高等代数最大公因式习题2
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数（二）预习——3、最大公因式
⾼等代数（⼆）预习——3、最⼤公因式3、最⼤公因式⼀、最⼤公因式的概念 上⼀篇我们介绍了多项式之间的除法：整除和带余除法。
这之后我们就可以探讨⼀个重要的问题，就是多项式的因式分解问题。
在此之前，先来介绍公因式的概念。
定义：K[x]上的多项式f和g的公共因式称为它们的公因式，即若p是f、g的公因式，则有p|f、p|g。
容易看出公因式有这样⼏个性质：1、所有公因式构成⼀个集合；2、若p是f和g的公因式，则cp,c∈K也是，也即公因式的相伴式也是公因式；3、任意两个多项式之间⼀定存在公因式b,deg b=0；4、任意多项式f与0之间⾄少存在⼀个公因式f。
公因式中最特殊的是“最⼤公因式”，定义如下：若d是f和g的公因式，⽽f、g的任⼀公因式c，满⾜c|d，则称d是f和g的最⼤公因式。
最⼤公因式有如下的性质：1、若f、g不全为0且最⼤公因式存在，则不唯⼀：若d1、d2都是最⼤公因式，显然有d1|d2、d2|d1，即⼆者相伴；2、由1⽴即得：最⼤公因式在相伴意义下唯⼀，否则最⼤公因式将构成⼀个集合，我们记(f,g)是f和g的⾸项为1的最⼤公因式；3、任意f与0的公因式c⼀定满⾜c|f，因此f是f与0的⼀个最⼤公因式，这样，如果我们规定0与0的最⼤公因式是0（除此之外0不会成为最⼤公因式），就有：4、任意多项式都是它和它本⾝的⼀个最⼤公因式。
有了3和4，我们下⾯讨论的时候⾃始⾄终都假设多项式不全为0。
除此之外，最⼤公因式还有如下⾮常重要的性质：5、若f和g的公因式集合等于p和q的公因式集合，则任意f和g的最⼤公因式集合等于p和q的最⼤公因式集合。
证明：若d是f和g的最⼤公因式，则任意f和g的公因式c，c|d，由前提，c也是p和q的公因式，那么由定义就知d也是p和q的最⼤公因式。
反过来同样证明。
请⼤家注意这个性质的对称性要求。
此性质的⼀个直接推论就是：f和g的最⼤公因式也是af和bg的最⼤公因式，其中a、b∈K。
高等代数试题库
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数自学总结,多项式
各数系数多项式唯一因式分解定理
次数大于0的复系数多项式 f ( x)的标准分解式为
ls l1 l2 f ( x) a ( x c1） a ( x c2） ...a ( x cs）
次数大于0的实系数多项式 f ( x)的标准分解式为 f ( x) a ( x c1 ) r1 ...( x cs ) rs ( x 2 p1 x q1 ) k1 ...( x 2 pt x qt ) kt
各数域上的不可约多项式 （复系数多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于 0 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积。 （实数域多项式唯一因式分解定理） 每一个次数大于 0 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次因式乘积。 （△＜0）
中国剩余定理 设m1 , m2 ,..., ms是两两互素的正整数， b1 , b2 ,..., bs是任意给定的 s个整数。 则同余方程组 （ ） x b 1 mod m1 x b （ 2 mod m2） ....................... （ s mod ms） x b 在Z中必有解，如果 c和d是两个解，那么 c d（ mod m1m2 ...ms） 命题1，设f ( x), g ( x) K [ x]，则 deg( f g ) max ｛deg f , deg g｝ deg( fg ) deg f deg g （f与g和差的次数小于等于它 们的较大次数 f与g积的次数 f与g次数的和） 两个非零多项式 (乘积的首项)等于这两个多项式 (首项的乘积） .
例 1 把 f(x)与 g(x)的最大公因式 表示成 f(x)与 g(x)的倍式和 4 3 2 . f(x)=x +3x-2 g(x)=3x -x -7x+4 不可约多项式：只有非 0 数和相伴元的叫不可约多项式。 （唯一因式分解定理）K[x]中任一次数＞0 的多项式都能唯一的分解成数域 K 上有限多个 不可约多项式的乘积。 （算数基本定理）任一大于 1 的整数 a 都能唯一地分解成有限多个素数的乘积。 2 例 1 证明 x +1 在有理数域上不可约 4 2 分解 x +1 在复数域上不可约多项式的乘积。
高等代数14最大公因式
定理1 对任意 f ( x ), g( x ) P[ x ], 则在 P[ x] 中存在 f ( x )与g ( x ) 的一个最大公因式 d ( x ), 且d ( x ) 可表成 f ( x ), g( x ) 的一个组合，即
存在 u( x )、v ( x ) P[ x ] 使得
d ( x )=u( x ) f ( x ) v ( x ) g( x ).
其中 ( r2 ( x )) ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) 0 ．
若 r2 ( x ) 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) q3 ( x )r2 ( x ) r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即
例1
求 f ( x)与 g( x) 的最大公因式
(1) f ( x ) ( x 1)2 ( x 2)( x 5)2 , g( x ) ( x 1)( x 3)( x 5)3 ; 0 c P , d ( x ) c( x 1)( x 5)2是 f ( x) 与g( x) 的 一个最大公因式。 (2) 0 c P , f ( x ) 与 c 的最大公因式?
中的 u( x )、v ( x ) 不唯一。
③ 设 d ( x ), f (=u( x ) f ( x ) v ( x ) g( x ),
则d ( x ) 未必是 f ( x ),g ( x ) 的最大公因式。 如：0 1 x 1 x, 但0不是 x , x的最大公因式。 命题1 d ( x ) 是 f ( x ), g( x ) 的最大公因式 (1) d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g( x );
高等代数习题解答
教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。
证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。
又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。
从而证得A B 是数域。
2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。
证明：000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。
习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。
用“更相减损术”求最大公因式
用“更相减损术”求最大公因式4 22 0 0 2年第6期数学通报用“更相减损术”求最大公因式胡泰培( I l I乐山师范学院数学系 6 1 4 0 0 4 )“更相减损术”是我国占代数学中求二整数最大公因数的方法 .古典名著《九章算术》卷一在谈到分数分子分母约去公数有“置分母子之数 . 以少减多 .更相减损求其等也以等数约之.”这的“等数”就是所说分母分子的最大公因数所谓“更相减损求其等”就是置两个整数，以少减多，反复相减，直到二数相等就得到它们的最大公因数 .例如，求9 l, 4 9的最大公因数( 9 1, 4 9 ) .我们有( 9 1, 4 9 )= ( 9 1―4 9, 4 9 )= ( 4 2, 4 9 ) ( 4 2, 7 )=。
= ( 7, 7)= 7=同的最大公园式 .事实上，当‰≠0时，“ )互素.因而l厂( ), g ( ) f ( ), ( )有相同的公式，从而也有相同的最大公因式 . 如上引入的多项式一行矩阵，呵执r矩阵的初等行变换：l 短阵的行可以相交换；Ⅱ 矩阵的某行可乘一非零数；【l l 矩阵某行的倍可加于另一行 .刘徽说：“其所以相减者，皆等数之重叠.”数9 1, 4 9都是等数7的重叠 . 对于初学者来说.“更相减损求等数”比常用的“辗转相除法求最大公因数”要更容易接受些 . 这小奇怪，正如乘法是加法的叠加，除法也是减法的叠加 .乘除法要比加减法高一个层次. 这里要介绍的是，这种“更相减损术”稍作发展，还可用来求解多项式的最大公因式 .通常求多项式的最大公因式采用带余除法，辗转相除 .这种方法真正使用起来有时并不简单 .用发展了的“更相减损术”有时还简洁明了些为此，先引人多项式的系数矩阵数域f上的多项式l厂( )= a o +0 I _。
+。
+Ⅱ I +。
g( )= b o +6 I ’+。
+b I +b ( 1 )Ⅱ , b∈ F( i:0, 1, 2,。
,; : 0, l, 3,。
1-4最大公因式
4.定理（Theorem） 4.定理（Theorem） 定理 定理2 定理 对 ∀f ( x )、g( x ) ∈ P[ x ]，在P[ x ] 中存在 一个最大公因式 d ( x )，且d ( x ) 可表成 f ( x )、g( x ) 的一个组合， 的一个组合，即 ∃u( x )、v ( x ) ∈ P[ x ] ， 使
定理２ ② 定理２中最大公因式 d ( x )=u( x ) f ( x )+v( x ) g( x ) 中的 u( x )、v ( x ) 不唯一 不唯一.
举例
③ 对于 d ( x), f ( x),g( x) ∈ P[ x], ∃u( x),v( x) ∈ P[ x] ， 使 d(x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) ,但是 d(x ) 未必是
互素的(或互质的 或互质的)． 则称 f ( x ), g ( x ) 为互素的 或互质的 ．
注:
f ( x ),g ( x ) 互素 ⇔ ( f ( x ), g ( x )) = 1 ⇔ f ( x ), g ( x ) 除去零次多项式外
无其它公因式． 无其它公因式．
2．互素的判定与性质
1) 定理3 定理3
高等代数
注:
高等代数
与零多项式0的最 ① ∀f ( x ) ∈ P[ x ] ，f ( x ) 是 f ( x ) 与零多项式 的最 大公因式． 大公因式．
两个零多项式的最大公因式为0． ② 两个零多项式的最大公因式为 ． 的最大公因式， ③ 若 d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g ( x ) 的最大公因式， 为非零常数。 则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数。 为非零常数 因此，最大公因式不是唯一的，但在可以 因此，最大公因式不是唯一的， 相差一个非零常数倍的意义下是唯一的， 相差一个非零常数倍的意义下是唯一的，两个 不全为零的多项式的最大公因式是非零多项式， 不全为零的多项式的最大公因式是非零多项式， 此时， ( 此时，我们约定用 f ( x ), g( x )) 来表示首项系数 的那个最大公因式。 为1的那个最大公因式。 的那个最大公因式
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数题目
一、多项式习题课例1设与是实数域上的多项式.证明:若则.分析只要证,用反证法.证明由于非零实系数多项式的平方的首项系数是正数,假设不全为零,则,从而在上面这个等式中,左边的次数为偶数,右边的次数为奇数,矛盾.注对于复数域上的多项式来说本题的结论不成立.例如,设则,而与不全为零.例2 证明:如果,，且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式.分析用最大公因式的定义.证明由题设,是与的一个公因式,且有多项式使由上式知与的任一公因式必为的因式,因此, 是与的一个最大公因式.注关于最大公因式的证明常用本题的结论.例3 证明:,(首项系数是1).分析设,根据例2,只要证是与的一个公因式,且为与的一个组合.证明设,则,,且有多项式使得于是,,,且即是与的一个公因式,且为与的一个组合.因而.例4设,且,证明:.分析只要证的公因式与的公因式完全相同.证明因为(1)且,所以(2) 由(1)知的公因式必为的公因式,由(2)知的公因式必为的公因式.故的公因式与的公因式完全相同,从而.例5如果不全为零,证明:.分析只要证有多项式使得证明有多项式使得于是故.例6证明: 如果,,那么.分析由已知条件得到两个等式,利用它们来证.证明 因为,,所以有多项式使得于是即因此.例7 设都是多项式,而且,求证:.分析 根据两个多项式不互素必有不可约公因式这一事实,用反证法来证明.证明 假设,则有不可约多项式使得,故对某个与某个有,,这与,矛盾.注本题是例6的推广,还可以用数学归纳法来证明.例8证明当且仅当分析考虑标准分解式.证明若,则显然.反过来,设,来证.若,则,这时结论成立;若,则,设，其中分别为的首项系数,为互不相同的首项系数是1的不可约多项式,.则，因为,所以,从而,故.例9设是次数的多项式,如果对于任何多项式,由可以推出或,那么是不可约多项式.分析本题要证具有“对于任何多项式,由可以推出或”这种性质的次数的多项式不可约.假设可约,证明存在多项式满足而不能推出或,就导致矛盾.证明假设可约,则存在次数比底的两个多项式使显然,但是既不整除也不整除.矛盾.例10证明: 次数且首项系数为的多项式是一个不可约多项式方幂的充分必要条件是:对任意的多项式必有,或者对某一正整数,.分析证必要性用不可约多项式的性质,证充分性用反证法.证明必要性. 设,其中是不可约多项式, 是正整数,则对任意的多项式必有,或者.因此有,,或者.充分性. 假设不是不可约多项式方幂,则它必有两个不同的首项系数为的不可约因式.取,则,且对任一正整数,不整除.例11 求多项式在复数范围和在实数范围内的因式分解.分析求出在复数范围内的全部根,并确定哪些是实根,哪些是两两共轭的虚根.解在复数范围内的根全部根就是个次单位根，它们是,其中在复数范围内在实数范围内因为,且,,所以,当为奇数时当为偶数时例12 求值使有重根.分析的重根是与的公共根.解.设是的重根,则解出,例13求多项式有重根的条件.分析有重根的条件是.解用去除余式为于是当,即时,有重根.当时,用去除余式为当,即时,有重根.综上可知,有重根的充分必要条件是.例14如果,求.分析是的重根.解因为是的重根,所以是与的公共根,即解出.注此题也可用带余除法或综合除法求解.例15证明:不能有重根.分析若,则无重根.证明设则,无重根.故,从例16如果是的一个重根,证明是的一个重根.分析求,就可以用上已知条件证明,,易见.因为是的一个重根,所以是的重根,从而是的重根,是的重根.例17证明:如果,那么分析用余式定理.证明有多项式使例18 证明:如果,那么,.分析只要证.证明因为,所以的两个根,都是的根,于是,即,以上二式相减得,因此,.例19 设是大于的整数,是次数大于零的多项式,证明:如果,那么的根只能是零或单位根.分析的根必为的根.证明设是的任一非零根,因为,所以也是的根,从而,故是的任意一个根.依次类推可知,都是的根.由于的次数有限,必有使,故,因此是单位根.例20 如果,证明:有重根，其中.分析考虑.证明因为,所以是的最大公因式,因此是次多项式,而是次多项式,故只有一个单根.但是与有完全相同的根,而没有重根，所以是的根,且为重根.例21 设是一个整系数多项式,证明:若,都是奇数,则无整数根.分析用反证法.证明假设有整数根,则其中,是整系数的,于是因为,与之中至少有一个是偶数,所以,与之中至少有一个是偶数.这与与都是奇数矛盾.注本题可推广为:设是一个整系数多项式,若有一个偶数与一个奇数,使与都是奇数,则无整数根.例22 设是数域上的多项式,对任意有,证明存在使.分析在中,令得,故欲证之结论即为.证明令,则,假定,则由此知,一切自然数都是的根,故,从而,其中为常数.二、行列式习题课计算行列式常用以下方法:(ⅰ)三角形法将行列式化为三角形,从而求出它的值.(ⅱ)降阶法选适当的行(列)将行列式展开,化高阶行列式为低阶行列式.(ⅱ)递推法行列式降阶后得递推公式,根据递推公式,求出行列式的值.这些方法不是彼此孤立的,我们应该根据行列式的特点选择计算的方法,并且注意将各种方法结合起来应用.例1 计算行列式.分析将第1行的-1倍加到其余各行,可使行列式中出现较多的零.解将第1行的-1倍加到其余各行.(将第2～列加到第1列)例2 计算行列式.解按第1行展开例3 计算行列式(级).解按第1列展开.例4 计算行列式.解依次将第2～n列加到第1列;第3～n列加到第2列;…最后,将第n列加到第列例5 计算行列式.解依次将第2列的倍,第3列的倍,…,第列的倍,第列的倍都加到第1列,则例6 计算行列式.解按第1列展开得到递推公式,即,类推下去可得于是即,从而.附注一般地,若递推公式可以写成则从而得到与之间的递推关系.例7 计算行列式.解最后一列加到前边各列注意到关于与对称,有若,显然;若,解出.无论哪种情况均有.三、线性方和组习题课例1．单项选择⑴非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r，增广矩阵的秩为，则r与的关系为（）。
高等代数例题(全部)
高等代数例题第一章 多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、u 的值。
3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。
5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。
8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。
求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。
10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。
我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。
证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。
11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为 。
高等代数最大公因式
. .. . . ..
最大公因式的唯一性
由最大公因式的定义不难看出，如果 d1(x), d2(x) 是 f(x), g(x) 的 两个最大公因式，那么一定有 d1(x) | d2(x) 与 d2(x) | d1(x)，也 就是 d1(x) = cd2(x), c ̸= 0. 这就是说，两个多项式的最大公因式 在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的. 两个不全为 零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式. 在这个情形，我 们约定，用
∂(g(x)) > ∂(r1(x)) > ∂(r2(x)) > · · ·
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
辗转相除法
因此在有限次之后，必然有余式为零. 于是我们有一串等式： f(x) = q1(x)g(x) + r1(x), g(x) = q2(x)r1(x) + r2(x), ···
最大公因式的定义
如果多项式 φ(x) 既是 f(x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 φ(x) 就称为 f(x) 与 g(x) 的一个公因式.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
最大公因式的定义
如果多项式 φ(x) 既是 f(x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 φ(x) 就称为 f(x) 与 g(x) 的一个公因式. 定义 设 f(x) 与 g(x) 是 P[x] 中两个多项式. P[x] 中多项式 d(x) 称为 f(x), g(x) 的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：
d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x).
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
14秋福师《高等代数选讲》在线作业二答案
福师《高等代数选讲》在线作业二
判断题
一、判断题（共50 道试题，共100 分。
）
1. 零多项式与f(x)的最大公因式是f(x)
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：B
2. n维向量空间中选出n+1个向量一定线性无关.
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：A
3. 若n阶方阵A可对角化，则A有n个线性无关的特征向量
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：B
4. 齐次线性方程组永远有解
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：B
5. 正交矩阵的行列式等于1或-1
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：B
6. 四阶矩阵A的所有元素都不为0，则r(A)=4
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：A
7. 有理数域是最小的数域
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：B
8. 相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系，二者是一回事
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：A
9. 有理数域上任意次不可约多项式都存在
A. 错误
B. 正确
-----------------选择：B
10. x^2-2在有理数域上不可约。
高等代数习题【可编辑范本】
高等代数习题第一章基本概念§１.1 集合1、设Z是一切整数的集合,Ｘ是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集？2、设a是集Ａ的一个元素。
记号{a}表示什么? {a｝ A是否正确?３、设写出和。
4、写出含有四个元素的集合{｝的一切子集.5、设Ａ是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例，并且进行改正．（i)（ｉi)(iｉｉ)(ｉv)７．证明下列等式:（i)(ii)（ｉｉi）§1。
2映射１、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射,但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下:ｆ是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?５、令Ａ=｛1，2，3｝。
写出A到自身的一切映射。
在这些映射中那些是双射？6、设a ，ｂ是任意两个实数且a<b。
试找出一个[0，1］到[a ,b］的双射。
7、举例说明,对于一个集合Ａ到自身的两个映射f和ｇ来说，fｇ与gｆ一般不相等.８、设A是全体正实数所成的集合。
令（i)ｇ是不是A到Ａ的双射？(ii)g是不是f的逆映射?(iｉi)如果ｇ有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射，又令,证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii ）如果是满射,那么也是满射；（ｉii ）如果都是双射，那么也是双射,并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则１２34 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1。
3数学归纳法1、证明：2、设是一个正整数.证明，是任意自然数．3、证明二项式定理：这里，是个元素中取个的组合数.４、证明第二数学归纳法原理。
5、证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§１.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;；; .２、设是整数且不全为0,而，，。
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
高等代数例题(1-4章)
u 的值。
3． P45 14 证明：如果 ( f ( x), g ( x)) = 1 ，那么 ( f ( x) g ( x), f ( x) + g ( x)) = 1
3
4． P45 18 求多项式 x + px + q 有重根的条件。 5． P46 24 6． P46 25 7． P46 26 证明：如果 ( x − 1) f ( x ) ，那么 ( x − 1) f ( x )
x4
2． P 155 6 3． P 155 8
设 α1 , α 2 , α 3 线性无关，证明 α1 + α 2 ， α 2 + α 3 ， α 3 + α1 也线性无关。 设 α1 , α 2 ,
, α s 的秩为 r ，α i1 , α i2 ,
, α ir 是 α1 , α 2 ,
, α s 中的 r 个向量，使得 α1 , α 2 ,
x2 x1 的逆序数是多少？
0 0
2． P 97 8 （3）
n −1 0
3． P 97
2x x 1 2 1 x 1 −1 10 按行列式的定义计算 f ( x) = 3 2 x 1 1 1 1 x
1 1 x a1 x2 a12
2 an −1
4． P 97 12
设 P ( x) =
x n −1 a1n −1
n n n
证明：如果 ( x + x + 1) f1 ( x ) + xf 2 ( x ) ，那么 ( x − 1) f1 ( x ) ， ( x − 1) f 2 ( x )
2 3 3
求多项式 x − 1 在复数域内和实数域内的因式分解。
n
多项式最大公因式性质定理及求解方法
多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式．§1．最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式．例1．如果)x (q )x (g )x (f ⋅=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式，设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有：)x (g |)x (h ，所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．证明：因为)x (h 是)x (f 的因式，所以 可设 )x (m )x (h )x (f ⋅=， )x (n )x (h )x (g ⋅=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ．又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅x h)]()()()()[(x n x b x m x a x h +⋅=．所以 )x (h 是)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．例2：求12x 3x )x (f 3--=和52x 3x )x (g 3-+=的最大公因式．解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：)1x (4)x (g )x (f -=+-的因式，又因为 0)1(f =，0)1(g =，可知所求的最大公因式就是1x -．定理1:设0)(≠x g ，)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，其中))(())((x g x r ︒︒∂<∂，则有 ))x (r ),x (g ())x (g ),x (f (= ．注：定理1的结论可以形象的叙述为：)()(除式，余式被除式，除式=.证明：设)x (d 是)x (g 和)x (r 的最大公因式，那么根据引理１得：)x (d 也是)x (f 的因式，从而)x (d 是)x (f 和)x (g 的公因式；其次，设]x [F )x (h ∈是)x (f 和)x (g 的任一公因式，那么由引理１得：)x (h 是)x (q )x (g )x (f )x (r ⋅-=的因式，所以)x (h 是)x (r 的因式.因此, )x (h 是)x (g 和)x (r 的公因式,从而可知)x (h 能够整除)x (d ；所以)x (d 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．根据引理１和定理１不难得到：定理２：如果)x (f 和)x (g 不全是零多项式，那么)x (f 和)x (g 一定有最大公因式，并且)x (f 和)x (g 的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．具体证明过程可参阅[1] 、[2]．两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理３：若)x (d 是]x [F 的多项式)x (f 和)x (g 的公因式，则以下命题等价：（i ）)x (d 为)x (f 和)x (g 的一个最大公因式；（ii ）在]x [F 里存在多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅.证明：由(i)推(ii):若0)x (g )x (f ==，那么0)x (d =，这时]x [F 中任何两个多项式都可以取作)x (u 与)x (v ．若)x (f 与)x (g 不都等于零，不妨假定0)x (g ≠，用辗转相除法来求（)x (f ，)x (g ）.用)x (g 去除)x (f 应用带余除法，得商式)x (q 1及余式)x (r 1．如果)x (r 1≠0，那么再以)x (r 1除)x (g ，得商式)x (q 2及余式)x (r 2．如果)x (r 2≠0，再以)x (r 2除)x (r 1，得商式)x (q 3及余式)x (r 3如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式0x )(r k ≠，使得)()()(11x q x r x r k k k +-⋅=，于是我们得到一串等式：)x (r )x (q )x (g )x (f 11+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (g 221+⋅=，)x (r )x (q )x (r )x (r 3321+⋅=， (1))x (r )x (q ).x (r )x (r 1-k 1-k 2-k 3-k +=，)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k +⋅=，)x (q )x (r )x (r 1k k 1-k +⋅=．则 )x (r k 就是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k =⋅-，令 1)x (u 1=，)x (q )x (v k 1-=，那么上面的等式可以写成 :)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 11-k 12-k =⋅+⋅． （3） 由（1）的倒数第三个等式，得)x (q )x (r )x (r )x (r 1-k 2-k 3-k 1-k ⋅-=．把)x (r 1-k 的这个表达式带入(3)中，并令 )x (v )x (u 12=，)x (q )x (v )x (u )x (v 1-k 112⋅-=，所以有)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 22-k 23-k =⋅+⋅．如此继续利用（1）中的等式，最后可得到)x (r )x (v )x (g )x (u )x (f k k k =⋅+⋅．但)x (f 与)x (g 的最大公因式)x (d 等于F 中不为零的数c 与)x (r k 的积：)x (r c )x (d k ⋅=，因此 取)x (u c )x (u k ⋅=，)x (v c )x (v k ⋅=，即得所证．由(ii)推(i):设)x (h 是)x (f 与)x (g 的任一公因式，则)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ，由引理1得h(x)是)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅的因式，即)x (d |)x (h ．又因为)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，所以)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．若1))x (g ),x (f (=，则称多项式)x (f 与)x (g 互素．与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4 ：在]x [F 中，设)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，且)x (f 与)x (g 不全为零，则)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式⇔))x (g ),x (f (111=．证明：充分性：如果))x (g ),x (f (111=，则由多项式互素的判定定理有，存在)x (u ，)x (v 使1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，则 等式两边同时乘以)x (d ，得d(x ))x (v )x (g )()x (u )x (f d(x )11=⋅⋅+⋅⋅x d ,由命题条件)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=知)x (d 是)x (f 与)x (g 的公因式，结合上式同时有)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅，所以，由定理3得)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．必要性：若)x (d 是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，则由定理3得，存在)x (u ，)x (v 使)x (d )x (v )x (g )x (u )x (f =⋅+⋅．因为 )x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，所以代进上式变为)x (d )]x (v )x (g )x (u )x (f [)x (d 11=⋅+⋅⋅，又因为)x (f ，)x (g 不全为零，所以0)(≠x d ，可用)x (d 除等式两边，得1)x (v )x (g )x (u )x (f 11=⋅+⋅，所以 1是)x (f 与)x (g 的公因式，由3Th 得,))x (g ),x (f (111=．已知))x (g ),x (f ()x (d =，则)x (d ))x (g ),x (af (=，)x (d ))x (g ),x (g )x (f (=+,一般地有： 定理5 ：令)x (f 与)x (g 是]x [F 的多项式，而a 、b 、c 、d 是F 中的数，并且0bc ad ≠-，则)x (d 是)(x f 与)x (g 的最大公因式⇔)x (d 也是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．证明：设)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式，并令))x (g ),x (f ()x (d =.命 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，现只需证明))x (G ),x (F ()x (d =即可． 由 引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式，所以 )x (d 是F(x)与G(x)的公因式．设 )x (h 是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明)x (d |)x (h 如下：因为 )x (bg )x (af )x (F +=，)x (dg )x (cf )x (G +=，且0≠-bc ad ,所以 从F(x)与G(x)的表达式中可得：)x (G bcad b )x (F bc ad d )x (f ---=， )x (G bcad a )x (F bc ad c )x (g -+--=， 又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以)x (f |)x (h ，)x (g |)x (h ,从而)x (d |)x (h ．即证明了)x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式．""⇐因为 )x (d 是)x (bg )x (af +与)x (dg )x (cf +的最大公因式 ，由3Th 可知在F[x]里总可以求得多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )]x (dg )x (cf )[x (v )]x (bg )x (af )[x (u =+++ ,即 )x (d )]x (dv )x (bu )[x (g )]x (bv )x (au )[x (f =+++．令 )x (cv )x (au )x (u 1+=,)x (dv )x (bu )x (v 1+=,则)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u 11=+． ①由引理1得)(x d 是)x (f )bc ad ()]x (dg )x (cf [b )]x (bg )x (af [d -=+-+的因式，同时也是)x (g )ad bc ()]x (dg )x (cf [a )]x (bg )x (af [c -=+-+的因式．又)x (g |)x (d ),x (f |)x (d ,0bc ad ∴≠- , ②综合3Th ①、②由得)x (d 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．§2．关于定理3中)x (u ，)x (v 的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的)x (u ，)x (v 作进一步分析，从而得出有关)x (u ，)x (v 的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充．定理3中涉及一个事实，即∀]x [F )x (),x (f ∈g ,0)x (f ≠与0)x (g ≠，∃]x [F )x (v ),x (u ∈，使得))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅, ①设))x (g ),x (f ()x (d =，)x (f )x (d )x (f 1⋅=，)x (g )x (d )x (g 1⋅=，由§1中定理4得1))x (g ),x (f (=．作了上面的准备工作，现给出)x (u ，)x (v 的结构定理，并加以证明．定理6：（1）设s(x),t(x)∈F(x),∀]x [F )x (h ∈，取)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，则))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅；（2）如果有]x [F )x (t ),x (s ∈使))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅，则∃]x [F )x (h ∈，使)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=．证明：（1）设d(x)=(f(x),g(x)),将)x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅+=，)x (f )x (h )x (v )x (t 1⋅-=，代入下式得)x (g ))x (f )x (h )x (v ()x (f ))x (g )x (h )x (u ()x (g )x (t )x (f )x (s 11⋅⋅-+⋅⋅+=⋅+⋅ =)()()()()()()()()()(11x g x f x h x f x g x h x g x v x f x u -++其中)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅．又因为 )x (g )x (f )x (d )x (f (x )g )x (f )x (g 1111⋅=⋅⋅=⋅,所以 0)x (g )x (f )x (h )x (f )x (g )x (h 11=⋅⋅-⋅⋅，从而 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅．（2）因为 ))x (g ),x (f ()x (g )x (t )x (f )x (s =⋅+⋅))x (g ),x (f ()x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅，上边两式左右两边同时作差得：0)x (g )]x (v )x (t [)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，因为 0)x (d ≠，两边同除以)x (d ，则有：0)x (d /)x (g )]x (v )x (t [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [=⋅-+⋅-，又因为 1))x (d /)x (g ),x (d /)x (f (=，从 )x (d /)x (g )]x (t )x (v [)x (d /)x (f )]x (u )x (s [⋅-=⋅- (*)中，得)]x (u )x (s [|)]x (d /)x (g [-，即 ∃]x [F )x (h ∈，使得)x (d /)x (g )x (h )x (u )x (s ⋅=-，又因为)x (g )x (d /)x (g 1=，)x (f )x (d /)x (f 1=，所以有 )x (g )x (h )x (u )x (s 1⋅=-，代入(*)式得)x (f )x (h )x (t )x (v 1⋅=-即 ⎩⎨⎧⋅-=⋅+=)x (f )x (h )x (v )x (t )x (g )x (h )x (u )x (s 11． 这个定理一方面指出了满足①的)x (u ，)x (v 是不唯一的，同时也给出了所有)x (u ，)x (v 的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用．§3．最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法．1．因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个（或多个）多项式的标准分解式，如设多项式)x (f 与)x (g 的标准分解式分别为：s 1r r 1k s k 1r k r k 1)x (q )x (q )x (p )x (ap )x (f ++=，t 1r r 1l t _l 1r _l r l 1)x (q )x (q )x (p )x (bp )x (g ++=，其中每一)x (q i ，)s ,,1r i ( +=不等于任何)x (q j _)t ,,1r j ( +=，令i m 是i k 与i l 两个自然数中较小的一个)r ,,2,1i ( =，那么r 21m r m 2m 1)x (p )x (p )x (p )( =x d ，就是)x (f 与)x (g 的最大公因式．例3．求实数域R 上多项式1x x x x x )x (f 2345+++++=与1x x x )x (g 34+++=的最大公因式．解：分别对两个多项式进行标准因式分解得 1x x x x x )x (f 2345+++++=22(x 1)(x 1x)(x 1x)=++++-，1x x x )x (g 34+++=)x 1x ()1x (22-++=，由)x (f 与)x (g 的标准分解式可看出： 1x )1x x )(1x ())x (g ),x (f (32+=+-+=．应该指出的是多项式的标准分解式一般不易求得．因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法．2．辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法．但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用]x [F 中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下:设f(x)，g(x)∈F(x),其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，对F c ∈∀且0≠c 有)x (cr )]x (cq [)x (g )x (cf +⋅= ⑴，)x (r )]x (q c1[)]x (cg [)x (f +⋅= ⑵， 故由§1定理1得：))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (cr ),x (g ())x (g ),x (cf (===，))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (r ),x (cg ())x (cg ),x (f (===．根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用F 中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带来很大的方便，以下用例题说明：例4．令F 是有理数域，求]x [F 的多项式：34x 4x 2x x )x (f 234-+--=与34x 5x 2x )x (g 23+--=的最大公因式．解法一，对)x (f 与)x (g 作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略．解法二，对)x (f 与)x (g 作辗转相除，对相除中的系数作一些处理：观察)x (f 与)x (g 的系数，先对)x (f 的系数作处理即 2)x (f =68842234-+--x x x x ，用)x (g 去除2)x (f ，商x ，余65423-+-x x x ，观察此步对系数作处理得2（65423-+-x x x ）=12108223-+-x x x ，用)x (g 去除12108223-+-x x x ，商1，余151432-+-x x ，观察此步对系数作处理得 912x 15x 6x )x (3g 23+--=，用151432-+-x x 去除912x 15x 6x 23+--，商-2x ，余942132+-x x ，观察此步对系数作处理得 )94213(32+-x x =27126392+-x x ，用151432-+-x x 去除27126392+-x x ，商-13，余16856-x ，观察此步对系数作处理得 3)16856(561-=-x x ， 用3-x 去除151432-+-x x ，商x 3-，余155-x ，观察此步对系数作处理得 3)155(51-=-x x ，用3-x 去除3-x ，商1，余0.所以 3x ))x (g ),x (f (-=.由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式，再做辗转相除法而不影响求))x (g )x (f (，的结果，由§1中引理1有： ))x (g ),x (f ())x (r ),x (g ())x (g ),x (g )x (b )x (f )x (a (==⋅+⋅．解法三，对)x (f 与)x (g 作辗转相除：65x 4x x )x (x g )x (2f 23-+-=-，令 65x 4x x )x (r 231-+-=，则有 1514x 3x )x (2r )x (g 21+-=-，令 1514x 3x )x (r 22+-=，则有)3x ()3x (2182x )x (x r )x (3r 221-⋅+=-=-，令 182x )x (r 23-=，则有)3x (144214x )x (r 23)x (r 32--=+-=-， 故 3x ))x (g ),x (f (-=．很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便．3．矩阵的初等变换法给出数域F 上)2n (n ≥个多项式，如何求其最大公因式?现给出n 个多项式的最大公因式的定义：定义2：设)x (f ,),x (f ),x (f n 21 是数域F 上的n 个多项式，并且)x (d 是多项式),x (f 1)x (f 2， ．．．,)x (f n 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f ,),x (f ),x (f n 21 的一个最大公因式．规定用符号()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )表示)x (f ,),x (f ),x (f n 21 在)(x F 中最高次项系数为1的最大公因式．由上述定义及§1的结论得关于数域F 上n 个一元多项式最大公因式的性质：（1）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (f ),x (f (n j i 1 =))x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n i j 1 ,n j i 1≤≤≤．（2）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f ())x (f ,),x (cf ,),x (f (n i 1n i 1 =，且n j i 1≤≤≤，F c ∈≠0为常数．（3）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有 ))x (f ,),x (f ,),x (f )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=, 其中n j i 1≤≤≤．性质（1）、（2）、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，则有))x (f ,),x (f ,),x (cf )x (f ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j j i 1n j i 1 ±=， 其中n j i 1≤≤≤，F c 0∈≠为任意常数.再给出一个引理：引理2：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，d(x)= ()x (f ,),x (f ),x (f n 21 )，若)x (f ,),x (f ),x (f n 21 中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式)x (d 的常数项必不为0．证明：假设)x (d 的常数项等于0，则)x (d 能被x 整除，所以),,2,1)((n i x f i =的常数项均为0，与条件矛盾，证毕．再由前3个性质及推论1得性质4：（4）：设)(,),(,),(,),(1x f x f x f x f n j i 是F(x)中的n 个一元多项式，并设)x (g x )x (f i k =，其中n i 1≤≤，k 为非负整数，)x (f j 为常数项不为0的一元多项式，其中n j 1≤≤，且j i ≠，则 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．证明：设))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f (n j i 1 )x (d =,显然 )x (d 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的一个公因式．其次 设)x (h 是)x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f n j i 1 的任一公因式，则)x (f |)x (h i ，)x (g x |)x (h i k ，而 ()x (f 1…,)x (f i ,)x (f 1i +,…,)x (f j ,…,)(x f n )的常数项非零，则)x (h 不含k x 这一因式，从而)x (g |)x (h i ，因而)x (h 是)x (f 1…,)x (g i ,…,)(x f n 的公因式,所以 )x (d |)x (h .所以 ))x (f ,),x (f ,),x (g ,),x (f ())x (f ,),x (f ,),x (f ,),x (f (n j i 1n j i 1 =．为了更方便的介绍n 个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；⑶把某一多项式的k 倍)0k (≠，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式（只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立）．现再给出n 行多项式矩阵的定义：定义3：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，且这n 个多项式的最高次项的次数是m 次，现将每个多项式各项的系数（按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0）排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n 行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n 个多项式的n 行多项式矩阵，n 个多项式)x (f ,),x (f ,x )(f n 21 所组成的n 行多项式矩阵记为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，并规定该矩阵表示()x (f ,),x (f ,x )(f n 21 )的最高次项系数为1的最大公因式．下面将给出关于n 行多项式矩阵的一些结论：定理7：设),,2,1)((n i x f i =是F 上的n 个一元多项式，对这n 个多项式（至少有一个常数项不等于0）组成的多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由前面谈到的n 个多项式最大公因式的四条性质直接得到．在前面的基础上，现给出定理8：定理８：对于n 行多项式矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)x (f )x (f n 1 ，一定可以通过四种初等变换，化成⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 0)x (d 的形式，其中)x (d 就是它的最大公因式．定理8的证明过程参阅[3]．下面以实例阐述多项式最大公因式的矩阵求法．例5．设84x 2x x )x (f 23+--=，44x x x )x (g 23+--=，求))x (g ),x (f (．解：对矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=44-1-18421A 施行矩阵的初等变换得： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→40104-0104-01004-0140108421A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00004010. 故 4x )0,4x ())x (g ),x (f (22-=-=.例6．设23x 5x 2x )x (f 23+++=，2x x 24x )x (g 23++=，343x 6x )x (h +=+x x 272+ 2+，求它们的最大公因式．解：对矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=227360224023520A 施行初等变换得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000000000021211000000000000112001120011200112000336077140011120002160335200120001-2162352001120A 故 21x 21x )0,0,21x 21x ())x (h ),x (g ,f(x)(22++=++=. 参考文献：[1]余元庆.方程论初步．上海：教育出版社,1979.[2]张禾瑞,郝炳新．高等代数（第四版）．北京：高等教育出版社，1997.[3]郁金祥．多项式最大公因式求解方法的推广．嘉兴学院学报，2003，（3）：27-29.[4]汪军．关于多项式最大公因式的进一步探讨．工科数学，1999，（3）：137-139.[5]王向东．高等代数常用方法．科学出版社，1989.[6]万哲先．代数导引．科学出版社，2004.The proprties and methods about the greatestcommon divisor of the polynomialsWang Fei Directed by Prof .Dong HuiyingAbstract This paper summaries the important proprties about the greatest common divisor of the polynomials,among which is further researched for its serucfure ,and gives several methods of finding the greatest common divisors of the polynomials :factoring method;Euclidean algorithm;matrix method ．Key words common divisors greatest common divisors Euclidean algorithm elemetary transform。
《高等代数》(上)题库
《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。