第二章 信号分析与处理-3

q
x(n) bru(n r) u(n) 式中 b0 1 ， r 1
q
H (z) B(z) 1 br z r r 1
q
2
S (e j ) 2 1 br e jr
r 1
该模型称为移动平均模型，简称 MA 模型，它是 一个全零点的模型。它的含义是：该模型现在的 输出是现在的输入和过去 q 个输入的加权和。
谱”，这是由一个或多个纯正弦所组成的功率谱，
这是两种极端的情况，介于二者之间的既有峰点
又有谷点的谱，这种A谱RM称A为“
”谱。
显然 ARMA 模型是一个极---零模型，它易于反映 功率谱中的峰值和谷值。 AR 模型易反映谱中的 峰值。而 MA 模型易反映谱中的谷值。 AR ，MA 和 ARMA是功率谱估计中最主要的参数 模型。AR 模型是一组线性方程，MA，ARMA 模型 是非线性模型。
2.5.3 AR模型参数的计算
如果已知 x(n) 的自相关函数 R(0),R(1),...,R( p)，可以 根据递推算法求解，即先由低阶 (a11, E1) (a21, a22 , E2 ) 开始，…递推到P阶的所有参数 (aki , E p ) ，式
中 aki 系数的下标，k 代表阶次，i 代表系数的序
N个数据， xN (n), n 0,1,..., N 1 ，则计算AR模型的 参数有两种方法
（a）先求出
x(n) 的自相关函数估计
^
R(m)
^
R(m)

1 N
N 1
xN (n)xN (n m)
n0
然后利用上述递推法求解。
m 0,1,2,...,p
（b）直接用数据 xN (n) ，利用最小方差误差原理，
若 x(n) 是平稳的，且方差为有限值，则 ARMA 模 型或 MA模型都可以用一个阶次 p 为无限大的 AR 模型来近似。这一结论是重要的，因为如果模型 选择的不合适，但只要阶次足够高，那也能得到 好的结果。
2.5.2 AR模型和线性预测 随机序列x(n)的AR模型为
p
x(n) ak x(n k) u(n) k 1
若 x(n) 是平稳的，u(n) 是一个方差为 2
的白噪声Βιβλιοθήκη Baidu列，h(n) 是模型的单位样值响应，
则
的x(n自) 相关函数为
R(m) Ex(n)x(n m)
R(m) Ex(n)x(n m)

p

Ex(n)u(n m) ak x(n k m)
号 1 i k ，其递推步骤为
（1）给定 p 1 时的参数，作为逆推的初始条件 当 p 1 时，有
R(0)

R(1)
R(1) 1 R(0)a11


E1

0

可以解出：
a11 R(1) / R(0),
E1 R(0)(1 a11 2 )
p
Elp E e2 (n) E{[ x(n) k x(n k)]2}
k 1
对上式求预测的最小均方误差
令
Elp 0
m
m 1,2,3,...,p
可得最小均方误差 E p
p
E p R(0) k R(k) k 1
（1）
对应于AR模型的自相关函数（ m 0 时）
...
... ...
R( p) R( p 1) ...
R(0)

则由该式所求出的系数 a1, a2 ,..., a p 所构成的 A(z) 的根都在单位圆内，因而AR模型是稳定的。
所求出的 E1, E2 ,..., E p 是对应相应的最小预测误
差能量，显然，他们都应大于零，即：
∵ R(0) E0
∴ E1 E0 (1 a11 2 )
（2）当阶次 p 2 时
若已知第 p 1 阶参数 a p1,1 , a p1,2 ,..., a p1, p1 , E p1, p1 ,
对第 p 阶参数：式中 i 1,2,...,p 1
p 1
a p, p [R( p) a p1,i R( p i)] / E p1 i 1
^
p
e(n) x(n) x(n) x(n) k x(n k)
k 1
如果把 x(n) 看作是P阶预测器的输入，e(n) 是其输出， 则该P阶预测器的转移函数
p
A(z) 1 k z k k 1
（a）P阶线性预测器
（b）P阶AR模型
若 x(n) 是随机序列， e(n) 也是随机序列， 将线性预测误差能量的均值定义为

k 1

p
Ex(n)u(n m) ak Ex(n)x(n k m) k 1
p
Ex(n)u(n m) ak R(m k) k 1
对于第一项为
Ex(n)u(n m) E h(r)u(n r)u(n m)
r0
H (z) B(z) h(k)z k
A(z) k0
式中：
p
A(z) 1 ak z k
k 1
q
B(z) 1 br z r r 1
为了保证 H (z) 是一个稳定的，且有最小相位的系
统， A(z)，B(z) 的零点都在单位圆内。
假定 u(n) 是一方差为 2 的白噪声序列，由随机信 号通过线性系统的理论可知，输出序列功率谱为
| akk | 1, 且 Ek Ek1 ... E0 因此，在递推过程中，如所有 Ek 0 , 或 Ek Ek1
所有的反射系数 | akk | 1 ， 则AR模型是稳定的
判定AR模型稳定的依据有
⑴自相关矩阵正定
⑵ A(z) 的根都在单位圆内 ⑶预测误差能量 E1 E2 ... E p 0
不论 x(n) 是确定性信号还是随机信号，对于上述 线性系统， u(n) 和 x(n) 之间总有如下的输入、
输出关系。
p
q
x(n) ak x(n k) bru(n r)
k 1
r0
及

x(n) h(k)u(n k)
k 0
对上式两边分别取 z 变换，并假定 b0 1 ，可得
p
R(0) 2 ak R(k) k 1
p
或
2 R(0) ak R(k)
k 1
（2）
因为信号的自相关函数是相同的，比较式（1）和
式（2）必有：
k ak
k 1,2,,...,p
Ep 2
上述结果表明，一个P阶AR模型的P+1个参数
(a1,a2,...,ap , 2 )同样可以构成一个P阶的最佳线性预测
由z变换的极限定理
lim H (z) h(0)
z
代入AR模型
lim H (z)
z
1
p
1 lim
z k
1
z k 1
∴ h(0) 1
p
R(m)

0


2
ak R(m k)
k 1
p
ak R(k)
k 1
m 1 m0
∵ R(k) 是个偶函数， R(k) R(k)
2.5.1 随机信号的参数模型
u(n)
x(n)
H (z)
图2.5.1 离散线性系统
上图中 H (z) 是一个稳定的因果的线性时不变离散
时间系统，其单位抽样响应 h(n) 是确定性的。
输出序列 x(n) 可以是平稳的随机序列，也可以是 确定性的时间序列。若 x(n) 是确定性的，则 u(n) 是一个冲击序列，若 x(n) 是随机的，u(n) 应是一 个白噪声序列。
a p,i a p1,i a p, p a p1, pi
2
E p E p1 (1 a pp )
在上述递推中，总是先由上一阶的参数，先求出本
阶的参数 app ，然后求出 E p ，
再求 a p1 , a p2 ,..., a p, p1
若 x(n) 的自相关函数不是已知的，而知道的仅是
S (e j ) 2 H (e j ) 2
2 B(e j ) 2
A(e j ) 2


2 B(e j )B (e j A* (e j ) A(e j )
)
因此，如果能求出上述传递函数中的参数
ak (k 123... p) 和 br (r 123...q) ，那么便可求出H(Z) （1）若 ak 0 ，(k 1，2，3，...p) ,则：
器。该预测器最小预测均方E差p 等于AR模型激励
白噪声的能量（方 2差 ），反过来，若要求一AR
模型的输出是同阶预测的，那么该AR模型输入信号
的能量一定要等E p于 是等价的。
。所以AR模型和线性预测器
由此可以看出AR模型是在最小方差意义上对数据的 拟合。一般 A(z) 称逆滤器，或白化过滤器，即当阶 次 p 时，误差序列 e(n) 变成白噪声。
第二章.信号分析与处理3
2.5参数模型的功率谱估计
参数模型法是现代谱估计的主要内容，参数 模型法的思路是： （1）假定所研究的过程 x(n) 是由一个输入序列 u(n) 激励一个线性系统 H (z) 的输出。
（2）由已知的 x(n) ，或其自相关函数 Rx (m) 来估 计 H (z) 的参数。
（3）由 H (z) 的参数来估计 x(n) 的功率谱。
直接计算
a1,
a2
,...,
a
p及E
。
p
2.5.4 AR模型的稳定性及阶次p的确定
根据z变换的知识可知，一个AR模型稳定的充要 条件是其转移函数 H (z)的极点都在单位圆内，也 即 A(z) 的根都在单位圆内。
R(0) R(1) ... R( p)
若

R(1)
R(0)
... R( p 1) 正定
设已知P个数据，x(n p),...x(n 2), x(n 1) ，由此，我
^
们可以利用线性方程预测下一个数据 x(n) ，设
^
p
x(n) k x(n k)
k 1
这里 k(k 1,2,..., p) 是已知常数，由于上式为线性方
程，因此称这种预测为线性预测，其预测误差为
上式写成矩阵形式
R(0) R(1) ... R( p) 1 2

R(1)
...
R( p)
R(2) ...
R( p 1)
... ... ...
R(
p

1)

a1

... ...
R(0)

a
p



0 ... 0
型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加
权和。
（3）若 a1，a2，...a p，b1，...bq 均不全为零， 该模型称为“自回归-----移动平均模型”，简称
ARMA 模型。ARMA模型是一个既有极点，又有 零点的模型。
工程实际中的功率谱大体可分为三种，一种是
“平谱”，即白噪声的功率谱，另一种是“线


h(r)Eu(n r)u(n r) (m r)
r 0

h(r) 2 (m r) r 0
2h(m)
仅在 m r 0 处有值
即：
0
E{x(n) u(n m)} 2h(0)
m0 m0
（对于因果系统，h(m) 0 ，当 m 0 时）
2）若 b1，b2，...bq 全为零，则有
p
x(n) ak x(n k) u(n) k 1
H(z) 1
1
A(z)
p
1 ak z k
k 1
S (e j )
2
p
2
1 ak e jk
k 1
该模型称为自回归模型，简称 AR模型。它是一个
全极点的线性模型。“自回归”的含义是：该模

AR模型待求的参数： 一是激励白噪声的方差 2 ，二是模型的阶次p
三是一组系数 a1, a2 ,..., a p ，在给定阶次p和方差
2 后，用矩阵求逆的办法可以方便的求出系数 a1, a2 ,..., a p ，对上述矩阵存在高效的递推算法。
为了便于理解AR模型的一些性质，先介绍线性预测 的基本概念。
⑷反射系数 | akk | 1 , k 1,2,...,p
在递推中（由于舍入误差等的影响）若出
现 Ek 0 , 或 | akk | 1 应停止递推。
模型阶次p是AR模型的一个重要参数，在递推前， 通常是不知道的，需要事先给定一个值，或在递 推过程中确定在递推中由低阶到高阶的每一组参 数都将给出，且 Ek 在递减。当 Ek 减小到希望 值时，阶次p即可被确定了。