2020年全国卷1函数与导数压轴题一题多解,深度解析

全国卷1导数题一题多解，深度解析

1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析

已知函数2

()e x

f x ax x =+-.

（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥

12

x 3

+1，求a 的取值范围.。

2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析

已知函数()(2)x

f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。

3. 2020年新高考1卷（山东考卷）第21题

已知函数1

()e

ln ln x f x a x a -=-+

（1）.当a=e 时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围。

1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析

已知函数2

()e x

f x ax x =+-.

（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥12

x 3

+1，求a 的取值范围.。 解析：

（1） 单调性，常规题，a 已知，求一个特定函数f(x)的单调性。若一次求导不见底，则可

二次或多次清仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。通常二次求导的为多。

（2） 恒成立，提高题，在恒成立情况下，求参数的取值范围。常常是把恒成立化成最值

问题。由于这里的a 只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。这里介绍了两种方法。

解：

（1） 当a=1时， 2

()e x

f x x x =+-，定义域为R ，

'()e 21x f x x =+-，易知f ’(x)是单调递增函数。

而f ’(0)=0，

∴ 当x ∈（-∞，0），f ’(x)＜0 当x ∈（0,+∞），f ’(x)＞0

∴当x ∈（-∞，0），f(x)单调递减；当x ∈（0,+∞），f(x)单调递增。

（2）

解法一 ，分离参数法 当x ≥0时，31()12f x x ≥

+ ，即231

()e 12

x f x ax x x =+≥+- 当x=0时，上式恒成立，此时a ∈R 。

当x ＞0时，上式等价于 3

2

112x

x x e a x ++-≥ 恒成立。

令 32112()x x x e g x x ++-=，则 23

1(2)(1)

2'()x x x x e g x x -++-= 再令21

()12

x h x x x e =++-

到了这里发现，由（1）可得的 2

1(0)x

e x x x +->> ，不能引用。 所以求导，

'()1x h x x e =+-

令j(x)=h ’(x) (x>0)

'()10x j x e =-<，j(x)单调递减。

∴j(x)

1102

x x x e ++-<。

当x ∈（0,2）时，g ’(x)＞0；当x ∈(2,+∞)时，g ’(x)＜0。

∴g(x)max=g(2)=2

74e -

∴a 的取值范围是2

7[,)4

e -+∞ 。 解法二：综合法，让x e 玩倒立游戏，变成x e - 。

当x≥0时，31()12f x x ≥

+ ，即231

()e 12x f x ax x x =+≥+- 等价于2311(1)02

x

ax x x e -+---≥ 。

令 231()1(1)2x g x ax x x e -=+---，则 1'()(2)[(21)]2x

g x x x x a e -=--+

（1）若2a+1≤0，即1

2

a ≤- ，当x ∈（0,2）时，g ’(x)＜0，即g(x)单调递减，而

g(0)=0，故当x ∈（0,2）时， g(x)＜0，因此不合题意（不必研究x ∈（2，+∞）的情况，否则是多余且无功，很可能出错）。

（2）若0＜2a+1＜2，即11

22

a -

<< ，当x ∈（0，2a+1）∪(2，+∞)时，g ’(x)>0；当x ∈（2a+1，2）时，g ’(x)＜0。

所以g(x)在（0,2a-1），（2，+∞）单调递增，在（2a+1,2）单调递减。

由于g(0)=0，g(x)≥0，所以g(2)=2

1(47)0a e -+-≥ ，即 2

74

e a -≥ 。 所以 当271

42

e a -≤< 时，g(x)≥0。

（3）若2a+1≥2，即1

2

a ≥ ，当x ∈(0,2)∪(2a+1,+∞)时，g ’(x)>0；当x ∈(2,2a+1)时，g ’(x)<0。

所以 g(x)在（0,2），（2a+1，+∞）单调递增；在（2，2a+1）单调递减。 又g(0)=0，g(x)≥0，所以g(2a+1)=≥0必须成立。

221

1

(21)1[(21)(21)1]2a g a a a e --+=+-+-+-

综上，a 的取值范围是2

7[,)4

e -+∞ 。

注：方框里内容的处理很灵活，也很关键。

注意：

（1）分离参数法中遇到2

1()12

x h x x x e =

++-的正负判断，多次求导。若用x e 的倒插花方式，即考察21

()(1)12

x i x x x e -=++-，可一次解决问题。

（2）综合法处理第二小题，遇第三种情况不是解出a ，a 是解不出来的，而是看限定条件下是否满足。

（3）有参数时，把参数叙述成“若”，把变量成“当”，若两者都叙述成“当”，那就让人看起来不舒服。

2.2020年 全国卷1文科数学第20题的解析