浅析二项式定理的应用
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Ｔ － － － １ １ ２ ０・ １
．
例ｌ 已知 （ ＋ ＿ ） 的展 开式 前 ３项 中 的
Ｚ。 √ｚ
ｚ的 系 数 成 等 差 数 列 ， 求 其 展 开 式 中所 有 的 ｚ 的有
理项 ．
展开 式前 ３ 项 的 系数分 别 为 Ｃ 一１ ，
析
ｃ ． 一 号 ， ． （ 丢 ） ｚ ： ： wenku.baidu.com 吉 （ 一 １ ） ．
口 。 一口 ｌ ＋ａ ２ －ａ ３ ＋ｎ ４ －ａ ５ ＋ｎ ６ －ａ ７ ＝ ： ： ３ ．
（ １ ）（ ① 一② ） ÷２ ， 得
②
（ ２ ）（ ① ＋② ） － － ｋ ２ ， 得
彝
◇ 甘肃 杨 作 德
篙
（ ａ ｘ ＋ｂ ｘ ＋ｆ ） （ 口 ， ｂ ， Ｃ ∈Ｒ） 的 式子 求其 展开 式 的各 项 ｂ ｙ ） ” （ 口 ， ｂ ∈Ｒ） 的 式子求 其展 开 式各 项 系数 之 和 ， 只 需 令 ｚ — 一１即可．
Ｑ 解析 ０ ・ ９ ９ ８ 一 （ 卜０ ． ０ ０ ２ ） １ ＋ ６ × （ 一 ０ ・ ０ ０ ２ ） ＋
方 向性 ， 避 免盲 目性 ， 以便 顺 利 找 到 正 确 的解 题 方 法 ， 提 高分 析 问题 和解决 问题 的技能 ．
１ 通 项 公 式 问 题
厂 Ｑ 解 析 因 为 第５ 项的 系 数 与 第３ 项的 系 数的 比 是
１ 。 ： １ ， 所 以 三 并一 半 ， 解 得 一 ８ ． 展 开
－
髦 ，
式表 示 的是 第 ｋ ＋ １项 而 不 是 第 ｋ项． 然 后 再 根 据 题 意进行 求 解． 因此运 用通 项 意 识解 二 项 式定 理 问题 是
￣ ９ ０ ＋Ｃ ９ ０ ＋Ｃ ； 一Ｍ Ｘ １ ｏ 。 ＋９ ２ ｘ ９ ０ ＋
１＝ｌ ｏ Ｏ Ｍ ＋８ ２ ×１ ０ ０ ＋８ １ ， 所以 ９ １ 鸵除 以 １ ０ ０的余 数
Ｃ ； ． ２ － ｒ ． ｘ ４ － ３ ｒ ／ ４ ． 由题 意 ， ４ —３ ｒ ／ ４必 为 整 数 ， 从 而 可 知
ｒ必为 ４的倍 数 ， 而Ｏ ≤ｒ ≤８ ， 所以 ｒ 一０ ， ４ ， ８ ． 故－ ｚ的
有 理 项 为Ｔ 一 ， Ｔ ｓ 一 詈 ｚ ， Ｔ 。 一 ｚ 。 ・
二项 式定 理是 中学 数 学 的 重要 组 成 部 分 ， 不 仅是 学 习多项 式乘 法 的延续 ， 也是 学 习 随 机 变量 及 其 分 布 的基 础 ， 更是 历 年 高 考 的热 点 ． 在 高 考 中常 以客 观 题
为主， 注重考 查 二 项 展 开式 的通 项 公式 、 指 定 的 项 或 项数、 二项 式 系数 与 展 开 式 的 系 数 性 质 的应 用 ， 有 时
是 ８ １ ．
，’
例 ２ 已知 （ １ —２ ｘ ） 一 口 ０ ＋口 ｌ ｚ＋ ａ ２ ｚ ＋ … ＋
口 ７ ｚ ． 求： （ １ ）口 １ ＋ｎ ３ ＋口 ５ ＋口 ７ ； （ ２ ）口 ｏ ＋口 ２ ＋ｎ ４ ＋口 ６ ．
妻 星 萋
几 项 就 可 以 了．
罢 爹
Ｑ 解 析 令 一 １ ， 则 ａ 。 ＋ 口 ＋ 口 ｚ ＋
ａ ３ ＋ｎ ＋ｎ ＋ｎ ６ ＋口 ＝ ＝ ＝ 一１ ． 令 ｚ 一一１ ， 则 ①
的和或 差 的形 式 ， 转 化 成 便 于 操 作 的二 项 式 的 结 构 ， 然 后再 用 二项 式定理 展 开 ， 只考 虑 后 面 （ 或 者 前 面） 的
最 大 ， 应 用 ｛ ： ： ： ： 从 而 解 出 愚 来 ， 即 得 ．
； 例４ 求 ９ １ 鸵除 以 １ ０ ０的余数 ．
９ １ 鸵一 （ ９ ０ ＋１ ） 一ｃ ｏ ｚ ９ ０ ＋ Ｃ ５ ２ ９ ０ ９ １ ＋ … ＋
析 Ｃ９
～
彝 蓄 篓
非 常重要 的． ２ 特 值 求 和 问 题
化
成 功 的信 念 在 人 脑 中的 作 用就 如 闹钟 ， 会 在 你 需要 时将 你 唤 醒
５ 近 似 值 问题
。
例５ 求０ ． ９ ９ ８ 的近似 值 ， 使 误 差小 于 ０ ． ０ ０ １ ．
１ ５ ×（ 一０ ． ｏ ｏ ２ ） ｚ ＋…＋（ 一０ ． ０ ０ ２ ） ８ ， 因 为
一
，
例３ 已知 二 项 式 （ 一 ） ” （ ∈ Ｎ ） 的 展 开 式
还 与其 他数 学 知 识 交 会 考 查 ， 但 此类问题相对独 立，
难 度不 大 ， 解 法 灵活 ． 因此 把 握 必 要 的解 题 意 识 ， 增 强
中第 ５项 的 系数 与第 ３项 的系 数 的 比是 １ Ｏ ： １ ．求 展 开式 中系数最 大 的项 以及 二项 式系数 最 大 的项．
） 一 一
由 题 设可 知： ２ ・ 詈一 １ ＋ 告 ， ｚ （ 一 １ ） 得ｎ ＝ ８ 或， ｚ 一
１ （ 舍去 ） ． 当 ：８时 ， Ｔ ， ＋ 一ｃ ； （ ） 。 ～ ｒ ・ （ ２
森妻
睾 ， ）
ｂ Ｅ Ｒ ） 的展 开 式系 数最 大 的项 ， 采 用 待 定 系数 法 ， 设 展 开 式各 项 系数 分别 为 Ａ ， Ａ ， …， Ａ ＋ ， 且 第 ｋ项 系数
式 中第 ｒ 项、 第ｒ ＋１项 、 第ｒ ＋２项 的 系数绝 对值 分 别 为Ｃ ； － １ ・ ２ 、Ｃ ； ・ ２ 、Ｃ ｒ ＋ ・ ２ ， 若第 ｒ ＋１项 的系 数 绝 对值 最大 ， 则 必须 满 足 Ｃ ； ・ ２ ≤Ｃ ； ・ ２ 并 且Ｃ ・
２ ≤Ｃ ； ・ ２ ， 解得 ５ ≤ｒ ≤６ ； 所 以 系 数 最 大 的 项 为 Ｔ 一１ ７ ９ ２ ・ ； 二项 式 系数 最 大 的项 为
．
例ｌ 已知 （ ＋ ＿ ） 的展 开式 前 ３项 中 的
Ｚ。 √ｚ
ｚ的 系 数 成 等 差 数 列 ， 求 其 展 开 式 中所 有 的 ｚ 的有
理项 ．
展开 式前 ３ 项 的 系数分 别 为 Ｃ 一１ ，
析
ｃ ． 一 号 ， ． （ 丢 ） ｚ ： ： wenku.baidu.com 吉 （ 一 １ ） ．
口 。 一口 ｌ ＋ａ ２ －ａ ３ ＋ｎ ４ －ａ ５ ＋ｎ ６ －ａ ７ ＝ ： ： ３ ．
（ １ ）（ ① 一② ） ÷２ ， 得
②
（ ２ ）（ ① ＋② ） － － ｋ ２ ， 得
彝
◇ 甘肃 杨 作 德
篙
（ ａ ｘ ＋ｂ ｘ ＋ｆ ） （ 口 ， ｂ ， Ｃ ∈Ｒ） 的 式子 求其 展开 式 的各 项 ｂ ｙ ） ” （ 口 ， ｂ ∈Ｒ） 的 式子求 其展 开 式各 项 系数 之 和 ， 只 需 令 ｚ — 一１即可．
Ｑ 解析 ０ ・ ９ ９ ８ 一 （ 卜０ ． ０ ０ ２ ） １ ＋ ６ × （ 一 ０ ・ ０ ０ ２ ） ＋
方 向性 ， 避 免盲 目性 ， 以便 顺 利 找 到 正 确 的解 题 方 法 ， 提 高分 析 问题 和解决 问题 的技能 ．
１ 通 项 公 式 问 题
厂 Ｑ 解 析 因 为 第５ 项的 系 数 与 第３ 项的 系 数的 比 是
１ 。 ： １ ， 所 以 三 并一 半 ， 解 得 一 ８ ． 展 开
－
髦 ，
式表 示 的是 第 ｋ ＋ １项 而 不 是 第 ｋ项． 然 后 再 根 据 题 意进行 求 解． 因此运 用通 项 意 识解 二 项 式定 理 问题 是
￣ ９ ０ ＋Ｃ ９ ０ ＋Ｃ ； 一Ｍ Ｘ １ ｏ 。 ＋９ ２ ｘ ９ ０ ＋
１＝ｌ ｏ Ｏ Ｍ ＋８ ２ ×１ ０ ０ ＋８ １ ， 所以 ９ １ 鸵除 以 １ ０ ０的余 数
Ｃ ； ． ２ － ｒ ． ｘ ４ － ３ ｒ ／ ４ ． 由题 意 ， ４ —３ ｒ ／ ４必 为 整 数 ， 从 而 可 知
ｒ必为 ４的倍 数 ， 而Ｏ ≤ｒ ≤８ ， 所以 ｒ 一０ ， ４ ， ８ ． 故－ ｚ的
有 理 项 为Ｔ 一 ， Ｔ ｓ 一 詈 ｚ ， Ｔ 。 一 ｚ 。 ・
二项 式定 理是 中学 数 学 的 重要 组 成 部 分 ， 不 仅是 学 习多项 式乘 法 的延续 ， 也是 学 习 随 机 变量 及 其 分 布 的基 础 ， 更是 历 年 高 考 的热 点 ． 在 高 考 中常 以客 观 题
为主， 注重考 查 二 项 展 开式 的通 项 公式 、 指 定 的 项 或 项数、 二项 式 系数 与 展 开 式 的 系 数 性 质 的应 用 ， 有 时
是 ８ １ ．
，’
例 ２ 已知 （ １ —２ ｘ ） 一 口 ０ ＋口 ｌ ｚ＋ ａ ２ ｚ ＋ … ＋
口 ７ ｚ ． 求： （ １ ）口 １ ＋ｎ ３ ＋口 ５ ＋口 ７ ； （ ２ ）口 ｏ ＋口 ２ ＋ｎ ４ ＋口 ６ ．
妻 星 萋
几 项 就 可 以 了．
罢 爹
Ｑ 解 析 令 一 １ ， 则 ａ 。 ＋ 口 ＋ 口 ｚ ＋
ａ ３ ＋ｎ ＋ｎ ＋ｎ ６ ＋口 ＝ ＝ ＝ 一１ ． 令 ｚ 一一１ ， 则 ①
的和或 差 的形 式 ， 转 化 成 便 于 操 作 的二 项 式 的 结 构 ， 然 后再 用 二项 式定理 展 开 ， 只考 虑 后 面 （ 或 者 前 面） 的
最 大 ， 应 用 ｛ ： ： ： ： 从 而 解 出 愚 来 ， 即 得 ．
； 例４ 求 ９ １ 鸵除 以 １ ０ ０的余数 ．
９ １ 鸵一 （ ９ ０ ＋１ ） 一ｃ ｏ ｚ ９ ０ ＋ Ｃ ５ ２ ９ ０ ９ １ ＋ … ＋
析 Ｃ９
～
彝 蓄 篓
非 常重要 的． ２ 特 值 求 和 问 题
化
成 功 的信 念 在 人 脑 中的 作 用就 如 闹钟 ， 会 在 你 需要 时将 你 唤 醒
５ 近 似 值 问题
。
例５ 求０ ． ９ ９ ８ 的近似 值 ， 使 误 差小 于 ０ ． ０ ０ １ ．
１ ５ ×（ 一０ ． ｏ ｏ ２ ） ｚ ＋…＋（ 一０ ． ０ ０ ２ ） ８ ， 因 为
一
，
例３ 已知 二 项 式 （ 一 ） ” （ ∈ Ｎ ） 的 展 开 式
还 与其 他数 学 知 识 交 会 考 查 ， 但 此类问题相对独 立，
难 度不 大 ， 解 法 灵活 ． 因此 把 握 必 要 的解 题 意 识 ， 增 强
中第 ５项 的 系数 与第 ３项 的系 数 的 比是 １ Ｏ ： １ ．求 展 开式 中系数最 大 的项 以及 二项 式系数 最 大 的项．
） 一 一
由 题 设可 知： ２ ・ 詈一 １ ＋ 告 ， ｚ （ 一 １ ） 得ｎ ＝ ８ 或， ｚ 一
１ （ 舍去 ） ． 当 ：８时 ， Ｔ ， ＋ 一ｃ ； （ ） 。 ～ ｒ ・ （ ２
森妻
睾 ， ）
ｂ Ｅ Ｒ ） 的展 开 式系 数最 大 的项 ， 采 用 待 定 系数 法 ， 设 展 开 式各 项 系数 分别 为 Ａ ， Ａ ， …， Ａ ＋ ， 且 第 ｋ项 系数
式 中第 ｒ 项、 第ｒ ＋１项 、 第ｒ ＋２项 的 系数绝 对值 分 别 为Ｃ ； － １ ・ ２ 、Ｃ ； ・ ２ 、Ｃ ｒ ＋ ・ ２ ， 若第 ｒ ＋１项 的系 数 绝 对值 最大 ， 则 必须 满 足 Ｃ ； ・ ２ ≤Ｃ ； ・ ２ 并 且Ｃ ・
２ ≤Ｃ ； ・ ２ ， 解得 ５ ≤ｒ ≤６ ； 所 以 系 数 最 大 的 项 为 Ｔ 一１ ７ ９ ２ ・ ； 二项 式 系数 最 大 的项 为