建立一元二次方程模型课例

教学目标

知识与技能：1、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。

2、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。

过程与方法：在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性理解。

情感、态度与价值观：通过把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程，体验数学来源于生活，并服务于生活，激发学生学习数学的兴趣。

重点难点

重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。

难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。

教学过程

（一）创设情境

前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续实行建立方程模型的探究。

1、多媒体展示课本P.2问题一

引导学生设人行道宽度为xm，表示草坪边长为35-2xm，找等量关系，列出方程。 (35-2x)2=900 ①

2、多媒体展示课本P．2问题二

引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系?怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程？

通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相遇，用s表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程：2t+ ×0.01t2=3t ②

3、能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：

4x2-140x+325=0，③ 0.01t2-2t=0。④

【设计意图】学生已经学习过一元一次方程和二元一次方程组，课堂开始设计两个实际问题让学生利用方程思想实行解答，学生感到并不陌生，承前启后，有利于新旧知识的联系。但是通过尝试学生发现建立的方程模型与我们以前学习的方程模型不同，从而顺利的引入到本节课的学习。

（二）探究新知

1、观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：

如果一个方程通过移项能够使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是： ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。

2、让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项。

【设计意图】通过认真观察建立的方程模型特征，结合以前对方程的命名方法，对今天学习的方程实行命名。落实本节课的知识与技能目标。

（三）讲解例题

例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

[解]去括号，得 3x2+5x-12=x2+4x+4，

化简，得 2x2+x-16=0。

二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-16。

点评：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0。此外要使学生理解到：二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的。

例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程?

(1) 2x+3=5x-2； (2) x2=25；

(3) (x-1)(x-2)=x2+6； (4) (x+2)(3x-1)=(x-1)2。

[解]方程(1)，(3)是一元一次方程；方程(2)，(4)是一元二次方程。

点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义。

【设计意图】学以致用，检测学生对一元二次方程概念的理解，养成合作学习的良好习惯，培养学生认真、严谨的思维习惯。落实教学目标。

（四）应用新知

课本P．4，练习第3题，

【设计意图】加深学生对一元二次方程方程概念的理解，掌握一元二次方程方程必须具备的两个特征，能准确区分一元一次方程、一元二次方程和分式方程。检查本堂课的教学效果，对学习有困难的学生实行小组合作辅导和师生个别辅导。

（五）课堂小结

1、一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。

2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次

项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。

3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

【设计意图】让学生归纳本堂课的知识要点，自由谈一谈本节课的收获，检查本堂课的教学效果，同时学会对所学知识实行归纳小结，养成良好的学习习惯。

（六）思考与拓展

当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?

当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程。

【设计意图】加深对一元二次方程方程概念的理解，深化本节课的知识要点，让不同层次的学生得到不同的发展。

布置作业

课本习题1.1中A组第1，2，3题。

【设计意图】巩固所学知识，进一步检测教学效果。

教学反思：

1、一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，必须具备a≠0的条件，学生学习和今后的应用中最容易忽略这个点。在所研究的问题中，如果明确指出方程

ax2+bx+c=0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0；若没有特别说明，方程ax2+bx+c=0既可能是一元二次方程（当a≠0时），也有可能是一元一次方程（当a=0时）。

2、一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能准确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。