第16章 含参量积分

第十六章 含参量积分

关于积分理论，我们已经学过一元函数的积分理论：包括常义积分（积分限有限、被积函数有界）和广义积分，其积分变量和被积函数的变量一样，都是一个。但在各技术领域，经常会遇到这样的积分：对一个变量的积分还与一个参数有关，如天体力学中常遇到的椭圆积分：dt t k ⎰

-2/0

22sin 1π，从形式可以看出，

积分变量为t ，积分过程结果依赖于k ，此时k 称为积分过程中的参量。显然，若将k 视为一个变元，记t k k t f 22sin 1),(-=为一个二元函数，则上述积分只涉及其中的一个变量，将另一个变量视为参量，像这种积分形式在工程技术领域还有很多。因此，为解决相应的技术问题，必须先在数学上进行研究，这就是本章的内容：含参变量的积分，包括：常义积分和广义积分两部分，由于这种积分形式的被积函数是多元函数，因此，多元函数理论为参变量积分的研究提供了理论基础。

§1含参变量的常义积分

只考虑一个参量的含参量积分，因此，被积函数是二元函数。设),(y x f 在],[],[d c b a D ⨯=，此时),(0y x f 是为关于x 的一元连续函数，因而可积。考虑其积分dx y x f b

a ⎰),(0，显然其与0y 有关，

记为dx y x f y I b

a

⎰=),()(00，更一般，引入

dx y x f y I b

a

⎰=),()(，

称其为含参变量y 的积分。

注：由此可看出：含参量的积分结果是一个关于参变量的函数，由此就决定了含参量积分的研究内容：不仅在于计算，还要研究其分析性质。更进一步的，将其分析性质应用于含参量的计算，由此带来了积分计算的新方法：通过引入参变量，将一个一般积分转化为含参量的积分，通过含参量积分的性质进行计算含参量的积分，最后取特定的参量值计算出原积分。为此，先研究含参量积分的分析性质。

定理1：（连续性）设)(),(D C y x f ∈，则],[)(d c C y I ∈。 分析：在不能利用连续函数的性质得到连续性的情况下，需利用定义证明函数的连续性，这是处理这类问题的一般方法。

证明：任取],[0d c y ∈，取y ∆，使],[0d c y y ∈∆+，只须证：

)()(lim 000

y I y y I y =∆+→∆。

事实上，由于：

dx y x f y y x f y I y y I b

a |),(),(|)()(0000-∆+≤-∆+⎰

（要使0)()(00→-∆+y I y y I ，只须),(),(00y x f y y x f -∆+充分小，形式上看：只须利用),(y x f 在0y 点的连续性，但实际不仅如此，更要用到一致连续性。因为，仅仅利用),(y x f 在0y 点或（x,

0y ）的连续性，对任意的ε，得到的0(,,)x y δδε=不仅与0,y ε有

关，还与[,]x a b ∈有关，因而，不能保证在整个积分区间[a,b]上都有),(),(00y x f y y x f -∆+ε<；同时，在证明0()I y y 在点的连

续性时，只允许0,)y δδε＝（。）

由于)(),(D C y x f ∈，因而，f (x,y )在D 上一致连续，故，对任

意

的

ε>0，存在()δδε=，使得当

(,)(,)x y x y D ''''''∈、且||,||x x y y δδ''''-<-<时，成立

|(,)(,)|f x y f x y b a

ε

'''''-<-，

因而，当||y δ∆<时，成立

),(),(00y x f y y x f -∆+b a

ε<

-，

故，

dx y x f y y x f y I y y I b

a |),(),(|)()(0000-∆+≤-∆+⎰ε<

所以，()I y 在0y 点的连续性，由0y 的任意性得，],[)(d c C y I ∈。

注：结论表明：极限和积分运算可以换序：

dx y x f dx y x f dx y x f b

a y y b

a

b

a

y y ⎰⎰⎰→→==),(lim ),(),(lim

00。

定理2：（可微性）设)(),(D C y x f ∈，(,)()y f x y C D ∈，则

],[)(d c C y I '∈且

⎰=b a y dx y x f dy

y dI ),()

(， 即微分与积分运算可以换序。

分析：证明思想和定理1相同，利用可微性的局部性和定义验证即可。

证明：任取],[0d c y ∈，及y ∆，使],[0d c y y ∈∆+，由中值定理，

0000()()

(,)(,)

b

a

I y y I y f x y y f x y dx y

y

+D -+D -=

D D ò

0(,)b

y a

f x y y dx q =

+D ò

，

其中，[0,1]θ∈。由定理1，则

00000()()

lim

lim (,)b y a y y I y y I y f x y y dx y

θ∆→∆→+∆-=+∆∆⎰

00

lim (,)b y a y f x y y dx θ∆→=+∆⎰⎰=b

a y dx y x f ),(0。

更进一步讨论变限的含参量积分，记⎰

=)

()

(),()(y b y a dx y x f y F 。

定理3：若)(),(D C y x f ∈，],[)(),(d c C y b y a ∈，且