绝对值化简问题的归类分析
三个绝对值化简题型
三个绝对值化简题型1. 绝对值的定义和性质在数学中，绝对值是一个常见的函数，它表示一个数与零的距离。
绝对值函数通常用符号”|“表示，如|a|表示数a的绝对值。
绝对值的定义如下： - 如果a是一个正数或零，则|a| = a。
- 如果a是一个负数，则|a| = -a。
绝对值函数具有以下性质： - 非负性：对于任意实数a，有|a| ≥ 0。
- 零的绝对值为零：|0| = 0。
- 正负性：如果a > 0，则|-a| = a；如果a < 0，则|-a| = -(-a) = a。
2. 绝对值化简题型在高中数学中，我们经常遇到需要化简含有绝对值的表达式的题目。
这些题目可以通过运用绝对值的性质和一些基本等式来进行化简。
以下是三个常见的绝对值化简题型：题型一：两个变量之差的绝对值问题描述：给定两个实数x和y，求表达式|x - y|解决思路：根据绝对值函数的定义，我们可以将|x - y|分为两种情况讨论： 1. 当x - y ≥ 0时，有|x - y| = x - y。
2. 当x - y < 0时，有|x - y| = -(x - y) = y - x。
综上所述，我们可以得到以下等式： |x - y| = { x - y, 当x ≥ y； y - x, 当x < y。
}题型二：两个变量之和的绝对值问题描述：给定两个实数x和y，求表达式|x + y|解决思路：类似于题型一，我们可以将|x + y|分为两种情况讨论： 1. 当x + y ≥ 0时，有|x + y| = x + y。
2. 当x + y < 0时，有|x + y| = -(x + y) = -(x) - (y)。
综上所述，我们可以得到以下等式： |x + y| = { x + y, 当x ≥ -y； -(x) - (y), 当x < -y。
}题型三：一个变量的绝对值与一个常数的比较问题描述：给定一个实数a和一个正常数c，求表达式|a| > c的解集合。
绝对值化简例题
如何化简绝对值绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。
一、根据题设条件例1：设化简的结果是（）。
（A）（B）（C）（D）思路分析：由可知可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解：∴应选（B）．归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．二、借助数轴例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（）．（A）（B）（C）（D）思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．解：原式∴应选（C）．归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：1．零点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．三、采用零点分段讨论法例3：化简思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定，由于x是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论．解：令得零点：；令得零点：，把数轴上的数分为三个部分（如图）①当时,∴原式②当时，，∴原式③当时，，∴原式∴归纳点评：虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件，以免得出错误的结果．练习：请用文本例1介绍的方法解答l、2题1．已知a、b、c、d满足且，那么2．若，则有（）。
中考专题复习《绝对值化简问题的归类分析》教学案
第 1 页共 5 页绝对值化简问题的归类分析
绝对值化简是初中数学中的难点之一，
本文将此类问题大致归纳为以下十种情况，进行举例分析.
一、已知不等式的解集，化简绝对值
例1 已知:1x
，化简:3113x x . 分析要去掉题中绝对值，明确31x ,13x 的符号是关键.这里根据条件，运用不等
式的性质就可以得出求出31x ,13x 的符号.根据不等式的性质
2，由1x ，得33x .又根据不等式的性质1，得312x ，这就确定了31x
的符号为负号. 同理，根据不等式的性质
3，由1x ，得33x .又根据不等式的性质1，得134x ，所以得出1
3x 的符号为正号，这样就可以轻松化简. 解1x
，3120,134x x ,
原式=(31)(13)
31132x x x x . 二、求出不等式的解集后，再化简绝对值
例2 已知
2(1)3x x ，化简:242x x . 分析
要去掉绝对值，就得知道2x , 42x 的符号.要知道2x , 42x 的符号就得知道x 的解集，要知道
:的解集就要运用不等式的解法求出其解.求出x 的解集后，由例1的方法就可以确定
2x , 42x 的符号，进而化简绝对值. 解由2(1)3x x ,
解得2
x 20x
，420x 原式(2)(42)2
x x x 三、已知不等式的解集，化简多重绝对值
例3 已知3x
，化简:321x 分析要去掉绝对值符号，我们只能从最里面一层一层的去掉
.先根据不等式的性质，用例1的方法判断1x 的符号，去掉第一个绝对值，然后再合并同类项后判断符号，去掉。
专题01 绝对值化简的四种考法(解析版)
专题01绝对值化简的四种考法
【知识点精讲】
1.绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作a 2.绝对值的性质
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a
≥0，即：,00,0
,0a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
【答案】22b c
+
(1)用“＜”连接：a ,a -,b ,b -,c ,c -；a b c c b a ∴<<-<<-<-；
(1)填空：A ，B 之间的距离为______，B ，(2)化简：22a b c b c a +--+-．
利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是
【答案】4b
(1)在如图所示的数轴上将a ，b ，c 三个数表示出来；（2）解：根据数轴位置关系，可得：0a >、0b c +<、
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式
【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．。
专题突破：绝对值化简问题专项探究(3大题型)(解析版)—24-25学年七年级数学上册单元(浙教版)
专题突破：绝对值化简问题专项探究绝对值化简常见问题方法总结1、根据绝对值的性质化简（1）牢记绝对值的性质：⎪⎩⎪⎨⎧-==)a(a a )a(a a 0000＜）（＞或⎩⎨⎧≤-≥=)a(a )a(a a 00（2）在”“=的组合中，当“=”左边的部分未知时，求“| |”内部的数，需要分类讨论；当“=”右边的部分未知时，求“=”右边的值，结果只有一个。
（3）绝对值的非负性应用：当“| |+| |=0”时，则“| |”内部的式子整体=02、已知范围的绝对值化简基本步骤第1步：判断绝对值内部式子的正负；第2步：把绝对值改为小括号；第3步：去括号；第4步：化简合并。
3、绝对值化简与最值问题对应规律（1）当x=a 时，|x-a|的最小值=0；（2）当a ≤x ≤b 时，|x-a|+|x-b|的最小值=|a-b|；（3）若a ＜b ＜c ，当x=b 时，|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a；题型一 根据绝对值的性质化简【例1】．（2024春•肇源县期中）若|a |+a ＝0，则a 是（ ）A ．零B ．负数C ．负数或零D ．非负数【分析】根据绝对值的性质解答即可．【解答】解：若|a |+a ＝0，则a 是负数或零，故选：C ．【变式1-1】．（2024•碑林区校级模拟）如果，那么x ＝（ ）A ．B ．或2C ．D ．2【分析】根据绝对值的意义求解即可．【解答】解：∵∴．故选：C ．【变式1-2】．（2023秋•|m |＝|n |，那么m ，n 的关系（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．都是0D ．互为相反数或相等【分析】利用绝对值的代数意义化简即可得到m 与n 的关系．【解答】解：∵|m |＝|n |，∴m ＝n 或m ＝﹣n ，即互为相反数或相等，故选：D ．【变式1-3】．（2023秋•渑池县期末）若|a +2|+|b ﹣7|＝0，则a +b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．5D ．﹣5【分析】根据非负数的性质分别求出a 、b ，计算即可．【解答】解：∵|a +2|+|b ﹣7|＝0，∴|a +2|＝0，|b ﹣7|＝0，∴a+2＝0，b﹣7＝0，解得，a＝﹣2，b＝7，则a+b＝5，故选：C．【变式1-4】．（2023秋•东莞市月考）若|x﹣1|+|2﹣y|＝0，求2x﹣y的值．【分析】根据非负数的性质得出x﹣1＝0，2﹣y＝0，即可求出x、y的值，从而求出2x﹣y的值．【解答】解：∵|x﹣1|+|2﹣y|＝0，又∵|x﹣1|≥0，|2﹣y|≥0，∴x﹣1＝0，2﹣y＝0，∴x＝1，y＝2，∴2x﹣y＝2×1﹣2＝0．【变式1-5】．（2023•南皮县校级一模）若ab≠0，那么+的取值不可能是（ ）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．【解答】解：∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，+＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，+＝﹣1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，+＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，+＝﹣1+1＝0；综上所述，+的值为：±2或0．故选：C．题型二已知范围的绝对值化简【例2】．（2023•成都模拟）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝ ．【分析】因为π≈3.414，所以π﹣4＜0，3﹣π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π﹣4|+|3﹣π|．【解答】解：∵π≈3.414，∴π﹣4＜0，3﹣π＜0，∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1．故答案为1．【变式2-1】．（2024春•松江区期中）如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝ ．【分析】根据绝对值的性质进行解题即可．【解答】解：∵a＞3，∴|1﹣a|﹣|a﹣3|＝a﹣1﹣（a﹣3）＝a﹣1﹣a+3＝2．故答案为：2．【变式2-2】．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（ ）A．2m﹣3B．﹣1C．1D．2m﹣1【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果．【解答】解：∵|m|＝﹣m，∴m≤0，∴m﹣1＜0，m﹣2＜0，∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1．故选：B．【变式2-3】．（2022秋•市北区校级期末）当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（ ）A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣2【分析】先根据绝对值的性质，判断出a、b的大致取值，然后根据a+b＞0，进一步确定a、b的值，再代入求解即可．【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7∵|a+b|＝a+b，∴a+b≥0，∴a＝±5．b＝7，当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；故a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：B．【变式2-4】．（2023秋•文登区期末）如图所示，则|﹣3﹣a|﹣|b+1|等于（ ）A．4+a﹣b B．2+a﹣b C．﹣4﹣a﹣b D．﹣2﹣a+b【分析】先根据数轴判断﹣3﹣a和b+1的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：由数轴可知，﹣1＜a＜0，b＞1，∴﹣3＜﹣3﹣a＜﹣2，b+1＞0，∴|﹣3﹣a|﹣|b+1|＝（3+a）﹣（b+1）＝3+a﹣b﹣1＝2+a﹣b．故选：B．【变式2-5】．（2023秋•青羊区校级期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|c|＞|b|＞|a|，化简|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝ ．【分析】由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，进一步判断出a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，再根据绝对值的意义化简即可．【解答】解：由数轴得c＜a＜0，b＞0，|b|＞|a|，∴a+b＞0，c﹣b＜0，a﹣c＞0，∴|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝（a+b）﹣（b﹣c）+（a﹣c）＝a+b﹣b+c+a﹣c＝2a，故答案为：2a．【变式2-6】．（2023秋•思明区校级期末）如图，化简|a﹣1|＝ ．【分析】判断出a﹣1的取值，再根据绝对值性质计算即可．【解答】解：由题得a＜1，∴a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝1﹣a，故答案为：1﹣a．【变式2-7】．（2023秋•余干县期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．题型三绝对值化简与最值问题【例3】．（2022秋•泗阳县期中）式子|x﹣2|+1的最小值是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案．【解答】解：当绝对值最小时，式子有最小值，即|x﹣2|＝0时，式子最小值为0+1＝1．故选：B．【变式3-1】．（2023秋•邵阳县校级月考）当a＝ 时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为 ．【分析】分a＜1、a＝1和a＞1三种情况讨论求出5﹣|a﹣1|≤5，问题随之得解．【解答】解：当a＜1时，a﹣1＜0，即5﹣|a﹣1|＝5﹣（1﹣a）＝4+a，∵a＜1，∴5﹣|a﹣1|＝4+a＜5；当a＝1时，a﹣1＝0，即5﹣|a﹣1|＝5；当a＞1时，a﹣1＞0，即5﹣|a﹣1|＝5﹣（a﹣1）＝6﹣a，∵a＞1，∴﹣a＜﹣1，∴5﹣|a﹣1|＝6﹣a＜5；综上：5﹣|a﹣1|≤5，当且仅当a＝1时，5﹣|a﹣1|有最大值，最大值为5，解法二：∵|a﹣1|≥0，∴5﹣|a﹣1|≤5，∴当a＝1时，5﹣|a﹣1|的值最大，最大值为5．故答案为：1，5．【变式3-2】．（2023秋•西安校级月考）当x满足 条件时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是 ．【分析】根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．【解答】解：由题意可知：当﹣3≤x≤2时，|x﹣2|+|x+3|有最小值，这个最小值是5．故答案为：﹣3≤x≤2，5．【变式3-3】．（2023春•沙坪坝区校级月考）已知m是有理数，则|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是 ．【分析】根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值．【解答】解：∵绝对值最小的数是0，∴分别当|m﹣2|，|m﹣4|，|m﹣6|，|m﹣8|等于0时，有最小值．∴m的值分别为2，4，6，8．∵①当m＝2时，原式＝|2﹣2|+|2﹣4|+|2﹣6|+|2﹣8|＝12；②当m＝4时，原式＝|4﹣2|+|4﹣4|+|4﹣6|+|4﹣8|＝8；③当m＝6时，原式＝|6﹣2|+|6﹣4|+|6﹣6|+|6﹣8|＝8；④当m＝8时，原式＝|8﹣2|+|8﹣4|+|8﹣6|+|8﹣8|＝12；∴|m﹣2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是8．故答案为：8．【变式3-4】．（2023秋•新罗区期中）我们已经学习了一个数a的绝对值可分为两种情况：．请用你所学的知识解决下面的问题：（1）若|a﹣3|＝5，求a的值；（2）若数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），化简|a﹣2|﹣|a|；（3）当a＝ 时，|a﹣5|+|a﹣1|+|a+3|取到最小值，最小值是 ．【分析】（1）根据绝对值可得：a﹣3＝±5，即可解答；（2）根据已知范围，化简绝对值，再合并即可；（3）分四种情况讨论，即可解答．【解答】解：（1）∵|a﹣3|＝5，∴a﹣3＝±5，解得：a＝8或a＝﹣2；（2）∵数轴上表示数a的点位于﹣3与0之间（含端点），∴﹣3≤a≤0，∴|a﹣2|﹣|a|＝﹣（a﹣2）+a＝﹣a+2+a＝2；（3）当a≥5时，原式＝a﹣5+a﹣1+a+3＝3a﹣3，此时的最小值为3×5﹣3＝12；当1≤a＜5时，原式＝﹣a+5+a﹣1+a+3＝a+7，此时的最小值为1+7＝8；当﹣3＜a≤1时，原式＝﹣a+5﹣a+1+a+3＝9﹣a，此时的最小值为9﹣1＝8；当a≤﹣3时，原式＝﹣a+5﹣a+1﹣a﹣3＝﹣3a+3，这时的最小值为﹣3×（﹣3）+3＝12；综上所述当a＝1时，式子的最小值为8，故答案为：1，8．【变式3-5】．（2023秋•芙蓉区校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：（1）|5﹣（﹣2）|＝ ；（2）x是所有符合|x+5|+|x﹣2|＝7成立条件的整数，则x＝ ；（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为 ；（4）当x为整数时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为 ；（5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|的最小值．【分析】（1）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可；（2）利用题干中的绝对值的几何意义解答即可；【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7；（2）∵|x+5|+|x﹣2|＝7表示的是在数轴上x所对应的点到﹣5，2两点之间的距离之和等于7，又∵x为整数，∴x＝﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）|x﹣3|+|x﹣6|表示的是在数轴上x所对应的点到3，6两点之间的距离之和，当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3．故答案为：3；（4）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示的是在数轴上x所对应的点到1，2，3三点之间的距离之和，∵x为整数，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取得最小值，∴x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值为2．故答案为：2；（5）由（4）的结论可知：当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取得最小值，最小值为2×（1+2+...+998）＝997002．。
初一数学：绝对值化简题型辅导（1）——从题设条件找思路
初一数学：绝对值化简题型辅导（1）——从题设条件找思路
绝对值是初中代数部分的一个重要内容。
也是很多同学进入初中阶段的学习以后遇到的第一个难点，有关绝对值的化简问题，也频繁出现在各地中考及各类竞赛的试卷中，成为同学们失分的陷阱、考试的压力与学习阻力所在。
纵观这类问题的处理方法，其实，无外乎就是根据绝对值的形式脱去绝对值符号，将式子转化为不含绝对值的代数式进行化简计算！
而其核心关键便是正确判断绝对值内部式子的正负！
注意：
在处理嵌套的多层绝对值符号的化简问题时，一般是从内向外逐层化简，每一次脱去绝对值都要先判断所脱去的绝对值内的部分的正负，在根据相关性质进行化简计算。
那么如果题目中并没有给我们提供有关取值范围的信息，我们又该如何处理这类问题呢？
【总结归纳】
根据题设条件判断绝对值符号内部的代数式是正是负或是零，再能根据绝对值意义去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．如果题目中没有给出相关参数的取值范围，则需要进行分类讨论。
绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析
数学篇解题指南绝对值在化简求值问题、解方程或不等式问题中都会涉及.解答含绝对值问题的关键就在于去掉绝对值符号.一般遵循的原则是：先判断绝对值符号中式子的正负，再根据法则去掉绝对值符号.单个绝对值的问题一般比较简单，但是有的题目会同时出现多个绝对值或多重绝对值，这样就使题目变得复杂了.下面介绍几类有关绝对值的化简求值问题，供大家参考.一、含单个绝对值问题一个题目中只含有一个绝对值是最基础的题目，此时只需考虑去绝对值符号的条件，即对于任意数|a |：（1）当a >0时，|a |=a ；（2）当a =0时|a |=0；（3）当a <0时；|a |=-a .同学们在解题时应根据题设条件或挖掘隐含条件，确定绝对值符号里代数式的正负.若题目对含绝对值代数式的字母没有限制条件，须运用分类讨论的方法来解答.例1若|x |=3，|y |=2，且|x -y |=y -x ，求x +y 的值.分析：此题中|x |=3，可知x =±3；|y |=2可知y =±2.由题中|x -y |=y -x 可知y ≥x .由此可以推断，当y =2时，x 可以为±3，此时x +y =-1或5；当y =-2时，x 只能为-3，此时x +y =-5.最后综合所有情况即可得解.解：∵|x |=3，∴x =±3；同理可得y =±2，∵|x -y |=y -x ，∴y ≥x ，①当y =2时，x =-3，x +y =-1.②当y =-2时，x =-3，则x +y =-5.综合①②得x +y 的值可能是-1、-5.评注：求解此题是利用|x -y |≥0挖掘了隐含条件y ≥x ，然后确定x 和y 的可能值，简化了分类讨论的种类.同学们在求解过程中一定要仔细观察，充分挖掘题目中的隐含条件.二、含多个绝对值问题有些含有绝对值的题目中往往不止一个含绝对值的代数式，可能是两个、三个甚至是更多个含绝对值的代数式，通过“+”“-”“×”“÷”等运算符号连接.此时，去绝对值符号就需要先找出每个绝对值的零点值，再把全体实数分段，然后在每一实数段中化去绝对值符号，最后分类讨论去绝对值的结果.例2化简：|3x +1|+|2x -1|.分析：此题含有两个绝对值，要想去绝对绝对值的化简求值问题的几种类型及解法解析盐城市新洋初级中学聂玉成19数学篇值符号就要将绝对值符号内的数或式与“0”比较，然后逐个去掉绝对值符号.令3x +1=0得x =-13，同理，令2x -1=0得x =12.所以，当x 取不同的值时，两个绝对值的正负是不同的，需要分类讨论来解答.x 的取值分布如图所示：---解：令3x +1=0，得x =-13，令2x -1=0，得x =12，所以，实数轴被-13和12分为如图所示的三个部分.当x <-13时，3x +1<0，且2x -1<0，则原式=-（3x +1）+[-（2x -1）]=-5x ；当-13≤x ≤12时，3x +1≥0，且2x -1≤0，则原式=（3x +1）+[-（2x -1）]=x +2；当x >12时，3x +1>0，且2x -1>0，则原式=（3x +1）+（2x -1）=5x ；综上所述，当x <-13，原式=-5x ；当-13≤x ≤12，原式=x +2；当x >12，原式=5x .评注：此题含有两个绝对值，即含有两个零点（x =-13和x =12），在去绝对值符号时需要借助“分类讨论思想”分情况解答.特别是第二种情况，去绝对值符号时两个代数式是一正一负，务必要注意符号问题.三、含多重绝对值问题有些较为复杂的问题中含有多重绝对值符号，即绝对值符号中还有绝对值符号，我们称这种形式为多重绝对值.在求解多重绝对来解答问题.例3已知x <-3，化简：|3+|2-|1+x |||.分析：这是一个含有多重绝对值符号的问题，在求解时需要根据“由内而外”的原则逐层去绝对值.首先根据x 的范围判断出1+x <0，所以最里层绝对值|1+x |=-（1+x ）.第二层|2-|1+x ||可以转化为|2-[-（1+x ）]|=|3+x |.因为x <-3，所以3+x <0，即|2-|1+x ||=-（3+x ）.最外层|3+|2-|1+x |||可转化为|3+[-（3+x ）]|=|-x |.这样根据x 的取值范围一步步利用绝对值的代数意义即可化简.解：①最内层：∵x <-3，∴1+x <-2<0，∴|1+x |=-（1+x ），②第二层：|2-|1+x ||=|2-[-（1+x ）]|=|2+（1+x ）|=|3+x |,∵x <-3，∴3+x <0，∴|3+x |=-（3+x ），∴|2-|1+x ||=-（3+x ），③最外层：|3+|2-|1+x |||=|3+[-（3+x ）]|=|-x |，∵x <-3，∴-x >3>0，∴|-x |=-x ，∴|3+|2-|1+x |||=-x ，综合①②③可得|3+|2-|1+x |||化简后为-x .评注：此题数值比较简单，但含有多重绝对值符号.在去绝对值符号时要由内而外逐层将3个层次的绝对值符号内部的数或式同“0”作比较，大于等于“0”的直接去绝对值；小于“0”的一定要添加“-”.绝对值是中学数学中的一个重要概念，常与其他知识结合起来考查.同学们只要牢牢掌握去绝对值的基本方法，结合“由内而解题指南。
绝对值的化简
绝对值的化简 Prepared on 22 November 2020“绝对值的化简”例题解析无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a取任意有理数都有。
下面关于绝对值的化简题作一探讨。
一、含有一个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围进行化简。
如，当时化简（根据绝对值的意义直接化简）解：原式。
2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
如，化简（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是，使的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
（1）当时，则是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式。
（2）当时，则，而0的绝对值为0，所以原式或。
（3）当时，则，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式。
又如，化简此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x＋y看作一个整体未知数，找出界值，使的整体未知数的值是，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。
（1）当时，（2）当时（3）当时二、含有两个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。
如：当时，化简解：原式2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论如：化简的界值为－3，的界值为所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。
解：（1）当时（界值为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值）原式（2）当时，（第（2）种情况为小于小的界值）原式（3）当时（第（3）种情况大于小界值小于大界值）原式又如，化简此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体即把看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。
初一数学绝对值的化简和有理数的计算
第三讲：绝对值化简和有理数的计算第一部分：化简绝对值【知识点一】：采用零点分段讨论法【例1】：化简【归纳点评】虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．3．在各区段内分别考察问题．4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．【课堂练习】：化简|x+2|+|x-3|第二部分：有理数的计算一、注意事项：①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。
这样可以防止出错。
②应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。
③在进行有理数的加减法运算时，先观察有没有相加后为0的数，若有，先将它们结合起来；2 然后把同分母的数相加；若是带分数，还可以将其整数和分数部分分别结合相加；若既有小数又有分数，通常将小数化为分数（熟记一些常见的数据：0.125=____，0.25=______，0.375=____，0.75=______等）。
在进行有理数混合运算时，若有公因数，一般先提出，然后运算。
有时可以利用因数之间关系获得公因数。
在运算过程中应注意符号的变化。
二、运算顺序 三、运算技巧①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：--+-+-11622344551311638.③分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。
初一数学绝对值的化简
绝对值的化简一、同步知识梳理1、绝对值的意义（1）几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（2）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数：零的绝对值是零。
即a（a > 0）|n| = < 0（。
= 0）-a（a < 0）注：任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：-5的符号是负号，绝对值是5。
2、绝对值的性质（1）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0。
绝对值非负性的运用：如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0。
如：若同+问+同=0,则a=0, b = 0, c=0o（2）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数。
即闷2a,且同2-a（3）若同=|臼,JillJ a=b a= -（4）积的绝对值等于绝对值的积：卜而尸同小商的绝对值等于绝对值的商：（=工（b^0）6（5）某数的绝对值的平方等于这个数的平方的绝对值等于这个数的平方：\a^=\a2\=a2o3、绝对值几何意义的补充同的几何意义：在数轴上，表示数a的点与原点间的距离。
,一〃|的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离。
一、专题精讲（1）题型一、根据题设条件化简若题目已经给出未知数的取值或取值范围，则可据此条件并结合绝对值的代数意义，进行绝对值的化简。
如：已知x>2,化简|2x—3|-12一X，解：Vx>2, A2x-3>0, 2—xVO, ・“2L3|=, |2~x|=原式=变式训练1、已知 xV - L (1)化简 2一|A 一2| ： (2)化简 2—2—一2||2、已知-2WxV3,化简 |x —3|—g 第+1题型二、利用数形结合的方法化简绝对值根据数轴，我们可以确定未知数的取值范围和大小关系，进而可以判断相关代数式的正负性，从而根据绝对值 的意义去掉绝对值的符号。
例题：(1)已知：实数a, b 在数轴上的位置如图所示，化简：-,-4-- ---- ^1 4 ---- i ---- fc —L -1 a 0 b 1(2)已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：时+卜4+//+。
第2讲 绝对值的化简(教师版)
，
①当 ， ， 都是正数时，
②当 ， ， 都是负数时，
③当 ， ， 有一个负数时，
④当 ， ， 有两个负数时，
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题5
若
，求
的值．
答案 -3或1
解析 当
中有三个负数或一个负数 中有三个负数时，
当 中有一个负数时，
； ；
； ．
或． 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
例题1
、 、 在数轴上的位置如图所示，化简
．
答案 ． 解析 略 考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
设 ， ， 为非零实数，且
，
，
．化简
．
答案 解析
，
，；
，
；
，
，
所以可以得到 ， ， ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
模块二 绝对值的无条件化简
考点 零点分段法
知识导航
时，
．
答案
解析 由题：
，
，
∴ 、 、 两正一负，
∴
，
原式
．
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
作业8
已知 是非 有理数，求
．
答案
解析 若 是非 有理数，则 或 ； 当 时，
当 时，
∴
．
； ；
考点 数 > 有理数 > 绝对值 > 绝对值的性质
教师备选
若 、 、 为整数，且
，试计算
答案
解析 ， ， 均为整数，则 ， 也应为整数，且
人教版七年级数学上册第二章 培优专题绝对值的化简
的相反数；0 的绝对值是 0.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0. ④任何一个有理数都是由两部分组成的：符号和它的绝对值，如－5 的 符号是负号，绝对值是 5. 2．求字母 a 的绝对值
①|a|＝a0aa>＝00，， －aa<0.
②|a|＝a－aa≥a<00，.
③当 a，b，c 中有两个正数、一个负数时，|aa|，|bb|，|cc|中有两个＋1，一 个－1，所以和为 1；
④当 a，b，c 中有一个正数、两个负数时，|aa|，|bb|，|cc|中有一个＋1，两 个－1，所以和为－1.
综上所述，|aa|＋|bb|＋|cc|的值为±1 或±3.
已知 a，b，c 在数轴上的位置如图 2，且|a|＝|c|. (1)比较 a，－a，b，－b，c，－c 的大小； (2)化简：|a＋b|－|a－b|＋|b－c|＋|a＋c|.
已知 xy<0，x<y，且|x|＝1，|y|＝2.求： (1)x 和 y 的值； (2)x－13＋(xy－1)2 的值． 解：(1)因为|x|＝1，所以 x＝±1. 因为|y|＝2，所以 y＝±2. 因为 x<y，所以 y＝2. 因为 xy<0，所以 x，y 异号，所以 x＝－1. 所以 x＝－1，y＝2.
图2
解：(1)(解法一)：根据表示互为相反数的两个点在数轴上的位置关系， 分别找出－a，－b，－c 对应的点如答图，由图上的位置关系知，－b>a＝－ c>－a＝c>b.
变形 3 答图 (解法二)：由题图知，a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， 所以－b>a＝－c>－a＝c>b.
(2)因为 a>0，b<0，c<0，且|a|＝|c|<|b|， 所以 a＋b<0，a－b>0，b－c<0，a＋c＝0. 所以|a＋b|－|a－b|＋|b－c|＋|a＋c| ＝－(a＋b)－(a－b)－(b－c)＋0 ＝－a－b－a＋b－b＋c ＝－2a－b＋c.
绝对值的化简
“绝对值的化简”例题解析无论是从绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说任何一个有理数的绝对值都是非负数，即：无论a取任意有理数都有。
下面关于绝对值的化简题作一探讨。
一、含有一个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围进行化简。
如，当时化简（根据绝对值的意义直接化简）解：原式。
2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简。
如，化简（必须进行讨论）我们把使绝对值符号内的代数式为0的未知数的值叫做界值，显然绝对值符号内代数式是，使的未知数的值是5，所以我们把5叫做此题的界值，确定了界值后，我们就把它分成三种情况进行讨论。
（1）当时，则是一个正数，则它的绝对值应是它本身，所以原式。
（2）当时，则，而0的绝对值为0，所以原式或。
（3）当时，则，是一个负数，而负数的绝对值应是它的相反数，所以原式。
又如，化简此题虽含有一个绝对值符号，但绝对值符号内出现了两个未知数，在这种情况下，我们把含有两个未知数的式子看作一个整体，即把2x ＋y看作一个整体未知数，找出界值，使的整体未知数的值是，我们把6叫做此题的界值，这样又可分三种情况进行讨论。
（1）当时，（2）当时（3）当时二、含有两个绝对值符号的化简题1.已知未知数的取值或取值范围，进行化简也应根据绝对值的意义直接化简。
如：当时，化简解：原式2.没有告诉未知数的取值或取值范围进行化简也必须进行讨论如：化简的界值为－3，的界值为所以对此类化简题，我们仍从三个方面进行讨论。
解：（1）当时（界值为较大界值，讨论的第（1）种情况为大于大的界值）原式（2）当时，（第（2）种情况为小于小的界值）原式（3）当时（第（3）种情况大于小界值小于大界值）原式又如，化简此题含有两个绝对值符号，且每个绝对值符号内含有两个未知数，且未知数对应项系数相等或成比例，在这种情况下，我们把含有未知数较小的那个式子看作一个整体即把看作一个整体分别求出每个绝对值符号内的界值，仍从三个方面进行讨论。
【例题讲解】利用绝对值的性质化简求值例完整版课件
再见
①寻找所有零点，并在数轴上表示；
1
2
②当x＜1时，原式＝﹣(x-1)－(x-2)=－2x＋3；
②依据零点将数轴进行分段；
x
1
2
③分别根据每段未知数的范围去绝对值符号．当1≤x＜2时， 原式＝（x－1）－（x－2）＝1；
易错点：分类不明确，不会去绝对值．
1
x
2
当x≥2时，原式＝(x-1)+(x-2)=2x－3．
1
2
x
例 a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a|－|b|＋|c|－|b－a|＋|c－a|－|b－c|．
分析
b＜a＜0＜c
b a0
c
b－a＜0，c－a＞0，b－c＜0
化简求值
解答 根据数轴可得：b＜a＜0＜c，则b－a＜0，c－a＞0，b－c＜0， 所以|a|－|b|＋|c|－|b－a|＋|c－a|－|b－c| ＝－a＋b＋c＋（b－a）＋（c－a）＋（b－c） ＝－a＋b＋c＋b－a＋c－a＋b－c ＝－3a＋3b＋c 本题主要考查根据数轴提供的信息，运用绝对值的代数意义对含绝对值的式子进行化简求 值．关键点就是要确定绝对值符号内的式子的正负性．
利用绝对值的性质化简求值
绝对值的性质（有范围限定的绝对值题型）
（1）非负性：|a|≥0
（2）双解性：|a|＝b（b≥0），则a＝±b．
a （3）绝对值的代数意义：| a | 0
a
(a 0) (a 0) (a 0)
变式结论：①若|a|＝a，则a≥0； ②若|a|＝－a，则a≤0．
对应题型：绝对值的化简．
步骤： ①判断“| |”里面整体的正负性． ②根据绝对值的性质去掉“| |” ③合并整理求值
初一数学关于绝对值化简的计算问题你看懂了吗
题目：探究初一数学中关于绝对值化简的计算问题在初中数学学习中，绝对值化简是一个较为基础但又颇具挑战的问题。
在这篇文章中，我将会对初一数学中关于绝对值化简的计算问题进行全面评估，并向您介绍一些我个人的理解和观点。
希望通过这篇文章，您能对该问题有一个更加深入的理解。
1. 了解绝对值的定义让我们来了解一下绝对值的定义。
在数学中，绝对值是一个数距离零点的距离，无论这个数是正数还是负数。
通常用两个竖线表示，例如|2| = 2，|-2| = 2。
这是初次接触绝对值化简问题的重要基础。
2. 绝对值计算的基本规律在进行绝对值化简时，我们需要掌握一些基本的计算规律。
当绝对值内部是正数时，直接去掉绝对值符号即可；当绝对值内部是负数时，去掉绝对值符号的同时改变符号；当绝对值内部含有变量时，要根据变量的取值范围进行讨论。
通过掌握这些规律，我们能更加灵活地进行绝对值的化简。
3. 绝对值不等式的应用绝对值不等式的应用是绝对值化简问题中的一个重要内容。
在解决绝对值不等式时，我们需要根据不等式的形式，进行绝对值的分类讨论。
当原不等式为|ax + b| < c时，我们需要根据ax + b的正负情况进行分类讨论。
掌握这一部分内容对于理解和解决绝对值化简问题至关重要。
4. 个人理解与观点在我看来，绝对值化简问题并不难，关键在于掌握基本规律和练习多做题目。
通过不断的练习和总结，我们能够更加熟练地应用绝对值化简的方法，提高解题的准确性和速度。
我认为在学习过程中，要注意理解绝对值的几何意义和应用场景，这有助于我们更加深入地理解绝对值的概念。
总结回顾通过本文的探讨，我们对初一数学中关于绝对值化简的计算问题有了一个全面的了解。
我们了解了绝对值的定义和基本规律，我们介绍了绝对值不等式的应用和个人观点。
绝对值化简问题并不难，关键在于掌握基本规律和不断练习，同时理解其几何意义和应用场景也是非常重要的。
在学习过程中，我们可能会遇到一些困惑和疑惑，但只要坚持下去，相信每个人都能够轻松应对各种绝对值化简问题。
初一上册数学绝对值化简 (1)
绝对值的知识是初中代数的重要内容， 在中考和各类竞赛中经常出现， 含有绝对值符号 的数学问题又是学生遇到的难点之一， 解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义， 将绝 对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以 去掉绝对值符号的方法大致有三种类型．
一、根据题设条件去绝对值符号
3 x x 3 ⑷ 综述：原式 ． x 3 x ≥ 3
3 x x 3 【答案】原式 x 3 x ≥ 3 【总结】虽然 3 x 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段 讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．找零：分别令所有绝对值符号内的代数式为零，求出所有零点． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴划分为若干个区间，使在各区间内每个 绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．讨论：根据每个区间的范围来去掉所有绝对值符号． 4．综述：将各区间内的情形综合起来，得到问题的答案．
等于 0，然后找出零点．
【例6】 化简
x 1 2
【解析】⑴ 找零： x 1 0 ， x 1 ． x 1 2 0 ， x 1 2 ， x 1 2 或 x 1 2 ，可得 x 3 或者 x 1 ； 综上所得零点有 1， 1 ，3； ⑵ 分段： 三个零点共可将数轴分成四段． ：x 1 、1≤ x 1 、1≤ x 3 和 x 3 ； ⑶ 讨论：根据每个区间的范围分类讨论去绝对值符号； ① x ≥ 3 ，x 1 0 ， x 1 2 ≥ 0 ， x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 3 ； ② 1≤ x 3 ， x 1 0 ，x 1 2 0 ， x 1 2 2 x 1 2 x 1 3 x ； ③ 1≤ x 1 ，x 1 0 ，x 1 2 0 ， x 1 2 2 x 1 2 x 1 x 1 ； ④ x 1 ，x 1 0 ， x 1 2＞0 ， x 1 2 x 1 2 1 x 2 x 1．
专题02 绝对值化简的三种考法(原卷版)
专题02 绝对值化简的三种考法【知识点精讲】
1. 绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作a 2. 绝对值的性质
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a≥0，即：
,0
0,0
,0
a a
a a
a a
>
ì
ï
==
í
ï-<
î
互为相反数的两个数绝对值相等
3. 绝对值与数的大小
1）正数大于0，0大于负数。
2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b -a 0； c -(2)化简：2b a c b a c
----+类型二、分类讨论化简
类型三、几何意义化简绝对值
课后训练①(1)(1)(1)0a b c ---<；②a b b c a -+-=-
(1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，
(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|。
【初一专题】绝对值的化简
【初一专题】绝对值的化简【考点回顾】（1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作｜a ｜.（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.【注意】①取绝对值也是一种运算，运算符号是“｜｜”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如-5符号是负号，绝对值是5.（3）求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ （4）利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.（5）绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若｜a ｜+｜b ｜+｜c ｜=0，则a=0，b=0，c=0.（6）其它重要性质：①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即｜a ｜≥a ，且｜a ｜≥-a ； ②若｜a ｜=｜b ｜，则a=b 或a=-b ； ③ab a b =⋅；a a b b=(0)b ≠； ④｜a ｜²=｜a ²｜=a ²；⑤｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜，对于｜a+b ｜≤｜a ｜+｜b ｜，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a+b ｜，等号当且仅当a 、b（7）绝对值的几何意义：当x=a 时，｜x-a ｜=0，此时a 是｜x-a ｜的零点值．｜a ｜的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．｜a-b ｜的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．【分类强化】（一）分类讨论1．已知5,3==y x ，求y x +的所有可能值。
专题06 难点探究专题：化简绝对值压轴题四种模型全攻略(解析版)
专题06难点探究专题：化简绝对值压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用数轴化简绝对值】 (1)【考点二分类讨论化简绝对值】 (5)【考点三利用几何意义化简绝对值】 (9)【考点四解含绝对值的方程】 (19)【典型例题】【考点一利用数轴化简绝对值】【答案】0【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：(1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”）【考点二分类讨论化简绝对值】【变式训练】【考点三利用几何意义化简绝对值】(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是由数轴得：-+++-154 a a a()=++-a9334由数轴得：154369-+++-=+=；a a aa a a-+++-=+=；1543912-+++-=+=；a a a1546915【变式训练】1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为62-＝；表示最大值为()23311-⨯-=，故答案为：11．【点睛】本题主要考查了绝对值与数轴的综合运用，解题的关键是理解绝对值的几何意义．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）同学们都知道，|51|-表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；|3(2)|--表示3与2-之差的绝对值，实际上也可理解为3与2-在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对|3(2)|--进行变式得|32|+，同样可以表示3与2-两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)|3(2)|--=__________；(2)|2|x -表示x 与__________之间的距离；|3|x +表示x 与__________之间的距离；(3)当|2||3|5x x -++=时，x 可取整数__________．（写出一个符合条件的整数x 即可）(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x ，|4||6|x x ++-的最小值为__________．【答案】(1)5(2)2，3-(3)2（答案不唯一）(4)10【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可；（4）根据数轴及绝对值，即可解答．【详解】（1）解：|3(2)|--表示数轴上表示3的点到表示2-的点的距离，即为5．故答案为5．（2）解：|2|x -表示x 与2之间的距离；()|3||3|x x +=--表示x 与3-之间的距离．故答案为：2，3-．（3）解：∵|2||3|5x x -++=表示数轴上有理数x 所对应的点到2和3-所对应的点的距离之和为5，∴当x 在3-与2之间的线段上（即32x -≤≤），∴x 可取整数3,2,1,0,1,2---．故答案为：2（答案不唯一）．（4）解：∵|4||6|x x ++-理解为：在数轴上表示x 到4-和6的距离之和，【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－答：便民服务点P建在点B或点C处或点B点C之间，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是10km．【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键．【考点四解含绝对值的方程】【变式训练】。
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绝对值化简问题的归类分析
绝对值化简是初中数学中的难点之一，本文将此类问题大致归纳为以下十种情况，进行举例分析.
一、已知不等式的解集，化简绝对值
例1 已知:1x <-，化简:3113x x +--.
分析 要去掉题中绝对值，明确31x +,13x -的符号是关键.这里根据条件，运用不等式的性质就可以得出求出31x +,13x -的符号.根据不等式的性质2，由1x <-，得33x <-.又根据不等式的性质1，得312x +<-，这就确定了31x +的符号为负号.
同理，根据不等式的性质3，由1x <-，得33x ->.又根据不等式的性质1，得134x -> ，所以得出13x -的符号为正号，这样就可以轻松化简.
解 1x <-，
3120,1340x x ∴+<-<->>,
∴原式=(31)(13)31132x x x x -+--=---+=-.
二、求出不等式的解集后，再化简绝对值
例2 已知2(1)3x x -<-，化简:242x x +---.
分析 要去掉绝对值，就得知道2x +, 42x --的符号.要知道2x +, 42x --的符号就得知道x 的解集，要知道:的解集就要运用不等式的解法求出其解.求出x 的解集后，由例1的方法就可以确定2x +, 42x --的符号，进而化简绝对值.
解 由2(1)3x x -<-,
解得2x <-
20x ∴+<，420x -->
∴原式(2)(42)2x x x =-+---=+
三、已知不等式的解集，化简多重绝对值
例3 已知3x <-，化简:321x +-+
分析 要去掉绝对值符号，我们只能从最里面一层一层的去掉.先根据不等式的性质，用例1的方法判断1x +的符号，去掉第一个绝对值，然后再合并同类项后判断符号，去掉第二个绝对值，最后去掉第三个绝对值.解答本题的关键是确定去绝对值符号的顺序.
解 3x <-
120x ∴+<-<
∴原式32(1)33x x =+---=++
3x <-
30x ∴+<
∴原式3(3)x x =+--=-
3x <-
30x ∴->>
∴原式x =-
四、已知不等式组的解集，化简绝对值
例4 23x -<<，化简:23x x +--
分析 要去掉绝对符号，只要知道2x +，3x -的符号即可.但是与上面的例题的情况 不一样，这是不等式组的解集，该如何用呢?实际上只要我们按照不等式的性质代进去一试结论就有了.根据不等式的性质1，由23x -<<，得021x <+<.同样可以确定2x +的符号为正号.又根据不等式的性质，由23x -<<，得530x -<+<，可以确定3x -的符号为负号.这样去绝对值符号就迎刃而解.
解 23x -<<
∴021x <+<，530x -<+<
∴原式2(3)21x x x =+--=-
五、解答不等式组，再化简绝对值
例5已知不等式组41521
22x x x ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<-+⎪⎩ 化简451x x +--
分析 要去掉绝对值同样得知道45x +，1x -的符号.运用解不等式组的方法求得x 的 解集是关键，最后运用例4的方法确定45x +，1x -的符号，就可以化简绝对值.
解 解不等式①，得54
x >-
. 解不等式②，得1x < 514
x ∴-<< 0459x ∴<+<，9104
x -<-< ∴原式45(1)54x x x =+--=+
六、已知不等式组的解集，变形二次根式后再化简绝对值
例6已知01x <<，化简:2x +
分析 本题涉及到了二次根式的性质a =a =的运用.解答时先将二
次根式变形，进行第一次化简，再根据不等式的性质确定绝对值内的式子的符号，最后就可以化简绝对值.
解 原式(1)1(2)x x x x =+-----
01x <<
110x ∴-<-<，221x -<-<-
∴原式1(1)(2)22x x x x x =+-----=-
七、解不等式组。
再变形二次根式化简绝对值
例7已知53220m m +>⎧⎨-<⎩
化简1m -分析 本题涉及了一元一次不等式组的解法，二次根式的性质a =的运用.解答
时，先求出m 的解集，再将二次根式转化为绝对值，由不等式的性质确定绝对值内的代数式的符号，就可以由绝对值的性质化简.
解 原式121m m m =-++--
由不等式①，得2m >-.
解不等式②，得1m <
21m ∴-<<
310m ∴-<-<，023m <+<，013m <-<
∴原式(1)211(2)(1)2m m m m m m m =--++--=-+++--=+
八、由方程组的解建立不等式组，求出解集，再化简绝对值
例8已知关于x 、y 的方程组3612x y a x y a -=+⎧⎨+=--⎩
的解满足0y x <≤，试化简： 31a a -++
分析 要去掉绝对值，得知道a 的解集.必须先求出二元一次方程组的解，由二元一次方程组的解建立不等式组，求出a 的解集，最后根据不等式的性质结合零点分段法分类讨论，确定3a -，的1a +符号，就可以化简绝对值.
解 由①+②，得226x y =-
3x y ∴=-
把③代人②，得29y a =--
329
x a y a =-⎧∴⎨=--⎩
293
30
a a a --<-⎧∴⎨-≤⎩ 解得23a -<≤
530a ∴-<-≤
当13a -≤≤时，014a ≤+≤
∴原式314a a =-++=
当21a -<<-时， 110a -<+<
∴原式3(1)22a a a =-+--=-+
九、由二次根式性质求不等式的解集，根据二次根式的性质变形为绝对值，再化简
例9已知x 、y 为实数，且3y <，化简:3y --分析 要解答此题，最终还是要化简绝对值.先根据二次根式的性质求出y 的解集;再将
a =将二次根式转化为绝对值;最后由不等式的性质确定绝对值里面的式子的符号即可.
解 由题意，得
10110
x x x -≥⎧∴=⎨-≤⎩
3y <
3y ∴<
30y ∴-<，41y -<-
∴原式(3)343(4)y y y y y =--=-+--=-+--
341y y =-+-+=-
十、由二次根式的性质建立不等式组求出解集，再变形为绝对值化简
例10 化简:223x --.
分析 要化简此题，需要运用二次根式的性质a =a =变形，再运用隐含条件10x -≥，20x +≥建立不等式组求出x 的解集，并运用完全平方公式将二次根式变形后转化为绝对值.最后由不等式的性质判断绝对值里面的式子的符号，就可以去掉绝对值符号，进而达到化简目的.
解 由题意，得
20
x ⎨+≥⎩ 解得21x -≤≤
235x ∴≤-≤，6220x -≤-≤
∴原式1(2)(3)12223x x x x x x x =--+-=-----+-
32(22)3222x x x x x =-+--=-+-+=-
综上，绝对值的化简问题一般与不等式或不等式组、二次根式等综合在一起，以增加化简的难度.但是无论怎样情形，万变不离其宗，只要大家熟练掌握不等式的性质、二次根式的性质和绝对值的性质，灵活运用这些性质进行变形、化简，确定绝对值内的代数式的符号，那么绝对值化简的问题也不难.。