《用三种方式表示二次函数》优质PPT课件
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《用三种方式表示二次函数》二次函数PPT精品教学课件2
a(x2 b x) c a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c a 2a 2a
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
2、根据二次函数有关知识填写下表：
y ax2 bx c(a 0) 开口方向 对称轴 顶点坐标
a0 a0
优点
缺点
表达式 表格
变量间关系全面、完整、 简捷明了,便于分析计算. 能清楚、直接得到某些具体 变量之间的数值对应关系
图象
直观表示了变量间变化过 程和变化趋势.
需要通过计算,才能得到 所需结果 不能反映函数整体的变化 情况
函数值只能是近似值
关系
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表 达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
议一议
请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
y x2 10x (x 5)2 25
当0<x<5时,y随x的增大而增大; 当5<x<10时,y随x的增大而减小.
说一说
结合问题的分析过程，总结二次函数的三 种表示方式是什么？
解析法—用表达式表示函数 列表法—用表格表示函数 图象法—用图象表示函数
用三种方式表示二次函数
1、二次函数的定义：
y ax2 bx c(a 0) 一般式： y ax2 bx c(a 0)
顶点式： y a(x m)2 n(a 0)
两根式：பைடு நூலகம்y a(x x1)(x x2 )(a 0)
y ax2 bx c
议一议
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么?
九年级数学下册第二章二次函数5用三种方式表示二次函数课件北师大版
这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的 需要．它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表 示．
三种表示方式都必须考虑自变量的取值范围 !
【跟踪训练】
如图，
(1)你知道上面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个 图形中应该有多少个小圆圈?为什么? (2)完成下表：
ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数
表达式、表格和图象表示出来吗?
(1)用函数表达式表示：y= -x2+6x
.
(2)用表格表示：
x/cm
12345
(6-x)/cm 5
4 32 1
y/cm2
5
8 98 5
(3)用图象表示：
y/cm2 9
7
5
3
1 O 1 23 456
x/cm
议一议
边上的小圆圈数 1
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示 这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
第6个图形应该有21个小圆圈．
(2) 边上的小圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈的总数 1
3
6
10 15
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
m=1+2+3+4+ ……+nn(n=1)
三种表示方式都必须考虑自变量的取值范围 !
【跟踪训练】
如图，
(1)你知道上面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个 图形中应该有多少个小圆圈?为什么? (2)完成下表：
ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数
表达式、表格和图象表示出来吗?
(1)用函数表达式表示：y= -x2+6x
.
(2)用表格表示：
x/cm
12345
(6-x)/cm 5
4 32 1
y/cm2
5
8 98 5
(3)用图象表示：
y/cm2 9
7
5
3
1 O 1 23 456
x/cm
议一议
边上的小圆圈数 1
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示 这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
第6个图形应该有21个小圆圈．
(2) 边上的小圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈的总数 1
3
6
10 15
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
m=1+2+3+4+ ……+nn(n=1)
§25 用三种方式表示二次函数解析法,列表法图象法PPT课件
x
y
5
议一议
①在上述问题中,自变
量x的取值范围是什么？x
y
因为x表示周长为20cm矩形的 边长,所以x>0,10-x>0.因此， 自变量x的取值范围是0<x<10.
6
议一议
②当x取何值时,长方形的面积最 大？它的最大面积是多少?
y x2 1x0 (x5 )225
（5，25）
∴当X=5时,Y最大=25
图象
直观表示了变量间变化过 程和变化趋势.
需要通过计算,才能得到 所需结果
不能反映函数整体的变化情况
函数值只能是近似值
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图 关系 象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概
括和形象化的表达. 16
提问与解答环节
Questions And Answers
17
谢谢聆听
18
• 你能分别用函数表达式,表格和图象表 示这种变化吗?
9பைடு நூலகம்
做一做
解析法—用表达式表
示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数 为x,那么它们的积y是如何随x的变
化而变化的?
用函数表达式表示：
y x x 2 即 y x 2 2 x .
10
做一做
列表法—用表格表示函
数
两个数相差2,设其中较大的一个数为
即当x=5cm时,长方形 的面积最大,它的最大 面积=25cm2.
7
议一议
③请你描述一下y随x的变化而变化的情
况. yx21x0 (x5)225
（5，25）
当0<x<5时,y随x的
增大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
《用三种方式表示二次函数》优秀课件
三种表示方式都必须考虑自变量的取值范围 !
【跟踪训练】
如图，
(1)你知道上面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图 形中应该有多少个小圆圈?为什么? (2)完成下表：
边上的小圆圈数 1
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示这 个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?Βιβλιοθήκη 气R10 温
6
O
2
O 2 4 6 8 10 12 14 161820
日期
3.水库的蓄水量与深度的关系如下表
水库深度(米)
5 10 20 30 40 …
蓄水量(万立方米) 30 80 300 550 900 …
探究一
长方形的周长为12 cm，设它的一边长为xcm，面积为 ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数
当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数
a的取值范围是（ ）.
A.a=5 B.a≥5
C.a＝3 D.a≥3
【答案】选B.
4．（咸宁·中考）已知抛物线 y ax2 bx c
（a＜0）过A（-2，0），O（0，0），B（-3，y1），
C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
第6个图形应该有21个小圆圈．
(2) 边上的小圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈的总数 1
3
6
10 15
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
【跟踪训练】
如图，
(1)你知道上面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第6个图 形中应该有多少个小圆圈?为什么? (2)完成下表：
边上的小圆圈数 1
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示这 个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?Βιβλιοθήκη 气R10 温
6
O
2
O 2 4 6 8 10 12 14 161820
日期
3.水库的蓄水量与深度的关系如下表
水库深度(米)
5 10 20 30 40 …
蓄水量(万立方米) 30 80 300 550 900 …
探究一
长方形的周长为12 cm，设它的一边长为xcm，面积为 ycm2．y随x变化而变化的规律是什么?你能分别用函数
当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数
a的取值范围是（ ）.
A.a=5 B.a≥5
C.a＝3 D.a≥3
【答案】选B.
4．（咸宁·中考）已知抛物线 y ax2 bx c
（a＜0）过A（-2，0），O（0，0），B（-3，y1），
C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
第6个图形应该有21个小圆圈．
(2) 边上的小圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈的总数 1
3
6
10 15
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
用三种方式表示二次函数PPT课件
(1)因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数．
(2)y=x2-2x=(x2-2x+1)-1＝(x-1)2-1。 因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)。
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的 (240)增2通0年大过10而观月2减察日小图；象在可对知称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大． 5
2020年10月2日
1
1、圆O的面积S与半径R的关系式为S=πR2
2、每天的平均气温与日期的关系 如图
R
气 10 温
O
6
2
日期
2 4 6 8 101214161820
3、水库的蓄水量与深度的关系 如下
水库深度(米) 5
10 20 30 40 ……
蓄水量(万米3) 30
80 300 550 900 ……
二次函数的三种表示方式有什么特点?它 们之间有什么联系?与同伴进行交流．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间
的数值对应关系；
函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程
和变化趋势；
函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出
变量之间的关系， 这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不 同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方 式表示．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
y 65
8
98
5
3
1
X/cm
2020年110月2日2 3 4 5 6
3
y/cm2 9
7
5
3
(2)y=x2-2x=(x2-2x+1)-1＝(x-1)2-1。 因此图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1．-1)。
(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧．即x<1时，y的值随x值的 (240)增2通0年大过10而观月2减察日小图；象在可对知称轴右侧，即x>1时，y的值随x值的增大而增大． 5
2020年10月2日
1
1、圆O的面积S与半径R的关系式为S=πR2
2、每天的平均气温与日期的关系 如图
R
气 10 温
O
6
2
日期
2 4 6 8 101214161820
3、水库的蓄水量与深度的关系 如下
水库深度(米) 5
10 20 30 40 ……
蓄水量(万米3) 30
80 300 550 900 ……
二次函数的三种表示方式有什么特点?它 们之间有什么联系?与同伴进行交流．
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间
的数值对应关系；
函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程
和变化趋势；
函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出
变量之间的关系， 这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不 同的需要． 它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化 为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方 式表示．
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
9
y 65
8
98
5
3
1
X/cm
2020年110月2日2 3 4 5 6
3
y/cm2 9
7
5
3
《用三种方式表示二次函数》二次函数PPT(上课用)
由表达式的顶点式和 图象,可知图象的对称 轴是:直线,顶点坐标 是:().
.如何描述随的变化而变化的情况?
由表格和图象可知随的变化而变化 的情况是:当<时随的增大而减小;当 >时随的增大而增大.
表 示 表 达 式
优点
缺点
变量间关系简 需要通过计算, 捷明了,便于分 才能得到所需 析计算. 结果 能直接得到某些 不能反映函数整 表 具体的对应值 体的变化情况 格 直观表示了变量 图 间变化过程和变 象 化趋势. 函数值只能是 近似值
()
做一做
列表法—用表格表示函数
已知矩形周长,并设它的一边 长为,面积为.
x y
用表格表示 ：
做一做
图象法—用图象表示函数
已知矩形周长,并设它的一边 长为,面积为.
用图象表示:
x y
议一议
在上述问题中,自变量的
取值范围是什么？
x
y
因为表示周长为矩形的边长,所
以>>.因此，自变量的取值范围 是<<.
y x 2x
y x 2x
2
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
.自变量的取值范围是什么? ∵表示任意一个数 ∴自变量的取值范围是: 或y x 1 全体实数
2
1.
y x2 2x
.图象的对称轴和顶点 坐标分别是什么?
或y x 1 1.
2
y x2 2x
y x x 2 即y x 2 x.
2
做一做
列表法—用表格表示函数
两个数相差,设其中较大的一个数 为,那么它们的积是如何随的变化 而变化的?
()
用表格表示：
用三种方式表示二次函数 () 公开课获奖课件
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变 化的情况是:当x<1时,y随x的增大而 减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
二次函数的三种表示方式各有什么特点? 它们之间有什么联系?
表示
表达 式 表格
优点 可以比较全面、完整、简 洁地表示出变量之间的关 系,便于分析计算.
当x=5cm时,长方形面积最大,最大面积=25cm2. 可以通过图象、表达式的顶点式等方式得到.
3、请你描述一下y随x的变化而变化的情况.
当0<x<5时,y随x的增大而增大; 当5<x<10时,y随x的增大而减小.
做一做
两个数相差2,设其中较大的一个数为x, 那么它们的积y是如何随x的变化而变 化的?
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
用三种方式表示二次函数-二次函数PPT精品教学课件3
是0<x<10.
议一议
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？ 它的最大面积是多少?
y x 10x ( x 5) 25
2 2
（5，25）
∴当X=5时,Y最大=25
即当x=5cm时,长方形 的面积最大,它的最大 面积=25cm2.
议一议
（3）请描述y随x的变化而变化的情况.
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的变化而变化的规 律是什么？你能分别用 函数表达式，表格和图 象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数 已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
2
做一做
x2-2x= (x-1)2-1
… … … -2 8 -1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 4 8 … … …
用表格表示：
做一做
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那 么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
用图象表示:
或y x 1 1.
2
y x2 2x
独立 作业
知识的升华
P63 第1、2、3题
祝你成功！
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
● 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 ● 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼· 罗兰 ● 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 ● 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 ● 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 ● 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 ● 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 ● 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 ● 辛苦是获得一切的定律。 ──牛顿 ● 提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有 创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。 ──爱因斯坦 ● 天才出于勤奋。 ──高尔基 ● 天才的十分之一是灵感，十分之九是血汗。 ──列夫· 托尔斯泰 ● 天才就是这样，终身努力，便成天才。 ──门捷列夫 ● 天才免不了有障碍，因为障碍会创造天才。 ──罗曼.罗兰 ● 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗。 ──爱迪生 ● 天才是由于对事业的热爱而发展起来的。简直可以说，天才──就其本质而论──只不过是对事业，对工作的热爱而已。 ──高尔基 ● 天生我材必有用。 ──李白 ● 天下兴亡，匹夫有责。 ──顾炎武 ● 青年时种下什么，老年时就收获什么。 ──易卜生 ● 人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ──托尔斯泰 ● 人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。──达· 芬奇 ● 人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的为人民服务之中去。 ──雷锋 ● 人的天职在勇于探索真理。 ──哥白尼 ● 人的知识愈广，人的本身也愈臻完善。──高尔基 ● 人的智慧掌握着三把钥匙，一把开启数字，一把开启字母，一把开启音符。知识、思想、幻想就在其中。 ──雨果 ● 人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正机会来临，而自己没有能力把握的时候，才能觉悟自己平时没有准备才是浪费了时间。 ──罗曼.罗兰 ● 勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 ● 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 ● 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 ● 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 ● 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦
议一议
（2）当x取何值时,长方形的面积最大？ 它的最大面积是多少?
y x 10x ( x 5) 25
2 2
（5，25）
∴当X=5时,Y最大=25
即当x=5cm时,长方形 的面积最大,它的最大 面积=25cm2.
议一议
（3）请描述y随x的变化而变化的情况.
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大
做一做
函数的表示方式
已知矩形周长20cm, 并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的变化而变化的规 律是什么？你能分别用 函数表达式，表格和图 象表示出来吗？
做一做
解析法—用表达式表示函数 已知矩形周长20cm,并设它的 一边长为xcm,面积为ycm2.
2
做一做
x2-2x= (x-1)2-1
… … … -2 8 -1 3 0 0 1 -1 2 0 3 3 4 8 … … …
用表格表示：
做一做
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那 么它们的积y是如何随x的变化而变化的?
用图象表示:
或y x 1 1.
2
y x2 2x
独立 作业
知识的升华
P63 第1、2、3题
祝你成功！
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
● 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 ● 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼· 罗兰 ● 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 ● 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 ● 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 ● 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 ● 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 ● 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 ● 辛苦是获得一切的定律。 ──牛顿 ● 提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有 创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。 ──爱因斯坦 ● 天才出于勤奋。 ──高尔基 ● 天才的十分之一是灵感，十分之九是血汗。 ──列夫· 托尔斯泰 ● 天才就是这样，终身努力，便成天才。 ──门捷列夫 ● 天才免不了有障碍，因为障碍会创造天才。 ──罗曼.罗兰 ● 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗。 ──爱迪生 ● 天才是由于对事业的热爱而发展起来的。简直可以说，天才──就其本质而论──只不过是对事业，对工作的热爱而已。 ──高尔基 ● 天生我材必有用。 ──李白 ● 天下兴亡，匹夫有责。 ──顾炎武 ● 青年时种下什么，老年时就收获什么。 ──易卜生 ● 人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ──托尔斯泰 ● 人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。──达· 芬奇 ● 人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的为人民服务之中去。 ──雷锋 ● 人的天职在勇于探索真理。 ──哥白尼 ● 人的知识愈广，人的本身也愈臻完善。──高尔基 ● 人的智慧掌握着三把钥匙，一把开启数字，一把开启字母，一把开启音符。知识、思想、幻想就在其中。 ──雨果 ● 人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正机会来临，而自己没有能力把握的时候，才能觉悟自己平时没有准备才是浪费了时间。 ──罗曼.罗兰 ● 勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 ● 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 ● 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 ● 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 ● 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦
二次函数的三种表示方法PPT学习课件
一起探究：
一、物理学家在当时经过反复试验，测量后，得到下表数据： t/s
0 1 2 3 4 5
h /m
0
4.9
19.6
44.1
78.4
122.5
1、根据数据的变化，你能判断h是t的函数吗? 解析：（1）我们学过一次函数、二次函数，反比例函数，这 三种情况都有可能出现．我们不妨假设h是t的一次函数，令 h=at+b，把数据t=0，h=0；t=1，h=4.9；t=2，h=19.6代入，可 以验证此假设不成立．而h是t的反比例函数，显然也不成立．
h是t的二次函数．
1 2 h gt . 2
可见，二次函数也有三种表示方法：数表、图像和表 达式．这三种表示方法彼此之间不但有联系，而且在某种 情况下可以互相转化．
做一做：
1 2 根据公式 h gt ，在下表中的空白处填上数据： 2
t/s h/m 0.5 1.2 1 4.9 1.5 11.0 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 122.5 19.6 30.6 44.1 60.0 78.4 99.2
2h/t2是一个定值
三、请写出用t表示h的表达式：
四、利用写出的表达式计算：当t=3.5s，4.5s时，物体下落的 高度分别是多少？这个结果是否与观察上面的图像得到的 结果一致呢？ 60.0 99.2
h 1 gt 2 2
结论：
通过反复试验，人们惊奇地发现：2h/t2是一个定值． 物理学家把这个定值叫做重力加速度．并记作g（它与自 由落体的加速度一致约为9.8m/s2）．所以用t表示h的 表达式是
义务教育课程标准试验教材(冀教版)
数学 九年级下册
34.2二次函数的三种表示方法
驶向胜利的 彼岸
《用三种方式表示二次函数》课件 2022年北师大版数学课件
3(0.022)0.0004,
0.000的4 平方根是 0.02. 即 0.00040.02.
4252 (25)2 625,
(25)2的平方根是25.
即 -252 25.
例2 判断： 〔1〕 2是4的平方根； 〔 〕
√
〔2〕 -2是4的平方根； 〔 〕
〔3〕4的平方根是2； 〔 〕
√
〔4〕4的算术平方根是-2；〔 〕
0 0 ．
练习 1.〔口答〕说出以下各数的算术平方根:
0 1 9 62
010
1
3(-5)2
6
16
1
25
9
5
10
4
1
5
3
2.9的算术平方根是____，即〔 〕2， 3 还有其它的数，它的平方也是9吗？
3 -3
3.平方等于 4 的数有几个？平方等于的
25
数呢？
如果一个数x的平方等于a，即x2=
那么这个数x叫做a的平方根〔也叫做
做一做
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较 大的一个数为x,那么它们 的积y是如何随x的变化而 变化的?
yx2 2x
用图象表示:
根据以上三种表示方式,答复以下问题:
1.自变量x的取值范围是什么?
∵x表示任意一个数,
∴自变量x的取值范围是:
全体实数
或 yx121.
yx2 2x
2.图象的对称轴和顶点 或 yx121.
(3) 121 ; (4)( 3 ) 2 ; (5)( 0.4 ) 2 .
a为任意实数,那么一定成立的算式是( )
( A )( a ) 2 a . (B) a2 a. (C ) a 2 2a 1 a 1. ( D )( a 2 1 ) 2 a 2 1 .
《用三种方式表示二次函数》教学课件00
x y
y随x的而变化的规律是什么？你能分别 用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x y
用函数表达式表示： 2 y x 10 x 即 y x
10 x 0 x 10 .
用解析法表示函数的优点,缺点 分别是什么？
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x y
用图象表示:
用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？ 比较三种表示方式,你能得出什么结论?
议一议
在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
因为x表示周长为20cm矩形的边长, 所以自变量x的取值范围是:0<x<10. x
y
列表法—用表格表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x y
用表格表示：
x 10-x y 1 9 9 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 16 21 24 25 24 21 16 9 1 9
用列表法表示函数的优点,缺点分 别是什么？
图象法—用图象表示函数
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那 么它们的积y是如何随x的变化而变化的? 用图象表示:
用图象法表示函数的优 点,缺点分别是什么？ 比较三种表示方式,你 能得出什么结论?与同伴 交流.
y x 2x
2
议一议
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么?
课堂小结
函数的表示方式 解析法—用表达式表示函数 , 列表法—用表格表示函数, 图象法—用图象表示函数.
y随x的而变化的规律是什么？你能分别 用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
解析法—用表达式表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x y
用函数表达式表示： 2 y x 10 x 即 y x
10 x 0 x 10 .
用解析法表示函数的优点,缺点 分别是什么？
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x y
用图象表示:
用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？ 比较三种表示方式,你能得出什么结论?
议一议
在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
因为x表示周长为20cm矩形的边长, 所以自变量x的取值范围是:0<x<10. x
y
列表法—用表格表示函数
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为ycm2.
x y
用表格表示：
x 10-x y 1 9 9 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 16 21 24 25 24 21 16 9 1 9
用列表法表示函数的优点,缺点分 别是什么？
图象法—用图象表示函数
图象法—用图象表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那 么它们的积y是如何随x的变化而变化的? 用图象表示:
用图象法表示函数的优 点,缺点分别是什么？ 比较三种表示方式,你 能得出什么结论?与同伴 交流.
y x 2x
2
议一议
根据以上三种表示方式,回答下列问题:
1.自变量x的取值范围是什么?
课堂小结
函数的表示方式 解析法—用表达式表示函数 , 列表法—用表格表示函数, 图象法—用图象表示函数.
用三种方式表示二次函数4ppt
４ ３
1．已知函数y=ax ＋bx＋c（a≠0）的图 象，如图所示，则下列关系式中成立的是 ( ) b b B．0＜－ ＜2 A．0＜－ 2 a ＜1 2a b b C．1＜－ 2 a ＜2 D．－ 2 a =1
训练反馈 2
2.抛物线 y ax bx c 和直线 y = ax + b 可以在同一直角坐标系中的是（ ）
问题导学
1. 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。
2. 刹车距离与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度
及路面的摩擦系数.
有研究表明:汽车在某段公路上行驶 时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离 s(m)可以由公式：
那么刹车距离与什么因素有关？ 1 v2 晴天时：s= 100 雨天时：s= 1 v2 50
14．等边三角形的边长2x与 面积y之间的函数表达式为 ． 2＋kx－2k通 15．抛物线y=x 过一个定点，这个定点的坐 标为 ．
16．某公司推出了一种高效环保型洗涤用 品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈 利的过程．图中二次函数图象（部分）刻 画了该公司年初以来累积利润S（万元）与 销售时间t（月）之间的关系（即前t个月 的利润总和S与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，：
解答下列问题
（1）由已知图象上 的三点坐标，求累积 利润S（万元）与时 间t（月）之间的函 数表达式；
（2）求截止到几月 末公司累积利润可 达到30万元； （3）求第8个月公 司所获利润是多少 万元？
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经 过点（2，9）． （1）求这个函数的表达式； （2）求出图象的顶点坐标； （3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范 围．
北师大版数学九年级下册 课件用三种方式表示二次函数
由表格和图象可知,y随x的变化而变化的 情况是:当x<1时,y随x的增大而减小;当 x>1时,y随x的增大而增大.
议一议
知识在于比较
• 二次函数的三种表示方式各有什么特点?它 们之间有什么联系? 与同伴进行交流.
表示
优点
缺点
变量间关系简捷明了,便于 需要通过计算,才能得到
表达式 分析计算.
所需结果
（5，25）
。
。
当0<x<5时,y随x的增
大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
做一做
• 两个数相差2,设其中较大的 一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
• 你能分别用函数表达式、表 格和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数
a<0, 开口
增大而增大;
a<0,在对称轴 左侧,y都随x
向下. 的增大而增大,
在对称轴右
直线x h
直线x h
侧,y都随 x的
增大而减小 .
(0,0) (0, c) (h,0)
(h, k )
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系：
二次函数 y=a(x-h)²+k的图象可以看成
y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当-h<0时,向右平移;当-h>0时,向左平移),再 沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向 上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
表格 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况
图象
直观表示了变量间变化过 程和变化趋势.
议一议
知识在于比较
• 二次函数的三种表示方式各有什么特点?它 们之间有什么联系? 与同伴进行交流.
表示
优点
缺点
变量间关系简捷明了,便于 需要通过计算,才能得到
表达式 分析计算.
所需结果
（5，25）
。
。
当0<x<5时,y随x的增
大而增大; 当5<x<10时,y随x的 增大而减小.
做一做
• 两个数相差2,设其中较大的 一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
• 你能分别用函数表达式、表 格和图象表示这种变化吗?
做一做
解析法—用表达式表示函数
两个数相差2,设其中较大的一个数
a<0, 开口
增大而增大;
a<0,在对称轴 左侧,y都随x
向下. 的增大而增大,
在对称轴右
直线x h
直线x h
侧,y都随 x的
增大而减小 .
(0,0) (0, c) (h,0)
(h, k )
二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系：
二次函数 y=a(x-h)²+k的图象可以看成
y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当-h<0时,向右平移;当-h>0时,向左平移),再 沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向 上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
表格 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况
图象
直观表示了变量间变化过 程和变化趋势.
《用三种方式表示二次函数》二次函数4精选优质 PPT
2
小圆圈的总数
3
4
5
(3)如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示 这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么?
解：(1)观察前5个图形可知，第2个图形比第1个多2个小
圆圈，第3个比第2个多3个，第4个比第3个多4个，第5个
比第4个多5个，据此第6个应比第5个多6个小圆圈，因此
第6个图形应该有21个小圆圈．
用三种方式表示二次函数
(1)自变量函x的数取值的范围表是什格么? 表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值
格和图象表示这种变化吗?
6或－1 对B应. 关系；
y1＜y2 函D数. 的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化
趋势； （乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
2<x2<3时，y1与y2的大小关系正确的是(
(2) 边上的小圆圈数 1
2
3
4
5
小圆圈的总数 1
3
6
10 15
(3) 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 ……
m=1+2+3+4+ ……+n=No Image
1.（乐山·中考）设a,b是常数，且b＞0，
抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，
则a的值为（ ）
x … -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 8 3 0 -1 0 3 8 …
3．用图象表示：
4．根据以上三种表示方式回答下列问题： (1)自变量x的取值范围是什么? (2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? (3)如何描述y随x的变化而变化的情况? (4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三 个问题的?
二次函数用三种方式表示二次函数课件ppt
三种方式所表示的二次函数表达式形式相同，只 是符号不同。
04
应用举例
在求解最值中的应用
总结词
在求解二次函数最值时，通常有三 种方法，分别为配方法、判别式法 和利用二次函数图像。
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式 ，再利用顶点式求出最值。
判别式法
通过使用判别式求出二次方程实数 根的分布，进而求出最值。
熟悉相关性质和概念
二次函数定义和性质
二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函 数
二次函数的性质：二次项系数a控制函数的开口方向和大小，一次项系 数b控制函数图像的对称轴，常数项c控制函数图像的截距
二次函数的图像为抛物线
02
二次函数的三种表示方法
顶点式
总结词
顶点式，也称为点对式或唱筹式，是二次函数表示中最简单 的方法之一。
通过观察与坐标轴学习题
习题1
根据二次函数表达式，画出函 数图像。
习题2
已知二次函数图像上的三个点 ，求函数的解析式。
习题3
将二次函数的一般式化为顶点 式，并指出图像的开口方向、
对称轴以及顶点坐标。
思考题：探究二次函数图像的性质
01
02
03
探究1
观察不同的二次函数图像 ，总结它们的共性和差异 。
交点式
总结词
交点式也称为韦达定理或求根公式，它反映了二次函数与x轴交点的特征。
详细描述
交点式表示的二次函数为 f(x) = (x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数与x轴的两 个交点坐标。这个公式适用于需要求解二次方程根的问题，但计算较为复杂。
03
比较与联系
三种表示方式的比较
04
应用举例
在求解最值中的应用
总结词
在求解二次函数最值时，通常有三 种方法，分别为配方法、判别式法 和利用二次函数图像。
配方法
通过配方将二次函数转化为顶点式 ，再利用顶点式求出最值。
判别式法
通过使用判别式求出二次方程实数 根的分布，进而求出最值。
熟悉相关性质和概念
二次函数定义和性质
二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函 数
二次函数的性质：二次项系数a控制函数的开口方向和大小，一次项系 数b控制函数图像的对称轴，常数项c控制函数图像的截距
二次函数的图像为抛物线
02
二次函数的三种表示方法
顶点式
总结词
顶点式，也称为点对式或唱筹式，是二次函数表示中最简单 的方法之一。
通过观察与坐标轴学习题
习题1
根据二次函数表达式，画出函 数图像。
习题2
已知二次函数图像上的三个点 ，求函数的解析式。
习题3
将二次函数的一般式化为顶点 式，并指出图像的开口方向、
对称轴以及顶点坐标。
思考题：探究二次函数图像的性质
01
02
03
探究1
观察不同的二次函数图像 ，总结它们的共性和差异 。
交点式
总结词
交点式也称为韦达定理或求根公式，它反映了二次函数与x轴交点的特征。
详细描述
交点式表示的二次函数为 f(x) = (x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数与x轴的两 个交点坐标。这个公式适用于需要求解二次方程根的问题，但计算较为复杂。
03
比较与联系
三种表示方式的比较
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3.如何描述y随x的变化而变化的情况?
由表格和图象可知,y随x的变化而变化的情况是:当x<1 时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
4.你是分别通过哪种表示方式回答一面三个问题的?
议一议 11
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
二次函数的三种表示方式各有什么特点? 它们之间有什么联系?与同伴进行交流.
x
y
用函数表达式表示：
y x10 x即y x2 10 x0 x 10.
用解析法表示函数的优点,缺点分别是什么？
做一做 3
列表法—用表格表示函数
驶向胜利 的彼岸
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
用表格表示：
x
123456789
10-x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
用函数表达式表示：
y xx 2即y x2 2x.
或y x 12 1.
用解析法表示函数的优点,缺点分别是什么？
做一做 8
列表法—用表格表示函数
驶向胜利 的彼岸
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们 的积y是如何随x的变化而变化的? ？
用表格表示：
x y x 12 1.
… … …
-2 8
y
9 16 21 24 25 24 21 16 9
用列表法表示函数的优点,缺点分别是什么？
做一做 4
图象法—用图象表示函数
驶向胜利 的彼岸
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
用图象表示:
用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？ 比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.
用三种方式表示二次函数
做一做 1
函数的表示方式
驶向胜利 的彼岸
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
x
y
y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式， 表格和图象表示出来吗？
勇敢表现奖属于自信的人！
做一做 2
解析法—用表达式表示函数
驶向胜利 的彼岸
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2.
做一做 6
梅花香自苦寒来
驶向胜利 的彼岸
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么 它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？
用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这 种变化吗?
做一做 7
解析法—用表达式表示函数
驶向胜利 的彼岸
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们 的积y是如何随x的变化而变化的? ？
-1 3
0 0
1 -1
2 0
3 3
4 8
… … …
用列表法表示函数的优点,缺点分别是什么？
做一做 9
图象法—用图象表示函数
驶向胜利 的彼岸
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y 是如何随x的变化而变化的?
y x2 2x
用图象表示:
用图象法表示函数的优点,缺点分别是什么？ 比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.
议一议 5
悟 出真谛
驶向胜利 的彼岸
在上述问题中,自变量x的取值范围是什么？
因为x表示周长为20cm矩形的边长,所以自 变量x的取值范围是:0<x&何值时,长方形的面积最大？它的 最大面积是多少?你是怎么得到的?请你 描述一下y随x的变化而变化的情况.
当x=5cm时,长方形的面积最大,它的最大面积=25cm2. 由表达式的顶点式,表格中结果,图象的最高点都可得到. y随x的变化而变化的情况是:当0<x<5时,y随x的增大而增 大;当5<x<10时,y随x的增大而减小.
小结 拓展 回味无穷
函数的表示方式
解析法—用表达式表示函数 , 列表法—用表格表示函数, 图象法—用图象表示函数.
二次函数的三种表示方式的特点, 它们之间的联系.
驶向胜利 的彼岸
知识的升华
独立 作业
祝你成功！ 驶向胜利
的彼岸
结束寄语
下课了!
• 观察,思考,感悟是能否进入数 学大门,领略数学奥妙的关键.
表示 表达式 表格
优点
变量间关系简捷明了,便于分析 计算.
能直接得到某些具体的对应值
缺点 需要通过计算,才能得到所需结 果.
不能反映函数整体的变化情况
图象
直观表示了变量间变化过程和 变化趋势.
函数值只能是近似值..
表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表 关系 格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.
议一议 10
悟出经验
驶向胜利 的彼岸
根据以上三种表示方式,回答下列问题: 1.自变量x的取值范围是什么? ∵x表示任意一个数,∴自变量x的取值范围是:全体实数.
2.图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? 由表达式的顶点式和图象,可知图象的对
y x2 2x
称轴是:直线x=1,顶点坐标是:(1,-1).