高等数学上第四讲

xn
1
1 n
,
xn称为一般项（通项）
1,1,1,,(1)n, 23 n
xn
(1)n n
数列可表示为{xn}
0,1,0,1,,(1)2n1,xn
(1)n 2
1
也可表示为 xn f(n), 1,4,9,,n2,xn n2
数列xn=f (n)是一个以正整数集Z+为定义域的函数,
a
5
(3)
三、数列的极限
证明 >0,
| n2a2 1|n2a2n a2
a2
n
n
n (n2a2n ) n
要使 | n2 a2 1|
n
只须 a 2 n
即 n a2
取 N [a2 ]
当n>N时, 有 | n2 a2 1|
n
所以
lim n2 a2 1
n n
a
17
结束
由于| xna |<
a <xn< a
xn(a , a +)=U(a, ).
xn以a为极限,Hale Waihona Puke Baidu是对任何以a为中心, 以任意小的
正数 为半径的 邻域, 总能找到一个N,
从第N+1项开始, 以后各项都落在邻域 U(a, ) 内,
而只有有限项落在U(a, )外部.
xN+5
xN+1 xN
x1
x2
(
a-
a
)
…… 正62n1 …… 边形的面积：
A1,A2, ,An, ,
当正多边形的边数越来越大 正多边形的面积An
就接近于对应圆的面积. 利用圆内接正多边形的面积
推算圆的面积
a
4
(2)
二、数列的概念
中学的定义
按照一定的顺序排成的 x1,x2,x3, ,xn, ,
一列数
叫做一个数列，
2,3,4,n1, 23 n
都有 |xna|<, 则
例2 证l明 im n(1)n11.
n
证 任给 0,
n
因 xn 1
n(1)n1
1
n
1 n
要 使 xn1,
只要1 , n
即n 1 ,
取N [1], 则n 当 N时 ,
有 n(1)n1 1
n
lim
n
xn
a
所以 lim n(1)n11. a
15
n n
例3、根据数列极限的定义证明:
当 0.001时, 求出数N.
解
lim
n
xn
0
>0
|
xn
0|
|
c
osn2
n
|
1 n
.
要使|x n0|< ,
只要1 也就是n 1
n
取N [ 1 ]
则n>N, 有|xn0|< . 当 0.001时, N [1]
所 以 n l i mxn
1000
0
(12)
a
14
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
高等数学（上） 第四讲
第一章
第二节
数列的极限（1）
a
1
第二节 数列的极限
教学内容
教学要求 教学重点 教学难点
•数列、数列极限的概念
•数列极限的几何解释 •数列极限的有界性定理
备注
•理解数列、数列极限的概念，
•理解数列极限的“ , N ”定义。
•掌握利用数列极限的“ , N ”定义。证明简单数
列
的极限
观察数列1.
xn
1
1 n
xn x4 x3 x2 1 54 3
x1 x
2
43 2
从直观上看,这个数列当n越来越大时, 对
应的项xn会越来越接近于1。
？？
常数1就是数列{xn}当n趋向于无穷大时的极限
如何用精确的, 量化的数学语言来刻划这一事实?
a
6
(4)
要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1”
a
7
(5)
xn
1
1 n
事实上, |xn1||1n 11|n 1, 给
1 , 很小, 1000
要
|
xn
1|
1 n
10100,
只须n>1000
即可,
也即在这个
数列中,从第1001项开始,以后各项都有
|
xn
1|
1 1000
又给 1 , 则从第10001项开始,
10000
(6)
以后各项都有
|
xn
1|
a+
x3
x
(10)
a
12
若 >0, 正整数N, 使得当n>N 时,
都有 |xna|<,
则
lim
n
xn
a
证明数列极限的步骤：
关键在于找出N
>0,
由|xna|<,
解出n>N(ε)
取N=N(ε)
a
13
(11)
cos n
习题1—18—1、
例1. 设数列{xn}的一般项 xn
2 n
问lim n
xn
？
求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数 ,
只须说明“ 当n越来越大时, | xn1 |会越来越接近于0”.
而要说明“| xn1 | 越来越接近于0”
则只须说明“ 当n充分大时,|
定 的, 无论多么小的正数 ”
xn1
|
能够小于任意给
就是说:无论你给一个多么小的正数 , 当n充分大时,
| xn1 | 比 还小,
由于是任意的,从而就说明了|xn1| 会越来越接近于0.
1 10a000
8
一般,
任给
>0,
不论多么小,
要使
|
xn
1|
1 n
存在一个整正数N
只须
n
1
.
因此,
从第
1
1
项开始, 以后各项都有
| xn 1|. 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时,
xn会越来越接近于1.
a
9
(7)
定义: 设{xn}是一个数列, a是一个确定的常数,
若 >0, 正整数N, 使得当n>N时,
习题1—19—2、
2、lim 3n13 n2n1 2
证明 >0,
|3n13| 1 1 2n1 2 2(2n1) 4n
要使 | 3n13|
2n1 2
只须 1 4n
即 n 1 4
取 N [ 1 ]
4
当n>N时, 有
| 3n13|
2n1 2
3n1 3
所以 lim
n2n1 2
a
16
3、 lim n2 a2 1 n n
对任意的
总存在
都有|xna|<,则称a是数列{xn}当n
无限增大时的极限, 或称{xn}收敛于a,
记作
n l ix m n a,或 , x n a (n )
(n l ix m n a,或 , x n a (n ) )
这时, 也称{xn}的极限存在, 否则, 称{xn}的 极限不存在, 或称{xn}是发散的.
•数列极限的“ , N ”定义。
•利用数列极限的定义。证明简单数列的极限
•数列极限的“ , N ”定义。
a
2
一、极限思想
有很多实际问题的精确值，仅仅通过有限次的 算术运算是求不出来的，而必须通过分析一个 无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了 极限概念和极限方法。
例如
a
3
(1)
我国晋朝时代数学家刘徽——割圆术 依次求出圆内接 正六边形，正十二边形，正二十四边形
a
10
(8)
注1. 定义中的是预先给定的, 任意小的正数；
注2. 一般说来, N随给定的变化而变化, 给 不同的 确定的N也不同；
注3. 定义中“ 当n>N时, 有| xna |<”的意思是 说, 从第N+1项开始,以后各项都有|xna |<至,于
以前的项是否满足此式不必考虑.
a
11
(9)
四、几何解释: