2019最新全国各地中考数学考试真题及答案

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2019最新全国各地中考数学考试真题及答案

一、函数与几何综合的压轴题

1.（2018安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)

(1)求证：E点在y轴上；

(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线

方程.

(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)

个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

[解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO

DO EO BO AB DB CD DB

''''

==

又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO

EO AB DC

''

+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO

EO DB AB ''=

，∴2316

EO DO DB AB '

'=⨯=⨯= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上

方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2①

再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ②

联立①②得0

2x y =⎧⎨=-⎩

∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上

图①

（2）设抛物线的方程y =ax 2

+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3）

E （0，-2）三点，得方程组426

3

2a b c a b c c -+=-⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩

解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2

-2

（3）（本小题给出三种方法，供参考）

由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。

同（1）可得：1E F E F AB

DC

''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB

DB

'⇒=，∴13

DF DB =

S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =11122

2

2

3

DC DB DC DF DC DB ∙-∙=∙

=13

DC DB ∙=DB=3+k

S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()113232

2

BD E F k k '=∙=+⨯=+

∴S =3+k 为所求函数解析式.

证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2

同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又

∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2

=1∶4 ∴()22139

92

AE C ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+∙=+梯形

∴S =3+k 为所求函数解析式.

2. （2018广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标；

（2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若

4

21h

S S =，抛物线 y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1，

在Rt △AOM 中，AO ＝

122=-OM AM ，

∴点A 的坐标为A （0，1）

（2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b

即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B （—1，0）， AB ＝

2112222=+=+AO BO

在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2

222224)2()2(BM AM AB ==+=+

∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线

（3）解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，

∴BC ＝

10)22()2(2222=+=+AC AB

∵∠BAC ＝90° ∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，

∴π

ππ2

5

)210()2(221=∙=∙=BC S

而πππ

2)2

22(

)2

(2

22=∙=∙=AC S

421h S S = ，5,4

225

=∴=h h 即 ππ 设经过点B （—1，0）、M （1，0）的抛物线的解析式为： y ＝a （＋1）（x －1），（a ≠0）即y ＝ax 2

－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2

－5或y ＝－5x 2＋5 解法二：（接上） 求得∴h ＝5

由已知所求抛物线经过点B （—1，

0）、M （1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）