A2 , An互不相容，则
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
古典概率的其他性质对统计概率也同样成立。
第六讲 概率的公理化定义
在学习几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的 “公理”，就是一些不加证明而公认的前 提，然后以此为基础，推演出所讨论对象 的进一步的内容.
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。
法国科学家蒲丰于1777年发现了随机
投针的概率与圆周率π之间的关系，提供 了早期学者们用随机试验求π 值的范例.
请看演示
蒲丰投针试验
第五讲 统计概率
下面我们从几个试验入手，揭示随机 事件一个极其重要的特征：
频率稳定性
频率在一定程度上反映了事件发生的 可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试 验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.
因此，概率是可以通过频率来“测量” 的, 频率是概率的一个近似.
统计概率是以事件的频率具有稳定性为基 础的，下面先介绍事件频率的概念。
一.频率定义：设A为联系于某一试验的事件，将
则P（） 0。
推论2： 若 A1, A2 , An 互不相容，则： P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
证明：
P( A1 A2 An ) P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ).
推论3：0≤P（A）≤1。 P( A ) 1 P( A )
能性为0.72。
定理：事件频率具有如下性质：
1. 对任意事件A，有 0 fn( A ) 1 2．fn( S ) 1 3．若 A1, A2 , Ak 为互不相容事件，则：
fn( A1 A2 Ak ) fn( A1 ) fn( A2 ) f ( Ak )
由概率是频率的数学抽象，可以推得统计概率 具有如下性质：