高二数学复数的定义和复数的坐标表示(教师版)

学科教师辅导讲义

年级：高二辅导科目：数学课时数：

课题复数的概念和复数的坐标表示

教学目的

1、理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念；

2、理解两个复数相等的概念；

3、理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础；

4、掌握复数模的概念，理解复数的模与向量模的关系，复数模与实数绝度值的关系。

教学内容

【知识梳理】

1.虚数单位i:

()1它的平方等于1-，即21

i=-;

()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2.i与－1的关系:i就是1-的一个平方根，即方程21

x=-的一个根，方程21

x=-的另一个根是i-.

3.i的周期性：41n i i

+=, 421

n

i+=-, 43n i i

+=-, 41

n

i=.

4.复数的定义：形如(,)

a bi a

b R

+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示

5.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)

z a bi a b R

=+∈，把复数表示成a bi

+的形式，叫做复数的代数形式.

6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)

a bi a

b R

+∈，当且仅当0

b=时，复数(,)

a bi a

b R

+∈是实数a；当0

b≠时，复数z a bi

=+叫做虚数；当0

a=且0

b≠时，z bi

=叫做纯虚数；当且仅当0

a b

==时，z就是实数0

7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C

苘苘

8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a，b，c，d R

∈，那么a bi c di

+=+⇔a c=,b d

=

5. 把复数z 1 与z 2所对应的向量→OA 、→

OB 分别按逆时针方向旋转4π和3

4π

后，恰重合于向量→OM 。若z 2＝ 1 －3 i , 则z 1等于 （ ）

(A) － 2 －2i (B)－2＋2i (C) 1 －3i (D) 1 ＋ 3i

解：B

【课后练习】

1、复数2

(1)(35)2(23)i m i m i +-+-+时纯虚数时，实数m 的取值为 4 或-1

2、a=0是复数z=a+bi 是纯虚数的 必要 条件（必要，充分，充要）

3、如果2

10(7)z a a i a R =+-∈中（）,Rez=Imz 则a = 2或5 4、求是和下列各等式的x,y

222222(1)()(24)138;(2)()22;

(3)(1130)(6)0

x y x y i i x y xyi i x x y y i ++-=--+=--+++-=

答案：

（1）1825

,135x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩

或（2）11,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或（3）5566,,3232x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-==-=⎩⎩⎩⎩或或或 5、已知x 为实数，是否存在实数a 使得复数22

212123(1)271?z x x a i z x a ax z z =+-+=+

-->和（+）i 满足关系 若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。

答案：a<-2或a>4

6、若复数(1-a)+(a 2-4)i(i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a 的范围为____________.

解：本题考查复数概念以及不等式组解法等问题.由题意知

解之得1＜a ＜2.解：(1，2)

7、在----8642013579，，，，，，，，这10个数中，任取两个作为虚数a bi +的实部和虚部()a b ≠，则可能组成模大于5的不同的虚数的个数为 （ ） （A ）61 （B ）63 （C ）64 （D ）65

解：⑴若复数的实部为0，则虚部只能取－8，－6，7，9这四个数。故有4个；

⑵若复数的实部不为0（因虚部不能为0）。

①若实部为－8，－6，7，9，则虚部可取除0，－8，－6，7，9外的其余数，有401815=⋅C C 个。 ②若实部为－4，－2，1，3；则虚部也不能为这四个数与0，故有201

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=⋅C C 个。 从而共有4+40+20=64个。 C

8、若复数z 满足方程220z +=，则3z = （ D ）