第二章 结构动力学的基本概念2015
结构动力学
第2章 单自由度系统
§2.4 简谐荷载的强迫振动
2.4.1 无阻尼系统
1、运动方程
mx kx F0 sin t
2、解的形式
x x x
设：
x A sin t
(m 2 k ) A F0
第2章 单自由度系统
解得：
A
A
(m 2 k )
F0 k xst (1 2 2 ) (1 2 )
已知
结构
荷载
响应
荷载
已知或未知
结构
已知
第1章 绪论
§1.2 研究对象
1、结构——弹性恢复力 fk(x) 2、外力——时变特性 fp(t)
§1.3 研究内容
1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼 2、结构响应——位移、速度、加速度
第1章 绪论
§1.4 研究方法
1、时域法——解析法、逐步积分法 2、频域法——谱分析法
k m
①简支梁问题
m l
第2章 单自由度系统
1 k
l3 48 EI
k
48EI l3
48EI ml 3
第2章 单自由度系统
②悬臂梁问题 弯曲变形
x
l 3EI
3
m
k
3EI l3
k
剪切变形
l3 12EI
k
12EI l3
弯曲变形 剪切变形
第2章 单自由度系统
2 i i ,max m xi ki xi2,maxi
第2章 单自由度系统
m x
i 2 i i ,max
2 2 J max m2 xmax
1 2 2 m1l 2 max m2l 2 max 3 1 2 m1l 2 m2l 2 max 3
对结构动力学的认识
结构动力学是一种研究结构在外部载荷下的动态响应和振动特性的学科。
它主要关注
的是结构在受到外部激励（如风、地震、交通等）时的振动响应，分析结构的稳定性、自然频率、振型和振幅等参数。
结构动力学的研究对于工程实践和安全评估具有重要
意义。
结构动力学研究的对象可以是各种类型的结构，如房屋、桥梁、塔楼、船舶、飞行器等。
在研究中，结构动力学通常采用数学模型来描述结构的振动响应，包括质点模型、连续体模型、有限元方法等。
在工程实践中，结构动力学的应用十分广泛。
例如，在建筑结构设计中，需要考虑地震、风荷载等外部载荷对结构的影响，通过结构动力学分析可以确定结构的合理构造
和材料选型；在航空航天领域，需要对飞行器结构进行动力学分析，以保证其安全性
和可靠性。
总之，结构动力学是一门研究结构在外部载荷下的动态响应和振动特性的重要学科，
对于工程实践和安全评估具有重要意义。
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
结构动力学
第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
动力学结构
动力学结构动力学结构（Dynamic Structure）是指随着时间的流逝，一个系统或者一个物体的结构发生变化的现象。
动力学结构是动态系统理论中的一个重要概念，它源于力学领域，随后逐渐被拓展到物理学、生物学、化学和社会科学等领域。
它描述了系统或物体在时间轴上的发展，并且揭示了其中隐藏的规律。
在本文中，我们将从不同的领域探讨动力学结构的基本概念，并介绍动力学结构在不同领域中的应用。
1. 力学领域中的动力学结构在力学领域中，动力学结构是指物体的形态、位置、速度和加速度等物理量在时间上的变化。
物体的动力学结构是由其受到的内部和外部力的作用、力的性质、物体的结构和材料特性等因素共同决定的。
当物体的动力学结构发生变化时，其所受的力也会相应地发生变化，这种反应是动态的。
在力学领域中，动力学结构的关注的重点是描述一个物体在不同时间阶段所处的状态，进而推导出物体的运动规律和行为，从而寻找让物体更加稳定和有效地运行的方案。
2. 生物学中的动力学结构在生物学领域中，动力学结构是生物体内部和外部动态相互作用的结果。
动力学结构描述了一个生物体在时间轴上的变化，包括生物体的发生、发展、维持和繁殖等生命过程。
生物体的动力学结构是其遗传信息、环境因素和生命历程等因素的复杂影响。
生物学家通过观察和研究动物的生命活动，探索其动态结构、生命表现以及与环境的相互作用，以期加深对生命现象的认识，并为研究因病理导致的疾病提供参考。
3. 化学中的动力学结构在化学领域中，动力学结构是指化学反应中各种分子的相互作用随着时间推移的变化。
动力学结构反映了分子物理状态、粒子之间的相互作用、能量变化和对各种条件的敏感度等因素。
化学反应的动力学结构能够预测反应的速率、化学物质的生成、分解等过程。
化学家在化学反应中制约动力学结构，以控制反应过程的速率和产物的生成量，从而研究更高效的化学反应方法。
4. 社会科学中的动力学结构在社会科学领域中，动力学结构是指社会现象中人类和人际关系及环境之间相互作用的结果。
刘晶波结构动力学课件21w
—最简单的理想化力学模型。
阻尼弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼 影响时
15/45
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和
材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因 素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振 动试验的方法得到。 粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比。
方向指向体系的平衡位置。
fs ku
fs
k
1
a
d
-u0
O
b
u u0
fs k
1
u
s— 表示弹簧(Spring)
c
(a)
k— 弹簧的刚度(Spring Stiffness)
u— 质点位移
(b)
11/45
2.1 基本概念
2.1.5 惯性力（Inertial Force）
惯性：保持物体运动状态的能力。 惯性力：大小等于物体的质量与加速度的乘积，
动力自由度的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
4/45
2.1.1 广义坐标与动力自由度
静力自由度：确定结构体系在空间中位置所需的独立参 数的数目称为结构的自由度。
动力自由度：决定结构体系质量位置所需的独立参数的 数目称为结构的动力自由度(数)。
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
清华大学土木工程系 2015年秋
第2章 结构动力学概述(中英文)
动荷载的定义 definition of dynamic loadings
荷载在大小、方向或作用点方面随时间变化，使 得质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比大 到不可忽略时，则把这种荷载称为动荷载。 A dynamic load is any load of which its magnitude, direction, and/or position varies with time. In general, if the inertial forces represent a significant portion of the total load equilibrated by the internal elastic forces of the structure, then this kind of load is defined as dynamic loading.
动荷载：
Dynamic loading：any load of which its magnitude, direction
and /or position varies with time
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度. criteria： Whether a remarkable acceleration is exerted on the structure
静荷载 Static load 结构体系 Structural system 位移displacement 静力响应 Responses to static loads 内力internal force 应力stress
输入 input
输出 Output
大小 magnitude 方向 direction 作用点 position
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
结构动力学课件
m
EI = ∞
W=2
m m>>m梁 m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m 2I
I
单自由度体系 三个自由度体系
v(t) u(t) θ(t)
三个自由度 水平振动时的计算体系
三个自由度 顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
§15-2 单自由度体系的运动方程 15建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法” 虚功法、 建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法”、虚功法、 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法” 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。 m
P(t )
&&(t ) y
m&&(t ) = P(t ) y
运动方程
m
P(t )
一、柔度法
− m&&(t ) y
惯性力 && 柔度法步骤： 柔度法步骤(t ) f I = −my ： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； P(t ) + [−m&&(t )] = 0 y 2.求外力和惯性力引起的位移； 形式上的平衡方程， 形式上的平衡方程，实质上的运动方程 3.令该位移等于体系位移。
∆
δ 11
P (t )
柔度法步骤： 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题 例3.
&& my + ky = P(t )
P(t )
P(t )
m
EI1 = ∞
结构动力学在工程设计中的应用
结构动力学在工程设计中的应用引言结构动力学是一门研究结构在外力作用下的响应和振动特性的学科。
随着科学技术的不断进步，结构动力学的理论与方法得到了广泛的应用。
本文将探讨结构动力学在工程设计中的应用，并分析其重要性和优势。
一、结构动力学的基本概念结构动力学是一门涉及力学、物理学和工程学等多学科知识的交叉学科。
它主要研究结构受外力作用下的应力、应变以及振动等特性，并通过分析结构的响应来评估结构的安全性和稳定性。
二、1. 结构稳定性研究结构动力学可以帮助工程师评估结构的稳定性。
通过对结构在外力作用下的振动频率和模态进行分析，可以确定结构的临界振动频率及其稳定性。
这对于设计高层建筑、桥梁等大型工程结构非常重要，可以避免结构因振动而失稳的风险。
2. 结构自振频率计算结构动力学可以帮助工程师计算结构的自振频率。
自振频率是指结构在无外力作用下的固有振动频率。
通过计算结构的自振频率，可以避免结构在外力频率接近自振频率时发生共振而产生严重的振动破坏。
这对于设计机械设备、发电机组等具有频率要求的系统非常重要。
3. 结构动力响应分析结构动力学可以帮助工程师分析结构在外力作用下的动力响应。
通过考虑结构的质量、刚度和阻尼等因素，可以预测结构在不同外力下的响应情况。
这对于设计抗震建筑、风力发电机组等需要考虑外部环境因素的工程项目非常重要。
4. 结构优化设计结构动力学可以帮助工程师进行结构的优化设计。
通过对结构的振动模态进行分析，可以确定结构中存在的弱点和不稳定因素，并针对性地进行调整和改进。
这有助于提高结构的性能、减小结构自重，同时降低结构对外部载荷的敏感度。
三、结构动力学应用的重要性和优势结构动力学在工程设计中的应用有着重要的地位和优势。
首先，结构动力学可以帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
通过对结构在外力作用下的响应进行分析，可以提前发现结构的潜在问题，并做出相应的优化设计。
其次，结构动力学可以帮助工程师提高结构的性能和可靠性。
结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础
第二章 分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或 运动学的限制。
N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。
• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图） 与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束） 与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零 。
两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索 与双向（约束方程为等式）：刚杆 工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双 向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标 广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页） 梁的挠度曲线用三角级数表示： 广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的 独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数） 非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
机械结构动力学
机械结构动力学机械结构动力学是研究机械结构中各个部件的力学行为和响应的学科。
它涉及到力学、振动、声学等多个领域，旨在解决机械结构在运动中的稳定性、振动和噪声等问题。
本文将从机械结构动力学的基本概念、分析方法和实际应用等方面进行探讨。
一、基本概念机械结构动力学主要关注结构的动态行为，其中包括结构的变形、应力、振动和噪声。
在机械结构动力学中，有几个重要的基本概念需要了解：1. 动力学方程：动力学方程描述了机械结构在外力作用下的运动规律。
它可以通过应力平衡方程和运动方程的推导得到，通常采用差分方程或微分方程形式表示。
2. 振动：机械结构在受到激励力作用下会发生振动。
振动可以分为自由振动和强迫振动两种情况，自由振动是指结构在无外界力的作用下自发地振动，而强迫振动是指结构受到外界激励力的作用而产生的振动。
3. 谐振：当外界激励力的频率与结构自然频率相同时，结构会发生谐振现象。
谐振会导致结构的振幅增大，严重时会引起结构的破坏。
二、分析方法机械结构动力学的分析方法主要包括模态分析、频域分析和时域分析。
1. 模态分析：模态分析是一种常用的动力学分析方法，它通过求解机械结构的振动模态和自然频率，来研究结构的振动特性。
模态分析可以帮助工程师确定结构的固有特性以及振动模式，从而更好地设计和优化机械结构。
2. 频域分析：频域分析是以频率为主导变量的分析方法。
它通过将时域信号转换为频域信号，分析结构在不同频率下的响应情况。
频域分析可以帮助工程师评估结构的振动响应和频域特性，应用广泛。
3. 时域分析：时域分析是指根据结构的动态方程，通过对结构受力、受力速度和位置的时变关系进行求解，来研究结构的动态行为。
时域分析可以得到结构在不同时间段的响应情况，从而实现对结构的动力学性能进行评估。
三、实际应用机械结构动力学在实际工程中有广泛的应用，下面以几个典型的案例进行介绍。
1. 汽车悬挂系统：汽车悬挂系统的设计需要考虑到车辆行驶时产生的振动和冲击加载。
结构动力学2PPT课件
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
2021/5/25
第10页/共32页
10
解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
结构动力学(课用ppt)
10/28/2015
30
10/28/2015
18
（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
10/28/2015
20
二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
张亚辉 林家浩 编著, 结构动力学基础，大连理工大学出版社，2007. 刘晶波等编著，结构动力学，机械工业出版社，2005. 张子明等编著，结构动力学，河海大学出版社，2001.
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3
第一章 绪论
1.1 动力问题的基本特征 1.2 结构动力分析的目的
1.3 结构动力学研究的内容
1.4 动力荷载类型
注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
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26
2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nx nx u( x, t ) bn sin bn (t ) sin L L n 1 n 1
结构动力学
一、 结构动力学是研究什么的？包含什么内容？结构离散化有什么方法、特点？结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。
结构动力分析的目的：确定动力荷载作用下结构的内力和变形；通过动力分析确定结构的动力特性。
离散化方法：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程。
1、 集中质量法：是结构动力分析最常见的处理方法，它把连续分布的质量集中为几个质量，这样就把一个原为无限（动力）自由度的问题转化为有限自由度。
特点：采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点。
2、 广义坐标法：能决定体系几何位置的彼此独立的量。
特点：采用形函数的概念，在全部体系上插值。
虽然广义坐标表示了形函数的大小，如果形函数是位移量，则广义坐标具有位移的量纲，但只有n 项叠加后才是真实的位移物理量。
因而广义坐标实际上并不是真实的物理量。
3、 有限元法：将整个结构离散化为有限个单元，它们在有限个节点上连接，通过选用适当的形函数，对各个单元进行近似的力学分析处理，建立起单元的节点位移和相应节点之间的关系，然后按照在连接点上的力平衡条件与变形连续条件，把单元拼接成原结构。
特点：综合了集中质量法和广义坐标法的特点：1与广义坐标法相似，采用了形函数的概念，但为分片的插值，形函数的表达式相对简单；2与集中质量法相同，也采用了真实的物理量，具有直观、直接的优点。
3.每一分段所选择的位移函数可以是相同的，故计算得以简化。
4、每个节点位移仅影响其邻近的单元，所以这个方法所导得的方程大部分是非藕合的，因此解方程式的过程大大地简化。
（不作要求，仅供参考）动力荷载的类型：简谐荷载、非荷载周期荷载、冲击荷载、一般任意荷载。
（不作要求，仅供参考）结构动力计算的特点：1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。
结构动力学 ppt课件
i (0) i (l ) 0
--基函数（或形状函数） 课件 i ( x)PPT
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ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
集中质量法：独立质量位移数即为自由度数； 广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数；
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
PPT课件
10
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3) 计轴向变形时 W=2 不计轴向变形时 W=1 W=2 为减少动力自由度，梁与 刚架一般可不计轴向变形。
y2
y1
W=2
2)Βιβλιοθήκη 弹性支座不减少动力自由度PPT课件
11
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
EI
W=1
PPT课件
12
§1.4
体系的运动方程
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
PPT课件
13
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y
结构动力学
中国矿业大学
(a)
A
W
B
(a) (b)
y1
y2
(b)
A y
B
图14-6 两个自由度刚架
中国矿业大学
m3
EI
x
A
C m2 B a
EI
a
m1
a
y
图14-8 三个质点一个自由度
x1 m1
图14-7 一个质点两个自由度
x2 m2
x1 x2
图14-9 二个质点一个自由度
中国矿业大学
t t
t
t
P t v m
v
图14-20 瞬时出冲击荷载及时程曲线
P 2 y t 2m
Pt y (t ) sin t sin t m v0
中国矿业大学
14－4 单自由度体系的强迫振动
二、瞬时冲击：
（a） P t o （ b） P(t)
t
t
Pt y (t ) sin t sin t m v0
B C
1 ml 2
(c)
A
3P(t )l 16
B
ml 3 24
MP
(d) A
R1P
C
1 B
M1
图14-12
k 3EI l
C
中国矿业大学
Key:
72 EI 9 m 4 2 P(t ) l 2l
中国矿业大学
14－3 单自由度体系的自由振动 1.无阻尼自由振动
my cy ky P(t )
t P 1 P(t ) t1 0
t t1
1
t t 14－4 单自由度体系的强迫振动
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第二章 结构动力学的基本概念
2.2 动荷载的类型
确定 动荷载
简谐荷载 周期 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 突加荷载
其他确定规律的动荷载 风荷载
不确定
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
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第二章 结构动力学的基本概念
2.3 结构动力学的研究内容和任务
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
切分结构
定节点位移
表述单元位移
实例1：平面桁架结构用杆单元进行离散的过程 实例2：简支梁结构用平面梁单元进行离散的过程
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第二章 结构动力学的基本概念
补充：阻尼力的概念
阻尼：消耗振动能量并使振动衰减的因素。
阻尼力：来源于结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周 围介质的阻力。
cv 阻尼力表述方式：
静动荷载的区别:（a)是否随时间变化；
(b)看荷载作用效果：当荷载对结构 的影响与单纯的静荷载相比相差 较大，此时属于动力问题
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第二章 结构动力学的基本概念
•动力问题的基本特征
❖ 荷载与响应（或系统特征）随时间变化（要求解时程响应） ❖ 动力问题是某时刻的平衡问题（暂不关心动力稳定问题） ❖ 存在惯性力作用（-ma）
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
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第二章 结构动力学的基本概念
实例：简单系统运动方程的建立（板书）
x2
k2
c2
m2
x1
k1 c1
m1
p(t)
x
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第二章 结构动力学的基本概念 •达朗贝尔原理+虚位移原理（1717年贝努利提出）
虚位移原理：如果体系在一组力作用下平衡，则当体系产生一个约束允许 的虚位移时，这组力所作的总虚功为零。
cv2
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第二章 结构动力学的基本概念
2.5 系统运动方程的建立
•基于达朗贝尔原理（1743年提出）的直接平衡法
牛顿第二定律：任何质量 m的动量变化率等于作用 于其上的力。
p(t) d (m dv) dt dt
p(t)
m
d 2v dt 2
mv
v
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第二章 结构动力学的基本概念
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第二章 结构动力学的基本概念 •自由度的定义
问题：静力自由度与动力自由度的区别与联系？实际结构动 力分析中如何选择自由度？计算效率与计算精度如何考虑？
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第二章 结构动力学的基本概念
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困 难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：集中 质量法、广义坐标法 、有限元法
第二章 结构动力学的基本概念 •弹性系统动力学总势能不变值原理
Ui Vm Vc VF Vp Vg d 0
Ui
——系统弹性应变能；
Vm
v
uT udv
——系统惯性力势能（作功负值）；
Vc
uTcudv
v
——系统粘滞阻尼力势能（作功负值） ；
VF uTFsign(u) ——系统库伦摩擦力势能（作功负值） ；
Vp uT p(t) —uT Q ——系统重力势能
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第二章 结构动力学的基本概念 •弹性系统动力学总势能不变值原理
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
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•多刚体系统
系统的两个自由度为：
、
x1, x2
惯性力势能： V (m x )x (m x )x
y(x) aii (x) i 1
ai ---广义坐标
n
y(x) aii (x) i 1
i (x)---形状函数
讨论：如何构建合适的形状函数？
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第二章 结构动力学的基本概念
简支梁广义坐标表述方法：
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第二章 结构动力学的基本概念 •有限单元法
用有限数量的离散位移坐标表示给定结构的位移。
m
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第二章 结构动力学的基本概念 •集中质量法
将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几 何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自 由度系统变成一有限自由度系统。
m
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第二章 结构动力学的基本概念
•广义坐标法
假设结构的变形曲线形状可以用一系列规定的位移曲 线之和表示，即用数学式表达如下：
m
11 1
22 2
阻尼力势能： V [c (x x )( x x )] [c x x ]
第二章 结构动力学的基本概念
第二章 结构动力学的基本概念
❖ 结构动力计算特点 ❖ 动荷载类型 ❖ 结构动力学研究的主要内容 ❖ 结构离散化方法 ❖ 系统运动方程的建立
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第二章 结构动力学的基本概念
2.1 结构动力计算的目的与特点
•结构动力计算目的
研究动荷载（广义的）作用下结构动力响应（包括位 移、内力等）的计算原理与方法。
输出 （动力反应）
?控制系统
（装置、能量）
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第二章 结构动力学的基本概念
2.4 结构离散化的方法
•自由度的定义
确定体系中所有质量 位置所需的独立坐标数， 称作体系的动力自由度数。
x2
k2
c2
m2
x1
k1 c1
m1
p(t) x
确定体系在空间中的 位置（位形）所需的独立 参数的数目，称作体系的 静力自由度数。
p(t)v mvv 0
( p(t) mv)v 0
p(t) mv 0
说明：上式为质点系虚位移原理，对于变形体还总虚功应包含内力所作虚功。
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
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第二章 结构动力学的基本概念
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
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输入 （动力荷载）
结构 （系统）
?输出
（动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
?结构
（系统）
输出 （动力反应）
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第二章 结构动力学的基本概念
第三类问题：荷载识别
?输入
（动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
达朗贝尔原理要点：
（1）质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。
（2）将运动方程表示为动力平衡方程，p(t)包含很多种作用 在质量上的力（弹性约束力、抵抗速度的阻尼力、独立说明的外 荷载），引入惯性力，上式为作用于质量上的全部力的平衡表达 式。
p(t)
m
d 2v dt 2
mv
p(t) mv 0