采样频率的选取

采样频率的选取

采样的过程就是从连续的时间信号中，每隔一定时间间隔抽取一个样本数值，得到一系列样本值构成的序列。设有一连续信号()f t ，对其进行采样的过程可以看成是由原信号()f t 与一抽样脉冲序列()s t 相乘的结果，抽样信号以()s f t 表示，则有

如果()s t 各脉冲的时间间隔为s T ，则2/s s T ωπ=，其傅里叶变换为

其中，n S 为()s t 的傅里叶系数，有

设()F ω为信号()f t 的傅里叶变换，那么根据频域卷积定理可得抽样信号()s f t 的傅里叶变换()s F ω为

由上式可知，抽样信号()s f t 的频谱()s F ω是一个周期性的连续函数，它是由信号()f t 的频谱函数()F ω以抽样角频率s ω为间隔周期重复而得到的，但是在重复的过程中()s F ω的幅度被()s t 的傅里叶系数n S 加权。由于n S 只是n 而不是ω的函数，所以()F ω在重复过程中，形状不会发生变化。

抽样函数()s t 可以是不同的函数，如单位冲击序列、矩形脉冲序列，但是分析方法是相同的，这里以单位冲击序列为例进行分析。此时

由于单位冲击序列傅里叶变换的系数为1/n s S T =，代入上式，则有

该式表明，由于n S 是常数，所以()s F ω是()F ω以s ω为周期等幅重复。原信号的频谱()F ω与抽样信号的频谱()s F ω之间存在如下关系：(1)在()s F ω中完整地保留了()F ω；(2) ()s F ω和()F ω在幅度上相差一个系数1/s T 。

只有在符合一定条件的情况下，上述结论才是正确的，这个条件就是采样定理。设()f t 为频带受限信号，其频谱函数只在有限区间(,)m m ωω-内为有限值，在此区间外为零。那么，只有当采样间隔s T 不大于1/2m f (其中2/m s f πω=)时，信号()f t 可以用等间隔的抽样值()s f nT 唯一地表示，这就是所谓的奈奎斯特采样定理。如果采样间隔s T 不够小，以至于2s m ωω<，那么在()F ω以s ω为周期重复时将发生重叠现象，从()s F ω中取出任一个周期，都是失真了的()F ω，也就是发生了频谱混叠。根据上述分析，为了能从抽样信号中无失真地恢复出原信号，必须满足两个条件：(l)信号()f t 应是频带受限的，其频谱函数在m ωω>时为零；

(2)抽样频率不能过低，应有2s m ωω>，或者说抽样间隔不能太大，要求1/2s m T f <。

多数实际信号并不是频限信号，所以无论如何选择T ，抽样信号的傅里叶变换都会发生混叠现象，因此只能适当选择T ，以使混叠程度能为实际工程问题所接受。假设系统的带宽为50MHz ，如果忽略更高频的成分，可以近似认为进入到A/D 转换器的信号最高频率为50MHZ ，所以仪器的采样频率不能低于100MHz ，否则将发生频谱混叠，混叠发生后，相当于引起了信号高频成分的损失，在时域中脉冲发生了展宽，也就是引起了盲区的扩大。单纯从盲区的角度来说，采样频率越高，盲区就会越小。但是如果采样频率过高，产生的数据量就会非常大，将会使后面数据存储、数据分析的工作量急剧增加。当被测光纤比较长时，对测距精度的要求低于短光纤，也就是仪器能够接受程度更强一些的频谱混叠，所以可以采用更低的采样频率。本设计采用两种采样频率，对于较短的光纤(小于或等于4km)，仪器采用1000MHz 的采用频率，对于光纤(小于16kfn 或大于4km)，仪器采用100MHz 的采用频率，对于长光纤(大等于16km)，仪器采用12.5MHZ 的采样频率。

系统的带宽是50MHZ 并不意味着50MHZ 以上的频率成分为零，所以严格说来，不但用12.5MHz 的采样频率是不够的，即使是100MHZ 甚至更高的采样频率也还是会发生频谱的混叠。大于16km 时采用12.5MHz 的采样频率是将硬件存储空间和计算机的处理速度作为主要矛盾，而不是把带宽和距离分辨率作为主要矛盾的结果。无论是100MHZ 还是12.5MHZ 的采样频率，都是综合考虑了实际需求是否能够接受和软硬件条件是否能够达到后，采取的折衷选择。