华东交大历年高数上册期末试题及答案07-08高数上试卷及答案

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华东交大历年高数上册期末试题及答案10高数上复习题

第一章复习题 1. 计算下列极限: （1）2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (2)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (3))1311(lim 31xx x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(5)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).(6)145lim1---→x xx x ;解 )45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454l i m1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 )())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xxx sin lnlim 0→; 解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→;解 )1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 x x x x x x x x x x x x x c o s)c o s 1(s i n lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明因为1tan lim arctan lim00==→→y y x xy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); 解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .8*、证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章复习题1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2);解 222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=; 解[]22122221122122)2()(21)()(21)(xa x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xxy 2sin =; 解 222s i n 2c o s 212s i n 22c o s x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (6)x y arcsin =; 解 2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=. (8)x x y +-=11arcsin . 解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)x x y -+=11arctan ; 解 222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解 )(t a n t a n 1c o s t a n ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解 xx x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='. 2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解 1ln +='x y , 11-==''x xy ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx y d . 解方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d : 解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2);解 dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解 )11()11(1111a r c t a n 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限x x x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim)0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 第三章复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x . 证明令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限: (1)xe e xx x sin lim 0-→-; 解 2c o s l i m s i n l i m00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x . (2)22)2(sin ln limx x x -→ππ;解 812c s c lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ. (3)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;解 xx x x x x x x x x x 22022020c o s 1l i m c o s 1)1l n (c o s l i m c o s s e c )1l n (l i m -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++. 5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解 21a r c t a nx x x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1);解 122+='x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x x x x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点.因此所求最大项为333}3 ,2m ax{=. 第四、五、六章复习题 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3. (2)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(3)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (5)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(7)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ;解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos . （10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx x x x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin ⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.（11）⎰xdx e x 2sin .解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos , 所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2 （12）dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1. 又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=13=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C ,C =3-2=1.于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F x a ----=-+--='⎰ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d 34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ. (2)dx x ⎰-2022; 解 dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-020202)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(20ππ=+=t t . 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰. 7. 证明由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==ba ba dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ. 8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 20002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V . 9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长.解用极坐标的弧长公式.θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ.第七章复习题1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .2. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i k j i b a 75121 213++=---=⨯. (2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132, (a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112-+=-=⨯=, 所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x . 解平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ; 参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程. 解过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为 (2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即 4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x . 8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π. 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。

华东交大历年高数上册期末试题及答案08-09高数上试卷及答案

lim
x 0
1 1 x1 ln(x 1)
1
x x1

lim
x0
( x 1) 2 1 1 x 1 ( x 1) 2

1 2
3、设y (cos x )
sin x
，求dy.
得分
评阅人
解两边取对数得 ln y sin x ln cos x
1 sin x y cos x ln cos x sin x y cos x
y (cos x)
dy y dx
sin x
(cos x ln cos x sin x tan x)
(cos x)
sin x
(cos x ln cos x sin x tan x)dx
4、求不定积分
解

x 4 dx. x
2
得分
评阅人
令x 2 sec t，则dx 2 sec t tan tdt
华东交通大学 2008—2009 学年第一学期考试卷卷
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。试卷编号：（A）卷
《高等数学(A)Ⅰ 》课程 (工科本科 08 级) 课程类别：必闭卷（√）
二、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1、
得分
评阅人
lim
x
2 sin 2 x ( x sin )( C ) x x B. 3 C. 2 D. 1
A.4
专业
2 2、曲线 x cos t cos t 上在对应 t 点处的法线斜率为 ( A ) 4 y 1 sin t A. 1 2 B. 2 1 C. 1 2 D. 1 2

(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答

1、解 22()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰u r r22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3、解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4、解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑，发散 ――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑，发散 ――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑，收敛 ――D 对答案：D5、解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+===答案：D6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07、解()()()222222552323222cc c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒?5π8、2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23xy zx y z x y z x y z yzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-010、解1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =111(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =211、32332x x u z e yz e yz x x∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyze yz e yz e xy+=+--+ (0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=--12、解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =-13、解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰Ñ51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-14、解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰0=⎰012==⎰z 11Oz15、合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSP Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--v解1 合一投影法：原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰ 2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰16、解对级数10(1)321n n nn yn +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛，得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦，即 (][)2,11,2x ∈--⋃.17、解()()()2111(1)11()1913nnn n n nn n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n nn ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭18、证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数 11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x=--。

华东交大历年高数上册期末试题及答案10高数上复习题

第一章复习题 1. 计算下列极限: （1）2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (2)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (3))1311(lim 31x x x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(5)xxx arctan lim∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).(6)145lim1---→x xx x ;解 )45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 )())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xxx sin lnlim 0→; 解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→;解 )1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明因为1tan lim arctan lim 00==→→y y x xy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ; 当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .8*、证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章复习题1. 求下列函数的导数:(1) y =ln(1+x 2);解 222212211)1(11x xx x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=;解[]22212222121222122)2()(21)()(21)(x a x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xxy 2sin =; 解 222sin 2cos 212sin 22cos xx x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='.(6)x y arcsin =; 解 2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=. (8)x x y +-=11arcsin .解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x x x x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)xx y -+=11arctan ; 解 222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解 )(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解 xx x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='.2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y , )222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解 1ln +='x y , 11-==''x xy ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx y d . 解方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d : 解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2);解 dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解 )11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim)0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 第三章复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈. 因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0. 2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x . 证明令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限: (1)xe e xx x sin lim 0-→-; 解 2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x .(2)22)2(sin ln limx x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2) 1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x .4. 证明不等式：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是 221)1ln(1x x x x +>+++. 5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解 21arctan x x x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:(1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1);解 122+='x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解令xxx x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x x x x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点.因此所求最大项为333}3 ,2max{=. 第四、五、六章复习题 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3. (2)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224. (3)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e xx xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (5)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (7)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin ⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .（10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. （11）⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2（12）dx x x )1(12+⎰;解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=xa dt t f ax x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f xa -=⎰ξ. 于是有 ))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F xa----=-+--='⎰ξ)]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ; 解⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ.(2)dx x ⎰-2022;解dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-202022)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(20ππ=+=t t .6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面积.解:所求的面积为 ⎰⎰⎰-=--==aa a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a=++-=⎰.7. 证明由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=badx x xf V )(2π.证明如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即 dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰⎰==babadx x xf dx x xf V )(2)(2ππ.8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V .9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长. 解用极坐标的弧长公式. θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a82cos 40==⎰πθθ.第七章复习题 1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .2. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i kj i b a 75121 213++=---=⨯.(2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a . 解因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0, 即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c ); (3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8, (a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k . (2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k , k j kj i c b b a --=--=+⨯+332443)()(.(3)k j i kj i b a +--=--=⨯58311132,(a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解所求平面的法线向量可取为 k j i kj i b a n 3011112-+=-=⨯=,所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x .解平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=.在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ;参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程.解过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为(2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x .8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角.解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π,|a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π.设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。

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承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

南华大学08级《高等数学C1》（船山）期终试卷（B）适用专业：会计、国贸考试时间：元月15日时量：120分钟方式：闭卷专业及班级学号姓名空题：（每分）=f(x)A 0B 1-C 2D 14. 设x y 2ln 1+=，则='y （）A.xx 2ln 12ln +C.xx x 2ln 1ln + D.xxx 2ln 1ln +5．下列各式中成立的是（）A⎰=)()('x f dx x f ； B dx x f dx x f d ⎰=)()(；Cc xdx x +=⎰112； D c x dx x +=⎰2231 。

三、解答下列各题：（每小题7分，共14分）1. 求极限).1sin 1(lim 0xx x -→2. 求极限xx x x )12(lim +++∞→四、解答下列各题：（每小题7分，共42分）1sin =-+x xy 所确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 及)0('y，求22dx yd第二页（共四页）4．求⎰5. 求]4,1[32)(23--=在x x x f 上的最大值与最小值；6. 一个公司已估算出产品的成本函数为2001.022600)(x x x C ++= （1）求出产量为2000时的成本、平均成本和边际成本；（2）产量多大时，平均成本能达到最低？求出最低成本。

第三页（共四页）第 11 页共 11 页五、（4分）第四页（共四页） .10155的正实根有且仅有一个小于证明：方程=+-x x 第四页（共四页）。

高数上册期末试卷(含答案)

一、填空题(每小题2分，共20分)1. 0，2.21，3. t −，4. 4，5. )41 0(]41 0[，或，，6. (0, 2)， 6. C x x ++arctan 3)1(分给缺C ，8. 0，9. 34−，10. 23.二、试解下列各题(每小题6分，共24分)1. xx x x x x 4sin 3553lim 22++=∞→原式 2分 444sin 3553lim20⋅⋅++=→xx x x x 4分 5124153=⋅⋅=6分 2. )1(sin )]1sin(sin ['⋅−='xx y 2分)1(1cos )]1sin(sin ['⋅−=xx x 3分x x x 1cos )1sin(sin 12=4分dx x x x dx y dy 1cos )1sin(sin 12='= 6分3. x x x d )111(22+−=⎰原式 1分 dx x dx x dx x ⎰⎰⎰+−++=21)1111(21 3分 .111ln 21C xx x +−−+= 6分 dx xx⎰+=422cos 2cos 1 4.π原式 2分⎰+=42)1(sec 21πdx x 3分40)(tan 21πx x += 5分 821π+= 6分三、试解下列各题(每小题7分，共28分)42021lim 1.x e x x x −→−−=原式 2分30422lim 2x xe x x x −→+−= 4分 22012422lim 22x e x e x x x −−→−+−= 5分x e x xe x x x 24812lim 2230−−→+−= 6分21−= 7分)(02/1 4422x x x e x ++−=−或用泰勒公式3分，答案2分2. )(x df x ⎰=原式 1分dx x f x xf ⎰−=)()( 3分C xxx x x +−'=ln )ln ( 5分 C xx+−=ln 21 7分分给求出注：2 ln 1)ln ()( xxx x x f −='= 1 2 1 0 1 3.==−====−t x t x dt dx t x 时，，时，且，则，令 1分 dt t f ⎰−=11 )(原式 2分dt tdt e t ⎰⎰+++=−1 0 01 11 114分 1001)1ln()]1ln([t e t t +++−=− 6分)1ln(e += 7分⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=−−1 111 1)1(1x e x x x f x ，，或 2分 dx xdx e x ⎰⎰−+=2 1 10 1111＋原式 4分下面同上}2 1 2{ }1 1 1{ 4.21−=−=，，，，，两平面的法向量为n n 1分所求直线的方向向量2111−−=kj s 2分}3 4 1{，，= 4分334112−=+=−z y x 对称式方程为6分 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+−=+= 3341 2t z t y t x 参数方程为 7分四、应用题(每小题7，共21分)分其体积为　则圆柱体的底面半径，设内接圆柱体的高为3 20)4()2( 1.2222R h h R h V hR r h <<−=−=π分4 )43(22h R V −='πR h V 3320=='得：唯一驻点　令 5分 023<−=''h V π又，圆柱体体积最大时故当,332R h = 7分dx x x dx x x V ⎰⎰−+−=2422422)cos (sin )sin (cos 2.πππππ3分dx x dx x ⎰⎰−=2442cos 2cos πππππ4分2442sin 22sin 2πππππxx−=5分π= 7分)1(3d 3.12 C x x y y +=''='⎰1分232632−==−x y y x 得又由 2分得代入)1(32)2,0(='∴−y 3分 '=+y x 332 4分23232d )323(C x x x x y ++=+=∴⎰5分.2322)2,0(31−+=∴−=−x x y C ，代入得再将 7分。

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高等数学试题及答案+1套试题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除南华大学08级《高等数学C1》（船山）期终试卷（B ）适用专业：会计、国贸考试时间：元月15日时量：120分钟方式：闭卷专业及班级学号姓名一、填空题：（每小题4分，共20分）；；；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除二、单项选择题：（每小题有A 、B 、C 、D 四个答案，请把正确的答案的序号填入题后的括号内，每小题4分，共20分）1. 设函数⎩⎨⎧≤<≤≤--=300152)(2x xx x x f ，则=→)(lim 0x f x （）A . 5- B. 1 C. 0 D. 不存在；2．若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ，则函数)(x f y =在此区间内（）A. 单调减少，曲线是凹的B. 单调减少，曲线是凸的C. 单调增加，曲线是凹的D. 单调增加，曲线是凸的3．函数x x y 22-=在区间][2,0上的极小值为( )A 0B 1-C 2D 1 4. 设x y 2ln 1+=，则='y （）A.xx 2ln 12ln +C.xx x 2ln 1ln + D.xx x 2ln 1ln +5．下列各式中成立的是（）A ⎰=)()('x f dx x f ；B dx x f dx x f d ⎰=)()(；C c x dx x+=⎰112； D c x dx x +=⎰2231 。

三、解答下列各题：（每小题7分，共14分）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1. 求极限).1sin 1(lim 0xx x -→2. 求极限xxx x )12(lim +++∞→四、解答下列各题：（每小题7分，共42分）1.求由方程1sin =-++x xy e yx 所确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 及)0('y第二页（共四页）答题请不要越2. 设⎩⎨⎧-=-=321ttytx，求22dxyd3. ⎰xdxx ln24．求⎰5. 求]4,1[32)(23--=在xxxf上的最大值与最小值；第三页（共四页）收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除6. 一个公司已估算出产品的成本函数为2001.022600)(x x x C ++=（1）求出产量为2000时的成本、平均成本和边际成本；（2）产量多大时，平均成本能达到最低？求出最低成本。

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南华大学08级《高等数学C1》（船山）期终试卷（B）适用专业：会计、国贸考试时间：元月15日时量：120分钟方式：闭卷专业及班级学号姓名空题：（每分）=f(x)4. 设x y 2ln 1+=，则='y （）A.xx 2ln 12ln +C.xx x 2ln 1ln + D.xxx 2ln 1ln +5．下列各式中成立的是（）A ⎰=)()('x f dx x f ；B dx x f dx x f d ⎰=)()(；Cc xdx x +=⎰112； D c x dx x +=⎰2231 。

三、解答下列各题：（每小题7分，共14分） 1. 求极限).1sin 1(lim 0xx x -→2. 求极限xx x x )12(lim +++∞→四、解答下列各题：（每小题7分，共42分）1sin =-+x xy 所确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy 及)0('y，求22dxyd第二页（共四页）5. 求]4,1[32)(23--=在x x x f 上的最大值与最小值；6. 一个公司已估算出产品的成本函数为2001.022600)(x x x C ++= （1）求出产量为2000时的成本、平均成本和边际成本；（2）产量多大时，平均成本能达到最低？求出最低成本。

五、（4分）.10155的正实根有且仅有一个小于证明：方程=+-x x 第三页（共四页）[此文档可自行编辑修改，如有侵权请告知删除，感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好]最新可编辑word文档。

高等数学试题及答案+1套试题

华东交通大学2008^2009学年第一学期考试卷• •名签生学号学级班业专。

果后切一的起引此由担承愿，位学士学予授不将分处上以及过记到受弊作因和籍学除开被将者考人他代或考代人他请道知还，性重严的弊作、纪违试考道知，律纪场考守遵格严将我：诺承试卷编号：（A ）卷《高等数学（A ） I 》课程（工科本科08级）课程类别：必闭卷（“考试时间：2009.1.10考生注意事项：1、本试卷共_6_页，总分 100 分，考试时间 120分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题（每题2分，共10分）x1、设f （x ）i e +2,x<0在x=0处连续，则a=3a + x ，x H0 2、设f⑴=3, f ⑴-f(1 -2x)x3、函数f （x ）=x 3-9x 2在［0,3］上满足罗尔定理的12 4 设f (x)在[-1,1]上为偶函数，则 J x[x + f(x)]dx=3■ -15、微分方程y = co x 的通解为 y__c °sx CM c 2 、选择题（每题3分，共15分）1、xsinsin2x 、， ---- )=( xA. 4B.3C. 2D.12、曲线忙駕;闻上在对应巧点处的法线斜率为（A ）A. 1 2B. 2 -1C. -1 - 2D. 1 - 223、不定积分 xsinx dx=( D )(2 -a)x (1 a - b)x b3、设y =(cosx)sinx,求 dy.解两边取对数得In y =sinxlncosx1sinx—y= cosx In cosx sin x ----- y cosxy =(cosx)sinx (cosx In cosx -sin xtan x)dy = y dx=(cosx)sinx (cosxIncosx - sinxtan x)dx2 2 A. cosx C B. -cosx C C. * 1 * cosx 2C 2 D. 1 2 cosx24、由曲线x =、y 、直线y =1及y 轴围成图形绕y 轴旋转 A. 5 周所得立体体积为（B ）B. C. 1 D. 22 3 3 e^dt =(C )5、极限|imx _0 A. 1 B.0 C. —1 D. —2 三、解答题（每题7分，共49分）1、 m i■I 「ax -b)=6,求 a 、b.得分评阅人2x 2 xx -1 一 ax -b) 2、求极限Hmx ）01ln(x 1) ].ln( x 1) _xxln( x 1)得分评阅人得分评阅人=6x 0』x解令x = 2sect，贝V dx = 2secttantdt 原式=f2tant 2sect tan tdt 2sect5、求定积分x2 Inxdx.得分评阅人1 e 解原式飞丿灿=；(x3 Inx) 1"31 x3d In x2dx1 3e32e3 16、求曲线y =- 11n x在区间1, 2］上的长度12x得分评阅人1 12(x x)dx= 1(1x2 2 2 In x) 13^2ln(ln u —1) = in x in C通解 y = xeCx I2由y X 」=e 得C =1 特解y 二xe xT四、综合题(每题9分，共18分)1、求函数f (x)二xe 的极值及该函数图形的拐点.2 x 2 x解 f (x) =e - 2xeI令f (x) =0得 x = £当 x 时，f (x) 0,当 x 2 时，f (x) 0 当x=^时f(x)取极小值，极小值为f(2)=*e'f (x)=-4e 』x 4xe'x令f (x) =0得 x =1当x 1 时，f“(x)：：：0,当x 1 时，f (x) 0 拐点为(1,e ：)7、求微分方程y'y in y 满足y~二e 2的特解.xx | _得分评阅人1 u(ln u -1) du dxx. du = u(ln u -1)得分评阅人2、求微分方程y "-6y • 8y = (x -1)e 4x的通解.解特征方程为r 2-6r ■ 8 = 0=ri=2,「2 =4y _6y 8y =0的通解 ^C 1e 2xC 2e 4x2■ =4为r -6r *8=0的单根可设 y* = x(ax b)e 4x把y*代入原方程得 4ax 2a • 2b = x -14a =1〔2a+2b = -11 “4，y* =x(：x -：)e 4x通解 y=x(4x-3)e 4xC 4e 2x C 2e 4x=1故P1 + x T 与x等价2五、证明题(8分)4设f (x)在［0,1］上连续，证明:Ttn°2f(sinx)dx = : f (cosx)dx证令x t ，则dx = -dt22、证明当x > 0时，V x -1与x 等价.22Lof (Sin )dx = - f (cost)( -dt)2、P1 + x —1证i xmx 2_ . 2UH?1x1二:f (cosx)dx南华大学08级《高等数学C1》（船山）期终试卷（B ）适用专业：会计、国贸考试时间：元月15日时量：120分钟方式：闭卷专业及班级 ___________________________ 学号 ___________________ 姓名 _______________________2x 3 —x 2+5x -21.极限XTET在此区间内（分，共20 分）、填空题：（每小题4 阅卷人A. 单调减少，曲线是凹的B.单调减少, 曲线是凸的C. 3.函数y 单调增加，曲线是凹的=x 2-2x 在区间0,2】上的极小值为（）D.单调增加，曲线是凸的答题请不要越过此线2.若 y =sin(x 2)，贝U dy =2. 4. 5.函数y =x 2在点（2,4）处的切线方程为1函数函数f （x ）._3x ・2的铅直渐进线为 5 3 1(6x 5 -20x 3 1)dx =二、单项选择题：（每小题有A 、B 、C 、D 四个答案，请把正确的答案的序号填入题后的括号内，每小题 4分，共20分）设函数f （x ）=： 2x -5 2x，则 lim f (x)二()A . -5B. C. 0 D.不存在;2 •若在(a,b)内, 函数f （x ）的一阶导数 f （x ） 0 ,二阶导数f (x) :: 0，则函数 y 二 f (x) 1第一页（共四页）I n xB . 2xJi 匚In 2xIn xC x J In 2x5 •下列各式中成立的是1 11.求极限lm()■X T sin x xB -1J In 2xA f'(x)dx=f(x)B d f (x)dx 二 f(x)dx ；D x 2dx = ] x 2 c•3、解答下列各题：（每小题7分，共14分） 2.求极限 x2xIimIn xA.2 \ 1 In 2 xxln xD Ji + In 2四、解答下列各题：（每小题7分，共42分）第二页（共四页）xy - s in x = 1所确定的隐函数y = f （x）的导数鱼及y'（o）dx2 .x^-t2设厂t -t3d2ydx2答题请不要越过此线2X■31•求由方程e x t4.求----- dx1 、2x5.求f(x) =2x3-3x2在［-1,4］上的最大值与最小值;第三页(共四页)6. 一个公司已估算出产品的成本函数为C(x) =2600 - 2x 0.001x2(1)求出产量为2000时的成本、平均成本和边际成本；(2)产量多大时，平均成本能达到最低？求出最低成本。

07级高等数学数(上)试卷b补考卷参考解答

华侨大学考试时间：2008.1.18高等数学（上册）期末考试试题【B 卷】参考答案与评分标准一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1.x y 2-=； 2. )1 ,0 ,1(21-±； 3. ,23- 1； 4. 4； 5. !n .二. 试解下列各题【共6小题，每小题8分，共48分】1.解：2222tan(12)sec (12)4y x x x '=++2228tan(12)sec (12)x x x =++................【7】 dx x x x dy )21(sec )21tan(8222++=. (8)2.解：dy dydxdt dtdx = (1)2111t t+==……………..…....…【4】 22()d y d dy dx dt dx dt dx =…….….…【5】 222311(1)t t t t t -+-+=⋅=……………………….…【8】 3.解：令,ln x t =则dt e dx e x t t ==,…………..…...……………………………….…【1】原式=dt t e t ⎰10 sin .... (2)=dt t e t e t t⎰-110cos sin (4)=dt t e t e e t t⎰--110sin cos 1sin ….…【6】 =dt t e e e t ⎰-+-1sin 11cos 1sin (7)移项整理得: 原式)11cos 1sin (21+-=e e .…….……………………….…【8】 4.解：原式=)cos 1(cos sin 2)sin 1ln(lim 20x x xx x x -⋅++→ (3)=22021sin 2sin lim x x x x x ⋅⋅+→……….【6】 =330212lim x x x +→..............【7】 =4.. (8)5.解：曲线x y ln =分别与直线0=y ,2=x 交于点)0 ,1(及)2ln ,2(……【2】 (法一)：所求体积⎰=21ln 2xdx x V π……【５】=]ln [21212⎰-xdx x x π ……【７】＝)232ln 4(-π……【８】(法二)：所求体积 ln22212 02ln 2()y V V V e dy ππ=-=⋅⋅-⎰……【５】=]212ln 4[2ln 02ye -π ……【７】＝)232ln 4(-π……【８】6.解：令,1-=x t 则原式dt t f ⎰-=11)(…【１】dt t f dt t f ⎰⎰+=-11 )()(⎰⎰-+++=01 1 0 11tdt e dtt ……【３】 ⎰-+++=01 10)1()1ln(t tt e e dte t …【５】 01)]1ln([2ln -+-+=t e t …【７】 )1ln(11-++=e ……...…【８】三.【１０分】证：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ，……【1】则11ln 21ln )(-+=-++='x x x x x x f ………【３】 0111)(22>-=-=''xx x x x f ，)1(>x …【５】)(x f '⇒在) ,1[∞+上单调增加， ()(1)0, f x f ''⇒>=)1(>x …【７】 )(x f ⇒在) ,1[∞+上也单调增加， 0)1()(=>⇒f x f ，)1(>x ……【９】所以)1(2ln )1(->+x x x ，)1(>x . ………………【１０】四.【10分】解：由题意知，当20π<<a 时，该图形分为两部分，其面积为：dx a x dx x a S S a S aa⎰⎰-+-=+=221)sin (sin )sin (sin )(π1sin 2cos 2sin 2--+=a a a a π……【４】令0cos )22(cos 2sin 2cos 2sin 2)(=-=--+='a a a a a a a a S ππ，得驻点4π=a ，... …………【６】此时，12)4(-=πS ；.... ………【７】又0=a 时，该图形的面积为⎰==21sin )0(πxdx S ；…【８】2π=a 时，该图形的面积为2 0()(1sin )122S x dx πππ=-=-⎰，…【９】所以当4π=a 时，该图形面积最小． (10)五．【６分】证：右式＝⎰⎰⎰+-+x x dt t f dt t f dt t f 01)(ln )(ln )1(ln ，……………【１】又令1u t =+，得 ⎰⎰+=+1 1)(ln )1(ln x xdu u f dt t f ，……………………………………【２】从而，右式⎰⎰⎰⎰++=+-=1111)(ln )(ln )(ln )(ln x xxx du u f du u f du u f du u f ，………【４】令t x v +=，则⎰⎰+=+11 0)(ln )(ln x xdv v f dt t x f ，所以，左式＝右式…………【６】六．【６分】证：因为)(x f 在[]b a ,上连续，在) ,(b a 内可导，由拉格朗日中值定理，存在) ,(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ…………….……..…..【２】令2)(x x g =，又0a b <<，易知()f x 、()g x 在[]b a ,上满足柯西中值定理的条件，故存在) ,(b a ∈η，使得a b f ab a f b f f +'=--=')()()(2)(22ξηη………………【５】，下面是赠送的团队管理名言学习，不需要的朋友可以编辑删除！！！谢谢！！！1、沟通是管理的浓缩。

高等数学期末考试试题与答案(大一考试)

（ 2010 至 2011 学年第一学期）课程名称：高等数学 ( 上 )(A 卷)考试 (考查 )：考试2008年 1 月 10 日共 6页题二三四五六七八九十十一评阅 (统分 )一总分师号教得线分注意事项：1、满分 100 分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

名2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否姓则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

题4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

答号试题学要得分评阅教师封不班一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3 分，共 15 分）内级线1.lim sin( x 21)()x 1x 1封1； (B)0； (C)2；1(A)(D)2业密F ( x) ，则 exf (e x)dx 为 ()专2.若 f ( x) 的一个原函数为(A) F (e x) c ；(B)F (e x) c ；密F (e x)(C)F (e x) c ；(D ) cx3.下列广义积分中 () 是收敛的 .(A)sin xdx ；(B)1 1(C)xdx ；0 x dx。

系dx ；(D) e1x1 x 24. f (x) 为定义在 a, b 上的函数，则下列结论错误的是 ()(A) f (x) 可导，则 f ( x) 一定连续；(B)f (x) 可微，则 f ( x) 不一定可导；(C) f ( x) 可积（常义），则 f (x) 一定有界；(D) 函数f ( x)连续，则xf (t )dt 在 a, b 上一定可导。

a5. 设函数f ( x)1x() lim2n ，则下列结论正确的为n1x(A) 不存在间断点；(B)存在间断点 x1；(C) 存在间断点x0 ；(D)存在间断点 x1得分评阅教师二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题 3 分，共 18 分）1.极限 lim x 2 1 1_____.xx 02.x1t22 处的切线方程为______.曲线t3在 ty3.已知方程 y 5 y 6y xe2 x的一个特解为 1 ( x22x)e2x，则该方程的通解2为.4. 设f ( x)在x 2 处连续，且 lim f ( x) 2 ，则 f (2)_____x 2x2F （牛顿）与伸长量s 成正比，即F ks （ k 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________ 焦耳。

2007-2008a(参考答案)

华东政法大学2007-2008学年第一学期期末考试商学院07级各专业《高等数学》A 卷参考答案一、填空题（每题2分，共20分）(1) e(2) 0(3) -2(4) 0(5) 3(6) C x F +-)(c o s(7) xdy x dx yxy y ln 1+- (8) ⎰⎰ee y dx y xf dy ),(10(9 ) 1/2 (10) 222-。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）(1) C (2) B (3) D (4) A (5) A (6) B (7) C （8）A （9）C （10）A三、计算题（每小题6分，共30分）1、解：x x xf x x dt t tf x x x x F 2)(0)(00lim lim )(lim 20→→→=⎰= （3分）2/)(lim 0x f x →= 02/)0(==f （5分）所以当0=x 时，F （x ）在x=0处连续。

（6分）2、解：)111111(1lim )21111(lim 1nn n n n n n n n +++++=++++∞→∞→ n n i n i n 111lim 1∑=∞→+= （2分） ⎰+=1011dx x （4分）2ln |)1ln(10=+=x （6分）3、解：323552x x y -= 0)'52(332351310'＝令x x x x y -=-=，所以x=1是函数的稳定点。

X=0是函数的不可导的点，这两点是可能的极值点。

在0)('),0,(>-∞x f ,0)('),1,0(<x f ,0)('),,1(>∞x f所以函数的单调区间增区间为)0,(-∞),1(∞，单调递减区间为)1,0(在点x=0处，函数取得极大值0；在点x=1处，函数取得极小值－3。

（3分）)12()'(''3239101310+==--x x y x x 令,0''=y 则x=-1/2，则在0)(''),,(21<--∞x y ，0)(''),,(21>+∞-x y ，因此，函数在区间),(21--∞内凸，在),(21+∞-内凹。

华东交大历年高数上册期末试题及答案07-08高数上试卷及答案

题号一二三 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 1 9
考试时间：2008.1.14
四 2 9 五总分
学生签名：
分值注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
2
得分
评阅人
y 2 x ln x x 2 y 2 ln x 2 x
令y 0得： xe
3 2
1 2 x ln x x x
1 1 2 ln x 3 x
3 2 3
当0 x e 时y 0，当x e 2 时y 0 故凹区间为 [ e 2， ) 凸区间为 (0， e
得分
评阅人
专业
2、设f ( x ) x 15 4 x 5 2 x 1，则f (16 ) (1) ( D ) A. 16! B. wjb005 制作
3、设函数 f ( x )在[a， a]上连续，则 A.0 B. 2
2 2
2
x
2
d ln( x 1)
2
x dx x1
x ln( x 1) 1 1 (x 1 )dx 2 2 x1
2
x ln( x 1) x 2 x ln( x 1) C 2 4 2 2 1 或原式 ln(x 1)d ( x 2 1) 2

2
dx
得分
评阅人
令x sin t，则dx cos tdt
原式

4 0
sin t cos tdt cos t 1 cos 2t dt 2

2

高等数学(上)期末练习题附答案

高等数学（上）期末练习题简答一、求极限1.531lim 232+--→x x x x2.125934lim 22-++-∞→x x x x x 3.n n n )21(lim -∞→ 4. xx x 321lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→5.x x x 2sin lim0→ 6.x x x 1sin lim 20→ 7. xxx sin lim ∞→ 8.x x x 11lim 0-+→9.x x x 21lim++∞→ 10.n n n n 21lim ++∞→ 11.)1112(lim 21---→x x x ；12.xx x 10)sin 1(lim +→ 13.x x xtan 0)1(lim +→ 14.x x e e x x x sin 2lim 0-+-→15.xx t x tx sin d )e 1(lim⎰-→； 16.3d )1ln(lim 2xt t x x ⎰++→； 17.21cos 0d lim2xt e xt x ⎰-→18.设3)(0-='x f ，求hh x f x f h )()(lim000--→.[答案:1、.37 2、.54 3、.2-e 4、.6e 5、.2 6、.0 7、.0 8、.219、.1 10、.111、.21- 12、.e 13、.1 14、.1 15、.21- 16、.3217、.21-e 18、.3- ]二、函数的连续性与间断点1.求函数)2ln()(2--=x x x f 的连续区间. [（-∞，-1）及（2，+∞）] 2．指出函数21sin ()(1)x xf x x x -=-的间断点，并判断类型。

[x=0为可去间断点，x=1为跳跃间断点，x=-1为无穷间断点。

]3..00,1sin 0,00,sin 1)(处的连续性在讨论函数=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=x x x x x x x x x f[.0)()(lim ,1)(lim ,0)(lim 000间断在不存在。

(完整版),期末高等数学(上)试题及答案,推荐文档

1、(本小题 3 分)
解: 原式
lim
x2
3x 6x2
2 12 18x
12
6x lim x 2 12 x 18
2
2、(本小题 3 分)
(1
x x2)2
dx
1 d(1 x2 ) 2 (1 x 2) 2
11 2 1 x2 c.
3、(本小题 3 分)
因为 arctan x
而 lim arcsin 1 0
lim
x
x
x
x
1
1
(10 )(11 )
x
x
10 11 21
(10 1 ) 2 x
6 10 11 7
2
16、( 本小题 10 分 )
解:
cos2x dx
1 sin x cosx
d( 1 sin 2x 1) 2
1 1 sin 2x 2
1 ln 1 sin 2x c
2
二、解答下列各题 (本大题共 2 小题，总计 13 分 ) 1、(本小题 5 分)
且
F ( 1) 1 0 ， F (1) 1 0 .
22
由零点定理知存在
x1
1 [
,1]
，使
F ( x1 )
0.
2
由 F ( 0) 0 ，在 [ 0, x1] 上应用罗尔定理知，至少存在一点
(0, x1) ( 0,1) ，使 F ( ) f ( ) 1 0 ，即 f ( ) 1 …
第 7 页，共 7 页
9、(本小题 5 分)
3
求 x 1 x dx． 0
10、( 本小题 5 分 )
求函数 y 4 2 x
11、( 本小题 5 分 )

07级高数(上)试题及答案

南昌大学 2007～2008学年第一学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =。

2. 设'()f a 存在，则 0()()limx f a x f a x x→+--=。

3. 函数 23()(1)1f x x =-+ 的极小值等于，单调增加区间为。

4. 设()f x 是可导函数，则'(2)baf x dx =⎰。

二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 0x = 是函数 2ln ,0,(),x x f x x x >⎧=⎨≤⎩ 的( )。

(A) 可去间断点；（B ）无穷间断点；（C ）跳跃间断点； (D) 振荡间断点。

2．设函数arctan y = 则dy =（）.（A ）dx ；（B ）；（C ）；（D ）1dx 。

3．函数()sin f x x = 在区间 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上（）。

（A ）满足罗尔定理条件，但无法求ξ；（B ）满足罗尔定理条件，且0ξ=；（C ）不满足罗尔定理条件；（D ）不满足罗尔定理条件，但有ξ能满足此定理的结论。

4．在积分曲线族 sin 3y xdx =⎰ 中，过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭的曲线方程是（）。

（A ） 1cos 33y x =-；（B ） 1cos 33y x =；（C ） 1cos 313y x =-+；（D ） cos 3y x C =+。

5．已知10ln ()xet f x dt t=⎰，则'()f x =（）。

（A ） x ；（B ） xe ；（C ） e ；（D ） ln x 。

三、计算题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1．已知 lim 9,xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭求常数a . 2．求极限 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分） 1．设 arcsin(ln ),y x x = 求'y .2．求由方程 2cos 10xy ye x x -+= 所确定的隐函数()y y x = 在0x =处的导数'(0)y .五、解下列各题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1．计算由参数方程ln arctan x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所确定的函数的二阶导数22d y dx.2．求不定积分11xxe dx e-+⎰.六、计算下列积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1．求不定积分cos(ln )x dx ⎰.2．计算定积分()2||2||x x x e dx --+⎰.七、解下列各题(共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分) 1. 设2()(),xaxF x f t dt x a =-⎰其中()f x 为连续函数,求lim ()x aF x →.2. 设不恒等于常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且()()f a f b =, 证明在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得'()0f ξ>.南昌大学 2007～2008学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =12。

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3x y x 3y
2
2
dy y dx
3x y x 3y
2
2
2
dx
2பைடு நூலகம்
或两边取微分得： 3 x dx ydx xdy 3 y dy 0
dy 3x y x 3y
2 2
dx
4、求曲线 y x ln x的凹凸区间及拐点
2
得分
评阅人
1 y 2 x ln x x 2 2 x ln x x x y 2 ln x 2 x

( x 1) ln( x 1) 1 ( x 2 1)d ln( x 1) 2 2
2

( x 1) ln( x 1) 1 ( x 1)dx 2 2
2

( x 1) ln( x 1) x 2 x C 2 4 2
2
6、求定积分

2 2 0
令y 0得： xe
3 2
1 1 2 ln x 3 x
3 2
3
当0 x e 时y 0，当x e 2 时y 0 故凹区间为 [ e 2， ) 凸区间为 (0， e
3

3

3 2
]
3 )
拐点为 (e 2，
2e 3
5、求不定积分 x ln( x 1)dx
2 xe
x2
2 xe 6x
x2
x2

lim
x 0
e
x2
e 3

2 3
2、当x 0时，无穷小 1 x 1 x与x是否为等价无穷小 ? 说明理由 .
得分
评阅人
lim
x 0
1 x 1 x x
2x 1 x 1 x)
2 1 x 1 x 1
x2 1 x
2
dx
得分
评阅人
令x sin t，则dx cos tdt
原式

4 0
sin t cos tdt cos t
1 cos 2t dt 2

2

4 0
sin 2 tdt

4 0
t sin 2t 4 ( ) 2 4 0

8

1 4
7、求过点 ( 3， 2， 5)且与两平面 2 x y 5 z 1和 x 4 z 3的交线平行的直线的程方

lim x(
x 0

lim
x 0
当x 0时， 1 x 1 x与x为等价无穷小 .
3、设方程 x xy y e确定隐函数 y y( x )，求dy. 两边对 x求导得： 3 x y xy 3 y y 0
2 2
3
3
评阅人得分
y

a 0
f ( x )dx C.

a 0
[ f ( x ) f ( x )]dx D.
[ f ( x) f ( x)]dx
0
a
4、不定积分
1 dx ( A ) (1 x 2 ) 1 1 A. arctan x C B. arctan x C x x 1 1 C. arctan x C D. arctan x C x x
2
班级
1 4、由曲线 y x 及直线 y x围成平面图形面积为 _________ 6
5、点(1， 2， 1)到平面 2 x 2 y z 2 0的距离 d ______
二、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1、函数f ( x ) A.3 B. 2 x ( x 1) x ( x 2 3 x 2) C. 1 D. 0 第一类间断点的个数( 为 B )
得分
评阅人
解： n1 (2， 1 ， 5)， n2 (1 ， 0， 4) s n1 n2
得分
评阅人
专业
2、设f ( x ) x 15 4 x 5 2 x 1，则f (16 ) (1) ( D ) A. 16! B. 15! C. 14! D. 0
3、设函数 f ( x )在[a， a]上连续，则 A.0 B. 2

a a
f ( x )dx ( C )
学号
一、填空题(每题 2 分，共 10 分)
1、极限
lim
x 0
x sin sin x
2
1 x _____ 0
得分
评阅人
x cos x 2、设y x sin x cos x，则y _________
3、曲线y 2x 2 x 1 的水平渐近线为 __________ y2 ( x 1)( x 2)
承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。
华东交通大学 2007—2008 学年第一学期考试卷试卷编号：（A）卷卷
《高等数学Ⅰ (A)》课程 (工科本科 07 级) 课程类别：必闭卷（√）
题号一二三 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 1 9
考试时间：2008.1.14
四 2 9 五总分
学生签名：
分值阅卷人 (全名)
10 15
8
考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

得分
评阅人
原式

1 ln(x 1)dx 2 2

x ln( x 1) 1 2 2
2
x
2
d ln( x 1)
2

x ln( x 1) 1 2 2
2
2

x dx x1
x ln( x 1) 1 1 (x 1 )dx 2 2 x1
2
x ln( x 1) x 2 x ln( x 1) C 2 4 2 2 1 或原式 ln(x 1)d ( x 2 1) 2
x
2
5、反常积分 A.

ex 1 e 2x
dx ( B )
B.

2
C.

4
2
D. 0
三、解答题(每题 7 分，共 49 分)
1、求极限
lim
x 0

x2
x 0
(e t e t )dt x3
2
.
得分
评阅人
原式
lim
x 0
e
e 3x 2
x2

lim
x 0