定义命题学案

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高中数学命题导入教案

高中数学命题导入教案
一、教学目标：
1. 知识目标：了解数学命题的概念和性质，掌握数学命题的基本表达形式和常见逻辑联结词的使用方法。

2. 能力目标：培养学生分析和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和表达能力。

3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究和创新的精神。

二、教学重点和难点：
1. 重点：数学命题的概念和性质，基本表达形式和常见逻辑联结词的使用方法。

2. 难点：理解命题的复合式表达和推理过程。

三、教学过程：
1. 导入（10分钟）
教师简要介绍数学命题的概念和与日常生活中常见表达方式的异同，引导学生思考什么是数学命题以及如何判断一个表达句子是否为数学命题。

2. 提出问题（10分钟）
教师提出一些简单的命题问题，让学生结合生活实例进行讨论和解答，引导学生明确各种命题的类型和特点。

3. 知识讲解（20分钟）
教师对数学命题的定义、基本表达形式、逻辑联结词等进行详细介绍和讲解，帮助学生理解数学命题的构成和逻辑结构。

4. 练习与讨论（15分钟）
教师给学生一些练习题，让学生运用所学知识进行分析和推理，进行小组讨论和解答，并及时纠正错漏。

5. 总结与拓展（15分钟）
教师对本节课的内容进行总结，强调数学命题的重要性和应用价值，引导学生拓展思维，解决更复杂的问题。

四、课后作业：
1. 完成课堂练习题，巩固所学知识。

2. 思考并总结本次课程的重点和难点，提出疑问并在下节课时与教师讨论。

3. 尝试从生活中寻找更多的数学命题，并进行分析与验证。

湘教版学案 1.1.1 命题的概念和例子

1．1.1命题的概念和例子1．1命题及其关系1．了解命题、真命题、假命题的概念．2．了解命题的特点，会判断一个语句是不是命题以及命题的真假性．1．在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？答：判断一件事情的句子叫命题．如：有两边相等的三角形是等腰三角形．2．怎样判断命题的真假？答：看命题是否正确，要看它是否与客观事实相符合．1．可以判断成立或不成立的语句叫作命题，成立的命题叫作真命题，不成立的命题叫作假命题．2．暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．要点一命题的判断例1下列语句是命题的是()A．x－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树答案 B解析A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假．跟踪演练1判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x－2>0；(3)集合{a，b，c}有3个子集；(4)这盆花长得太好了！解(1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的，因此它是命题．(2)因为无法判断“x－2>0”的真假，所以它不是命题．(3)“集合{a，b，c}有3个子集”是假的，所以它是命题．(4)“这盆花长得太好了！”是感叹句，它不是命题．要点二命题真假的判断例2判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；(5)方程x2－2x＋5＝0无实数解．解(1)负数都是小于零的，因此“任何负数都大于零”是不正确的，所以它能构成命题，而且这个命题是个假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的，本题无法判定△ABC与△A1B1C1是否为全等三角形，所以它不是命题．(3)因为x是未知数，无法判断x2＋x是否大于零，所以“x2＋x>0”这一语句不是命题．(4)6确实是所给方程的解，所以它是命题，是真命题．(5)由于给定方程x2－2x＋5＝0，我们就可以用其判别式来判断它是否有实数解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知，“方程x2－2x＋5＝0无实数解”是命题，且是真命题．规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在证明时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．跟踪演练2下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．答案①④解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③平行四边形不是梯形．1．下列语句不是命题的有()①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题中的真命题是()A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角答案 C解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．3．语句“若a>b，c∈R，则a＋c>b＋c”是()A．不是命题B．真命题C．假命题D．不能判断真假答案 B解析考查不等式的性质，不等式两边都加上同一个实数不等式仍然成立．4．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．答案 4解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线互相垂直．矩形的对角线不一定垂直．1．由命题的定义知，要判断一个语句是否为命题要抓住两点：一是陈述句；二是能判断真假．2．命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可．。

【学案】定义与命题

【学案】定义与命题
学习目标：1.了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题.
2.了解命题中的真命题、假命题的定义.
学习重点：对命题语句特征的判断[来源:学|科|网Z|X|X|K]
学习难点：对命题语句特征的判断
学习过程：
课前热身：1.下面的句子是定义的是〔〕
A.对顶角相等B两点之间的线段长度叫做两点之间的距离[来源:学#科#网Z#X#X#K]
C.任何一个三角形一定有直角
D.锐角都小于钝角
2.以下句子中是命题的是〔〕
A、美丽的天空 B.过直线m外一点作直线m的平行线
C.你的作业做完了吗
D. 所有的合数都是偶数
3. 以下句子中，哪些是命题，哪些不是命题[来源:1ZXXK]
〔1〕对顶角相等[来源:学。

科。

网]
〔2〕如果a是有理数，那么1
2
a＞0；
〔3〕两个锐角和大于直角[来源:1]
〔4〕任何一个三角形一定有直角
〔5〕1是质数
〔6〕不相交的两条线叫做平行线
〔7〕奇数一定是质数吗？
〔8〕画一个半径是1cm的圆
〔9〕任何数的绝对值都是正数[来源:1ZXXK]
〔10〕两点能确定一条直线吗？
自主学习：命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。

作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应表达完整。

从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使句、疑问句或感叹句.
课堂小结：
布置作业：习题7.2教学反思：
学生反思：。

定义命题互逆命题学案

12054 定义、命题、互逆命题学习目标：1.掌握定义、命题、基本事实、和定理等概念2.知道命题的结构，会判断命题的真假，能写出一个命题的逆命题教学重点：能够对一些命题进行证明教学难点：有条理的进行证明教学过程：1.对名称和术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义例1．“在同一平面内不相交的两条直线” 是 “ ”的定义;“符号不同、绝对值相等的两个数” 是 “ ”的定义;“能够完全重合的图形” 是“_______ ”的定义2.判断某一件事情的句子叫做命题例2．下列句子中，哪些是命题哪些不是命题⑴对顶角相等； ⑵画一个角等于已知角；⑶两直线平行，同位角相等； ⑷a 、b 两条线段相等吗(5)王伟是聪明的 (6)若42=a ，求a 的值(7)若22b a =，则a ＝b3. 每个命题都由条件和结论两部分组成。

条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项例3．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：⑴三条边对应相等的两个三角形全等条件是：结论是：改写成：(2)对顶角相等条件是：结论是：改写成：（3）两直线平行，同位角相等条件是：结论是：改写成：4.如果命题的条件成立，那么结论也成立．像这样的命题叫做真命题.命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.例4．判断下列命题是真命题还是假命题（1)如果两个角相等,那么它们是对顶角 (2)菱形的四条边都相等(3)若两个数互为相反数，则这两个数的绝对值相等 (4)如果a >b,b >c ,那么a =c;(5)全等三角形的面积相等 (6)对顶角相等5．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

6.每个命题都有逆命题吗＿＿＿判断一个命题是假命题，只需＿＿＿＿＿＿＿＿.原命题成立，它的逆命题一定成立吗＿＿＿请举一例：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.例5.说出下列命题的逆命题.(1)对顶角相等；(2)如果22b a ，那么a=b ；(3)直角三角形的两个锐角互余；(4)轴对称图形是等腰三角形；(5)正方形的4个角都是直角.课堂练习：1.下列句子中，哪些是命题哪些不是命题（1）正数大于一切负数吗（2）两点之间线段最短。

命题的形式及推出关系学案

命题的形式及推出关系学案学习目标：1、正确理解命题的概念，会判断命题的真假2、理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其它三种形式3、通过对四种命题之间关系的学习，让学生发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力学习重点：四种命题形式一、复习回顾1、什么叫做命题？什么叫做真命题和假命题？2、下列语句哪些不是命题，哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（课本例题）（1）个位数是5的自然数能被5整除；（2）凡直角三角形都相似；（3）上课请不要讲话；（4）互为补角的两个角不相等；（5）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；（6）你是高一学生吗？例1、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式（1）若A B ⊆,B C ⊆,则A C ⊆；（2）对顶角相等；（3）和为0的两个数互为相反数。

二、推出关系1、定义：2、αβ与等价：3、传递性：例2、用符号“⇒”或“⇐”或“⇔”把各小题的αβ、这两件事联系起来。

（1）α：实数x 满足29x =，β：33x x ==-或。

（2）α：=A B U ，β：A U B U ==或（U 为全集）。

（3）α： A B ⊆，β：A B A = 。

（4）α：0ab =，β：0a =。

（5）α：6x >，β：8x ≥。

三、四种命题1、概念引入：请同学们观察下列命题，指出命题（1）和（2）、（3）、（4）中的条件和结论有什么关系？（1）同位角相等，两直线平行；（2）两直线平行，同位角相等；（3）同位角不相等，两直线不平行；（4）两直线不平行，同位角不相等。

（1）对任意实数x，都有20x≥；（2）若3x=，则27120x=且4-+=；x x（3）如果0a c<，那么20++=有实数根；ax bx c（4）若0+<，则00m n或；<<m n（5）一元二次方程20++=至少有一个实根。

高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案

1.1.1 命题[提出问题] 观察下列语句：(1)三角形的三个内角的和等于360°. (2)今年校运动会我们班还能得第一吗？ (3)这是一棵大树呀！ (4)实数的平方是正数．(5)能被4整除的数一定能被2整除．问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？提示：(1)(4)(5)．问题2：你能判断它们的真假吗？提示：能，(5)真，(1)(4)为假． [导入新知]命题⎩⎪⎨⎪⎧定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句分类：⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句形式：“若p ，则q ”.其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论[化解疑难]1．判断一个语句是命题的两个要素：(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； (2)可以判断真假．2．命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．命题的判断[例1] (1)π3是有理数；(2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x 2－x ＋7＞0.[解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)因为x 2－x ＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋274＞0，所以“x 2－x ＋7＞0”是真的，故是命题．[类题通法]判断语句是不是命题的策略判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．[活学活用]判断下列语句是否为命题，并说明理由． (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x ＞3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题． (2)是陈述句，能判断真假，是命题． (3)不是陈述句，不是命题．(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.判断命题的真假[例2] (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x ＝4时，2x ＋1＜0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x ＝4不满足2x ＋1＜0.(3)是真命题，x ＝3或x ＝7能得到(x －3)(x －7)＝0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a 1＜0，公比q ＞1时，该数列为递减数列． [类题通法]命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．[活学活用]下列命题中真命题有( )①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个 C．3个D．4个解析：选A ①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x 轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．命题的结构形式[例3](1)6是12和18的公约数；(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题．[类题通法](1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．[活学活用]把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1.是真命题．(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．1.命题条件不明致误[典例] 将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有a2＞b2”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．[解] 根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则a2＞b2.其中条件p：a＞b，结论q：a2＞b2.[易错防范]1．易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．[成功破障]把命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有log2a＞log2b”写成“若p，则q”的形式．解：“若p，则q”的形式：已知a，b为正数，若a＞b，则log2a＞log2b.[随堂即时演练]1．下列命题中是真命题的是( )A．若ab＝0，则a2＋b2＝0B．若a＞b，则ac＞bcC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M解析：选D A项中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B项中，c≤0时不成立；C项中，M∩N＝M说明M⊆N.故选项A、B、C皆错误．2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是( )A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c解析：选B a ·b ＝0，在a ，b 为非零向量时可得a ⊥b ；a 2＝b 2可改写为|a |2＝|b |2，只能得出|a |＝|b |；a ·b ＝a ·c ，可移项得a ⊥(b －c )，不可两边同除以向量．3．命题“函数y ＝2x ＋1是增函数”的条件是____________，结论是__________________．答案：函数为y ＝2x ＋1 该函数是增函数 4．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数； ②二次函数的图象与x 轴有公共点； ③平行四边形是梯形； ④若a c ＞b c ，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④5．已知命题p ：x 2－2x －2≥1；命题q ：0＜x ＜4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0＜x ＜4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.故满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．[课时达标检测]一、选择题1．下列语句不是命题的有( )①若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；②x ＞2；③3＜4； ④函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)在R 上是增函数． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．2．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A ①错；②中，x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直．3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，则a，b有可能异面．5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A．4 B．2 C．0 D．－3解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故a＝0时适合条件．二、填空题6．下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________．(写出序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有考虑在同一个三角形内； ④是真命题； ⑤祈使句，不是命题．答案：②③④ ④7．命题“若a ＞0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p ：________，结论q ：________________________.它是________(填“真”或“假”)命题．解析：a ＞0时，设a ＝1，把(0,0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．答案：a ＞0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真8．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵ax 2－2ax －3＞0不成立， ∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0.综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假，且指出p 和q 分别指什么． (1)乘积为1的两个实数互为倒数； (2)奇函数的图象关于原点对称； (3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数．它是真命题．p ：两个实数乘积为1；q ：两个实数互为倒数．(2)若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称．它是真命题．p ：一个函数为奇函数；q ：函数的图象关于原点对称．(3)若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行．它是假命题，这两个平面也可能相交．p ：两个平面与同一条直线平行；q ：两个平面平行．10．已知A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4.若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x ＞1，则x ＞25”．。

人教版高一数学第一章 2《命题、充分条件与必要条件》复习学案+检测

人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习学案【学习目标】1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．【新知探究·夯实知识基础】1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且p⇒/qp是q的必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p [常用结论]1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A Bp是q的必要不充分条件B Ap是q的充要条件A＝B[学练结合]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题． ()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．()[解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4C[“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[x＜⇒/－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]【题型探究·突破重点难点】题型一四种命题的相互关系及真假判断[题组集训]1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0 C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0 D[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题B[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若1x＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是() A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福D[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．2[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．提醒：当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分、必要条件的判断(多维探究)【例1】(1)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)B(2)A[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则ba＝dc，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则ab＝cd，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由N M知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.][规律方法]充分条件和必要条件的三种判断方法(1)定义法：可按照以下三个步骤进行①确定条件p是什么，结论q是什么；②尝试由条件p 推结论q ，由结论q 推条件p ；③确定条件p 和结论q 的关系.(2)等价转换法：对于含否定形式的命题，如﹁p 是﹁q 的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q 是p 的什么条件.(3)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”应是“q 推出p ，而p 不能推出q ”.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x ＞1或x ＜－3，条件q ：5x －6＞x 2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)由x 3＞8可得x ＞2，从而|x |＞2成立，由|x |＞2可得x ＞2或x ＜－2，从而x 3＞8不一定成立．因此“x 3＞8”是“|x |＞2”的充分而不必要条件，故选A.(2)由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，即q ：2＜x ＜3.所以q ⇒p ，pq ，从而q 是p 的充分不必要条件．即p 是q 的充分不必要条件，故选A.]题型三充分、必要条件的应用(多维探究)【例2】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) (2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1.由p 是q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3. 故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.][规律方法] 利用充要条件求参数的关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.数m 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[－1,2](2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.(1)A (2)3或4 [(1)由题意知(－1,4)(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n ≥0，即n ≤4时，方程x 2－4x ＋n ＝0的两根为x ＝4±16－4n 2＝2±4－n .又n ∈N *，且n ≤4，则当n ＝3,4时，方程有整数根．]人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测一、选择题1．“a<0，b<0”的一个必要条件为()A．a＋b<0B．a－b>0C.ab>1 D．ab<－12．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．命题p的逆命题是“若x<2ab，则x<a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的() A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．45．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是() A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b6．等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④10．已知命题p：|x＋1|>2；命题q：x≤a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a 的取值范围是()A．(－∞，－3) B．(－∞，－3]C．(－∞，1) D．(－∞，1]11．“x<m－1或x>m＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0,2]B．(0,2)C．[0,2) D．(0,2]二、填空题12．命题“若x2－x≥0，则x>2”的否命题是___________________________．13.设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．14．有下列几个命题：①“若a>b，则1a>1b”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．人教版高一数学必修一第一章集合与常用逻辑用语2《命题、充分条件与必要条件》复习检测解析一、选择题1．“a<0，b<0”的一个必要条件为()A．a＋b<0B．a－b>0C.ab>1 D．ab<－1【答案】A【解析】若a<0，b<0，则一定有a＋b<0.故选A.2．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是() A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．命题p的逆命题是“若x<2ab，则x<a2＋b2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”【答案】C【解析】命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”，故C正确，D错误．3．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的() A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选A.4．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．4【答案】C【解析】当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题的个数为2.5．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是() A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是：若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b.故选C.6．等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“a3<a6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列{a n}的公比为q.若a1<a3，∴a1<a1q2，∴q2>1，若q<－1，则a3＝a1q2>0，a6＝a1q5<0，∴a3<a6不成立；若a3<a6成立，则a1q2<a1q5，又a1>0，∴q3>1，∴q>1，∴a1<a3成立，综合可知，“a1<a3”是“a3<a6”的必要不充分条件．故选B.7．对于实数x，y，若p：x＋y≠4，q：x≠3或y≠1，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由于命题“若x＝3且y＝1，则x＋y＝4”为真命题，可知该命题的逆否命题也为真命题，即p⇒q.由x≠3或y≠1，但x＝2，y＝2时有x＋y＝4，即q⇒/p．故p是q的充分不必要条件．故选A.8．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC ⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④【答案】D【解析】一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理知④为真命题．10．已知命题p ：|x ＋1|>2；命题q ：x ≤a ，且¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－3]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 【答案】A【解析】命题p ：|x ＋1|>2，即x <－3或x >1.∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，∴{x |x ≤a }{x |x <－3或x >1}，∴a <－3.故选A. 11．“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．(0,2)C ．[0,2)D ．(0,2] 【答案】A【解析】由x 2－2x －3>0得x >3或x <－1.若“x <m －1或x >m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则⎩⎨⎧m ＋1≤3，m －1≥－1且等号不同时成立，即0≤m ≤2.故选A.二、填空题12．命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是___________________________．【答案】若x 2－x <0，则x ≤2【解析】命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若x 2－x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2－x <0，则x ≤2”．13.设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒/ 甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁⇒/ 丙；故甲⇒丁，丁⇒/ 甲，即丁是甲的必要不充分条件．14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b ”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．【答案】②③【解析】①中原命题的否命题为“若a≤b，则1a≤1b”，为假命题；②中原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；③中原命题为真命题，故逆否命题为真命题．15．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．【答案】[3,8)【解析】因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．【答案】(－∞，0]【解析】α可看作集合A＝{x|x≥a}．∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又α是β的必要不充分条件，∴B⊆A，∴a≤0.。

学案：《第11课时命题、定理、证明》答案

第11课时命题、定理、证明学习目标：掌握命题的概念，并能分清命题题设与结论；了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性；初步培养不同几何语言相互转化的能力.学习重点：能够区分命题的题设和结论.学习难点：找出命题的题设和结论一、复习回顾请大家阅读下面的几个语句，请挑选其中一个不同的.1.台湾是中华人民共和国的领土.2.明天一起去爬山好吗？3.对顶角相等.4.太阳从西边落下.二、探索新知探究1判断一件事情的句子叫做命题.正确的命题称为真命题，不能保证一定成立的命题称为假命题．在日常生活中，我们会经常遇到许多类似的情况，需要对一些事情作出判断，例如：⑴吸烟对身体无害；⑵中华人民共和国的首都是北京.这些都是命题.练习1下列语句，哪些是命题？哪些不是？(1)过直线AB外一点P，作AB的平行线；（不是）(2)过直线AB外一点P，可以作一条直线与AB平行吗? （不是）(3)经过直线AB外一点P，可以作一条直线与AB平行. （是）练习2判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例(1)正数与负数的和为0；(2)邻补角是互补的角；(3)同旁内角互补.探究2 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？(1)如果同位角相等，那么两直线平行；(2)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；(3)如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形；(4)如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；每个命题都是由题设和结论组成.每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部份是题设，用“那么”开始的部份是结论 .练习3指出下列命题的题设和结论(1)如果两个数互为相反数，那么这两个数的商为-1；(2)两直线平行，同旁内角互补；(3)绝对值相等的两个数相等.探究3在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明.注：证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是条件，也可以是定义，基本事实，定理等.三、例题解析例1下列语句中，不是命题的是(D)A．两点之间线段最短. B．对顶角相等.C．绝对值相等的两个数相等. D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线.例2把下列命题写成“如果……那么……”的形式．(1)内错角相等，两直线平行；(2)等角的余角相等．例3哪些是真命题，哪些是假命题（判定正确与错误）(1)三条不同的直线a ,b ,c ,若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；对(2)如果a 是有理数，则 2a +1＞0；错(3)若2a ＞2b ,则 a ＞b ；对(4)若ab =0,则a =0；错(5)绝对值等于它本身的数是正数；错(6)三条直线两两相交,必有三个交点；错例4如图,已知直线a 、b 被直线c 所截,在括号内为下面各小题的推理填上适当的根据:(1)∵a ∥b ，∴∠1=∠3(___两直线平行，同位角相等。

八年级上册数学定义命题公理定理证明知识点学案教案练习

25 专题《命题、公理、定理、证明》【用知识改变命运，用学识成就未来】学&习关键1、什么是定义？什么叫命题？命题分为几类？2、什么叫举反例？3、什么叫互逆命题例、1、下面语句是哪个定义的特征？（1）连接三角形的顶点和对边中点的线段；（2）三角形一边的延长线和另一边组成的角（3）不等式组中各个不等式的解集的公共部分（4）点到直线的垂线段的长度；2、小明同学知道命题：如果两个角互为对顶角，则两个角相等。

但它认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相的等角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义。

练、1、下列语句是命题的是（）A、今天下雨了B、延长线段AB到CC、对顶角不相等D、作∠A的平分线AM2、下列四个命题中，其中是真命题的有（）①.互补的两个角是邻补角②.锐角的余角是锐角③.任何数的零次幂都等于1 ④.同位角不相等，两直线不平行A、0个B、1个C、2个D、3个3、命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿该命题是＿＿命题4、判断是非：（1）定理是命题（）（ 2）命题是定理（）5、下面四个定义中不正确的是（）A 数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值B有一组邻边相等的四边形叫菱形C 有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形D两腰相等的梯形叫等腰梯形6、等腰三角形的定义是：有____________相等的三角形叫等腰三角形；7、叙述下列概念的定义:(1)角平分线（2）三角形的角平分线知&识晋级1、命题有真假之分，被证明是正确的命题是真命题，反之有一点不对的命题称假命题.判断下列命题的真假（1）如果a是有理数，那么a是实数；（2）如果m是自然数，那么m是整数；（3）如果a是整数，那么a是有理数；（4）如果四边形ABCD是正方形，那么它是矩形2、命题判断某事件或现象等必然有——条件和结论两部分！交换一个命题的结论和条件可以产生一条新命题，这个命题是原来命题的逆命题，它两的关系是互为逆命题关系！写出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题——(1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;(2)如果两个三角形全等,那么它们对应边上的高也相等.(3)一个三角形如果有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形;3、公理、定理的定义人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据这些真面题为．以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其它命题的真假，已判断为真的命题称为。

19.1.1命题学案

19.1.1《命题》学案教学目标1、知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。

会区分命题的条件和结论。

知道判断一个命题是假命题的方法。

2、过程与方法：结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。

3、情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。

重点与难点1、重点：找出命题的条件（题设）和结论。

2、难点：命题概念的理解。

教学研讨一、复习引入我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。

根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。

1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。

二、探究新知（一）命题、真命题与假命题像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做，正确的命题称为，错误的命题称为。

命题是由（或已知条件）、两部分组成的。

题设是；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式。

用“如果”开始的部分就是，而用“那么”开始的部分就是。

例如，在命题1中，“”是题设，“”就是结论。

有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了。

例如，命题5可写成“如果，那么。

”（二）实例研讨1、问题1：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论。

这个命题可以写成“如果，那么”。

这个命题的题设是“”，结论是“”。

2、问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题。

（1）对顶角相等；（2）如果a＞ b,b＞ c, 那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。

(新教材学案)第2章2.1命题、定理、定义含答案

2.1 命题、定理、定义学习任务核心素养1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点) 3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点) 4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p ，则q ”的形式．(重点)1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养． 2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养.在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫做命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？知识点1 命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．(3)分类：命题⎩⎨⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 1.(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？[提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如x >15等．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)语句“陈述句都是命题”不是命题．()(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题．()[答案](1)×(2)√知识点2命题的结构及定理、定义1．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．2.命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示]条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．2.把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p则q”的形式为______．[答案]若一个四边形是矩形，则它的对角线相等2．定理与定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．类型1命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 020是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.(1)B(2)①④[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]判断一个语句是否是命题的关键点是什么？[提示](1)该语句必须是陈述句；(2)该语句可以判断真假．提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．[跟进训练]1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数y＝x2－2x (x∈R)是二次函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足二次函数的定义．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．类型2命题的构成【例2】 (1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是________，q 是________．(2)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．①函数y ＝2x ＋1是一次函数；②已知x ，y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；③当abc ＝0时，a ＝0且b ＝0且c ＝0.(1)一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧 [命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p 是“一条直线是弦的垂直平分线”，q 是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．](2)[解] ①若函数的解析式为y ＝2x ＋1，则这个函数是一次函数．②已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2.③若abc ＝0，则a ＝0且b ＝0且c ＝0.1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p ，则q ”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．2．“若p ，则q ”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p ，则q ”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．[跟进训练]2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)当1a >1b 时，a <b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．[解] (1)若1a >1b ，则a <b .(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．类型3命题真假的判断【例3】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个奇数是两个整数的平方差．[解](1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)假命题的判断方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．[跟进训练]3．判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．[解](1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．类型4 数学中的新定义【例4】对于a ，b ∈N *，规定a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )}|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16 [思路点拨] 本题新定义两个正整数的新运算，利用新定义解方程a *b ＝12，a ，b ∈N *，分a ，b 奇偶性相同和a ，b 奇偶性不同进行分类讨论即可．C [分a ，b 奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．如果a ，b 奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a ，b )符合M 中元素的要求；如果a ，b 奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a ，b )符合M 中元素的要求．综上，M 中元素的个数为11＋4＝15.故选C .]数学中的定义在解题中得应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果．数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径．本题中新定义的运算，是以正整数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据．[跟进训练]4．设集合S ＝{r 1，r 2，…，r n }⊆{1,2,3，…，32}，又S 中任意两数之和不能被5整除，则n 的最大值为________．15 [一个数能被5整除，可以用5k 表示，k ∈Z .两数之和被5整除，我们需要分析一下每个数被5除后的余数，如果两个余数之和能被5整除，则两数之和就能被5整除，否则不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余数分别是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原则，把1～32这32个数字进行归类．集合S 的元素从1～32中选取，我们将这32个数字分入以下5个集合；S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6个，都能被5整除；S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7个，都被5除余1；S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7个，都被5除余2；S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6个，都被5除余3；S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6个，都被5除余4.S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能选1个数字；S1中的元素，两两相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同组内两两相加都不能被5整除，因此可以整组挑选．但S1与S4中各任选一个元素相加，必定能被5整除，因此只能选一组，S1中7个元素，比S4更多，选S1；同理，S2与S3也只能选1组，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中选1个元素，S1整组7个，S2整组7个，共1＋7＋7＝15.故n的最大值为15.]1．下列语句为真命题的是()A．a>bB．四条边都相等的四边形为矩形C．1＋2＝3D．今天是星期天C[A、D不是命题，B为假命题，C为真命题．]2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是() A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形C[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]3．下列命题是真命题的为()A．若a>b，则1 a< 1 bB．若b2＝ac，则b2>a或b2>c C．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则a＝bC[对于A，若a＝1，b＝－2，则1a>1b，故A是假命题．对于B，当a＝b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，且b2>a，a2>c不成立，故B 是假命题．对于C，因为y>|x|≥0，则x2<y2是真命题．对于D，当a＝b＝－2时，a与b没有意义，故D是假命题．]4．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．[答案]两个角是对顶角它们相等5．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(填真、假)．[答案]真回顾本节知识，自我完成以下问题．1．什么是命题？命题的构成方式是怎样的？它们之间有怎样的关系？[提示]可以判断真假的陈述句为命题；命题由条件与结论构成．它们之间是因果关系．2．含有大前提的命题怎样写成若p则q的形式？[提示]大前提应保持不变，且不写在条件p中．。

2.1命题、定理、定义-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第一册教学案(学生版+教师版)

编号：006 课题:命题、定理、定义目标要求1、理解命题的概念和分类．2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．重点难点重点：理解并掌握命题的结构形式；难点：命题的真假判断．教学过程基础知识点一命题的概念及分类思考下列语句有什么共同特征？(1) 最小的质数为2．(2) 空集是任何集合的子集.(3)直角三角形两锐角互余．梳理(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以____________的______________叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以____________”和“___________”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题____⎧⎨⎩真命题：判断为的语句假命题：判断为____的语句基础知识点二命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．思考辨析判断正误(1)命题均能判断其真假．( )(2)我们所学习过的定理均为命题．( )(3)疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．( )(4)命题“当x ∈R 时，2x 是正数”是真命题．( )题型探究类型一命题的概念及真假判断命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由． (1)6π是有理数； (2) 227x ≤；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x ∈R ，则22470x x ++≥；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．反思与感悟判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是( )①三角形内角和等于180°；②56>；③一个数不是正数就是负数；④6a >；⑤这里真热闹啊！A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤命题角度2 命题真假的判断例2 （多选题）给定下列命题：A.若a b >，则a b -<-；B.命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；C.若x ∈R ，则2210x x ++≥；D.如果两个角的两边互相平行，这两个角一定相等．其中为真命题的是（）．反思与感悟一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2 (1)下列命题中假命题的个数为( )①多边形的外角和与边数有关；②如果220a b +=，那么0a =或0b =；③二次方程a 2x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实根；④若x A B ∈，则x A B ∈.A ．1B ．2C ．3D ．4(2)（多选题）下列命题中为真命题的是( )A ．四边形的内角和是360；B ．若,x y 互为倒数，则1xy =；C ．如果a 是有理数，则210a +>；D ．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形.类型二命题的结构形式例3 将下列命题写成“若p ，则q ”的形式．(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．跟踪训练3 将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x －5时，y ＝－3，x ＝2.达标检测1．下列语句为命题的是( )A ．2x ＋5≥0B ．求证对顶角相等C ．0不是偶数D ．今天心情真好啊2．若命题“不等式240x mx -+≤的解集不为∅”为真命题，则实数m 的取值范围为_________．3．命题：3mx 2＋mx ＋1>0恒成立是真命题，求实数m 的取值范围．规律与方法1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则q ”的形式．含有大前提的命题写成“若p ，则q ”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p 中．课时演练一、选择题1．下列命题中，可判断为真的是( )A ．{1,2}和{2,1}是两个集合B ．集合{(0,2)}中有两个元素C ．6{|}x Q N x∈∈是有限集 D ．2{|20}x Q x x ∈++=是空集2．（多选）下列命题为真命题的是( )A ．若0ab =，则0,0a b ==或；B ．若||||a b =，则a b =C ．0是偶数D ．5＞33．下列命题是真命题的是( )A ．若ab ＝0，则a 2＋b 2＝0B ．若a >b ，则ac >bcC ．若M ∩N ＝M ，则N ⊆MD ．若M ⊆N ，则M ∩N ＝M二、填空题4．有下列命题：①22 340能被5整除；②不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0；③对任意的实数x ，均有x ＋1＞x ；④方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(只填序号)5．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：不等式521a ->成立，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．三、解答题6．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.7．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的真假．四、探究与拓展8．命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是() A．a<0或a≥3 B．a≤0或a≥3C．a<0或a>3 D．0<a<39．判断命题“当2m＋1＞0时，如果m＋32m－1＞0，那么m2－5m＋6＜0”的真假．编号：006 课题:命题、定理、定义目标要求1、理解命题的概念和分类．2、能判断命题的真假，了解数学定义、数学命题和数学定理之间的关系．3、了解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．重点难点重点：理解并掌握命题的结构形式；难点：命题的真假判断．课堂互动基础知识点一命题的概念及分类思考下列语句有什么共同特征？(1) 最小的质数为2．(2) 空集是任何集合的子集.(3)直角三角形两锐角互余．答案共同特征是：都是陈述句，都可以判断真假．梳理(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题⎧⎪⎨⎪⎩真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句基础知识点二命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．思考辨析判断正误(1)命题均能判断其真假．(√)(2)我们所学习过的定理均为命题．(√)(3)疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(√)(4)命题“当x ∈R 时，2x 是正数”是真命题．(×)题型探究类型一命题的概念及真假判断命题角度1 命题的概念例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)6π是有理数； (2) 227x ≤；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x ∈R ，则22470x x ++≥；(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a 与b 是无理数，则ab 是无理数．考点命题的定义及分类题点命题的定义解 (1)“6π是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题． (2)因为无法判断“227x ≤”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x ∈R ，则22470x x ++≥”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若a 与b 是无理数，则ab 是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．反思与感悟判断一个语句是不是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句是命题的是( )①三角形内角和等于180°；②56>；③一个数不是正数就是负数；④6a >；⑤这里真热闹啊！A ．①②③B ．①③④C ．①②⑤D ．②③⑤ 考点命题的定义及分类题点命题的定义答案 A解析依据命题定义，得①②③为命题．命题角度2 命题真假的判断例2 （多选题）给定下列命题：A.若a b >，则a b -<-；B.命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；C.若x ∈R ，则2210x x ++≥；D.如果两个角的两边互相平行，这两个角一定相等．其中为真命题的是（）．考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 AC解析结合不等式的性质，知A 为真命题；而2221(1)0x x x ++=+≥，故C 为真命题．反思与感悟一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2 (1)下列命题中假命题的个数为( )①多边形的外角和与边数有关；②如果220a b +=，那么0a =或0b =；③二次方程a 2x 2＋2x －1＝0有两个不相等的实根；④若x A B ∈，则x A B ∈.A ．1B ．2C ．3D ．4考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 C解析因为Δ＝4＋4a 2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．(2)（多选题）下列命题中为真命题的是( )A ．四边形的内角和是360；B ．若,x y 互为倒数，则1xy =；C ．如果a 是有理数，则210a +>；D ．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形.考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 ABC解析对于A ，由四边形内角和定理可知，命题为真；对于B ，互为倒数的两个数乘积为1，所以命题为真；对于C ，∵20a ≥，∴210a +>，所以命题为真；对于D ，菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，对称轴是对角线所在直线，所以命题为假.综上所述，选ABC ．类型二命题的结构形式例3 将下列命题写成“若p ，则q ”的形式．(1)末位数是0或5的整数，能被5整除；(2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．考点命题的结构形式题点改写成标准的若p 则q 形式解 (1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个数能被5整除．(2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实数根．反思与感悟将命题改写为“若p ，则q ”形式的方法及原则跟踪训练3 将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x ，y 为正整数，当y ＝x －5时，y ＝－3，x ＝2.考点命题的结构形式题点改写成标准的若p 则q 形式解 (1)若一个多边形是正n 边形，则这个正n 边形的n 个内角全相等，是真命题．(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．(3)已知x ，y 为正整数，若y ＝x －5，则y ＝－3，x ＝2，是假命题．达标检测1．下列语句为命题的是( )A ．2x ＋5≥0B ．求证对顶角相等C ．0不是偶数D ．今天心情真好啊考点命题的定义及分类题点命题的定义答案 C解析结合命题的定义知C 为命题．2．若命题“不等式240x mx -+≤的解集不为∅”为真命题，则实数m 的取值范围为_________．考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围答案(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.3．命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．考点命题的定义及分类题点由命题的真假求参数的取值范围解“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；当m>0，且Δ＝m2－12m<0，即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立，所以0<m<12满足题意．综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.规律与方法1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．课时演练一、选择题1．下列命题中，可判断为真的是()A．{1,2}和{2,1}是两个集合B ．集合{(0,2)}中有两个元素C ．6{|}x Q N x∈∈是有限集 D ．2{|20}x Q x x ∈++=是空集考点命题的结构形式题点区分命题的条件和结论答案 D解析 ∵方程220x x ++=无有理数解，所以集合2{|20}x Q x x ∈++=是空集，故选D. 2．（多选）下列命题为真命题的是( )A ．若0ab =，则0,0a b ==或；B ．若||||a b =，则a b =C ．0是偶数D ．5＞3考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 ACD解析结合等式的有关知识知A 为真命题，B 为假命题．C 、D 显然是真命题．3．下列命题是真命题的是( )A ．若ab ＝0，则a 2＋b 2＝0B ．若a >b ，则ac >bcC ．若M ∩N ＝M ，则N ⊆MD ．若M ⊆N ，则M ∩N ＝M考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 D解析 A 中，a ＝0，b ≠0时，a 2＋b 2＝0不成立；B 中，c ≤0时不成立；C 中，M ∩N ＝M 说明M ⊆N .故A ，B ，C 均错误．二、填空题4．有下列命题：①22 340能被5整除；②不存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0；③对任意的实数x ，均有x ＋1＞x ；④方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根．其中假命题有________．(只填序号)考点命题的真假判断题点命题真假的判断答案 ④解析易知①②③为真命题，④中Δ＝4－12＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实根，因而④为假命题．5．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：不等式521a ->成立，若p ，q 中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．考点命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围答案 (－∞，－2]解析 p 为真命题时，Δ＝4a 2－16＜0，解得－2＜a ＜2.q 为真命题时，5－2a ＞1，解得a ＜2.当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ －2＜a ＜2，a ≥2，a ∈∅. 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜2，即a ≤－2. 故实数a 的取值范围为(－∞，－2]．三、解答题6．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.考点命题的结构形式题点改写成标准的若p 则q 形式，并判断命题的真假解 (1)若ac >bc ，则a >b .∵ac >bc ，c <0时，a <b ，∴该命题是假命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵Δ＝1－4m <0，∴该命题是真命题．(3)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，∴该命题是真命题．7．判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的真假．考点命题的概念题点判断命题的真假解原命题等价于：已知a ，x 为实数，若a ＜1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集．∵a ＜1，∴Δ＝(2a ＋1)2－4×(a 2＋2)＝4a ＋1－8＝4a －7＜0，即不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，∴原命题是真命题．四、探究与拓展8．命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0或a ≥3B ．a ≤0或a ≥3C ．a <0或a >3D ．0<a <3考点命题的真假判断题点由命题的真假求参数的取值范围答案 A解析若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，当a ＝0时，3>0符合题意，当a ≠0时，则a >0且Δ<0，解得0<a <3，综上可知，当0≤a <3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是真命题，故当a <0或a ≥3时，命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题．9．判断命题“当2m ＋1＞0时，如果m ＋32m －1＞0，那么m 2－5m ＋6＜0”的真假．考点命题的概念题点判断命题的真假解由2m ＋1＞0，得m ＞－12. 由m ＋32m －1＞0，得m ＜－3或m ＞12，又m ＞－12，所以m ＞12. 由m 2－5m ＋6＜0，得2＜m ＜3，又m ＞－12，所以2＜m ＜3.由此可知，原命题可变为“如果m ＞12，那么2＜m ＜3”，显然原命题是假命题．。

人教版七年级数学下册第五章《命题、定理、证明》学案 (2)

新人教版七年级数学下册第五章《命题、定理、证明》学案学习目标：1、了解命题、真命题、假命题、定理的含义。

2、会区分命题的题设和结论，能识别真假命题。

3、了解证明的必要性，知道推理要有依据。

重点：会区分命题的题设与结论，真命题的证明推理过程。

难点：找出命题的题设和结论。

学习过程一、知识准备1、思考：下列语句能判断正确与错误吗?哪些是正确的?哪些是错误的?(1)对顶角相等 (2)内错角相等(3)如果两直线被第三直线所截,那么同位角相等 (4)3＜2(5)三角形的内角和等于1800 (6)x=2(7)画AB∥CD二、自主学习1、结合上述问题阅读20页课本给出下面问题的答案（1）命题的概念：（2）命题的组成：（3）命题的形式：（4）命题的分类：（5）定理：2、自主检测判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示。

1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?( )2）两条直线相交，有且只有一个交点（）3）一个平角的度数是180度（）4）相等的两个角是对顶角（）5）明天下雨吗？（）例2、哪些是真命题，哪些是假命题？1）一个角的补角大于这个角2）两点之间线段最短3）两点可以确定一条直线4）若A=B，则2A=2B5）锐角和钝角互为补角三、合作探究例1、指出下面的命题的题设和结论，并改写成“如果……那么……”的形式。

1、两直线平行，同旁内角互补。

2、邻补角是互补的角。

3、相等的角是对顶角4、等角的补角相等。

5、平行于同一条直线的两条直线平行。

6、对顶角相等。

例2.已知直线b∥c，a⊥b，请画出图形并证明a⊥ c。

4证明：如图∵b∥c（已知）∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）又有a⊥b,即∠2=90°（垂直的定义）∴∠1=∠2=90°（等量代换）于是a⊥c（垂直的定义）四、课堂小结：本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？五、达标测试1、命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、以下四个命题：①一个锐角与一个钝角的和为180°；②若m 不是正数，则m 一定小于零；③若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0；④如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除。

八下定义与命题学案(于海峰)

第六章证明2.1定义与命题学习指导：定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。

命题：判断一件事情的句子，叫命题。

真命题：正确的命题称为真命题假命题：不正确的命题称为假命题。

例题导学：技巧点拨：命题一般由条件和结论组成。

命题是判断一件事情的语句。

看一个句子是不是命题，主要看这个句子是否对一件事情作出了判断找一个命题的条件和结论对弄清一个命题的真正意义是很重要的，主要的方法是会将一个命题拆成“如果……那么……”的形式。

一．判断下列句子中哪些是命题？如果是命题，请写成“如果……那么……”的形式1．大象是动物的一种。

2．电脑是高科技的产物。

3．美丽的彩云。

4．你今天上学了吗？5．若A>B,B>C,则A>C.6．奇数都是质数。

7．数学里的数字都是正的。

技巧点拨：找一个命题的条件和结论，主要的方法是会将一个命题拆成“如果……那么……”的形式。

如果后面跟的是条件，那么后面跟的是结论二．找找下列命题的条件和结论各是什么。

1．如果两个角是对顶角，那么他们相等。

2．如果A<B,B<C,那么A=C。

3．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。

4．相似三角形的对应面积之比等于相似比的平方。

三．把命题写成“如果……那么……”的形式，并判断下列命题是真命题还是假命题。

1．对顶角相等。

2．相等的角是对顶角。

3．两直线平行，同旁内角互补。

4．同旁内角互补，两直线平行。

5．两边及其其中一边的对角对应成比例，两三角形相似。

6．两角和其中一边对应成比例，两三角形相似。

课堂小结 1、叫真命题。

叫假命题。

叫定理。

2、欧几里得的，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。

3、每个命题都是由和两部分组成。

4、命题分为和。

第六章证明 2.2定义与命题证明：除了公理外，其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实，这种推理的过程叫证明。

定理：经过证明的真命题叫定理。

② 公理、定理、概念和证明的关系．⋯⋯⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫433211定理条件定理条件定理条件公理本教材中的公理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简记：（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简记：（3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．简记：（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．简记：（5）三边对应相等的两个三角形全等．简记：（6）全等三角形的对应边相等，对应角相等此外等式和不等式的有关性质也可看作公理．比如：如果a=b ，b=c ，那么a=c ．1、“如果两个角相等那么它们是对顶角”条件是，结论是。

高中数学命题理解教案

高中数学命题理解教案
教学内容：数学命题的理解
教学目标：通过本课教学，使学生能够理解数学命题的概念、特点以及解题方法，提高其解题能力和思维能力。

教学重点：数学命题的概念和特点
教学难点：数学命题的解题方法
教学过程：
一、导入新知识（5分钟）
教师向学生提出一个简单的问题：“什么是数学命题？”引导学生思考并回答问题。

二、概念讲解（10分钟）
1. 数学命题的定义：命题是陈述性句子，可以判断真假的陈述句称为命题。

2. 数学命题的特点：具有唯一真值（真或假）。

三、示例分析（15分钟）
1. 教师给出几个数学命题的例子，让学生分析其真值，并解释为什么是命题。

2. 学生互相讨论，共同分析这些命题的特点。

四、练习和讨论（15分钟）
1. 学生完成一些关于数学命题的练习题，通过实际操作加深理解。

2. 学生将自己的答案与同学讨论，让学生感受思维碰撞的乐趣。

五、课堂小结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并提出下节课的学习安排。

六、课后作业（5分钟）
布置相关的课后作业，包括练习题或阅读材料。

教学反思：通过本节课的教学，学生对数学命题的概念和特点有了深入的了解，提高了解题能力和思维能力。

但在教学过程中，应重视引导学生自主探究，培养其自主学习和分析问题的能力。

学案1：5.3.2 命题、定理、证明

5. 3. 2 命题、定理、证明一、学习范围：课本第20～22页二、学习目标：1、知道什么是命题、真命题、假命题、定理，2、会根据“题设”和“结论”把命题改写成“如果……，那么……”的形式，并能正确判定命题的真假三、学习重点、难点重点：确定命题的“题设”与“结论”，并会改写成“如果……，那么……”的形式难点：判断命题的真假四、课前检测1.如图，（1）如果∠1=________,那么DE∥AC;(2) 如果∠1=________,那么EF∥BC;(3)如果∠FED+ ∠________=180°,那么AC∥ED;(4) 如果∠2+ ∠________=180°,那么AB∥DF.2。

如图，∠1=120°，∠2=120°，∠3＝110°。

求∠4五、课堂活动。

活动一、认识命题的构成大家一起读一读下列语句：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；（3）对顶角相等；（4）等式两边同加同一个数，结果仍是等式。

像这样对一件事情作出判断的语句，叫做命题。

你能再举出一些命题的例子吗？比如：命题由“题设”和“结论”两部分组成，“题设”指已知事项，“结论”指由已知事项推导出的事项。

命题通常可以写成“如果……，那么……”的形式，这里的“如果”后面接的是“题设”（即已知条件），“那么”后面接的是“结论”如（1）中的“两条直线都与第三条直线平行”是已知条件，是“题设”，而“这两条直线也互相平行”是“结论”。

请同学们将（2）（4）的命题改写成“如果……，那么……”的形式（2）（4）而有些命题的“题设”和“结论”不是很明显，要经过分析才能找出“题设”和“结论”，如“对顶角相等”，这里的前提是“对顶角”，结论是“相等”，因此我们可以改成练习：1。

指出下列命题的“题设”与“结论”（1）不相等的两个角不是对顶角题设：结论：（2）互余的两个角不一定相等题设：结论：（3）若a>0，b>0，则ab>0题设：结论：（4）若a∥b,b∥c，则a∥c题设：结论：2。

高中数学苏教版选修1-1学案：第一章常用逻辑用语 1.1.1 四种命题 Word版含答案

1.1.1四种命题[学习目标]1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.知识点一命题的定义(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题.(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p则q”.通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论.知识点二四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.知识点三四种命题的真假性的判断原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.题型一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由.(1)求证3是无理数.(2)若x∈R，则x2＋2x＋1≥0.(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果.(5)一个正整数不是质数就是合数.(6)x＋3>0.解(1)祈使句，不是命题.(2)是真命题，因为x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0.对于x∈R，不等式恒成立.(3)是疑问句，不能判断真假，不是命题.(4)是真命题.(5)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数.(6)不是命题.不能判断真假.反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 跟踪训练1判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假，并说明理由.(1)函数y＝sin2x－cos2x的最小正周期是π.(2)若x＝4，则2x＋1<0.(3)垂直于同一条直线的两直线平行吗？(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列.(5)求证：x∈R时，方程x2－x＋1＝0无实数根.解(1)(2)(4)是命题.(3)(5)不是命题.命题(1)中，y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，显然其最小正周期为π，是真命题.命题(2)中，当x＝4,2x＋1>0，是假命题.(3)是一个疑问句，不是命题.命题(4)中，当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，是假命题.(5)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题.题型二四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题.(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题.否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题.逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题.(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题.否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题.逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题.(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题.否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题.反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.跟踪训练2判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点.解(1)该命题为真命题.逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题.逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)该命题为假命题.逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0，假命题.否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无交点，假命题.逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0，假命题.题型三四种命题的关系例3下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3下列命题中为真命题的是________.(填序号)①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.答案②③解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③.题型四等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的真假.解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.所以原命题为真.反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法.跟踪训练4判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.化归思想的应用例5判断命题“若x2－y2≠0，则x－y，x＋y中至少有一个不等于0”的真假.分析原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就可以解决原命题的真假性问题了.解原命题的逆否命题：若x－y，x＋y都等于0，则x2－y2＝0.由x－y＝0，x＋y＝0，得x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0.因此，原命题的逆否命题是真命题.所以原命题是真命题.解后反思条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难，这时最好转化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重要思想方法.根据已知集合求参数范围例6已知p：M＝{x|x2－2x－80≤0}，q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}.如果“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，求实数m的取值范围.分析先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可.解p：M＝{x|x2－2x－80≤0}＝{x|－8≤x≤10}，q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}.因为“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，所以M N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ≤－8，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，1－m ＜－8，1＋m ≥10，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥9，m ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞9，m ≥9，解得m ＞9，即实数m 的取值范围是{}m |m ＞9.解后反思由“若p ，则q ”为真，“若q ，则p ”为假，得M ⊆N ，但N M ，故M N ，即“1－m 与－8”和“1＋m 与10”不能同时取等号.事实上，当m ＝9时，两个集合相等.1.下列语句不是命题的个数为________.①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数.答案1解析①③④可以判断真假，是命题，②不能判断真假，所以不是命题.2.命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是________.答案若a ≤b ，则a －1≤b －1解析直接按否命题的构成改写.3.命题“若平面向量a ，b 共线，则a ，b 方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a ，b 的方向不相同，则a ，b 不共线假4.给出以下命题：①“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.答案③解析①否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ＝1＋4m ，m >0时，Δ>0，∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.5.“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”).答案若α≠π6，则sin α≠12假解析逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题.1.根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p ，则q ”的形式.含有大前提的命题写成“若p ，则q ”的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p 中.3.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ；(3)按照四种命题的结构写出所有命题.4.每一个命题都有条件和结论组成，要分清条件和结论.5.判断命题的真假可以根据互为逆否命题的真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.。

命题与证明学案

命题与证明教学目标1.理解真命题、假命题、公理和定义的概念2.会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题。

3.了解证明的含义，体验、理解证明的必要性。

4．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题教学重点、难点1.判断一个命题的真假公理、命题和定义的区别2.本节教学的重点是证明的含义和表述格式。

3.按规定格式表述证明的过程。

教学过程一知识回顾1、能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做定义例：2、定理：用推理的方法判断为正确的命题；例：1）三角形三个内角的和等于180度2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于和它不相邻的两个内角3）在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.4）在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；4、定义，定理，公理都可以判断其他命题真假的依据；用推理得到的那些用黑体字表述的图形性质都可以做为推论；推论不需要再证明4.对某一件事作出正确或不正确的判断的句子叫做命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。

判断下列语句是否为命题如果是命题,把它改写成“如果……那么……”形式。

说明一个命题是假命题，只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结。

例：1）连接AB2)两直线被第三直线所截,内错角相等3)同角的余角相等4)三角形的内角和为180°5)等腰三角形两底角的平分线相等5.证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证)(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证(4)分析题意,探索证明思路(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;例1：一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题?正数大于零，零大于一切负数;（是）两点确定一条直线;（是）画∠AOB的平分线;（不是）相等的角是全等三角形的对应角;（是）若c＞a+b,则c＞a,c＞b正确吗？（不是）例2：二、判断下列命题的真假.1.有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.（真）2.素数不可能是偶数.（假）3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.（假）4.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.（假）5.若y(1-y)=0，则y=0.（假）6.正数不小于它的倒数.（假）7.如果两个角不是对顶角，那么它们不相等.（假8.若x＜3，则x2＜9.（假）9.异号两数相加和为负数.（假）10.若c＞a+b,则c＞a,c＞b.（假）例：证明命题：“等腰三角形两底角的平分线相等.”已知：如图，在△ABC中，AB=AC， BD，CE是△ABC的角平分线. 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(在一个三角形中，等边对等角).∵ BD ，CE 是△ABC 的角平分线∴∠1= ∠ABC ，∠2= ∠ACB ， ∴∠1=∠2.在△BDC 和△CEB 中，∵∠ACB=∠ABC ，BC=CB ，∠1=∠2，∴△BDC ≌△CEB （ASA ）.∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).例2.等腰三角形的底角为15°,腰长为2a ，求腰上的高。