第二章 正弦交流电路
电工学-正弦交流电路
O
f 而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故
XL 与 f 的关系 可视为开路。
2.3.3 电容元件的交流电路
1. 电压电流关系 i
+
u
C
–
i
u Um sint i Im sin( t 90 )
+j •
u
I
波 形O 图
电流超前电压 90 电压与电流大小关系 电压与电流相量式
t
U XCI U jXC I
2.1 正弦电压与电流 I, U
直流电路在稳定状态下电流、电压的大
小和方向是不随时间变化的，如图所示。
正弦电压和电流是按正弦规律周期性
变化的，其波形如图示。
O u, i
t
电路图上所标的方向是指它们的参考
方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于的参考方向与实际方
+
向相反，所以为负值。
实
i
O i
t
际 方
第 2 章 正弦交流电路
在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应 用更为广泛。
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所 产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。
本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分 析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。
本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物 理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。
•
UL
为正
时电路 中电压 电流相 量图
•
• UL UC
•
U
•
UR
•
UC
的大小和正负由
电工电子技术-第2章 正弦交流电路
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
电工学 正弦交流电
相量
复数表示法 复数运算
相量的复数表示—相量式
将复数 A 放到复平面上，可如下表示：
j
•
A
A a2 b2
bU
tan 1 b
+1
a
a
A a jb A c o s jA sin
•
A
b A
a
欧 拉
cos
e j e j 2
公 式
sin
e j
e j
2j
A a jb A(cos jsin )
t
i i 领先于
1
2
相 位
i1
落 后
2 1
i2
120 t i i1 落后于 2
三相交流电路：三种电压初相位各差120。
uA uB uC
t
可以证明同频率正弦波运算后，频率不变。
如： u1 2U 1sin t1 u2 2U 2sin t2
uu1u2
2U1sin t1 2U2sin t2 2Usin t 幅度、相位变化
复数
瞬时值
正误判断
已知： i1s0i n t4 ()5
？ I 10 45 2
j45
有效值
？ Im10e45
正误判断
已知： u2 1s0i(n t 1)5
则：
U10？15
？ U 1 0ej15
正误判断
已知： I10 5 00
则： i 1
Im 2I102 0
代数式
A e j
指数式
A
极坐标形式
相量的复数运算
1. 加 、减运算 • 设： A 1 a 1 j b1 • A 2 a 2 jb2
则：
•• •
电工第2章 正弦交流电路
图2-2 正弦交流电波形图
2.1 正弦交流电量及基本概念
(1)最大值 又称为幅值，是正弦量的最大值，用带右下标m的大写 字母表示，如Im、Um、Em分别表示正弦电流、正弦电压、正弦电动 势的最大值。 (2)角频率ω 在单位时间内正弦量所经历的电角度，用ω表示，其单 位为弧度每秒(rad/s)。正弦交流电变化一次所需的时间，称为周期T， 其单位为秒（s），正弦量在单位时间内变化的次数，称为频率f， 其单位为赫[兹](Hz)。
图2-9 纯电阻电路
2.3 单一参数元件的正弦交流电路
(2) 有效值关系 由电流与电压的幅值关系Im= Um /R，两端同除 以 ，可得它们的有效值关系为U=IR (3) 相量关系 因为电流i和电压u均为同频率的正弦量。 相量形式为 2.电阻元件的功率 (1) 瞬时功率 在关联参考方向下，电阻元件的 瞬时功率(用小写字母p表示)：
图2-4 两正弦量的同相与反相
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.1 已知正弦量u=220sin(314t + 30°)V， 试求正弦量的三要素、有效值及变化周期。 解：对照式(2-1)，可知三要素：
2.1 正弦交流电量及基本概念
例2.2 已知正弦电压u和正弦电流i1、i2的瞬时表达式为u = 310sin(ωt -45°)V，，i2=28.2sin(ωt +45°)A，试以电压u为参考量重新写出u和 电流i1、i2的瞬时值表达式。 解：以电压u为参考量， 则电压u的表达式为 由于i1、i2与u的相位差为
2.2 正弦交流电的相量表示方法
2.2.2 正弦量的相量表示法 正弦量和相量是一一对应关系（注意：正弦量和相量不是相等
关系！）。在复平面中，例如相量可用长度为 ，与实轴正向的夹 角为ψ的矢量表示。这种表示相量的图形称为相量图。如图2-7所示
第二章正弦交流电的表示方法讲述案例
电工电子技术
参数 见书32页
2、电容
（1）电容是表征电容器容纳电荷本领的物 理量，用字母C表示，单位是F（法拉）。
1F=106μF=1012pF （2）电容的大小与极板间的介电常数ε，电 容极板的正对面积S，电容极板的距离d有关。
即： C S （k为静电力常量） 4 kd
电工电子技术
（3）电容器极板上储存的电量q与外加电压 u和电容C成正比。
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量图
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
U
RRR
I
电工电子技术
（2）电阻元件上的功率关系
1)瞬时功率 p
瞬时功率用小写！
i Im sin ( t) 则 p u i Um sin t • Im sin t
成正比，与感抗成反比 I U U U
X L L 2 fL
电工电子技术
2 电路的功率
p
i
p ui
ωt
u
说明：（1） p>0，电感线圈吸取电能，并以磁能的方式 储存起来 （2） p<0，电感线圈把储存的磁能转换为电能， 还给电路
电工电子技术
2）平均功率 P
P 0 电感元件不耗能！
3）无功功率 Q
+ 负极，使电容器带电的过程称为
US －
充电。
结果：把从电源获得的电能储存 在电容器中，两极板之间有电压
电工电子技术
b 放电
+q E -q
第2章_正弦交流电路
ψ
+
90
°
- jA
- jA = 1 - 90° × r ψ = r ψ − 90°
三. 正弦量的相量表示法 相量：表示正弦量的复数。 相量：表示正弦量的复数。
相量表示方法: 相量表示方法: 设正弦量: 设正弦量: i = I msin( ω t + ψi )
大写字母上打点， 大写字母上打点，表示相量 模 =正弦量的最大值 & 最大值相量 Im = Imejψi = Im ψi 辐角= 辐角=正弦量的初相角 有效值相量
i1 i3 i2
i2 =
2 I 2 sin ( ω t + ψ 2 ), 求 i3 = i1 + i2
结论： 同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 结论：●同频正弦量运算后仍得到同频的正弦量。 直接进行正弦量的运算很繁琐。 ●直接进行正弦量的运算很繁琐。 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示， 解决办法：把正弦量用相量（复数）表示，先进行复数 运算，求出相量解， 运算，求出相量解，再根据相量解写出正弦量瞬时值表 达式。这种分析方法称为相量法。 达式。这种分析方法称为相量法 相量法。
正弦量的波形
i
Im
ψ
ωt
i = I m sin(ω t + ψ )
幅值（最大值） I m ： 幅值（最大值） 角频率（弧度/ ω ： 角频率（弧度/秒）
特征量: 特征量:
ψ ： 初相角
2.1.1 正弦量的三要素
1. 幅度(最大值)： 幅度(最大值) 最大的瞬时值，对确定的正弦量而言是一个常 最大的瞬时值， 量。最大值必须用带下标m的大写字母表示。 最大值必须用带下标m的大写字母表示。 如：Um、Im。
超前i （1）ϕ >0， u超前 ， 超前 滞后u 或i滞后 滞后
正弦交流电路介绍
（3） 把相量再表示为正弦量 ）
I& = 65 . 5 10 . 37 0
i = 65 . 5 2 s in( 314 t+ 10 . 37 0 ) A
注意： 注意： 1. 只有对同频率的正弦周期量，才能应用对应 只有对同频率的正弦周期量， 同频率的正弦周期量 的相量来进行代数运算。 的相量来进行代数运算。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上 2. 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 3. 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系 正弦量与相量是对应关系 是对应关系， 不是相等关系 正弦交流电是时间的函数） （正弦交流电是时间的函数）。 4. 可推广到多个同频率的正弦量运算。 可推广到多个同频率的正弦量运算。
相位差： 相位差：同频率正弦量的相位 角之差或是初相角之 称为相位差， 表示。 差，称为相位差，用ϕ表示。 设正弦量： 设正弦量： i = I sin(ω t + ψ ) u = U sin(ω t + ψ )
m i
i和u的相位差为：ϕ = (ω t + ψ i ) − (ω t + ψ u ) 和 的相位差为 的相位差为：
i = 10 2 s in( ω t+ 45 0 ) A
最大值相量） I& m = I m ψ （最大值相量） 有效值相量） & I = I ψ （有效值相量）
I& = 10 45 0 A
相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示， 相量和复数一样，可以在复平面上用矢量来表示，表示 相量的图称为相量图 相量图。 相量的图称为相量图。 j 例： i = 20 2 s in( ω t+ 30 0 ) A
第二章正弦交流电路
第2章 正弦交流电路判断题正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ]答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ]答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ]答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ]答案:X正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= 。
[ ] 答案:X单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
正弦交流电路_RLC串联电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
参数
iR
a
b
i I m sin t
+u−
瞬时值关系 u R i
大小关系
U=IR
相位关系 相量关系 有功功率
电压与电流同相 U R I
P UI U 2 I2R R
无功功率
0
iL L
a
b
+u−
u L diL dt
U X LI ωLI
电压超前电流90° U jX L I
U&
Z eq Z1 Z 2
第二章 正弦交流电路
2.阻抗并联 I&
+ U& −
I&1 I&2 Z1 Z2
I&1
Z2 Z1 Z2
I&
I&2
Z1 Z1 Z2
I&
2.3 正弦交流电路的分析
I&
+
U&
Zeq
−
Z eq
Z1Z2 Z1 Z2
第二章 正弦交流电路
2.3 正弦交流电路的分析
2.3.3 RLC串联电路的阻抗（复阻抗）
.
I jL
+ .
+
. UL
−
+.
U
R UR
−
−
(1) I U R jωL U
(2) I R2 (ωL)2
(3) u uR uL
第二章 正弦交流电路
(4)| Z| R2 (L)2
2.3 正弦交流电路的分析
.
I jL
+.
+
. UL
−
2正弦交流电路
图2-12 电感元件交流电路
设
则
uL=u=L di =ImωLsin(ωt+ψi +90˚)
= Umsin(ωt+ψu)
i=Imsin(ωt+ ψi)
dt
第2章 正弦交流电路
ULm=ImωL 或UL=IωL ψu= ψi+90° 或ψi = ψu–90° 其相量式为 则
U jX L I j LI i I L i 90
u i
第2章 正弦交流电路
【例2-4】 已知 i1=311sin(ωt+45°)A，i2=110 2 sin (ωt -20°)A。求i=i1+i2的大小。 画出i1、i2的相量图，如图2-7所示，按平行四边 形法则求出两相量的合成相量。
• I1 • I 45˚ 25˚ 20˚ • I2
图2-7 例2-4相量图
图2-8 电阻元件交流电路
第2章 正弦交流电路
可见有 Um=RIm 或 U=IR ψi＝ψu 其相量式为 U I R IR i (1) 电阻两端电压和电流是同频率的正弦量，且同相。 (2)电压幅值(有效值)与电流幅值(有效值)的关系，符 合欧姆定律。 2．电阻元件功率关系 瞬时功率 p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt) p p=UI–UIcosωt p 在一个周期内的平均值 称平均功率或有功功率，用 UI P表示，由图2-9得
q C= u
(2-24)
第2章 正弦交流电路
当u、i为关联参考方向，在电容两端加上交流， 当电压u增加时，极板上的电荷q增加，电容充电；电 压u减小时，极板上的电荷q减少，电容放电。电路中 的电流i为
i N Φ
铁心电感 Φ
第2章 正弦交流电路
式中Em =Bm lv，称作感应电动势最大值。当线圈ab边转到N 极中心时，绕组中感应电动势最大，为 Em；线圈再转180°， ab边对准S极中心时，绕组中感应电动势为-Em。
二、表示正弦交流电特征的物理量
如图 2 -1 所示的发电机，当转子以等速旋转时， 绕组 中感应出的正弦交变电动势的波形如图 2 - 2 所示。图中横 轴表示时间，纵轴表示电动势大小。图形反映出感生电动 势在转子旋转过程中随时间变化的规律。下面介绍图 2 - 2 所示正弦交流电的物理量。
则i1和i2的相位差为 φ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2 这表明两个同频率的正弦交流电的相位差等于初相之差。 若两个同频率的正弦交流电的相位差φ1-φ2＞0, 称“i1超 前于i2”; 若φ1-φ2＜0, 称“i1滞后于i2”；若φ1-φ2=0，称“i1和i2 同相位”；若相位差φ1-φ2=±180°, 则称“i1和i2反相位”。 必须指出，在比较两个正弦交流电之间的相位时， 两正弦 量一定要同频率才有意义。否则随时间不同，两正弦量之间 的相位差是一个变量，这就没有意义了。 综上所述，正弦交流电的最大值、 频率和初相叫做正 弦交流电的三要素。 三要素描述了正弦交流电的大小、 变 化快慢和起始状态。
eA Em sin wt
eB Em sin(wt φ 0 )
e eB N eA
Z Y S
B A O 2
t
图2 .5
(a)
(b)
图 2 - 5不同相的两电势
这两个正弦交变电动势的最大值相同， 频率相同， 但相 位不同: eA的相位是ωt，eB的相位是（ωt+φ0），见图 2 -(5b)。
频率的单位是Hz(赫［兹］)。1Hz=1s-1。
第二章《正弦电路分析(2-5-6)-(1)》资料
I
希望将 COS 提高
功率因数（COS）和电路参数的关系
i
u
负
载
Z
XL XC
R
tg1 X L XC
R 说明： cos 由负载性质决定。与电路的参数
和频率有关，与电路的电压、电流无关。
例 40W白炽灯 COS 1
P UI cos
I P 40 0.182 A U 220
40W日光灯 COS 0.5
C
1
2fC
0L
1
0C
0
1 LC
f0
2
1 LC
串联谐振的特点
XL XC
ZZ m in
R2 X L X C 2 R
当电源电压一定时：I
U、I 同相 tg1 X
I0
LX
Im
C 0
ax
U R
R
当 X L XC R 时
UC 、UL将大于 电源电压U
UL I0XL UC I0XC U I0R
R2 E
节
点 方
U A
程
IS
E jX
C
1 1 1
jX L R2 jX C
-
已知参数：
jX
C
IS
Im 2
1
E
Em 2
2
jX L jL
1
jX C
j
C
由结点电位便求出各支路电流:
IL
U A jX L
iL
IR
2
U A R2
iR2
Ie U A E jXC
ie
解法二： 叠加原理
- jX C
问题与讨论 功率因素补偿问题（三）
提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？
正弦交流电路_正弦交流电路的频率特性;串联谐振
希望保留的频率范围称为通带 希望抑制的频率范围称为阻带
U
i
+
( j
−
)
选频 网络
U
+ o−(
j
)
第二章 正弦交流电路
( ) arctan( ) 0
T ( j )
1
0.707 通
阻
带
带
T ( j ) 0 ( )
2
0
0
( )
0
T ( j ) 0.707 ( )
4
0 4
0 ——截止（转折）频率
2
第二章 正弦交流电路
2.5 交流电路的频率特性
2.高通滤波电路
C
传递函数
T ( j )
第二章 正弦交流电路
2.5 交流电路的频率特性
2.5.1 频率特性的概念和传递函数 1.频率特性（频率响应）：
幅频特性: 电压或电流的大小与频率的关系。 相频特性: 电压或电流的相位与频率的关系。
+
U i ( j )
−
RLC
电路
+
U o ( j )
−
第二章 正弦交流电路
2.5 交流电路的频率特性
−
jC
T ( j )
1
1 j
0
幅
1
arctan
1 ( )2
0
0
相
0
1 RC
频 T ( j )
1
频 ( ) arctan( )
电工学 第二章正弦交流电路
(1-2)
. 一、正弦量的三要素
二、同频率正弦量的相位差
三、正弦量的有效值
(1-3)
一、正弦量的三要素
i = Im sin (wt + j ) i
Im
j
wt Im：电流幅值（最大值）
三要素
w： 角频率（弧度/秒）
.
U Z = I
j = j u - ji
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比， 而Ｚ的幅角则为总电压和总电流的相位差。
(1-46)
Z 和电路性质的关系
Z = R+ j (XL－ XC )
阻抗角
j = ju－ ji = arctg
(1-39)
以电流为 参考量时
正 误 判 断
在电阻电路中：
瞬时值
有效值
U I= R
？
U i= R
？
u ？ i = R
(1-40)
正 误 判 断
在电感电路中：
u i= XL
？
U I= ωL
u i= ωL
？
？
& U = XL & I
U = jω L I
？
？
(1-41)
第四节
RLC串、并联电路及功率因数的提高 一、RLC串联的正弦交流电路
& I U=&R
& I & U
(1-25)
相量图
总结功率关系
因为：
i= Im sinwt u =Ri=R Im sinwt p=u·=R·2=u2/R i i
小写，瞬时值功率
所以：
i
u
wt
电感元件的正弦交流电路
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I0 U U90 X L I90 0 X L90 I0 jX L I
U jX L I jLI
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m Im sin t sin t 90
U m Im sin t cos t UI sin 2t
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
电感元件的正弦交流电路
1.电压与电流 设 iL Im sint
电感上u、i的关系是
uL
L diL dt
iL
+
uL
L
−
uL LIm cos t LIm sin(t 90 ) U m sin(t 90 )
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
最大值： U m L Im 有效值： U ωL I
定义： X L L ——感抗
单位：Ω,kΩ
U XLI
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
XL L
I U U
XL L
设U 一定的情况下
① f↑ →XL↑ →I↓ 高频段，电感对电流的阻碍作用较大 ② f↓ →XL↓ →I↑ 低频段，电感对电流的阻碍作用较小 ③ f = 0 →XL=0 电感在直流电路中可视为短路 电感具有阻高频，通低频电流的特性。
1.电压与电流 讨论：（1）相位关系
i= 0o u= 90o = u- i= 90o
电压超前于电流90°
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
第2章 正弦交流电路
eU Em sin t eV Em sin(t 120 ) eW Em sin(t 120 )
（2-31）
相应的波形图、相量图如图2-16（a）、 （b）所示。
图2-16 三相对称电动势
2．三相电源的星形联结
（1）星形联结
把上述三相绕组的末端U2、V2和W2连在一 起，就构成星形联结，如图2-17所示。
UR U 311 2 V 220V
【例2-4】
根据式（2-10），电流有效值为
P 100W IR 0.455A U R 220V
2.2.2 纯电感电路
1．电压和电流的关系
纯电感电路如图2-10（a）所示，电感电
流与电压参考方向一致，设电感电流为
iL 2 I L sin t
2.3.1 电压和电流关系 2.3.2 电路的功率和能量转换
2.3.1 电压和电流关系
RLC串联电路如图2-12所示，取电压和电 流的参考方向一致。 为便于分析，电路中各量均采用相量表 示，各元件也采用相量化模型。
图2-12 RLC串联电路
用相量法分析电路如下。
（1）作相量图
图2-13 相量图
（2）求相量和
IL IP
【例2-8】三相电源作星形联结，线电压是 380V，负载是额定电压为220V的电灯组，问： （1）三相负载采用什么联结方式； （2）若三相负载的等效电阻 R1=R2=R3=510 ， 求相电流、线电流和中线电流； （3）若三相负载的等效电阻分别为 R1=510 ， R2=510，R3=2k，求中线电流。
QC UC IC 50 0.157 var 7.85var
当 f 5 000Hz 时，
XC IC 1 1 3.19 2π fC 2 3.14 5 000 10 106
电工学第2章正弦交流电路PPT课件
p=ui=Um sin(ωt+90°) Imsinωt
=UmIm cosωtsinωt =UIsin2ωt
电感元件的功率波形
上式表明， 电感元件的瞬时功率是一个幅值为UI 并以2ω的角频率随时间而变化的正弦量。瞬时功率 的变化曲线如右图所示。
26
当p>0时，表明电感元件吸收能量并作负载 使用，即将电能转换成磁场能量储存起来；
1. 相位角（或相位）——（ωt +ψi） 2. 初相位——t=0时的相位角，即ωt +ψi|t=0＝ψi
初相位不同，正弦波的起始点不同，如下图所 示。
(a)ψi＝0
(b)ψi＞0
(c)ψi<0
由于正弦量是周期性变化量，其值经2π后又重复，所
以一般取主值，| ψi |≤π。
8
2.1.3 初相位
在一个正弦交流电路中， 电压u和电流i的频率是相同的， 但初相位却可以不同。设：
19
在电阻元件的交流电路中，电压u与电流i 相 位相同、频率相同。其波形图、相量图如下所示：
根据 i=Imsinωt ；u=iR=ImRsinωt
可知电压幅值: Um=Im R；
U=I R
如果用相量来表 示电压与电流的
•
•
U
•
Um
•
R
或
••
U IR
关系，则有： I I m
20
瞬时功率：p=ui= Umsinωt Imsinωt=UmImsin²ωt
③指数形式可改写为极坐标形式：
A=r
三种复数式可以互相转换。复数的加减运 算可用直角坐标式；复数的乘除运算用指数形 式或极坐标形式则比较方便。
13
e e 例如: 设A1= a1+jb1 ＝r1 j 1 ；A2= a2+jb2 ＝r2 j 2
电工学第二章 正弦交流电
O
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ 2 0
ψ 1 ψ 2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关,仅取决于两者的初相位。
i
O
i1
i2
t
② 不同频率的正弦量比较无意义。
例1
已知：
幅度：
i sin 1000 t 30 A
I 1 2 0 . 707 A
I m 1A
频率：
1000 rad/s
f
2
1000 2
159 Hz
初相位：
30
例2:
i1 I m1 sin t 90 i2 I m2 sin t 90
小写
u i O p
2
i u
ωt p
p ui
U m I m sin ω t
1 2 U m I m (1 cos 2 ω t )
O
ω t
结论: p 0
（耗能元件）,且随时间变化。
(2) 平均功率(有功功率)P 瞬时功率在一个周期内的平均值
P
大写
i
+
1 T 1
0
T 0
p dt
I 2 11 60 A
I I1 I 2 12.7 30A 11 60A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A
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第2章 正弦交流电路判断题2.1 正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i 的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ] 答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ] 答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ] 答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ] 答案:X2.2 正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= 。
[ ] 答案:X2.3 单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ] 答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:V8．直流电路中，电感元件的感抗为零，相当于短路。
[ ]答案:V9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L＞X C时电路呈电容性，则电流与电压同相。
[ ]答案:X10．电感元件电压相位超前于电流π/2 (rad)，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X11．正弦交流电路中，电源频率越高，电路中的感抗越大，而电路中的容抗越小。
[ ]答案:V12．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最大，当电流为最大值时，则电压为零。
[ ]答案:V13．正弦电流通过电感或电容元件时，当电流为零时，则电压的绝对值为最小。
[ ]答案:X14．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X15．电容元件的容抗是电容电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V16．单一电感元件的正弦交流电路中，消耗的有功功率比较小。
[ ]答案:X17．电容元件的交流电路中，电压比电流超前90°。
[ ]答案:X18．电容元件的交流电路中，电流比电压超前90°。
[ ]答案:V19．电感元件的有功功率为零。
[ ]答案:V20．电容元件的有功功率为零。
[ ]答案:V21．电压、电流的相量式，既能反映电压与电流间的大小关系，又能反映相互间的相位关系。
[ ]答案:V2.4 R 、L 、C 串联的正弦交流电路1．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＞ＵC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:V2．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＞ＸC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:V3．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当X L ＜X C 时电路呈电感性，则电流与电压同相。
[ ] 答案:X 4．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＜ＵC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:V5．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＜ＸC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:V 6．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＜ＵC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:X7．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＜ＸC 时电路呈电感性，即电流滞后于总电压。
[ ] 答案:X 8．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＵL ＞ＵC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:X9．在Ｒ、Ｌ、Ｃ串联电路中，当ＸL ＞ＸC 时电路呈电容性，即电流超前于总电压。
[ ] 答案:X10．在Ｒ、C 并联电路中，支路电流均为４Ａ，则电路总电流Ｉ＝8Ａ。
[ ] 答案:X11．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)50sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电感性。
[ ]答案:V12．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)60sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电容性。
[ ]答案:X13．若电路的电流)60sin(︒+=t I i m ω，电压)30sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电感性。
答案:X14．若电路的电流)60sin(︒+=t I i m ω，电压)30sin(︒+=t U u m ω，则该电路呈电容性。
[ ]答案:V15．若电路的电流)30sin(︒+=t I i m ω，电压)60sin(︒-=t U u m ω，则该电路为纯电容性。
[ ]答案:V16．若电路的电流)30sin(︒-=t I i m ω，电压)60sin(︒+=t U u m ω，则该电路为纯电感性。
[ ]答案:V17．正弦交流电路的视在功率等于有功功率和无功功率之和。
[ ] 答案:X18．电压三角形、阻抗三角形和功率三角形都是相量图。
[ ] 答案:X19．功率表应串接在正弦交流电路中，用来测量电路的视在功率。
[ ] 答案:X2.5 阻抗的串联与并联1．R 、L 并联电路中，支路电流均为4A ，则电路总电流Ｉ＝8A 。
[ ] 答案:X2．两个电感相串联，端电压分别为8Ｖ和4Ｖ，则总电压为12Ｖ。
[ ] 答案:V3．两个电容相并联，支路电流分别为2Ａ和3Ａ，则电路总电流为5Ａ。
[ ] 答案:V4．两个无源元件串联在正弦电流电路中，若总电压小于其中一个元件的电压值，则其中必有一个为电感性元件，另一个为电容性元件。
[ ]答案:V5．在正弦电流电路中，两元件串联后的总电压必大于分电压，两元件并联后的总电流必大于分电流。
[ ]答案:X6．正弦交流电路的频率越高，阻抗就越大；频率越低，阻抗越小。
[ ] 答案:X7．电抗和电阻由于概念相同，所以它们的单位也相同。
[ ] 答案:X8．交流电路中的视在功率与有功功率和无功功率一定呈直角三角形关系。
[ ]答案:V9．R 、L 并联电路中，支路电流均为5A ，则电路总电流I =10A 。
[ ] 答案:X10．R 、L 并联电路中，支路电流均为5A ，则电路总电流I =52A 。
[ ]2．6 功率因数的提高1．根据cos φ=Ｐ／[ＵＩ]可知，当电压Ｕ升高时负载的功率因数降低。
[ ] 答案:X 2．与电感性负载并联电容器可以提高负载的功率因数，因而可以减小负载的电流。
[ ] 答案:X 3．电感性负载并联电容后，总电流一定比原来小，因此电网功率因数一定会提高。
[ ] 答案:X4．电感性负载并联电阻后也可以提高电网功率因数，但总电流和总功率都将增大。
[ ]答案:V 5．在感性负载两端并联任意大小的电容器都可以提高电路的功率因数。
[ ] 答案:X 6．正弦电路中，电源电压和负载一定时，功率因数越高，无功功率越小。
[ ] 答案:V7．交流电路中的功率因数高，反映电源设备的利用率就高。
[ ] 答案:V选择题2.1 正弦交流电的基本概念 1、有“220V 、100W ”“220V 、25W ”白炽灯两盏，串联后接入220V 交流电源，其亮度情况是 。
A.100W 灯泡最亮B.25W 灯泡最亮C.两只灯泡一样亮D.都不亮 答案:B2、已知工频正弦电压有效值和初始值均为380V ，则该电压的瞬时值表达式为 。
A.t u 314sin 380=VB.)45314sin(537︒+=t u VC.)90314sin(380︒+=t u VD.)45314sin(380︒+=t u V 答案:B3、一个电热器，接在10V 的直流电源上，产生的功率为P 。
把它改接在正弦交流电源上，使其产生的功率为P /2，则正弦交流电源电压的有效值为 。
A.7.07VB.5VC.14VD.10V4、已知)90314sin(101︒+=t i A ，︒+=30628sin(102t i ）A ，则 。
A.i 1超前i 260°；B.i 1滞后i 260°；C.相位差无法比较D.同相 。
答案:C5、从相量中可直接读取交流电的有效值（或最大值）和 。
A.相位B.频率C.初相位答案:C6、正弦交流电的初相角反映了交流电变化的 。
A.起始位置B.快慢C.大小关系D.频率特性 答案:A 7、若i 1＝10sin(ωt+30º)A ，i 2＝20sin(ωt －10º)A ，则i 1的相位比i 2超前 。
A. 40ºB. －20ºC. 20ºD. －40º答案:A8、若)30sin(101︒+=t u ωV, )10sin(202︒-=t u ωV ，则1u 比2u 超前__ _。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:C9、若i 1=10 sin(ωt+30°)A ，i 2=20 sin(ωt+50°)A ，则i 1的相位比i 2超前__ _。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:B10、若u 1=10 sin(ωt+20°)A,u 2=20 sin(ωt-20°)A,则u 1的相位比u 2超前_ __。
A.20°B.-20°C.40°D.-40°答案:C2.2 正弦量的相量表示法2.3 单一参数的正弦交流电路1、正弦交流电路中，采用相量分析时，电容器的容抗为 。
A.C XB.C jX -C.C jXD.L jX -答案:B2、正弦交流电路中，采用相量分析法时，电感的感抗为 。
A.L XB.C jX -C.L jXD.L jX -答案:C3、纯电感交流电路中，正确的表达式是 。
A.LLL X u i = B.L X I j U&&= C.C X I j U &&-= D.不确定 答案:B4、纯电容正弦交流电路中，电压有效值不变，当频率增大时，电路中电流将 。