金尚年版理论力学第二版答案

α = 1,2,⋯ , s.
相比牛顿力学，拉格朗日动力学方程取较简洁的形式，并 且拉格朗日方程是从能量角度来写的动力学方程，有其普遍意 义。
2.3 用达朗贝尔方程写出习题1.24的运动微分方程 解：取m位矢OM与OO’连线夹角为θ，取极坐标系 r = 2 R cos θ ⋅ er ɺ ɺ 则 r = 2 R − sin θ θe + cos θ θ + ω e ɺ r θ
ϕ +ϕ ϕ +ϕ m1g sinϕ1 − k cos 1 2 ⋅ (l − 2R) ⋅ sin 1 2 = 0 2 2 m g sinϕ − k cosϕ1 + ϕ2 ⋅ (l − 2R) ⋅ sinϕ1 + ϕ2 = 0 2 2 2 2
o
ϕ1 ϕ2
m2
m1
2.23 质量为m，电荷为q的粒子在轴对称电场 和均匀磁场 B = B 0 k 中运动。写出粒子的拉格朗日函数和运动微分方程。 解： 由题中 E = E 0 e r ，B = B 0 k 令 ϕ = E 0 ln R 1 A = B 0 R eθ 2 在柱坐标系中，有： = 1 mv 2 − q ϕ + q A ⋅ V , L 2 d ∂L ∂L − =0 代入： ɺ dt ∂ q α ∂ qα
x m ɺɺ + 4 πε m ɺɺ + y 4 πε e2x
0
B
(x (x
2
+ y + y
2
)
3 2
= 0
o A x
e2y
2 2 0
)
3 2
= 0
2.11 光滑刚性抛物线R2=2pz以恒定角速度ω绕铅直轴z旋转，其上套有质量 为m的小环.(1)试求小环的拉格朗日函数及运动方程；(2)小环可稳定某处时， ω＝？ 解：建立柱坐标系，R为广义坐标， m ɺ2 m ɺ2 R ɺ 2 R2 2 ɺ2 2 2 2 ɺ T = (R + R θ + z ) = ( R + R ω + ( R ) ) V = mgz = mg 2 2 p 2p z 2 ɺ 2 2 ɺ ω 则 L = T − V = m ( R 2 + R 2 ω 2 + R R ) − mgR 2
[
]
代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得
ɺ θɺ + sin θ ⋅ cosθ ⋅ ω 2 = 0
2.9 用拉格朗日方程写出习题1.27的运动微分方程 解：体系为自由度为2的完整约束体系，取x,y为广义坐标 m 2 e2 1 ɺ ɺ T = (x + y2) V = − ⋅ 2 4 πε 0 x2 + y2 m 2 e2 1 ɺ ɺ 则 L = T −V = (x + y2) + ⋅ y 2 4 πε 0 x2 + y2 代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得
1 2 1 ɺ ɺ ɺ ∴ T = mv = m z 2 ⋅ tan 2 α + ( R2 + z ⋅ tan α ) 2 ⋅ ϕ 2 + z 2 2 2 1 ɺ ɺ = m z 2 (1 + tan 2 α ) + ( R2 + z ⋅ tan α ) 2 ⋅ ϕ 2 2
[
]
R1
[
]
R
m
V = mgz
α
2.7 用拉格朗日方程写出习题1.21的运动微分方程 解：建立柱坐标系，取R，ϕ 为广义坐标
z2 = r 2 − R2
ɺ ɺ ɺ vn = R vϕ = Rϕ vk = z =
−R r 2 − R2
R2
m 2 2 r2 ɺ ɺ ∴ L = (R ϕ + 2 R 2 ) − mg r 2 − R 2 2 2 r −R
R2
L = T −V =
1 ɺ ɺ m z 2 (1 + tan 2 α ) + ( R2 + z ⋅ tan α ) 2 ⋅ ϕ 2 − mgz 2
[
]
代入完整保守体系的拉格朗日程，并化简得：
ɺ ɺɺ2 (1 + tan 2 α ) − ϕ 2 tan α ( z ⋅ tan α + R2 ) + g = 0 z ɺɺ ɺ ɺ ϕ ( z ⋅ tan α + R2 ) + 2ϕ ⋅ tan α ⋅ z = 0
R
E =
E0 er R
ɺ ɺ ɺ v = R e r + R ϕ eϕ + z e z
qE ɺɺ ɺ ɺ mR − mRϕ 2 − 0 − qB0 Rϕ = 0 R 化简得： d qB ɺ (mR2ϕ + 0 R2 ) = 0 2 dt d ɺ dt (mz) = 0
• wfei@zzu.edu.cn • wfei@gs.zzu.edu.cn
θ
ɺ 当小环稳定时，R为定值，即有 R = 0
代入上式，可得 p ω
2 2
ɺ Rɺ = 0
x
R = pgR
g p
R
y
即
ω =
2.12 质量为m的质点约束在光滑的旋转抛物面x2+y2=az的内壁运动，z 轴为铅直轴。写出(1)质点的运动方程，(2)质点做圆周运动所满足的条 件。 解：体系自由度为2的完整约束体系，选用柱坐标系，R,θ为广义坐标 m ɺ ɺ T = ( R 2 + R 2θɺ 2 + z 2 ) V = mgz 2 将约束条件x2+y2=R2＝az，代入得
r 代入达朗贝尔方程：( F − mɺɺ) ⋅ δr = 0 ，并化简得
y M R o'
θ ωt
ɺ (θɺ + sin θ ⋅ cos θ ⋅ ω 2 ) ⋅ δr = 0
δθ
系数为零
ɺ ∴ θɺ + sin θ ⋅ cos θ ⋅ ω 2 = 0
o
x
2.6 用拉格朗日程写出习题1.20的运动微分方程 解：如图，取底面圆心处为坐标原点，建立柱坐标系，质点到 ɺ ɺ 轴距为R v = R er + Rϕ eϕ + zez ɺ ɺ ɺ 有几何关系 R = ( R2 + z ⋅ tan α ), R = z ⋅ tan α
F
G P
∴ P ⋅ FG = F1 ⋅ EF + ( P'− F1 ) ⋅
若有
DF AC = ，则有：P ⋅ FG EF AB
AB DF AC
A B
P'
F'2
= P'⋅EF
C
即秤锤的重量P与重物P’在秤台的位置无关，且 P ' = P
FG EF
2.15 一水平的固定光滑钉子M与光滑铅直墙面的距离为d，一长为l 的均匀棒AB搁在钉子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙的夹角 解：以M点为原点建立直角坐标系，有 l V = mg ⋅ ( cos ϕ − d cot ϕ ) 1) 2 ∂V l d = 0 ∴ mg ( − sin ϕ + )=0 体系为完整保守平衡系统： 2 ∂ϕ 2 sin ϕ 2d 即 ϕ = arc sin 3 l l l 2) 由图 x = sin ϕ − d , y = ( cos ϕ − d cot ϕ ) 2 2 l d d δ y = (− sin ϕ + 2 ) δϕ 2 sin ϕ M ϕ 由虚功为零 mg ⋅ δ y = 0 l d 即 mg ⋅ (− sin ϕ + ) δϕ = 0 2 2 sin ϕ 2d δ ϕ 任意，∴ ϕ = arc sin 3 l
M R o'
m 2 ɺ ɺ T = ( r + r 2ϕ 2 ) 2
由几何关系：
∴
V =0
θ ωt
o
x
r = cos θ , ϕ = θ + ω t 2R m L = T −V = ( − 2 R sin θ ⋅ θɺ ) 2 + (θɺ + ω ) 2 ⋅ ( 2 R cos θ ) 2 2 = 2 mR 2 ⋅ (θɺ 2 + 2ω θɺ cos 2 θ + ω 2 cos 2 θ )
2 p 2p
代入完整保守体系的拉格朗日方程，
d dt ɺ R2 ɺ g R ɺ R + R − ω 2R + R − 2 R p2 p p
2
= 0
m
ɺɺ ɺ 化简得到， ( p 2 + R 2 ) ⋅ R + R ⋅ R 2 − p 2 ω 2 R + pgR = 0
z o
[ ɺ ɺɺ = 2 R{[− cos θ θ r
2
) ] ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ − sin θ θɺ − cos θ (θ + ω )]e + [− 2 sin θ θ (θ + ω ) + cos θ θɺ]e } (
r
θ
δr = 2 R[− sin θ δθ er + cos θ δ (θ + ωt )eθ ] = 2 Rδθ (− sin θ er + cos θ eθ )
第2 章 一、约束及其分类
拉格朗日方程
1).理想约束和非理想约束： 理想约束和非理想约束： 理想约束和非理想约束 系统中所有约束力的虚功的代数和为零的约束是理想约束， 否则称为非理想约束。∑ FN i ⋅ δ ri = 0
i
2).完整约束与非完整约束： 完整约束与非完整约束： 完整约束与非完整约束 约束方程仅是坐标和时间的函数的约束是完整约束；约束 方程不仅和坐标与时间，还和速度有关，则是非完整约束 3).定常约束和非定常约束： 定常约束和非定常约束： 定常约束和非定常约束 约束方程中不显含时间的是定常约束，反之为非定常约束
4R 2 ɺ 2 m ɺ2 mg 2 2 ɺ2 ( R + R θ + 2 R )− R L = T −V = 2 a a 代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得
4 R 2 ɺɺ 8 R ɺ 2 2 gR 1 + R + 2 R − R θɺ 2 + = 0 2 a a a ɺɺ ɺɺ R θ + 2θ R = 0
DF AC 2.13 图中所示是一台磅秤的简化机构.试证明：若 EF = AB ，则
FG EF
P ⋅ FG = F1 ⋅ EF + F 2 ⋅ DF 由杆AC，DG力矩平衡： ( P '− F1 ' ) ⋅ AB = F 2 '⋅ AC
又有F1＝ F1’， F2＝ F2’
D F2
E F1 F'1
源自文库
ɺ 若质点做圆周运动，有 R = 0
可得 θ 2 = 2 g ɺ a
v 2 = 2 gz
ɺ Rɺ = 0
2 gR 2 ɺ 即 Rθ = = 2 gz a
2
( )
当t=0时，有v=v0，z=h，得 v0 = 2 gh
2
在平衡条件下，秤锤的重量P与重物P’在秤台的位置无关，且 P ' = P 证明：由受力平衡，B处受力为(P’-F1’)
代入完整保守体系的拉格朗日方程，并化简得
ɺɺ ɺ ɺ ϕ R + 2ϕ R = 0 2 R r2 r ɺɺ R+ 2 2 r − R r 2 − R2
(
)
2
ɺ ɺ R 2 − Rϕ 2 −
2 gR r −R
2 2
=0
y
2.8 用拉格朗日方程写出习题1.24的运动微分方程 解：以θ为广义坐标，取极坐标系
A
B
2.18 质量为m1和m2的两个质点用一固有长度为l，重量可忽略的弹 簧连接，放置在半径R的光滑球壳内，求平衡时两质点的位置。 解： m1o和m2o分别和铅垂线的夹角为 ϕ1 , ϕ 2 ，原点为o
1 ϕ +ϕ 则 V = Vmg + Vk = (−m1 g cosϕ1R − m2 g cosϕ2 R) + k (l − 2R sin 1 2 )2 2 2 ∂V =0 体系为完整保守平衡系统： ∂ϕ 化简得
二、达朗贝尔方程和拉格朗日方程
1).达朗贝尔 达朗贝尔(d’Alembert)方程： 方程： 达朗贝尔 方程 如果系统所受到的约束是理想的，则有：
r ∑ (F − m ɺɺ ) ⋅ δ r = 0
i i i i i
这是理想约束体系动力学的普遍方程。 d ∂L ∂L 2).拉格朗日 拉格朗日(Lagrange)方程：dt ∂q − ∂q = Qα 方程： 拉格朗日 方程 ɺα α