圆形有界磁场中“磁聚焦”规律[有答案及解析]
圆形磁场的聚焦问题 精品课件
B
C.
M 2R
D.
M 2R
O
2R
N
O
R 2R N
M
O
N
……以速率 v 沿纸面各个方向由小孔O射入磁场
2R 2R
2R
2R
O
O
R R 2R
2R
O
2R
2R
O
R 2R
A.
B.
C.
D.
例、如图，半径为 r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁场
B=0.2T，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁
0
解：（1） R1+R1sin30º = L/2 得R1 = L/3 R2－ R2cos60º = L/2 得：R2 = L。
qBL （1） m ≥v0≥
qBL 3m
a
b
R1
O
v 0
R2 B c
d
例2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向 垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad 边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边 夹角θ＝30°、大小为v 的带正电粒子，已知粒子质 量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子 重力不计，求：(2)如果带电粒子不受上述v 大小范 围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间．
例2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方 向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在 ad边中点O，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟 ad边夹角θ＝30°、大小为v 的带正电粒子，已知 粒子质量为m，电量为q，ad边长为L，ab边足够 长，粒子重力不计，求：(1)粒子能从ab边上射出 磁场的v0大小范围．
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周
2024年高考物理热点磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边界相切经常是临界条件。
带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。
带电粒子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。
2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。
一、分析临界极值问题常用的四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速率v 一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,(3)当速率v 变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
二、“放缩圆”模型的应用适用条件速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法三、“旋转圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v 0，则圆周运动半径为R =mv 0qB。
如图所示轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R =mv 0qB的圆上界定方法将一半径为R =mv 0qB的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法四、“平移圆”模型的应用适用条件速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则半径R =mv 0qB，如图所示轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法将半径为R =mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法五、“磁聚焦”模型1．带电粒子的会聚如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R =r )，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出．(会聚)证明：四边形OAO ′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO ′(即竖直方向)，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，从P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O 1A (O 2B 、O 3C )均平行于PO ，即出射速度方向相同(即水平方向)．(建议用时：60分钟)一、单选题1地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内(边界上有磁场)，磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
圆形有界磁场中磁聚焦
圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习高三物理当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子规律一：图如甲的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，所示。
圆规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果上磁场形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从边界乙，如平行的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向图所示。
【典型题目练习】的匀强磁R的圆形区域内充满磁感应强度为B1．如图所示，在半径为场射入大P垂直磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点虑粒子间的粒子，不考量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v）（的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上A B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长qBR上D．只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN v m ebbceadabOad、abed为圆心=0.6m，宽的中点，以=0.3m的长，分别是、2．如图所示，长方形eOdO一圆弧组成为圆心为半径的四分之一圆弧和以为半径的四分之感应强度(边界上无磁场磁)的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B=-7-3、电荷量kgq=+2×100.25TC。
一群不计重力、质量m=3×10adv2方向且垂直m/s的带正电粒子以速度=5×10于磁场射人沿垂直磁场区域，则下列判断正确的是（）OaOd边射入的粒子，出射点全部分布在A．从边abaO B．从边边射入的粒子，出射点全部分布在abOd C．从边边射入的粒子，出射点分布在bad D边射人的粒子，出射点全部通过．从点），圆内分布有垂直纸面向里的aO（，0如图所示，在坐标系3．xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为1，一质x轴负方向的匀强电场，场强大小为E的上方和直线y=ax=2a的左侧区域内，有一沿匀强磁场，在直线轴方向时，粒子x）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿>0+量为m、电荷量为q（q O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：恰好从1 B的大小；1（）磁感应强度y（2）粒子离开第一象限时速度方向与轴正方向的夹角；轴正x点垂直于磁场方向、并与O从v轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度y）若将电场方向变为沿3（．0射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t=30。
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型(解析版)
磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1旋转圆模型(1T-4T)目标2放缩圆模型(5T-8T)目标3平移圆模型(9T-12T)目标4磁聚焦模型(13T-16T)【特训典例】一、旋转圆模型1如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中有一粒子源，粒子源从O点在纸面内同时向各个方向均匀地发射带正电的粒子，其速率为v、质量为m、电荷量为q。
PQ是在纸面内垂直磁场放置的厚度不计的挡板，挡板的P端与O点的连线与挡板垂直，距离为8mv5qB。
设打在挡板上的粒子全部被吸收，磁场区域足够大，不计带电粒子间的相互作用及重力，sin37°=0.6，cos37°=0.8。
则()A.若挡板长度为4mv5qB，则打在板上的粒子数最多B.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最短时间为127πm180qBC.若挡板足够长，则打在板上的粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBD.若挡板足够长，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14【答案】D【详解】A．设带电粒子的质量为m，带电量为q，粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供做圆周运动的向心力。
设粒子做圆周运动的半径为r。
则有qvB=m v2r解得r=mvqB能打到挡板上的最远的粒子如图；由几何关系可知，挡板长度L=(2r)2-d2=6mv5qB选项A错误；BC．由以上分析知，当粒子恰好从左侧打在P点时，时间最短，如图轨迹1所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ1=106°；对应的时间为t min=θ12πT=106°360°2πmqB=53πm90qB当粒子从右侧恰好打在P点时，时间最长，如图轨迹2所示，由几何关系得粒子转过的圆心角为θ2=254°对应的时间为t max=θ22πT=254°360°⋅2πmqB=127πm90qB选项BC 错误；D ．如图所示，能打到屏上的粒子，在发射角在与x 轴成37°到127°范围内90°角的范围内的粒子，则打在挡板上的粒子占所有粒子的14，选项D 正确。
圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有答案)
mv 0.3m 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从 Oa 入射 qB
的粒子，出射点一定在 b 点；从 Od 入射的粒子，经过四分之一圆周后到达 be，由于边界无 磁场，将沿 be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。 3．解析： （1）当粒子速度沿 x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时，几何关系知：r=a； 由 qvB m
2mE L ，区域Ⅲ的圆心坐标为（0， ） 、磁场方向垂直于 xOy 平面向外； qL 2 L ） 、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。两个质量均为 m、电荷量 2
区域Ⅳ的圆心坐标为（0，
3 L 3 2 3 均为 q 的带正电粒子 M、N，在外力约束下静止在坐标为（ L ， ） 、 （ L， L） 2 2 2 4
qBR ，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在 MN 上 m
2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆 心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一 圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场) 磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量 q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂 直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（ A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边 B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边 C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边 D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点 3．如图所示，在坐标系 xOy 内有一半径为 a 的圆形区域，圆心坐标为 O1（a，0） ，圆内分 布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线 y=a 的上方和直线 x=2a 的左侧区域内，有一沿 x 轴 负方向的匀强电场，场强大小为 E，一质量为 m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度 v 从 O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿 x 轴方向时，粒子恰好从 O1 点正上方的 A 点射 出磁场，不计粒子重力，求： （1）磁感应强度 B 的大小； （2）粒子离开第一象限时速度方向与 y 轴正方向的夹角； （3）若将电场方向变为沿 y 轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度 v 从 O 点垂直于磁 场方向、并与 x 轴正方向夹角θ=300 射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总
3.6磁聚焦问题2(人教版)
A.
B.
2R
2R
O
O
B
M 2R R N
M R 2R
N
C.
2R D.
O
O
RM
M 2R
2R N M 2R
2R N
ON
……以速率 v 沿纸面各个方向由小孔O射入磁场
2R 2R
O
O
2R R
R 2R
A.
B.
O
2R
2R
C.
2R
R
O
2R
2R
D.
例、如图，半径为 r=3×10－2m的圆形区域内有一匀强磁场
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周
运动的半径r相P 同，O为这些轨迹P圆周的公共点。
M
P
2r
2r
r
O
O
O
Q
rN
Q
Q 答案：MN ( 3 1)r
练1、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T
的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离
为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，
例、如图，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带
电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不
会穿出磁场的外边缘。设环状磁场的内半径为R1=0.5m， 外半径为 R2=1.0m，磁场的磁感应强度 B=1.0T，若被缚 的带电粒子的荷质比为 q/m=4×107C/kg，中空区域中带
电粒子具有各个方向的速度。试计算：
vO θ
（3）圆形磁场区域的半径r。
解：（1）
R mv eB
Rθ 2
带电粒子在圆形有界磁场中磁聚焦问题
电磁场中磁聚焦和有界问题1、如图所示在xoy 坐标平面内以O ’为圆心，半径r=0.1m 的圆形区域内存在垂直纸面向外的磁感应强度B=0.1T 的匀强磁场，圆形区域的下端与x 轴相切于坐标原点O 。
现从坐标原点O 沿xoy 平面在y 轴两侧各30º角的范围内，发射速率均为v 0=1.0×106m/s 的带正电粒子，粒子在磁场中的偏转半径R 也为0.1m ，不计粒子的重力，粒子对 磁场的影响及粒子间的相互作用力，求①粒子的比荷q/m ，②沿y 轴正方向射入磁场的粒子在磁场中运动的时间。
③若在x ≥0.1m ，y>0的区域有竖直向下的匀强电场，其电场强度E=1.0×105N/C 则粒子到达x 轴的范围。
2.如图，在第二象限的圆形区域I 存在匀强磁场，区域半径为R ，磁感应强度为B ，且垂直于Oxy 平面向里;在第一象限的区域II 和区域III 内分别存在垂直Oxy 平面向外和垂直Oxy 平面向里的匀强磁场，磁场宽度相等，磁感应强度大小分别为B 和2B 。
质量为m 、带电荷量q （q ＞0）的粒子a 于某时刻从圆形区域I 最 高点Q （Q 和圆心A 连线与y 轴平行）进入区域I ，其速度v ＝qBR m。
已知a 在离开圆形区域I 后，从某点P 进入区域II 。
该粒子a 离开区域II 时，速度方向与x 轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a 相同的粒子b 从P 点进入区域II ，其速度沿x 轴正向，大 小是粒子a 的31。
不计重力和两粒子之间的相互作用力。
求：（1）区域II 的宽度；（2）当a 离开区域III 时，a 、b 两粒子的y 坐标之差。
3、如图所示,在xoy 平面内,以O'(0,R ）为圆心、R 为半径的圆内有垂直平面向外的匀强磁场，x 轴下方有垂直平面向里的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等。
第四象限有一与x 轴成45°角倾斜放置的挡板PQ ，P 、Q 两点在坐标轴上,且OP 两点间的距离大于2R,在圆形磁场的左侧0<y<2R 的区间内、均匀分布着质量为m 、电荷量为＋q 的一簇带电粒子,当所有粒子均沿x 轴正向以速度v 射入圆形磁场区域时,粒子偏转后都从O 点进入x 轴下方磁场，结果有一半粒子能打在挡板上。
专题59 带电粒子在磁场中的平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型(解析版)
2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题59 带电粒子在磁场中平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦模型特训目标特训内容目标1 带电粒子在磁场中平移圆模型（1T—4T）目标2 带电粒子在磁场中放缩圆模型（5T—8T）目标3 带电粒子在磁场中旋转圆模型（9T—12T）目标4 带电粒子在磁场中磁聚焦模型（13T—16T）【特训典例】一、带电粒子在磁场中平移圆模型1．如图所示，在顶角为23π的等腰三角形BAC内充满着磁感应强度大小为B且垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出）。
一群质量为m、电荷量为＋q、速度为v的带电粒子垂直AB 边射入磁场，已知从AC边射出且在磁场中运动时间最长的粒子，离开磁场时速度垂直于AC边。
不计粒子重力和粒子间相互作用力。
下列判断中正确的是（）A．等腰三角形BAC中AB边的长为2mv qBB．粒子在磁场中运动的最长时间为43m qB πC．从A点射入的粒子离开磁场时的位置与A点的距离为mv qBD．若仅将磁场反向，则从A点射入的粒子在磁场中运动的时间将比改变前缩短【答案】AC【详解】A．由题意可确定运动时间最长的粒子若垂直AC离开，其轨迹圆心必为A点，其轨道必与BC边相切，则由几何关系可知AB边长为半径的两倍，由2mvBqvr=可得mvrqB=则22BA r qB mv==故A 正确； B ．粒子运动时间最长时，圆心角为23πθ=则运动时间为122233m m t T Bq Bq θπππ==⨯=故B 错误； CD ．由几何关系可知，从A 点射入的粒子不论磁场向外还是改为向里，粒子速度的偏转角都是60°，轨迹均为六分之一圆周，则运动时间相同，离开磁场时的位置与A 点的距离为等于半径mvqB，故C 正确，D 错误。
故选AC 。
2．如图所示，在直角三角形ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），AB 边长度为d ，∠B=6π．现垂直AB 边射入一群质量均为m 、电荷量均为q 、速度大小均为v 的带正电粒子，已知垂直AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t ，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为43t （不计重力）。
第16讲 磁聚焦和磁发散(解析版)
第16讲磁聚焦和磁发散【方法指导】磁聚焦磁发散电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行考点一磁聚焦问题[例题1]（2022•温州二模）如图所示，直角坐标系中，y轴左侧有一半径为a的圆形匀强磁场区域，与y轴相切于A点，A点坐标为(0，√32a)。
第一象限内也存在着匀强磁场，两区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。
圆形磁场区域下方有两长度均为2a的金属极板M、N，两极板与x轴平行放置且右端与y轴齐平。
现仅考虑纸面平面内，在极板M的上表面均匀分布着相同的带电粒子，每个粒子的质量为m，电量为+q。
两极板加电压后，在板间产生的匀强电场使这些粒子从静止开始加速，并顺利从网状极板N穿出，然后经过圆形磁场都从A点进入第一象限。
其中部分粒子打在放置于x轴的感光板CD上，感光板的长度为2.8a，厚度不计，其左端C点坐标为(12a，0)。
打到感光板上的粒子立即被吸收，从第一象限磁场射出的粒子不再重新回到磁场中。
不计粒子的重力和相互作用，忽略粒子与感光板碰撞的时间。
（1）求两极板间的电压U；（2）在感光板上某区域内的同一位置会先后两次接收到粒子，该区域称为“二度感光区”，求：①“二度感光区”的长度L；②打在“二度感光区”的粒子数n1与打在整个感光板上的粒子数n2的比值n1：n2；（3）改变感光板材料，让它仅对垂直打来的粒子有反弹作用（不考虑打在感光板边缘C、D两点的粒子），且每次反弹后速度方向相反，大小变为原来的一半，则该粒子在磁场中运动的总时间t和总路程s。
【解答】解：（1）带电粒子在圆形匀强磁场区域中做匀速圆周运动，所有粒子平行射入此磁场均从A 点射出（磁聚焦模型），可知粒子做圆周运动的轨道半径等于圆形匀强磁场区域的半径，即：r ＝a 。
磁聚焦
如图2 所示, 设O´为粒子做圆周运动的圆心, 连接 OA 、OC 、AO ´、O´C , 因为磁场圆半径等于轨 迹圆半径, 故OA =OC =AO´= O´C=R , 则四边形 OAO ´C为菱形, 可得:OA//O´C, 又因为OA⊥AD, 则O´C ⊥ AD ;因为O´C ⊥ CE,可得AD // CE
规律及证明
如图5 所示, 过O 点建立平面直角坐标系, x 轴平 行入射方向, 设入射点P 与圆心O 的连线OP 与y 轴正 向的夹角为θ, 则P点的坐标为(Rsinθ , Rcosθ) , 轨迹圆 的圆心O´(Rsinθ, Rcosθ-R )
磁场圆的方程: x2+y2=R2
轨迹圆的方程: x R sin 2 y R R cos 2 R2
场的圆形边界的圆心位置 :磁场边界圆的圆心与出射点的连线跟入射
方向垂直 , 故圆心应在AD上到A点距离为半径 , DA等于a , 即在D点
。做出磁场的圆形边界如图 10 中实线圆所示 。 题目要求的是最小
由 R a mv0 eB
得 B mv0 ea
(2) 根据规律 2 可知 : 当加一个半径大小等于轨迹圆半径的圆形匀强
磁场时, 所有平行入射的粒子都会从边界上的同一点射出磁场 ,而此
题中所有垂直 BC 边入射的电子 , 其入射方向互相平行 , 又要求都从
A 点射出磁场 , 恰好与规 律2 相吻合。由规 律 2 还可以确定出所加磁
(2 ) 由(l) 中两个边界粒子的运动轨迹可以确定出磁场 的一部分轮廓, 但是射在A D 之间的粒子, 它们从磁场 何处射出呢? 这之间的磁场边界如何确定呢?
根据规律l ,如果加一个圆形有界磁场, 且圆的半径恰
好等于粒子的运动半径, 则从磁场中同一点O 射入的速
圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有规范标准答案)
圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D．只要速度满足qBRvm，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。
一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t 。
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之磁聚焦与磁发散
高中物理 带电粒子在圆形有界磁场中的运动之--磁聚焦与磁发散模型概述带电粒子在圆形有界匀强磁场中运动时，会出现一束平行粒子经磁场偏转后会聚于边界一点，此现象为磁聚焦；一束粒子从边界一点向不同方向经磁场偏转后平行射出，此现象为磁发散。
等半径原理：圆形磁场半径与粒子运动半径相等时，会出现菱形，如下图所示。
当粒子入射方向指向磁场区域圆心，或粒子入射方向不指向磁场区域圆心，根据几何关系，易证明四边形AOCO'为菱形。
物理建模：模型：如图所示。
当圆形磁场区域半径R 与轨迹圆半径r 相等时，从磁场边界上任一点向各个方向射入圆形磁场的粒子全部平行射出，出射方向与过入射点的磁场圆直径垂直(磁发散)；反之，平行粒子束射入圆形磁场必会聚在磁场边界上某点，且入射方向与过出射点的磁场圆直径垂直(磁聚焦)。
O A证明：如图所示，任意取一带电粒子以速率v从A点射入时，粒子在磁场中的运动轨迹圆半径为R，有界圆形磁场的半径也为R，带电粒子从区域边界C点射出，其中O为有界圆形磁场的圆心，B为轨迹圆的圆心。
图中AO、OC、CO'、O'A的长度均为R，故AOCO'为菱形。
由几何关系可知CO'∥AO，即从C点飞出的粒子速度方向与OA垂直，因此粒子飞出圆形有界磁场时速度方向均与OA垂直。
反之也成立。
解题切入点：分析发现粒子轨道半径与磁场区域圆半径的关系，二者相等为磁聚焦或磁发散，否则不满足该关系，但满足怎么进入怎么出去的角度关系，借助几何关系解答。
【典例1】(磁聚焦)如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。
在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。
在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒。
发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g。
(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。
带电粒子在磁场中的运动(磁聚焦)
例1、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如 图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
y
v0
例3放置在坐标原点O的粒子源，可以向第二象限内放射出质量为m、电荷量为q
的带正电粒子，带电粒子的速率均为v，方向均在纸面内，如图所示．若在某区域内
存在垂直于xOy平面的匀强磁场(垂直纸面向外)，磁感应强度大小为B，则这些粒子
都能在穿过磁场区后垂直射到垂直于x轴放置的挡板PQ上，求：
(1)挡板PQ的最小长度； (2)磁场区域的最小面积．
On
x2 + (r－y)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，
磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何
关系得
Smin
2(1 r2
4
1 2
r2)
(
2
1)( mv0 eB
)2
解2: 磁场上边界如图线1所示。
y
设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴
子最后扩展到 －2H<y<2H 范围内，继续沿 x 轴正向平行地
Байду номын сангаас
以相同的速率 v0向远处射出。已知电子的电量为 e，质量为
m，不考虑电子间的相互作用。
y
v0
2H
v0
H
对称思想
O -H v0 -2H
x 图形象什么？
v0
蝴蝶
如图,在xoy平面上-H<y<H的范围内有一片稀疏的电子.从x轴的负半轴的
专题：带电粒子在复合场中、圆形有界磁场中运动及磁聚焦问题课件
磁聚焦概括： 迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R r
R r
平行会聚于一点
规律：带电粒子从圆形有界磁 场边界上某点射入磁场，如果 圆形磁场区域半径 R 与轨迹 圆半径 r 相等，则粒子的出射 速度方向与圆形磁场上入射点 的切线方向平行。
A
例、如图，在xOy平面内，有以O′(R，0)为圆心，R为半径的圆
x = rsin， y = r－rcos ，
A
得: x2 + (y－r)2 = r2。
θ
p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上， 圆弧AFC是所求磁场区域的另一边界。
C
pq F
B O
圆周AEC和AFC所围成的区域所求的最小匀强磁场区域， 其面积为S=2(πa2/4-a2/2) =(π-2)a2/2
y
v0
O
x
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
y
圆周运动 ev0Bmvr02
r=mv0 eB
所有电子的轨迹圆半径相等，均过O点。 v0
O
由图可知，电子离开磁场的出射点， 均应满足方程x2 + (r－y)2=r2 。
O1
x
O2
O3
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆
O5O4
心的圆弧abO上，
On
两边界之间图形的面积即为所求磁场区域面积：
强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射
出磁场。不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。 D
C
y
v0
O
x
A
B
解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。
2025高考物理总复习“平移圆”“放缩圆”“旋转圆”“磁聚焦”和“磁发散”模型
垂直ab射入磁场,已知所有粒子均从圆弧边界射出,其中M、N是圆弧边界上的两
点,不计粒子间的相互作用和重力。则下列说法正确的是( D )
A.粒子带负电荷
B.从M点射出粒子的速率一定大于从N点射出粒子的速率
C.从M点射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从N点
射出的粒子在磁场中运动的时间
2π
D.粒子在磁场中的最短运动时间为
界定
0
将一半径为R= 的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索粒子的临
方法 界条件,这种方法称为“旋转圆”法
考向一 “平移圆”模型
典题1 如图所示,边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD,带电粒子从A点沿
AB方向射入磁场,恰好从C点飞出磁场;若带电粒子以相同的速度从AD的
中点P垂直AD射入磁场,从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A
小为B1。空间中z轴正方向垂直于xOy平面向外,x轴上过D点(4d,0,0)放置一足够
大且垂直于x轴的粒子收集板PQ,PQ与yOz平面间有一沿x轴正方向的匀强电场,
电场强度大小为E。x轴上过C点(d,0,0)垂直于x轴的平面MN与PQ间存在沿x轴
负方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B2。在xOy平面内的-2R≤x≤-R区域内,有大
定。综上所述,D正确,A、B、C错误。
考向三 “旋转圆”模型
典题3 (多选)(2024河南郑州模拟)如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁
感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,在y轴上S处有一粒子源,它可向
右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子,
所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知 OP= 3 =
2025高考物理备考教案含答案解析 专题十五 磁场中的动态圆模型
第十一章 磁 场专题十五 磁场中的动态圆模型核心考点五年考情命题分析预测“平移圆”模型本专题内容为解决带电粒子在有界磁场中运动的模型归纳，单独考查的可能性不大，但在解决大量带电粒子在磁场中的运动问题时，会使解题更加方便快捷.预计2025年高考可能会通过与带电粒子在磁场中做圆周运动有关的现代科技，考查带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界与极值问题.“旋转圆”模型“放缩圆”模型2020：全国ⅠT18 “磁聚焦”与 “磁发散”模型 2021：湖南T13题型1 “平移圆”模型适用条件同种带电粒子速度大小相等、方向相同，入射点不同但在同一直线上.粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则圆周运动半径r＝mv 0qB，如图所示（图中只画出了粒子带负电的情境）轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行界定方法 将半径为r ＝mv 0qB的圆进行平移，从而探索粒子运动的临界条件垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域（阴影部分）可能是（ C ）解析带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A 点，最右端发射的粒子落在B点，故选C.题型2“旋转圆”模型适用条件同种带电粒子速度大小相等，方向不同.粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，圆周转向相同，圆心位置不同，轨迹不同.若粒子射入磁场时的速度为v0，则粒子做圆周运动的轨迹半径为R＝mv0qB，如图所示（图中只画出粒子带正电的情境）轨迹圆圆心共圆如图.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径R＝mv0qB的圆上界定方法将半径为R＝mv0qB的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法2.[2023四川德阳期末]如图所示，竖直平行线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度大小为B，MN上O处的粒子源能沿不同方向释放速度大小相等、方向均垂直磁场的带负电粒子，已知粒子的电荷量为q，质量为m.粒子间的相互作用及重力不计，其中沿θ＝60°射入的粒子，恰好垂直PQ射出，则（D）A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为√3aB.粒子的速率为aqBmC.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为πm3qBD.PQ边界上有粒子射出的长度为2√3a解析粒子沿θ＝60°射入时，恰好垂直PQ射出，则粒子在磁场中转过30°，如图甲所示，由几何关系有Rsin30°＝a，解得R＝2a，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m v 2R，则v＝2aqBm ，故AB错误.沿θ＝60°射入的粒子，在磁场中的运动时间为t＝30°360°T＝112×2πRv＝πR 6v ＝πm6qB，故C错误.如图乙所示，θ＝0°时，粒子从PQ上离开磁场的位置与B点的距离为√3a，当θ增大时，粒子从PQ上离开磁场的位置下移，直到粒子运动轨迹与PQ相切；θ继续增大，则粒子不能从PQ边界射出；粒子运动轨迹与PQ相切时，由半径R＝2a 可知，粒子转过的角度为60°，所以出射点在PQ上O点的水平线下方√3a处；所以PQ 边界上有粒子射出的长度为2√3a，故D正确.题型3“放缩圆”模型适用条件同种带电粒子速度方向相同，大小不同.粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化轨迹圆圆心共线如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径越大.带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直入射速度方向的直线PP'上界定方法以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件，这种方法称为“放缩圆”法3.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示.一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场.已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力.为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（C）A.3mv2ae B.mvaeC.3mv4aeD.3mv5ae解析 为使电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，电子进入匀强磁场中做匀速圆周运动的半径最大时轨迹如图所示，设其轨迹半径为r ，轨迹圆圆心为M ，磁场的磁感应强度最小为B ，由几何关系有√r 2＋a 2＋r ＝3a ，解得r ＝43a ，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动有evB ＝m v 2r，解得B ＝3mv 4ae，选项C 正确.题型4 “磁聚焦”与“磁发散”模型原理图像证明磁聚焦如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R ＝r ），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出图甲四边形OAO'B 为菱形，是特殊的平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO'（即竖直方向），可知从A 点入射的带电粒子必然经过B 点磁发散如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B ，圆心为O ，P 点有大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，如果带正电粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行图乙所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，也是特殊的平行四边形，O 1A 、O 2B 、O 3C 均平行且等于PO ，即出射速度方向相同（均沿水平方向）4.如图所示，半径为R 的14圆形区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场的左边垂直x 轴放置一线形粒子发射装置，能在0≤y ≤R 的区间内各处沿x 轴正方向同时发射出速度相同、带正电的同种粒子，粒子质量为m 、电荷量为q，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，若某时刻粒子被装置发射出后，经过磁场偏转击中y 轴上的同一位置，则下列说法中正确的是（ D ）A.粒子都击中O 点处B.粒子的初速度为BqR2mC.粒子在磁场中运动的最长时间为πmqBD.粒子到达y 轴上的最大时间差为πm2qB －mqB解析 由题意，某时刻发出的粒子都击中y 轴上一点，由最高点射出的粒子只能击中（0，R ），可知击中的同一点就是（0，R ），A 错误；从最低点射入的粒子也击中（0，R ），由几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为R ，由洛伦兹力提供向心力得qvB ＝m v 2R，则速度v ＝BqR m，B 错误；偏转角最大的粒子在磁场中的运动时间最长，显然从最低点射入的粒子偏转角最大，为90°，故其在磁场中的运动时间最长，时间t ＝14T ＝14×2πm qB＝πm 2qB，C错误；从最高点直接射向（0，R ）的粒子到达y 轴的时间最短，则最长与最短的时间差为Δt ＝t －Rv ＝πm 2qB－mqB，D 正确.1.如图所示为边长为L 的正方形有界匀强磁场ABCD ，带电粒子从A 点沿AB 方向射入磁场，恰好从C 点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD 的中点P 垂直AD 射入磁场，则从DC 边的M 点飞出磁场（M 点未画出）.设粒子从A 点运动到C 点所用的时间为t 1，从P 点运动到M 点所用的时间为t2.带电粒子重力不计，则t 1∶t 2为（ C ）A.2∶1B.2∶3C.3∶2D.1∶2解析 画出粒子从A 点射入磁场到从C 点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的半径为R ＝L ，从C 点射出的粒子运动时间为t1＝T4；由P 点运动到M 点所用时间为t2，圆心角为θ，cos θ＝R 2R ＝12，则θ＝60°，故t2＝T6，所以t 1t 2＝T 4T 6＝32，C 正确.2.[2021全国乙]如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m 、电荷量为q （q ＞0）的带电粒子从圆周上的M 点沿直径MON 方向射入磁场.若粒子射入磁场时的速度大小为v 1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v 2，离开磁场时速度方向偏转60°.不计重力，则v1v 2为（ B ）A.12B.√33C.√32D.√3解析 设圆形磁场区域的半径为R ，粒子的运动轨迹如图所示，沿直径MON 方向以速度v1射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转90°，则其轨迹半径为r1＝R ，由洛伦兹力提供向心力得qv1B ＝m v 12r 1，解得v1＝qBR m；沿直径MON 方向以速度v2射入圆形匀强磁场区域的粒子离开磁场时速度方向偏转60°，由几何关系得tan30°＝Rr 2，可得其轨迹半径为r2＝√3R ，由洛伦兹力提供向心力得qv2B ＝m v 22r 2，解得v2＝√3qBR m ，则v 1v 2＝1√3＝√33，B 正确. 3.[多选]如图所示，空间中存在一半径为R 、磁感应强度为B 的圆形匀强磁场，MN 是一竖直放置的足够长的感光板.大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P 以速率v 沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子.粒子质量为m ，电荷量为q ，不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力.关于这些粒子的运动，以下说法正确的是（ ACD ）A.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越短B.对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的时间越长C.若粒子速度大小均为v ＝qBR m，出射后均可垂直打在MN 上D.若粒子速度大小均为v ＝qBR m，则粒子在磁场中的运动时间一定小于πm qB解析 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中做圆周运动的轨迹半径越大，轨迹对应的圆心角越小，由t ＝θ2πT ＝θmqB 可知，运动时间越短，故A 正确，B 错误.粒子速度大小均为v ＝qBR m时，根据洛伦兹力提供向心力可得粒子的轨迹半径r ＝mv qB＝R ，根据几何关系可知，入射点P 、O 、出射点与轨迹圆的圆心的连线构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与PO 平行，故粒子射出磁场时的速度方向与MN 垂直，出射后均可垂直打在MN 上；根据几何关系可知，轨迹对应的圆心角小于180°，粒子在磁场中的运动时间t ＜12T ＝πmqB ，故C 、D 正确.4.[2023豫北名校联考/多选]如图所示，直角三角形ABC 区域内有一方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，∠A ＝30°，AB ＝L .在A 点有一个粒子源，可以沿AB 方向发射速度大小不同的带正电的粒子.已知粒子的比荷均为k ，不计粒子间相互作用及重力，则下列说法正确的是（ CD ）A.随着速度的增大，粒子在磁场中运动的时间变短B.随着速度的增大，粒子射出磁场区域时速度的偏转角变大C.从AC 边射出的粒子的最大速度为2√33kLBD.从AC 边射出的粒子在磁场中的运动时间为π3kB解析5.[多选]如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点.一个带正电的粒子（重力忽略不计）从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形区域内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向（如图中虚线所示）且以各种不同的速率射入正方形区域内，那么下列说法正确的是（ AD ）A.该带电粒子不可能从正方形的某个顶点射出磁场B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t 0C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能为32t 0D.若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定为53t 0解析 带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T ＝2t0.如图所示，随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，不可能从四个顶点射出，故A 正确；由几何关系可知粒子从ab 边射出时经历的时间小于半个周期t0，从bc 边射出时经历的时间小于23T ，从cd 边射出时轨迹所对的圆心角都是300°，经历的时间为5T6＝5t 03，故B 、C 错误，D 正确.6.如图所示，在屏MN 的上方有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里.P 为屏上的一个小孔，PC 与MN 垂直.一群质量为m 、带电荷量为－q 的粒子（不计重力），以相同的速率v 从P 处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域.粒子入射方向在与磁场B 垂直的平面内，且散开在与PC 夹角为θ的范围内.则在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为（ D ）A.2mvqB B.2mvcosθqBC.2mv （1－sinθ）qBD.2mv （1－cosθ）qB解析 当粒子初速度方向与MN 垂直时，粒子打中屏MN 上被粒子打中的区域的最右端，到P 点的距离x1＝2r ＝2mvqB ；当粒子初速度方向与PC 夹角为θ时，粒子打中屏MN 上被粒子打中的区域的最左端，到P 点的距离x2＝2rcos θ＝2mvcosθqB，故在屏MN 上被粒子打中的区域的长度为x1－x2＝2mv （1－cosθ）qB，D 正确.7.[选项图形化/多选]如图所示，纸面内有宽为L 、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m ，电荷量为－q ，速率为v 0，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是下列选项中的（其中B 0＝mv0qL ，A 、C 、D 选项中曲线均为半径为L 的14圆弧，B 选项中曲线为半径为L2的圆）（ AB ）A B C D8.如图所示，正方形区域abcd 内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，ab ＝l ，Oa ＝0.4l ，大量带正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的初速度v 0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用.已知带电粒子的质量为m ，电荷量为q ，磁场的磁感应强度大小为B ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间；（2）若带电粒子从ad 边离开磁场，求v 0的取值范围.答案 （1）143πm 90qB（2）qBl 4m＜v 0≤5qBl 9m解析 （1）粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示有qBv 0＝mv 02R，又T ＝2πR v 0，解得T ＝2πm Bq又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t ＝360°－74°360°T ＝143πm 90qB（2）粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v 01，轨迹半径为R 1，由几何关系可得R 1＋R 1sin37°＝0.4l又qBv 01＝mv 012R 1，解得v 01＝qBl4m粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v 02，轨迹半径为R 2，由几何关系可得R 2＋R 2cos37°＝l又qBv 02＝mv 022R 2，解得v 02＝5qBl 9m综上可得qBl 4m＜v 0≤5qBl 9m.9.[与数学知识联系紧密/2024湖北武汉部分学校调研/多选]如图所示，在xOy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小B ＝0.5T 的有界匀强磁场（未画出），磁场右边界满足曲线方程x 22＋y 24＝1（其中x ≥0，y ≥0，单位：m ），M 点的坐标为（12m ，√32m ）.从O 点沿x 轴正方向以不同速率射出大量质量m ＝1×10－6kg 、电荷量q ＝＋2×10－4C 的同种粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，已知所有粒子均不从磁场右边界射出.下列说法正确的是（ BD ）A.所有粒子在磁场中运动的时间不同B.粒子的最大速率为100m/sC.磁场中有粒子出现的区域面积为π3m 2D.某粒子从O 点运动到M 点的过程，动量改变量大小为1×10－4kg·m/s解析 由题意可知所有的粒子应从y 轴上沿x 轴负方向离开磁场，则所有粒子在磁场中的运动时间均为T2＝πm qB，又所有粒子的质量和电荷量均相同，所以所有粒子在磁场中的运动时间相同，A 错误；当粒子在磁场中的运动轨迹与磁场右边界相切时，粒子的运动轨迹半径最大，速率最大，又粒子的最大轨迹圆方程为x 2＋（y －r m ）2＝r m 2，磁场右边界的曲线方程为x 22＋y 24＝1，则联立所得方程的判别式Δ＝0，解得r m ＝1m ，根据粒子在磁场中运动时有qv m B ＝m v m 2r m，可得v m ＝qBr m m＝100m/s ，B 正确；根据题意可知磁场中有粒子出现的区域面积为粒子在磁场中运动的最大轨迹圆面积的12，即S ＝12πr m 2＝π2m 2，C 错误；作出粒子运动过程中经过M 点的轨迹如图所示，则由几何关系有r 2＝（12m ）2＋（√32m－r ）2，解得r ＝√33m ，则粒子的速率为v ＝qBr m＝100√33m/s ，根据图中的几何关系可知粒子在M 点时速度方向与y 轴正方向的夹角满足cosθ＝12√33＝√32，即θ＝30°，则粒子从O 点运动到M 点的过程，速度改变量的大小为Δv ＝2v sin30°+90°2＝√3v ＝100m/s ，所以此过程动量改变量的大小为Δp ＝m Δv ＝1×10－4kg·m/s ，D 正确.。
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圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
【典型题目练习】1. 如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板.从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q,质量为m速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是( )A. 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C. 对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D. 只要速度满足v qBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2. 如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m, O e分别是ad 、be的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心0(为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。
一群不计重力、质量m=3< 10 -7 kg、电荷量q=+2x 10 -3C的带正电粒子以速度v=5x 102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是( )A.从Oc边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B. 从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C. 从0c边射入的粒子，出射点分布在ab边D. 从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3. 如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为0(a, 0),圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E, —质量为m电荷量为+q (q>0)的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：(1)磁感应强度B的大小；(2)粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；(3)若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角0 =300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的(2)求在A 、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动?(3)为便于收集沿 x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x =2l o 上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场， 使得沿x 轴正方向射出电场的粒 子经磁场偏转后，都能通过x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点。
则磁场区域最小半径是多大？ 相应的磁感应强度 B 是多大？5. 如图所示，在xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为 r =0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度 B =1T ,方向垂直纸面向里，该区域同时与 x 轴、y 轴相切，切点分别为A C 第四象限中，由 y 轴、抛物线FG( y10x 2 x 0.025，单位：m )和直线DH(y x 0.425，单位：m 构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度 E =2.5N /C 的匀强电场；以及直线 DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场E 2=0.5T 。
现有大量质量 m=1 x 10-6 kg(重力不计)，电量大小为q =2x 10-4 C,速率均为20m/s 的带负电的粒子从 A 处垂直磁场进 入第一象限，速度方向与 y 轴夹角在0至1800之间。
(1 )求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；(2)试证明这些粒子经过 x 轴时速度方向均与 x 轴垂直；总时间t 。
4.如图所示的直角坐标系中，从直线x =- 21。
到y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向。
在电场左边界从 A(- 2l 0，- I 。
)点到C (- 21 0, 0)点区域内，连续分布着电量为 +q 、质量为 m 的粒子。
从某时刻起， A 点到C 点间的粒子依次 连续以相同速度 V 。
沿x 轴正方向射入电场。
从A 点射入的粒子恰好从 y 轴上的A (0,-1。
)点 沿沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。
不 计粒子的重力及它们间的相互作用。
尤r 丨11 i!■E rJ z fr1y益c\孑 r*E1C ；(1)求从AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间 t 和匀强电场的电场强度 E 的大小。
(3 )通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。
6. 如图所示，真空中一平面直角坐标系 xOy 内，存在着两个边长为 L 的正方形匀强电场区 域I 、n 和两个直径为 L 的圆形磁场区域川、W 。
电场的场强大小均为 E,区域I 的场强方 向沿x 轴正方向，其下边界在x 轴上，右边界刚好与区域n 的边界相切； 区域n 的场强方向 沿y 轴正方向，其上边界在x 轴上，左边界刚好与刚好与区域w 的边界相切。
磁场的磁感应 强度大小均为2 2mE ，区域川的圆心坐标为(0,—)、磁场方向垂直于xOy 平面向外；区V qL 2域W 的圆心坐标为(0, L )、磁场方向垂直于 xOy 平面向里。
两个质量均为 m 电荷量均 为q 的带正电粒子 M N 在外力约束下静止在坐标为(3L , - ) ( -L ,-一卫L ) 2 2 2 4的两点。
在x 轴的正半轴(坐标原点除外) 放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy 平面。
将粒子M N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。
不计粒子的重力。
求： (1) 粒子离开电场I 时的速度大小。
(2) 粒子M 击中感光板的位置坐标。
(3) 粒子N 在磁场中运动的时间。
7•如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心 O 在x 轴上，OO 距离等于半圆磁场的半径， 磁感应强度大小为B 。
虚线MN¥行x 轴且与半圆相切于 P 点。
在MN±方是正交的匀强电场和匀强 磁场，电场场强大小为 E ,方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为R 。
B i , B 2方向均垂直纸面，方向如图所示。
有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点 O 射入第I象限，其中沿x 轴正方向进入磁场的粒子经过P 点射入MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为 m ,电荷量为q (粒子重力不计)。
求： (1) 粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。
(2) 若撤去磁场 B,则经过P 点射入电场的粒子从 y 轴出电场时的坐标。
-------- x/m x ME X X x x x x M X(3) 试证明：题中所有从原点 O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。
&如图甲所示，真空中有一个半径r =0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强 度大小B =2.0 x 10- 3T ,方向垂直于纸面向里， 在x =r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽 度L =0.5m 的匀强电场区域,电场强度E=1.5x 103N/C,在x =2m 处有一垂直x 方向的足够长的 荧光屏，从 0点处向不同方向发射出速率相同的比荷 q1.0 109C/kg 带负电的粒子，粒 m子的运动轨迹在纸面内。
一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子 M 恰能从磁场与电场的相切处进入电场。
不计重力及阻力的作用。
求： (1) 粒子M 进入电场时的速度。
(2) 速度方向与y 轴正方向成30°(如图中所示)射入磁 场的粒子N,最后打到荧光屏上，画出粒子N 的运动轨迹并 求该发光点的位置坐标。
9.如图甲所示,质量 叶8.0 x 10 - 25kg ，电荷量q =1.6 x 10- 15C 的带正电粒子从坐标原点 O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x 方向夹角大于等于 30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为 V o =2.O x 10 7m/s 。
现在某一区域内加一垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 B =0.1T ,若这些粒子穿过磁场后都能射到与 并且当把荧光屏Mh 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。
(1)粒子从y 轴穿过的范围。
(2 )荧光屏上光斑的长度。
(3) 打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。
(4)画出所加磁场的最小范围(用斜线表示) 。
y 轴平行的荧光屏MN 上,(n =3.14) 求:参考答案1.当v 丄B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为匀速圆周运动；只要速度满足v qBR 时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径m相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MNk ,选项D 正确。
2.由R 器0.3m 知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从(3) 粒子从磁场中的 P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等， 故粒子从P 点的出射方向与 OO 平行，即与y 轴平行；轨迹如图所示;粒子由P 点第2次进入磁场，从 Q 点射出，p OQO 构成菱形；由几何知识可知 Q 点在x 轴上，即为(2a , 0)点；粒子由 P 到Q 所对应的圆心角 e 2=120°，粒子从P 到Q 用时：乂的qBOa 入射的粒子，出射点一定在 b 点；从Od 入射的粒子, 经过四分之一圆周后到达 be , 由于边界无磁场，将沿be 做匀速直线运动到达 b 点；选项 D 正确。
3•解析：(1)当粒子速度沿x 轴方向入射，从 A 点射出磁场时, 几何关系知: r =a ；2由 qvB m —知：Bmv mv qr qa(2 )从A 点进入电场后作类平抛运动; 沿水平方向做匀加速直线运动: 2Eq a myAI 11 1 1 I 1 1 1 1 1/;\ £沿竖直方向做匀速直线运动:V y =V o ；•••粒子离开第一象限时速度与 y 轴的夹角：tanvx V yOOPO 构成菱形,•粒子从o 到P 所对应的圆心角为e i =6o 0,粒子从O 到P 用时：t 1a。
3v由几何知识可知，粒子由 P 点到x 轴的距离Sasin粒子在电场中做匀变速运动的时间： t 22mv Eq粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间:t32(a vS) (23)a ；；v2Eqa2mV• ••粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间:at t1 t2 t3 t4 9v(2 3)a 2mv。