第二章 结构动力学的基本概念2015
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中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
2.2 动荷载的类型
确定 动荷载
简谐荷载 周期 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 突加荷载
其他确定规律的动荷载 风荷载
不确定
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
2.3 结构动力学的研究内容和任务
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
第二章 结构动力学的基本概念
第二章 结构动力学的基本概念
❖ 结构动力计算特点 ❖ 动荷载类型 ❖ 结构动力学研究的主要内容 ❖ 结构离散化方法 ❖ 系统运动方程的建立
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
2.1 结构动力计算的目的与特点
•结构动力计算目的
研究动荷载（广义的）作用下结构动力响应（包括位 移、内力等）的计算原理与方法。
输出 （动力反应）
?控制系统
（装置、能量）
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
2.4 结构离散化的方法
•自由度的定义
确定体系中所有质量 位置所需的独立坐标数， 称作体系的动力自由度数。
x2
k2
c2
m2
x1
k1 c1
m1
p(t) x
确定体系在空间中的 位置（位形）所需的独立 参数的数目，称作体系的 静力自由度数。
静动荷载的区别:（a)是否随时间变化；
(b)看荷载作用效果：当荷载对结构 的影响与单纯的静荷载相比相差 较大，此时属于动力问题
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
•动力问题的基本特征
❖ 荷载与响应（或系统特征）随时间变化（要求解时程响应） ❖ 动力问题是某时刻的平衡问题（暂不关心动力稳定问题） ❖ 存在惯性力作用（-ma）
p(t)v mvv 0
( p(t) mv)v 0
p(t) mv 0
说明：上式为质点系虚位移原理，对于变形体还总虚功应包含内力所作虚功。
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念 •自由度的定义
问题：静力自由度与动力自由度的区别与联系？实际结构动 力分析中如何选择自由度？计算效率与计算精度如何考虑？
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困 难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：集中 质量法、广义坐标法 、有限元法
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
?输出
（动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
?结构
（系统）
输出 （动力反应）
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
第三类问题：荷载识别
?输入
（动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
m
11 1
22 2
阻尼力势能： V [c (x x )( x x )] [c x x ]
m
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念 •集中质量法
将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几 何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自 由度系统变成一有限自由度系统。
m
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
•广义坐标法
假设结构的变形曲线形状可以用一系列规定的位移曲 线之和表示，即用数学式表达如下：
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
实例：简单系统运动方程的建立（板书）
x2
k2
c2
m2
x1
k1 c1
m1
p(t)
x
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第二章 结构动力学的基本概念 •达朗贝尔原理+虚位移原理（1717年贝努利提出）
虚位移原理：如果体系在一组力作用下平衡，则当体系产生一个约束允许 的虚位移时，这组力所作的总虚功为零。
切分结构
定节点位移
表述单元位移
实例1：平面桁架结构用杆单元进行离散的过程 实例2：简支梁结构用平面梁单元进行离散的过程
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
补充：阻尼力的概念
阻尼：消耗振动能量并使振动衰减的因素。
阻尼力：来源于结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周 围介质的阻力。
cv 阻尼力表述方式：
cv2
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第二章 结构动力学的基本概念
2.5 系统运动方程的建立
•基于达朗贝尔原理（1743年提出）的直接平衡法
牛顿第二定律：任何质量 m的动量变化率等于作用 于其上的力。
p(t) d (m dv) dt dt
p(t)
m
d 2v dt 2
mv
v
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
达朗贝尔原理要点：
（1）质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。
（2）将运动方程表示为动力平衡方程，p(t)包含很多种作用 在质量上的力（弹性约束力、抵抗速度的阻尼力、独立说明的外 荷载），引入惯性力，上式为作用于质量上的全部力的平衡表达 式。
p(t)
m
d 2v dt 2
mv
p(t) mv 0
y(x) aii (x) i 1
ai ---广义坐标
n
y(x) aii (x) i 1
i (x)---形状函数
讨论：如何构建合适的形状函数？
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
简支梁广义坐标表述方法：
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第二章 结构动力学的基本概念 •有限单元法
用有限数量的离散位移坐标表示给定结构的位移。
Vp uT p(t) ——系统干扰力势能（作功负值） ；
Vg uT Q ——系统重力势能
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第二章 结构动力学的基本概念 •弹性系统动力学总势能不变值原理
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
•多刚体系统
系统的两个自由度为：
、
x1, x2
惯性力势能： V (m x )x (m x )x
第二章 结构动力学的基本概念 •弹性系统动力学总势能不变值原理
Ui Vm Vc VF Vp Vg d 0
Ui
——系统弹性应变能；
Vm
v
uT udv
——系统惯性力势能（作功负值）；
Vc
Leabharlann Baidu
uTcudv
v
——系统粘滞阻尼力势能（作功负值） ；
VF uTFsign(u) ——系统库伦摩擦力势能（作功负值） ；
第二章 结构动力学的基本概念
2.2 动荷载的类型
确定 动荷载
简谐荷载 周期 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 突加荷载
其他确定规律的动荷载 风荷载
不确定
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
2.3 结构动力学的研究内容和任务
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
第二章 结构动力学的基本概念
第二章 结构动力学的基本概念
❖ 结构动力计算特点 ❖ 动荷载类型 ❖ 结构动力学研究的主要内容 ❖ 结构离散化方法 ❖ 系统运动方程的建立
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
2.1 结构动力计算的目的与特点
•结构动力计算目的
研究动荷载（广义的）作用下结构动力响应（包括位 移、内力等）的计算原理与方法。
输出 （动力反应）
?控制系统
（装置、能量）
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第二章 结构动力学的基本概念
2.4 结构离散化的方法
•自由度的定义
确定体系中所有质量 位置所需的独立坐标数， 称作体系的动力自由度数。
x2
k2
c2
m2
x1
k1 c1
m1
p(t) x
确定体系在空间中的 位置（位形）所需的独立 参数的数目，称作体系的 静力自由度数。
静动荷载的区别:（a)是否随时间变化；
(b)看荷载作用效果：当荷载对结构 的影响与单纯的静荷载相比相差 较大，此时属于动力问题
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
•动力问题的基本特征
❖ 荷载与响应（或系统特征）随时间变化（要求解时程响应） ❖ 动力问题是某时刻的平衡问题（暂不关心动力稳定问题） ❖ 存在惯性力作用（-ma）
p(t)v mvv 0
( p(t) mv)v 0
p(t) mv 0
说明：上式为质点系虚位移原理，对于变形体还总虚功应包含内力所作虚功。
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念 •自由度的定义
问题：静力自由度与动力自由度的区别与联系？实际结构动 力分析中如何选择自由度？计算效率与计算精度如何考虑？
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困 难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：集中 质量法、广义坐标法 、有限元法
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
?输出
（动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
?结构
（系统）
输出 （动力反应）
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
第三类问题：荷载识别
?输入
（动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
m
11 1
22 2
阻尼力势能： V [c (x x )( x x )] [c x x ]
m
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念 •集中质量法
将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几 何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自 由度系统变成一有限自由度系统。
m
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
•广义坐标法
假设结构的变形曲线形状可以用一系列规定的位移曲 线之和表示，即用数学式表达如下：
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
实例：简单系统运动方程的建立（板书）
x2
k2
c2
m2
x1
k1 c1
m1
p(t)
x
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念 •达朗贝尔原理+虚位移原理（1717年贝努利提出）
虚位移原理：如果体系在一组力作用下平衡，则当体系产生一个约束允许 的虚位移时，这组力所作的总虚功为零。
切分结构
定节点位移
表述单元位移
实例1：平面桁架结构用杆单元进行离散的过程 实例2：简支梁结构用平面梁单元进行离散的过程
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
补充：阻尼力的概念
阻尼：消耗振动能量并使振动衰减的因素。
阻尼力：来源于结构与支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周 围介质的阻力。
cv 阻尼力表述方式：
cv2
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第二章 结构动力学的基本概念
2.5 系统运动方程的建立
•基于达朗贝尔原理（1743年提出）的直接平衡法
牛顿第二定律：任何质量 m的动量变化率等于作用 于其上的力。
p(t) d (m dv) dt dt
p(t)
m
d 2v dt 2
mv
v
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念
达朗贝尔原理要点：
（1）质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。
（2）将运动方程表示为动力平衡方程，p(t)包含很多种作用 在质量上的力（弹性约束力、抵抗速度的阻尼力、独立说明的外 荷载），引入惯性力，上式为作用于质量上的全部力的平衡表达 式。
p(t)
m
d 2v dt 2
mv
p(t) mv 0
y(x) aii (x) i 1
ai ---广义坐标
n
y(x) aii (x) i 1
i (x)---形状函数
讨论：如何构建合适的形状函数？
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第二章 结构动力学的基本概念
简支梁广义坐标表述方法：
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念 •有限单元法
用有限数量的离散位移坐标表示给定结构的位移。
Vp uT p(t) ——系统干扰力势能（作功负值） ；
Vg uT Q ——系统重力势能
中南大学桥梁工程系
第二章 结构动力学的基本概念 •弹性系统动力学总势能不变值原理
实例：单自由度k-c-m系统运动方程的建立（板书）
中南大学桥梁工程系
•多刚体系统
系统的两个自由度为：
、
x1, x2
惯性力势能： V (m x )x (m x )x
第二章 结构动力学的基本概念 •弹性系统动力学总势能不变值原理
Ui Vm Vc VF Vp Vg d 0
Ui
——系统弹性应变能；
Vm
v
uT udv
——系统惯性力势能（作功负值）；
Vc
Leabharlann Baidu
uTcudv
v
——系统粘滞阻尼力势能（作功负值） ；
VF uTFsign(u) ——系统库伦摩擦力势能（作功负值） ；