【数学】数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题含答案
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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图1,已知扇形MON 的半径为2,∠MON=90°,点B 在弧MN 上移动,联结BM ,作OD ⊥BM ,垂足为点D ,C 为线段OD 上一点,且OC=BM ,联结BC 并延长交半径OM 于点A ,设OA=x ,∠COM 的正切值为y. (1)如图2,当AB ⊥OM 时,求证:AM=AC ; (2)求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (3)当△OAC 为等腰三角形时,求x 的值.
【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 142
2
=x . 【解析】
分析:(1)先判断出∠ABM =∠DOM ,进而判断出△OAC ≌△BAM ,即可得出结论; (2)先判断出BD =DM ,进而得出
DM ME BD AE =,进而得出AE =1
22
x (),再判断出2OA OC DM
OE OD OD
==,即可得出结论; (3)分三种情况利用勾股定理或判断出不存在,即可得出结论. 详解:(1)∵OD ⊥BM ,AB ⊥OM ,∴∠ODM =∠BAM =90°. ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ,∴∠ABM =∠DOM . ∵∠OAC =∠BAM ,OC =BM ,∴△OAC ≌△BAM , ∴AC =AM .
(2)如图2,过点D 作DE ∥AB ,交OM 于点E . ∵OB =OM ,OD ⊥BM ,∴BD =DM . ∵DE ∥AB ,∴DM ME BD AE =,∴AE =EM .∵OM 2,∴AE =1
22x (). ∵DE ∥AB ,∴
2OA OC DM OE OD OD
==, ∴22
DM OA y OD OE x =∴=+,02x ≤<
(3)(i)当OA=OC时.∵
111
222
DM BM OC x
===.在Rt△ODM
中,
222
1
2
4
OD OM DM x
=-=-.
∵
2
1
2
12
2
4
x
DM
y
OD x
x
=∴=
+
-
,
.解得
142
2
x
-
=,或
142
2
x
--
=(舍).
(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>
∠AOC,∴此种情况不存在.
(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°﹣α,∴α>90°﹣α,∴α>45°,∴∠BOA=2α>90°.∵∠BOA≤90°,∴此种情况不存在.
即:当△OAC为等腰三角形时,x的值为
142
2
-
.
点睛:本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三角形的性质,建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.
2.(1)如图1,在矩形ABCD中,点O在边AB上,∠AOC=∠BOD,求证:AO=OB;(2)如图2,AB是⊙O的直径,PA与⊙O相切于点A,OP与⊙O相交于点C,连接CB,∠OPA=40°,求∠ABC的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)25°.
【解析】
试题分析:(1)根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC,根据矩形的对边相等,每个角都是直角,可知∠A=∠B=90°,AD=BC,根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC,从而得证结论.
(2)利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数,然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数.
试题解析:(1)∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°,AD=BC ∴AOD BOC ∆≅∆ ∴AO=OB (2)解:∵AB 是O 的直径,PA 与O 相切于点A ,
∴PA ⊥AB , ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°, ∴∠AOP=50°, ∵OB=OC , ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB , ∴1
252
B OCB AOP ∠=∠=
∠=︒.
3.如图,在平面直角坐标系xoy 中,E (8,0),F(0 , 6). (1)当G(4,8)时,则∠FGE= °
(2)在图中的网格区域内找一点P ,使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形.
要求:写出点P 点坐标,画出过P 点的分割线并指出分割线(不必说明理由,不写画法).
【答案】(1)90;(2)作图见解析,P (7,7),PH 是分割线. 【解析】
试题分析:(1)根据勾股定理求出△FEG 的三边长,根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形,且∠FGE="90" °.
(2)一方面,由于∠FPE=90°,从而根据直径所对圆周角直角的性质,点P 在以EF 为直径的圆上;另一方面,由于四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形,从而OP 是正方形的对角线,即点P 在∠FOE 的角平分线上,因此可得P (7,7),PH 是分割线. 试题解析:(1)连接FE ,
∵E(8,0),F(0 , 6),G(4,8),
∴根据勾股定理,得FG=,EG=,FE=10.
∵,即.
∴△FEG是直角三角形,且∠FGE=90 °.
(2)作图如下:
P(7,7),PH是分割线.
考点:1.网格问题;2.勾股定理和逆定理;3.作图(设计);4.圆周角定理.
4.如图,在直角坐标系中,已知点A(-8,0),B(0,6),点M在线段AB上。
(1)如图1,如果点M是线段AB的中点,且⊙M的半径等于4,试判断直线OB与⊙M 的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,⊙M与x轴,y轴都相切,切点分别为E,F,试求出点M的坐标;
(3)如图3,⊙M与x轴,y轴,线段AB都相切,切点分别为E,F,G,试求出点M的坐标(直接写出答案)
【答案】(1)OB与⊙M相切;(2)M(-24
7
,
24
7
);(3)M(-2,2)
【解析】