2017年北京四中自主招生数学试卷

2017年北京四中自主招生数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）

1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°

2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数

C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数

3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k 的值为（）

A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1

4．（5.00分）代数式的最小值为（）

A．12 B．13 C．14 D．11

5．（5.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数．连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为（）A．B．C．D．

6．（5.00分）1×2+2×3+3×4+…+99×100=（）

A．223 300 B．333 300 C．443 300 D．433 300

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

7．（5.00分）多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．

8．（5.00分）已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．

9．（5.00分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC 的度数是．

10．（5.00分）方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1=0的较大根为a，方程x2+2006x ﹣2007=0的较小根为b，则a﹣b=．

11．（5.00分）已知x=，则x3+12x的算术平方根是．

12．（5.00分）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是．

三、解答题（共5小题，满分60分）

13．（10.00分）现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体．在这些小正方体中，求：

（1）两面涂有红色的小正方体的个数；

（2）任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率；

（3）若将原正方体每条棱n等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数．14．（10.00分）已知x，y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．

15．（12.00分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角边BC与直角坐标系中的x轴重合，其内切圆的圆心坐标为P（0，1），若抛物线y=kx2+2kx+1的顶点为A．（1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；

（2）用k表示B点的坐标；

（3）当k取何值时，∠ABC=60°？

16．（14.00分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；

（2）求证：OB2=PB•PQ+OP2；

（3）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围．

17．（14.00分）平面上有n个点（n≥3，n为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．

2017年北京四中自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）

1．（5.00分）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°

【分析】首先明确cos30°=，sin80°=cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．

【解答】解：∵cos30°=，sin80°=cos10°，余弦函数随角增大而减小，

∴10°＜A＜30°．

故选：D．

【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．

2．（5.00分）实数b满|b|＜3，并且有实数a，a＜b恒成立，a的取值范围是（）A．小于或等于3的实数B．小于3的实数

C．小于或等于﹣3的实数D．小于﹣3的实数

【分析】熟悉绝对值的意义，根据绝对值的意义求得b的取值范围，再根据a，b的关系求得a的取值范围．

【解答】解：∵|b|＜3，∴﹣3＜b＜3，

又∵a＜b，

∴a的取值范围是小于或等于﹣3的实数．

故选：C．

【点评】此题考查了绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，更直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．

3．（5.00分）x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k

的值为（）

A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，再根据x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2代入已知条件中，求得k的值．

【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．

又x12+x1x2+x22=2k2，

则（x1+x2）2﹣x1x2=2k2，

即1﹣k=2k2，

解得k=﹣1或．

当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．

∴取k=﹣1．

故选：A．

【点评】注意：利用根与系数的关系求得的字母的值一定要代入原方程，看方程是否有实数根．

4．（5.00分）代数式的最小值为（）

A．12 B．13 C．14 D．11

【分析】先将原式可化为+，代数式的值即P（x，0）到A（0，﹣2）和B（12，3）的距离之和，显然当P为“x轴与线段AB交点”时，PA+PB=AB最短．

【解答】解：如图所示：设P点坐标为P（x，0），

原式可化为+，

即=AP，=BP，

AB==13．

代数式的最小值为13．

故选：B．