2019-2020年高二数学：阶段质量检测(一)

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2019-2020年高中数学第一章单元检测卷(B)新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第一章单元检测卷（B ）新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列各组对象中不能构成集合的是( )A ．北京尼赏文化传播有限公司的全体员工B ．xx 年全国经济百强县C ．xx 年全国“五一”劳动奖章获得者D ．美国NBA 的篮球明星2．能表示直线x ＋y ＝2与直线x －y ＝4的公共点的集合是( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{x |x <－2或x >5}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．[－3,5)B ．[－2,3]C ．[－3，－2)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x >1}，则集合A ∩∁U B 等于( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |0<x ≤1}5．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( )A ．ACB ．CAC ．A ⊆CD ．C ⊆A6．已知f (x )、g (x )为实数函数，且M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，则方程[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是( )A ．MB ．NC ．M ∩ND ．M ∪N7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－32x ＋y ＝6的解集的正确表示方法为( ) A ．{1,4} B ．{4,1}C ．{(1,4)}D ．{x ＝1，y ＝4}9．已知集合A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝a ·b ，a ，b ∈A }，则集合B 的子集的个数是( )A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个10．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法11．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．[－1,2]12．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b )，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P *Q 中元素之和是( )A ．0B ．6C．12二、填空题(13．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A⊇B，则实数k的取值范围为________．14．定义两个数集A，B之间的距离是|x－y|min(其中x∈A，y∈B)．若A＝{y|y＝x2－1，x ∈Z}，B＝{y|y＝5x，x∈Z}，则数集A，B之间的距离为______________．15．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为____________．16．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B⊆A，则实数m的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及∁U A. 18．(12分)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(∁U M)∩N，(∁U M)∪(∁U N)．19．(12分)已知全集U＝{x∈P|－1≤x≤2}，集合A＝{x|0≤x<2}、集合B＝{x|－0.1<x≤1}．(1)若P＝R，求∁U A中最大元素m与∁U B中最小元素n的差m－n的值；(2)若P＝Z，证明：(∁U B)∪A＝U.20．(12分)已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}；(1)若∁U(∁U B)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁U A＝{3,4}，求实数a的值．21．(12分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．(1)若m＝4，求A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．22．(12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R }．(1)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；(2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．第一章集合(B)1．D [根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为A 、B 、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是否是篮球明星，故不能构成集合．]2．D [选项A 不是集合的表示方法；选项B 代表点的坐标，也不是集合的表示；选项C 是表示了集合，但里面的元素是3和－1，而两条直线的公共点是一个坐标，表示由这样的点构成的集合应把点的坐标放在集合中．]3．B [化简集合A ，得A ＝{x |－3≤x ≤3}，集合B ＝{x |x <－2或x >5}，所以A ∩B ＝{x |－3≤x <－2}，阴影部分为∁A (A ∩B )，即为{x |－2≤x ≤3}．]4．D [因为∁U B ＝{x |x ≤1}，所以A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．]5．C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选C.]6．C [若[f (x )]2＋[g (x )]2＝0，则f (x )＝0且g (x )＝0，故[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是M ∩N .]7．B 8.C9．A [B ＝{0,6}，子集的个数为22＝4个．]10．C [设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab )2，ab 为正整数，所以(ab )2属于M ，即a 2、b 2的积属于M .故选C.]11．B12．D [∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.]13．[－1，12] 解析由题意，∴实数k 的取值范围为[－1，12]． 14．0解析集合A 表示函数y ＝x 2－1的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为－1,0,3,8,15,24，….集合B 表示函数y ＝5x 的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为0,5,10,15，….因此15∈A ∩B .所以|x －y |min ＝|15－15|＝0.15．{－3,2}解析 ∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3和2符合集合中元素的互异性，故所求的集合为{－3,2}．16．[－1，＋∞)解析 ∵B ⊆A ，当B ＝∅时，得2m －1>m ＋1，∴m >2，当B ≠∅时，解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围为m ≥－1.17．解设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6.当q ＝4时，A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}，∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U A ＝{1,4,5}．18．解由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．19．(1)解 ∁U A ＝{x |－1≤x <0，或x ＝2}，∴m ＝2，又∁U B ＝{x |－1≤x ≤0.1，或1<x ≤2}，∴n ＝－1，∴m －n ＝2－(－1)＝3；(2)证明 ∵P ＝Z ，∴U ＝{－1,0,1,2}，A ＝{0,1}，B ＝{0,1}，∴∁U B ＝{－1,2}，从而(∁U B )∪A ＝U .20．解 (1)∵∁U (∁U B )＝B ＝{0,1}，且B ⊆U ，∴|a －1|＝0，且(a －2)(a －1)＝1；或|a －1|＝1，且(a －2)(a －1)＝0；第一种情况显然不可能，在第二种情况中由|a －1|＝1得a ＝0或a ＝2，而a ＝2适合(a －2)(a －1)＝0，∴所求a 的值是2；(2)依题意知|a －1|＝3，或(a －2)(a －1)＝3，若|a －1|＝3，则a ＝4或a ＝－2；若(a －2)(a －1)＝3，则a ＝3±132，经检验知a ＝4时，(4－2)(4－1)＝6，与集合中元素的互异性相矛盾，∴所求的a 的值是－2，或3±132. 21．解 (1)当m ＝4时，A ＝{x ∈R|2x －8＝0}＝{4}，B ＝{x ∈R|x 2－10x ＋16＝0}＝{2,8}， ∴A ∪B ＝{2,4,8}．(2)若B ⊆A ，则B ＝∅或B ＝A .当B ＝∅时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)<0，得m <－12；当B ＝A 时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)＝0，且－－2m ＋12＝4，解得m 不存在．故实数m 的取值范围为(－∞，－12)．22．解 A 中元素x 即为方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，x ∈R)的解．(1)∵A 中只有一个元素，∴ax 2＋2x ＋1＝0只有一解．当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12符合题意；当a ≠0且Δ＝4－4a ＝0即a ＝1时，方程的解x 1＝x 2＝－1，此时A 中也只有一元素－1.综上可得：当a ＝0时，A 中的元素为－12；当a ＝1时，A 中的元素为－1. (2)若A 中只有一个元素，由(1)知a ＝0或a ＝1，若A 中没有元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0无解，解得a >1，综上可得：a >1或a ＝0或a ＝1..。

四川省绵阳市三台县2019-2020学年下学期高二(期中)半期教学质量调研测试题数学理科

高二数学试题（理）第1页，共10页三台县2020年春高二半期教学质量调研测试数学（理）本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页。

满分100分。

考试结束将答题卡交回。

第Ⅰ卷（共48分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能将答案答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题p ：R x ∈∃0，02020≤+-x x ，则p ⌝为A ．R x ∈∃0，02020>+-x xB ．R x ∈∀，022≤+-x x C ．R x ∈∀，022>+-x x D ．R x ∈∃0，02020<+-x x 2．命题“若022=+y x ，则0==y x ”的逆否命题是A ．若0==y x ，则022=+y xB ．若022≠+y x ，则x ，y 不都为0 C ．若x ，y 不都为0，则022≠+y x D ．若x ，y 都不为0，则022≠+y x3．设,x y R ∈，则“0x y >>”是“1xy>”的高二数学试题（理）第2页，共10页A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4．物体做直线运动，其运动规律是tt n 32+=（t 为时间，单位是s ，n 为路程，单位是m ），则它在3s 时的瞬时速度为 A ．413 B ．419 C ．317D ．105．若曲线2)(x x f =的一条切线l 与直线034=-+y x 垂直，则直线l 的方程为A ．044=--y xB ．044=-+y xC ．034=+-y xD ．034=++y x6．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图像如图所示，则函数)(x f y =的图像可能是7．已知命题p ：R ∈∃α，使得2cos sin =+αα；命题q ：),0(+∞∈∀x ，x x sin >，则下列命题为真命题的是高二数学试题（理）第3页，共10页A ．q p ∧B ．q p ∨C ．)(q p ⌝∧D ．)(q p ⌝∨8．已知空间四边形OABC 中，=，=，=，点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则=A ．213221+- B ．212132++- C ．212121-+ D ．213232-+ 9．函数2)()(c x x x f -=在2=x 处取得极小值，则c 是值为A ．6或2B ．6或2-C ．6D ．210．直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠BAC ，1AA AC AB ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角为A ．030 B ．045 C ．060 D ．09011．已知奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0>x 时，0)()('>-x f x xf ，若)21(2f a =，)(1e f eb --=，)1(f c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c b a << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a <<12．已知a ，R b ∈，且b x a e x+-≥)1(对R x ∈恒成立，则b a 2的最大值为A ．521e B ．531e C ．321e D ．331e第Ⅱ卷（共52分）高二数学试题（理）第4页，共10页注意事项：1．用钢笔将答案直接写在答题卷上。

高二数学第一学期期末质量检测试卷一

高二数学第一学期期末质量检测试卷（文科必修2+选修1-1)一、选择题：本大题共10小题，每题5分共50分1．抛物线28y x =的准线方程是( )A ．2-=yB ． 2=yC ． 2x =D ．．2x =-2．已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0垂直，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．-8D ．10 3．命题“2x 2－5x －3<0”的一个必要不充分条件是( )A ．－12＜x <3B ．－12<x <4C ．－3<x <12D ．1<x <24．设f (x )在点x ＝x 0处可导，且当Δx 趋近于0时，f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx趋近于1，则f ′(x 0)＝( )A ．1B ．0C ．3 D.135.若两条平行线L 1:x-y+1=0,与L 2:3x+ay-c=0 （c>0）,则3a c-等于( )A. -2B. -6C. 2D.0 6.一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积为：2B.)3824(+ cm2C.314cm 2D. 318 cm7．函数f(x)=x 3－ax+1在区间（1,+∞）内是增函数，则实数a 的取值范围是（） A.a<3 ； B.a>3 ； C.a ≤3； D.a ≥38．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出 a ∥b 的是( )．A ．a ⊂α，b ⊂β，α∥βB ．a ∥α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ⊥αD ．a ⊥α，b ⊂α9．已知圆C ：（x+3）2 +y 2=100和点B(3,0),P 是圆上一点,线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点,则M 点的轨迹方程是正视图侧视图俯视图A 26y x =. B: .2212516xy+= C2212516xy-=D.2225x y +=10．曲线y=x 2+1上任意一点（x, y ）处的切线方程斜率记为g(x),则函数y=g(x)cosx 的部分图象可以是二、填空题：本大题共4小题．11．已知原点O （0，0），则点O 到直线x+y+2=0的距离等于．12．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45 ，腰和上底均为1. 如图，则平面图形的实际面积为13．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程14.设集合{}22(,)4M x y x y =+≤，{}222(,)(1)(1)(0)N x y x y r r =-+->≤.当M N N = 时，则正数r 的取值范围.15. 已知a 、b 是不同直线，α、β、γ是不同平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β,β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是__________________ 三．解答题：本题共5个小题，共计75分16、（本题12分）命题甲：“方程x 2+mx+1=0有两个相异负根”,命题乙：“方程4x 2+4(m －2)x+1=0无实根”，这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围。

2019-2020学年浙江省台州一中高二(上)期中数学试卷

2019-2020学年浙江省台州一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）点(1,2)A 到直线:3410l x y --=的距离为( ) A ．45B ．65C ．4D ．62．（4分）设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．//αβ，m α⊂，则//m βB ．m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nC ．//m n ，n α⊂，则//m αD ．m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβ 3．（4分）过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角为45︒，则(y = ) A ．3-B ．3 C ．1- D ．14．（4分）将半径为1，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( ) A ．22πB ．22πC ．22πD ．22π5．（4分）下列说法中正确的是( )A ．若一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．若一个命题的否命题为真，则它的逆否命题一定为真C ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠”D ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则220a b +≠” 6．（4分）在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）平面内称横坐标为整数的点为“次整点”．过函数29y x =-整点作直线，则倾斜角大于45︒的直线条数为．( ) A ．10B ．11C ．12D ．138．（4分）异面直线a 、b 和平面α、β满足a α⊂，b β⊂，l αβ=I ，则l 与a 、b 的位置关系一定是( ) A ．l 与a 、b 都相交 B ．l 与a 、b 中至少一条平行 C ．l 与a 、b 中至多一条相交D ．l 与a 、b 中至少一条相交9．（4分）已知四棱锥P ABCD -，记AP 与BC 所成的角为1θ，AP 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角P AB C --为3θ，则下面大小关系正确的是( ) A ．12θθ„B ．13θθ„C ．23θθ„D ．13θθ…10．（4分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2DC =，11DA DD ==，点M 、N 分别为1A D 和1CD 上的动点，若//MN 平面11AA C C ，则MN 的最小值为( )A 5B ．23C 5D 5 二、填空题：11-14每空3分，15-17每空4分，共36分11．（6分）在空间直角坐标系中，已知点(1A ，0，2)与点(1B ，3-，1)，则||AB = ，若在z 轴上有一点M 满足||||MA MB =，则点M 坐标为．12．（6分）已知直线1:(1)620l m x y -++=，2:10l x my ++=，m 为常数，若12l l ⊥，则m 的值为，若12//l l ，则m 的值为．13．（6分）如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，1PA PB PC ===，60APB BPC ∠=∠=︒，90APC ∠=︒，若G 为ABC ∆的重心，则||PG 长为，异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为．14．（6分）若圆222:(0)O x y r r +=>与圆22:70(C x y ax by a +++-=，b ，r 为常数），关于直线20x y -+=对称，则a 的值为，r 的值为．15．（4分）如图，正四棱锥P ABCD -的侧棱长为4，侧面的顶角均30︒，过点A 作一截面与PB 、PC 、PD 分别相交于E 、F 、G ，则四边形AEFG 周长的最小值为．16．（4分）已知实数x 、y 满足22(2)(3)1x y -++=，则|344|x y +-的最小值为． 17．（4分）如图，正四面体ABCD 中，//CD 平面α，点E 在AC 上，且2AE EC =，若四面体绕CD 旋转，则直线BE 在平面α内的投影与CD 所成角的余弦值的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．（14分）已知某几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示．（1）求该几何体的侧视图的面积；（2）求该几何体的体积．19．（15分）已知p ：关于x ，y 的方程222:4630C x y x y m +-++-=表示圆；q ：圆222(0)x y a a +=>与直线345100x y m +-+=有公共点．若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．20．（15分）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2CD =，若将BCD ∆沿着BD 折起至△BC D '，使得AD BC '⊥．（1）求证：平面C BD '⊥平面ABD ；（2）求C D '与平面ABC '所成角的正弦值；（3）M 为BD 中点，求二面角M AC B '--的余弦值．21．（15分）已知圆C 过点(2,6)A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点(6,4)B ．（1）求圆C 的方程；（2）过点(6,24)P 的直线2l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN ∆为直角三角形，求直线2l 的方程；（3）在直线3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过Q 向圆C 引两条切线，切点为E ，F ，使QEF ∆为正三角形，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由．22．（15分）如图，三棱柱ABC A B C '''-，2AC =，4BC =，120ACB ∠=︒，90ACC '∠=︒，且平面AB C '⊥平面ABC ，二面角A AC B ''--为30︒，E 、F 分别为A C '、B C ''的中点．（1）求证：//EF 平面AB C '；（2）求B '到平面ABC 的距离；（3）求二面角A BB C ''--的余弦值．2019-2020学年浙江省台州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）点(1,2)A 到直线:3410l x y --=的距离为( ) A ．45B ．65C ．4D ．6【解答】解：点(1,2)A 到直线:3410l x y --=65=，故选：B ．2．（4分）设m ，n 是空间中不同的直线，α，β是空间中不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．//αβ，m α⊂，则//m βB ．m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m nC ．//m n ，n α⊂，则//m αD ．m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，则//αβ 【解答】解：A ．根据面面平行的性质得若//αβ，m α⊂，则//m β成立，故A 正确，B ．两个平行平面内的两条直线位置关系不确定，即//m n 不一定正确，故B 错误，C ．根线面平行的判定定理，必须要求m αà，故C 错误D ．根面面平行的判定定理，则两条直线必须是相交直线，故D 错误，故选：A ．3．（4分）过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的倾斜角为45︒，则(y = )A ．BC ．1-D ．1【解答】解：经过两点(4,)A y ，(2,3)B -的直线的斜率为32y k +=．又直线的倾斜角为45︒，∴3tan 4512y +=︒=，即1y =-．故选：C ．4．（4分）将半径为1，圆心角为23π的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为( )A ．B C D 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则223r ππ=， 13r ∴=，。

2019-2020学年高中数学(人教版必修2)阶段质量检测(二) Word版含答案

阶段质量检测（二）(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．下列说法不正确的是( )A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直答案：D2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案：C3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的交点一定( )A．在直线DB上B．在直线AB上C．在直线CB上D．都不对答案：A4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BDC．A1D D．A1D1答案：B5．给定下列四个命题：①若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为正确的命题的是( )A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )A.12B.32C.63D.62答案：C7．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为( )A.12B.13C.33D.23答案：C8．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案：B9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案：D10．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为( )A．13 B.151 C．12 3 D．15答案：A二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为答案：BM⊥PC(其他合理即可)12．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．答案：313．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3，则异面直线AD与BC所成角的大小为________．答案：60°14．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下三个结论．①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；说法正确的命题序号是________．答案：①②三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB.证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥PC，PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC.(2)∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴∠BAC＝45°，∠CAD＝45°，AC＝ 2.∵CD⊥平面PAC，∴CD⊥CA，∴AD＝2.又∵E为AD的中点，∴AE＝BC＝1，∴AE綊BC，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB.16．(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.证明：(1)取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因此∠AFB＝30°，所以AB＝12 AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面GEF∥平面ABD.证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，所以AB⊥B1D.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.又MB綊C1D，所以四边形BMC1D为平行四边形，所以MC1∥BD，故GF∥BD.又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，所以EF∥平面ABD.又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.18．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE ＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.∵EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，∴四边形AGEF为平行四边形．所以AF∥EG. ∵EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE.(2)连接FG.∵EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，∴四边形CEFG为菱形．∴CF⊥EG.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，∴BD⊥平面ACEF.∴CF⊥BD.又BD∩EG＝G，∴CF⊥平面BDE.(1)AO 与A ′C ′所成角的度数； (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值； (3)平面AOB 与平面AOC 所成角的度数．解：(1)∵A ′C ′∥AC ，∴AO 与A ′C ′所成的角就是∠OAC . ∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′，∴OC ⊥AB .又AB ∩BO ＝B ，∴OC ⊥平面ABO . 又OA ⊂平面ABO ，∴OC ⊥OA . 在Rt △AOC 中，OC ＝22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12，∴∠OAC ＝30°. 即AO 与A ′C ′所成角的度数为30°. (2)如图所示，作OE ⊥BC 于E ，连接AE . ∵平面BC ′⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角．在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52， ∴tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ∩OB ＝O ， ∴OC ⊥平面AOB .又∵OC ⊂平面AOC ，∴平面AOB ⊥平面AOC . 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.M ，N 分别是边AD ，CD 上的点，且2AM ＝MD ，2CN ＝ND ，如图①，将△ABD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面BCD ，并连接AC ，MN (如图②)．(1)证明：MN ∥平面ABC ； (2)证明：AD ⊥BC ；(3)若BC ＝1，求三棱锥A BCD 的体积．解：(1)证明：在△ACD 中， ∵2AM ＝MD,2CN ＝ND ， ∴MN ∥AC ，又∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN ∥平面ABC .(2)证明：在△ABD 中，AB ＝AD ，∠A ＝90°， ∴∠ABD ＝45°.∵在平面四边形ABCD 中，∠B ＝135°， ∴BC ⊥BD .又∵平面ABD ⊥平面BCD ，且BC ⊂平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴BC ⊥平面ABD ，又AD ⊂平面ABD ， ∴AD ⊥BC . (3)在△BCD 中，∵BC ＝1，∠CBD ＝90°，∠BCD ＝60°， ∴BD ＝ 3.在△ABD 中，∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴AB ＝AD ＝62， ∴S △ABD ＝12AB ·AD ＝34，由(2)知BC ⊥平面ABD ， ∴V A BCD ＝V C ABD ＝13×34×1＝14.(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析：选D 由等角定理可知β＝60°或120°.2．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( ) A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D 若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB 与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是( )A．①B．②C．③D．②③解析：选C ①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确命题序号为③，故选C.4．已知l是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l∥βD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：选D 对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，所以A错；对于B，若α⊥β，l∥α，则l∥β或l⊥β或l⊂β或l与β相交，所以B错；对于C，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，所以C错；对于D，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D正确．5．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BD解析：选C ∵MN∥PQ，由线面平行的性质定理可得MN∥AC，从而AC∥截面PQMN，B正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，A正确；又∠PMQ＝45°，故D正确．6．α，β，γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．只有②解析：选C 若填入①，则由a∥γ，b⊂β，b⊂γ，b＝β∩γ，又a⊂β，则a∥b；若填入③，则由a⊂γ，a＝α∩β，则a是三个平面α、β、γ的交线，又b∥β，b⊂γ，则b∥a；若填入②，不能推出a∥b，可以举出反例，例如使β∥γ，b⊂γ，画一草图可知，此时能有a∥γ，b∥β，但不一定a∥b，有可能异面．从而A、B、D都不正确，只有C正确．7．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D 如图，以三棱柱为模型．∵a∥b，a⊄γ，b⊂γ，∴a∥γ.又∵a⊂β，β∩γ＝c，∴a∥c.∴a∥b∥c.8．如下图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°解析：选D 还原几何体，如图．可知D点与B点重合，△ABC是正三角形，所以选D.成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 如图，二面角αl β为45°，AB ⊂β，且与棱l 成45°角，过A 作AO ⊥α于O ，作AH ⊥l 于H .连接OH 、OB ，则∠AHO 为二面角αl β的平面角，∠ABO 为AB 与平面α所成角．不妨设AH ＝2，在Rt △AOH 中，易得AO ＝1；在Rt △ABH 中，易得AB ＝2.故在Rt △ABO 中，sin ∠ABO ＝AO AB ＝12， ∴∠ABO ＝30°，为所求线面角．10．如图(1)所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为H ，如图(2)所示，那么，在四面体A EFH 中必有( )A ．AH ⊥△EFH 所在平面B ．AG ⊥△EFH 所在平面C ．HF ⊥△AEF 所在平面D ．HG ⊥△EFH 所在平面解析：选A 折成的四面体中有AH ⊥EH ，AH ⊥FH ，∴AH ⊥平面HEF .故选A. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，侧棱长AA 1＝2，则异面直线A 1B 1与BD 1的夹角大小等于________．解析：∵A 1B 1∥AB ，∴AB 与BD 1所成的角即是A 1B 1与BD 1所成的角．连接AD 1，可知AB ⊥AD 1，在Rt △BAD 1中，AB ＝1，AD 1＝3，∴tan ∠ABD 1＝AD1AB＝3， ∴∠ABD 1＝60°，故A 1B 1与BD 1的夹角为60°. 答案：60°12．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：取AC ，A 1C 1的中点E ，E 1，连接BE ，B 1E 1，EE 1，由题意知平面BEE 1B 1⊥平面AC 1，过D 作DF ⊥EE 1于F ，连接AF ，则DF ⊥平面AC 1.∴∠DAF 即为AD 与平面AC 1所成的角．可求得AD ＝2，DF ＝32，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝64. 答案：6413．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________(只填序号)．解析：由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④不正确；当a ，b 与c 成等角时，a 与b 可以相交、平行，也可以异面，故⑤不正确．答案：①14．给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a ，b 中一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面； ③一定存在平面α同时和异面直线a ，b 都平行．其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)解析：①中，异面直线a ，b 可以都与c 相交，故不正确；②中，直线异面不具有传递性，故不正确；③中，过直线b 上一点P 作a ′∥a ，则a ′、b 确定一平面，则与该平面平行的任一平面(平面内不包含直线a 、b )都与异面直线a 、b 平行，故正确．答案：③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程) 15.(本小题满分10分)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．解：在平面AA 1D 1D 内，延长D 1F ，∵D 1F 与DA 不平行，∴D 1F 与DA 必相交于一点，设为P ，则P ∈D 1F ，P ∈DA .又∵D 1F ⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面BED 1F ，P ∈平面ABCD .又B 为平面ABCD 与平面BED 1F 的公共点，连接PB ，∴PB 即为平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．如图所示．16．(本小题满分12分)在右图的几何体中，面ABC ∥面DEFG, ∠BAC ＝∠EDG＝120°，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG ＝90°，四边形DEFG是梯形， EF ∥DG ，AB ＝AC ＝AD ＝EF ＝1，DG ＝2.(1)求证：FG ⊥面ADF ； (2)求四面体 CDFG 的体积．解：(1)连接DF 、AF ，作DG 的中点H ，连接FH ，EH ，∵EF ∥DH ，EF ＝DH ＝ED ＝1， ∴四边形DEFH 是菱形，∴EH ⊥DF ，又∵EF ∥HG, EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∴FG ∥EH ，∴FG ⊥DF ，由已知条件可知AD ⊥DG ，AD ⊥ED ，所以AD ⊥面EDGF ，所以AD ⊥FG .又∵⎩⎪⎨⎪⎧FG⊥AD，FG⊥DF，AD ⊂面ADF ，DF ⊂面ADF ，AD∩DF＝D ，∴FG ⊥面ADF .(2)因为DH ∥AC 且DH ＝AC ，所以四边形ADHC 为平行四边形，所以CH ∥AD ，CH ＝AD ＝1，由(1)知AD ⊥面EDGF ，所以CH ⊥面DEFG .由已知，可知在三角形DEF 中，ED ＝EF ＝1，∠DEF ＝60°，所以，△DEF 为正三角形，DF ＝1，∠FDG ＝60°， S △DEG ＝12·DF ·DG ·sin∠FDG ＝32. 四面体CDFG ＝13·S △DFG ·CH＝13×32×1＝36. 17．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，N 为线段PB 的中点，G在线段BM 上，且BGGM＝2.(1)求证：AB ⊥PD ； (2)求证：GN ∥平面PCD . 证明：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB .又因为AD ⊥AB ，AD ∩PA ＝A ，所以AB ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD .(2)因为△ABC 是正三角形，且M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC . 在直角三角形AMD 中，∠MAD ＝30°，所以MD ＝12AD .在直角三角形ABD 中，∠ABD ＝30°，所以AD ＝12BD ，所以MD ＝14BD .又因为BGGM＝2，所以BG ＝GD .又N 为线段PB 的中点，所以GN ∥PD . 又GN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以GN ∥平面PCD .18．(本小题满分12分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以四边形AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝12AC，EC1＝12A1C1.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝AC2－BC2＝ 3.所以三棱锥EABC的体积V＝13S△ABC·AA1＝13×12×3×1×2＝33.20.(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求三棱锥VB1EFC的体积；(3)求二面角ECFB1的大小．解：(1)证明：连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF为中位线，∴EF∥D1B，而D1B⊂面ABC1D1，EF⊄面ABC1D1，∴EF∥面ABC1D1.(2)等腰直角三角形BCD中，F为BD中点，∴CF⊥BD.①∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1⊥面ABCD，又CF⊂面ABCD，∴DD1⊥CF.②综合①②，且DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂面BDD1B1，∴CF ⊥平面EFB 1即CF 为高，CF ＝BF ＝ 2. ∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF2＋BB21＝2＋22＝6， B 1E ＝B1D21＋D1E2＝12＋2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴S △B 1EF ＝12EF ·B 1F ＝322，∴VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×322×2＝1. (3)∵CF ⊥平面BDD 1B 1，∴二面角E CF B 1的平面角为∠EFB 1. 由(2)知∠EFB 1＝90°∴二面角E CF B 1的大小为90°.。

吉林省榆树市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学(理) 含答案

吉林省榆树市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学（理）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、数列 ,......11,9,7,5,3的一个通项公式为 ( )A. 12-nB. n 2C. 12+nD. 32+n2、不等式0)2)(1(<++x x 的解集为 ( ) A. {}21><x x x 或 B. {}21<<x x C. {}-12-><x x x 或 D. {}-12<<-x x3、若R x ∈,设p ：实数2>x .q ：实数1>x 下列说法正确的是（）A.p 是q 的充分不必要条件 B. q p ∧ 是假命题 C. p 是q 的充要条件 D. p ⌝是真命题4、在锐角ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若1=a ，030.3==A b ,则角B 等于 ( )A.045B. 060C. 030D. 075 5、在《算法统宗》（改编）有这样一段表述:“远看巍巍塔三层,红光点点倍加增,共灯二十八”,其意大致为:有一栋3层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有28盏灯,则该塔中间一层灯的盏数是( )A 2 B. 4 C 6 D. 86、设ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若060,4,2===B c a ,则等于 ( )A.28B. 72C.12D. 327、如图,设B A ,两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定的一点C ,测出AC 的距离为00105,45,250=∠=∠CAB ACB m ,就可以计算出B A ,两点的距离为 ( ) mA. 250B. 100C. 350D. 21008、设，满足约束条件，则目标函数的取值范围是 ( )A ．BC ．D ． 9、在ABC ∆中, 045,1=∠=B b ,若这样的三角形有两个,则边a 的取值范围为 ( )A.),1(+∞B. )2,1(C. )2,1(D. )3,2(10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,2(,2,30,2211≥===-m a S S m m ,且)N m ∈,则m 的值是( )A.7B.6C.5D.411、设为ABC ∆的三边有 4=bc ,且关于x 的方程012)(2222=++++x c b x bc a 有两个相等的实数根,则ABC ∆的面积是 ( )A.1B.2C. 3D. 212、已知 []8,4∈∀x ，不等式234124232--<-+-m m x x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A. ),4()1,(+∞⋃--∞B. )4,1(-C. ),4()0,(+∞⋃-∞D. )3,4(-第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、数列{}n a 满足,)2(,1≥+=-n n a a n n 则=3a ________14、命题p :存在][3,20∈x ,使060<-ax 成立, 若为真命题,则实数a 的取值范围为________15、已知在ABC ∆中,S 为ABC ∆的面积,若向量),1(),,4(222S q c b a p =-+=，且q p 与平行,则角=C _________16、记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知324132,1S S S a =+= ，设n m ,是正整数，若存在正整数 )1(,j i j i <<，使得j i na mn ma ,,，成等差数列，则mn 的最小值为_________三、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、已知关于x 的不等式042<+-a x x 的解集是{}31<<=x x A 。

【精品高二数学试卷】2019-2020天津高二(上)第一次月考+答案

2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷一、选择：5×10＝50分。

1．（5分）已知数列√2，√5，2√2，√11，⋯则2√5是这个数列的（） A ．第6 项B ．第7项C ．第19项D ．第11项2．（5分）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8＝16，则a 2+a 6+a 10＝（） A ．12B ．16C ．20D ．243．（5分）数列{a n }中，a 1=12，a n ＝1−1a n−1（n ≥2），则a 2019的值为（）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．24．（5分）不等式x−1x＞2的解集为（）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）5．（5分）不等式ax 2+bx +2＞0的解集是(−12，13)，则a +b 的值是（） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣146．（5分）等比数列{a n }中，a 1+a 3＝10，a 4+a 6=54，则数列{a n }的通项公式为（） A ．a n ＝24﹣nB ．a n ＝2n ﹣4C ．a n ＝2n ﹣3D ．a n ＝23﹣n7．（5分）已知数列{a n }的递增的等比数列，a 1+a 4＝9，a 2•a 3＝8，则数列的前2019项和S 2019＝（） A ．22019B ．22018﹣1C ．22019﹣1D ．22020﹣18．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2，S 6＝6，则a 13+a 14+a 15的值是（） A ．18B ．28C ．32D ．1449．（5分）已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为（） A ．8B ．9C ．10D ．1610．（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n ﹣4＝130，则n ＝（） A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题：（5×5＝25分）11．（5分）等差数列{a n }中，前4项和S 4＝22，a 2＝4，则前10项和S 10＝． 12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝a n +n +1，则数列{a n }的通项公式是．13．（5分）在数列{x n }中，2x n=1x n−1+1x n+1（n ≥2），且x 2=23，x 4=25，则x 10＝．14．（5分）数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝﹣n 2+20n ，则数列{na n }中数值最大的项是第项．三、解答题（25分）.16．（8分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=a na n +3（n ∈N *）（1）求证：{1a n+12}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式a n ．17．（17分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2﹣2S n （n ∈N *），数列{b n }是等差数列，且b 5＝14，b 7＝20．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式．（2）求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n ．（3）设c n =a n ⋅b n2，求数列{c n }的前n 项和M n ．2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择：5×10＝50分。

四川省金堂中学2019-2020(上)2021届11月质量检测考试数学(文)试题

金堂中学2019-2020（上）2021届11月质量检测考试高二数学（文科）一、选择题:(共12个小题,每小题5分,每道题只有一个选项是正确的,请将正确选项填涂到答题卷相应的地方)1．抛物线22y x =的焦点到其准线的距离为 ( ▲ ).A 2.B 1.C 12.D 142．圆心为(11)，且过原点的圆的方程是( ▲ ).A 22(+1)(+1)2x y +=.B 22(+1)(+1)1x y +=.C 22(1)(1)2x y -+-=.D 22(1)(1)1x y -+-=3．方程表示焦点在y 轴上的椭圆的充要条件为( ▲ ).A 4k >.B =4k .C 4k <.D 04k <<4．若双曲线2221(0)9y a x a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为( ▲ ) .A 4.B 3.C 2.D 15．直线:cos sin 1l x y αα-=与圆22:+1O x y =的位置关系是 ( ▲ ).A 相离.B 相交.C 相切.D 位置关系不确定6．若直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则实数a 的值为( ▲ ).A 3.B 1-.C 31-或.D 31-或 7．已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值为( ▲ ).A 2-.B 4-.C 6-.D 8-8．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，若线段AB 的中点坐标为(11)，，则直线l 的斜率为( ▲ )2244x ky k +=02222=+-++a y x y x 02=++y x a.A 12-.B 2-.C 2.D 129．已知平面直角坐标系中两点()42A ，，()12B -，，若在x 轴上存在点C ，使得0CA CB ⋅=，则点C 的坐标是( ▲ ).A (30)，.B (00)，.C (50)，.D (00)(50)，或， 10．人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为1r 2r ，，则卫星轨道的离心率为( ▲ ).A 21122r r R r r -++.B 2112r r r r -+.C 2112r r R r r -++.D 21124r r R r r -++ 11．设、分别是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使（其中O 为原点），且，则双曲线的离心率为( ▲ ).A.B.C.D12．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F，经过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A B 、点，其中点A 位于第一象限，若AF FB λ=，则实数λ的值为( ▲ ).A 3.B .C 13.D 7- Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题: (共4个题,每小题5分,每道题的答案请填写到答题卷相应的地方)13．圆2211O x y +=：和圆222650O x y y +-+=：的公切线条数为▲．14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF =，则NMF ∠=▲． 15．如果实数,x y 满足2212x y +=，则x y +的最大值是▲． 1F 2F 1||||OPOF =12|||PF PF =16. 已知椭圆的左，右焦点分别为12F F ，，过1F 作x 轴的垂线交椭圆E 于A B 、两点，点A 在x 轴上方．若2||3AB ABF =∆，的内切圆的面积为，则直线2AF 的方程是▲．三、解答题: (共6个小题,共70分,其中第17题10分，其余各小题均为12分，解答题须写出必要的过程,各小题的解答过程写在答题卷相应的地方)17.求适合下列条件的标准方程：（Ⅰ）已知椭圆经过点(50)P -，，(03)Q ，，求它的标准方程；（Ⅱ）已知双曲线的离心率e =(53)M -，，求它的标准方程．18．已知a R ∈，命题[12]x ∀∈，，220x ax +->；命题关于x 的不等式22(1)(1)20a x a x -+-->的解集为空集．当p q ，中有且仅有一个为真命题时，求实数a 的取值范围．19．已知抛物线2:4M y x =，过点(2,0)E -且斜率为k 的直线与抛物线M 相交于不同的两点P Q 、．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若O 为坐标原点，求OP OQ ⋅的值．20．已知圆C 的圆心坐标为点2(0)C t t t O t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭R ，，，为坐标原点，x 轴、 y 轴被圆C 截得的弦分别为OA 、OB .(Ⅰ)证明：△OAB 的面积为定值；2222:1(0)x y E a b a b+=>>9π16(Ⅱ)设直线240x y +-=与圆C 交于M N ，两点，若||||OM ON =，求圆C 的方程.21．设A B 、分别为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右顶点，双曲线的实轴长为.(Ⅰ)求双曲线的方程；(Ⅱ)已知O 为坐标原点，直线23y x =-与双曲线的右支交于M N ，两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．22．已知椭圆22:1(02)2x y C n n+=<<． (Ⅰ)若椭圆C 的离心率为21，求n 的值； (Ⅱ)若过点(20)N -，任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，在x 轴上是否存在点M ，使得180NMA NMB ∠∠=︒+？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。

内蒙古集宁一中(西校区)2019-2020学年高二上学期期中考试数学(理)试题 PDF版含答案

的前 n 项和为 Sn ，且 b1 1， b2 b4 81.
（1）求数列an ，bn 的通项公式；
（2）若对任意的
n

N
*
，不等式
k

Sn

1 2

an
恒成立，求实数
k
的取值范围.
一.选择题：1-6：CCBBCA
参考答案
7-12: DACDDD
二.填空题：13.4
集宁一中西校区 2019—2020 学年第一学期期中考试
高二年级理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一．选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 2 ， S3 12 ，则 a6 等于
3n1 2(n 1) 4

2n 3n1
4

3n2 2n
6

n2 3(n 3)
1，
n

7 2
，又
n
N* ，即当
n

4 时， cn

cn1 ，
3n2
所以， c1 c2
0 c3
c4
…
…
，故 cn 的最大值为 c3

2 9
，故
k

2 9
,

1 4

1 1

1 2

n
1
1

n
1
2

1 4

1 1

1 2

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(下)第一次段考数学试卷(文科)(3月份)(含答案解析)

2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨三中高二（下）第一次段考数学试卷（文科）（3 月份）题号得分一二三总分一、选择题（本大题共 10 小题，共 50.0 分）1. 若函数 f（x）=x2+x，则函数 f（x）从 x=-1 到 x=2 的平均变化率为（）A. 0B. 2C. 3D. 62. 已知函数 f（x）=13-8x+ ，且 f′（x0）=4，则 x0 的值为（）A. 0B. 3C.D.3. 已知一个物体的运动方程为 s=2（t+1）2-1，其中位移 s 的单位是 m，时间 t 的单位是 s，则物体的初速度 v0 为（）A. 0m/sB. 1m/sC. 2m/sD. 4m/s4. 函数 f（x）=sinx-x，的最大值是（）A.B. πC. -πD.5. 已知点 P 在曲线 y=x3-x+5 上移动，设曲线在点 P 处的切线斜率为 k，则 k 的取值范围是（）A. （-∞，-1]B. [-1，+∞）C. （-∞，-1）D. （-1，+∞）6. 若函数 f（x）=x2-alnx 在（1，+∞）上单调递增，则实数 a 的取值范围为（）A. （-∞，1）B. （-∞，1]C. （-∞，2）D. （-∞，2]7. 若函数 f（x）=2x2-lnx 在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数 k 的取值范围（）A. [1，）B. （-∞，- ）C. （，+∞）D. （，）8. 如果函数 f（x）=x2-2x+mlnx 有两个极值点，则实数 m 的取值范围是（）A.B. （0，）C.D.9. 若存在，使得不等式 2xlnx+x2-mx+3≥0 成立，则实数 m 的最大值为（）A.B.C. 4D. e2-110. 已知函数 f(x)＝ax＋x2－xlna，对任意的 x1，x2∈[0，1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤a－2 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [e2，＋∞)B. [e，＋∞)C. [2，e]D. [e，e2]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）11. 函数 f（x）=2x3-6x2+1 的单调递增区间为______．12. 函数 f（x）=x2ex 的极大值为______．13. 函数 f（x）=x2-6x+4lnx 的图象与直线 y=m 有三个交点，则实数 m 的取值范围为______．第 1 页，共 11 页14. 已知偶函数 f（x）的导函数为 f'（x），且满足 f（2）=0，当 x＞0 时，xf'（x）＞2f（x），则使得 f（x）＞0 的 x 的取值范围为______．三、解答题（本大题共 4 小题，共 50.0 分） 15. 已知曲线 f（x）=x3-2x2+x．（Ⅰ）求曲线 y=f（x）在 x=2 处的切线方程；（Ⅱ）求曲线 y=f（x）过原点 O 的切线方程．16. 已知函数 f（x）=ax2+blnx 在 x=1 处有极值．（1）求 a，b 的值和函数 f（x）的单调区间；（2）求函数 f（x）在区间上的最值17. 已知函数（a≠0），讨论函数 f（x）的单调区间．18. 已知函数 f（x）=2lnx+x2-2ax（a＞0）．（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），且 f（x1）-f（x2）≥ -2ln2 恒成立，求 a 的取值范围．第 2 页，共 11 页第 3 页，共 11 页1.答案：B-------- 答案与解析 --------解析：解：根据题意，函数 f（x）=x2+x，f（-1）=0，f（2）=6，则函数 f（x）从 x=-1 到 x=2 的平均变化率 == =2；故选：B．根据题意，由函数的解析式计算 f（2）与 f（-1）的值，由变化率计算公式计算可得答案．本题考查函数的变化率，关键是掌握函数变化率的计算公式，属于基础题．2.答案：C解析：解：∵，∴，解得．故选：C．利用导数的运算法则即可得出．熟练掌握导数的运算法则是解题的关键．3.答案：D解析：【分析】本题考查函数的变化率以及导数的物理意义，理解物体运动的瞬时速度是位移 s 与时间 t 的函数的导数为解题的关键．根据题意，求出物体的运动方程的导数，结合导数的物理意义分析，求出 s′|x=0 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，一个物体的运动方程为 s=2（t+1）2-1，即 s=2t2+4t+1，其导数 s′=4t+4，当 t=0 时，s′|x=0=4，即物体的初速度 v0 为 4；故选：D．4.答案：A解析：解：函数 f（x）=sinx-x，所以：f′（x）=cosx-1≤0，则函数为减函数，故：函数的最大值为 f（）=-1+ ，故选：A．直接利用函数的导数求出函数的单调性，进一步利用单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的导数的应用，三角函数的值域的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．第 4 页，共 11 页5.答案：B解析：解：y=x3-x+5 的导数为 y′=3x2-1，设 P 的坐标为（x，y），可得 k=3x2-1≥-1，即 k 的范围是[-1，+∞）．故选：B．求得函数 y 的导数，可得切线的斜率，由二次函数的值域可得 k 的范围．本题考查导数的运用：求切线的斜率，二次函数的值域，考查运算能力，属于基础题．6.答案：D解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于较易题．由 f（x）在（1，+∞）上单调递增知 f′（x）≥0 在（1，+∞）上恒成立，从而转化为求最值问题．【解答】解：∵f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴≥0 在（1，+∞）上恒成立，∴a≤2x2，即 a≤2．故选：D．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性的应用，求函数的导数和极值是解决本题的关键．求出函数的定义域和导数，判断函数的单调性和极值，通过分类讨论即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），∴函数的 f′（x）=4x- = ，由 f′（x）＞0 解得 x＞，此时函数单调递增，由 f′（x）＜0 解得 0＜x＜，此时函数单调递减，故 x= 时，函数取得极小值．①当 k=1 时，（k-1，k+1）为（0，2），函数在（0，）上单调减，在（，2）上单调增，此时满足题意； ②当 k＞1 时，∵函数 f（x）=2x2-lnx 在其定义域的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数， ∴x= 在（k-1，k+1）内，即，即，即＜k＜，此时 1＜k＜，第 5 页，共 11 页综上 1≤k＜，故选：A．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于简单题．函数 f（x）=x2-2x+mlnx 有两个极值点，即 f'（x）=0 在的取值范围．【解答】解：函数 f（x）=x2-2x+mlnx 有两个极值点，所以 f'（x）=2x-2+ =0 在上有两个不相等的正根，上有两个不相等的正根，即可求得 m即，则和函数图象有两个交点，所以 0，所以 0，故选 B．9.答案：A解析：解：由存在，使得不等式 2xlnx+x2-mx+3≥0 成立，得：m≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]有解，令 y=2lnx+x+ ，则 y′=，故 x∈（，1）时，y′＜0，函数是减函数， x∈（1，e）时，y′＞0，函数是增函数，故 x= 时，y=3e+ -2，x=e 时，y=2+e+ ，又（3e+ -2）-（2+e+ ）=2e-4- ＞0，故函数 y=2lnx+x+ 的最大值是 3e+ -2，m≤3e+ -2，故选：A．求出 m≤2lnx+x+ ，x∈[ ，e]有解，令 y=2lnx+x+ ，根据函数的单调性求出 m 的最大值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．第 6 页，共 11 页10.答案：A解析：【分析】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题．对∀x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）-f（x2）|≤a-1 恒成立等价于|f（x1）-f（x2）|max≤a-2，而|f（x1）-f（x2） |max=f（x）max-f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．【解答】解：函数 f（x）=ax+x2-xlna，x∈[0，1]，则 f′（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x．当 0＜a＜1 时，显然|f（x1）-f（x2）|≤a-2 不可能成立；当 a＞1 时，x∈[0，1]时，ax≥1，lna＞0，2x≥0，此时 f′（x）≥0，所以 f（x）在[0，1]上单调递增，所以 f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1-lna，所以|f（x1）-f（x2）|≤f（x）max-f（x）min=a-lna，由题意得，a-lna≤a-2，解得 a≥e2，故答案为[e2，+∞）．故选 A．11.答案：（-∞，0），（2，+∞）解析：解：因为 f（x）=2x3-6x2+1，所以 f′（x）=6x2-12x，令 f′（x）＞0，解得 x＜0 或 x＞2，故函数的增区间为（-∞，0），（2，+∞），故答案为：（-∞，0），（2，+∞）．利用导数研究函数的单调性，只需求解 f′（x）＞0 的解集即可得解．本题考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．12.答案：4e-2解析：解：∵f（x）的定义域为（-∞，+∞），且 f'（x）=x（x+2）ex， x 变化时，f（x）与 f'（x）的情况如下：x（-∞，-2） -2（-2，0）0f'（x）+0-0f（x）↑极大↓极小故当 x=-2 时，f（x）取得极大值为 f（-2）=4e-2．故答案为：4e-2．先求出函数的导数，得到单调区间，求出极值点，从而求出函数的极值．本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，是一道基础题．13.答案：（4ln2-8，-5）（0，+∞） + ↑第 7 页，共 11 页解析：【分析】本题考查函数零点的判定，考查利用导数求函数的极值，是中档题．求出原函数的导函数，得到函数的单调性，求得极值，则答案可求．【解答】解：由 f（x）=x2-6x+4lnx，得 f′（x）=2x-6+ =（x＞0）．由 f′（x）=0，得 x=1 或 x=2．则当 x∈（0，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，当 x∈（1， 2）时，f′（x）＜0． ∴f（x）在（0，1），（2，+∞）上为增函数，在∈（1， 2）上为减函数．又 f（1）=-5，f（2）=4ln2-8． ∴函数 f（x）=x2-6x+4lnx 的图象与直线 y=m 有三个交点，则实数 m 的取值范围为（4ln2-8，-5）．故答案为：（4ln2-8，-5）．14.答案：（-∞，-2）∪（2，+∞）解析：【分析】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.构造函数 g（x）= ，利用导数得到，g（x）在（0，+∞）上单调递增，再根据 f（x）为偶函数，根据 f（1）=0，得 g（2）=，且 g（x）为偶函数，即可求解 f（x）＞0 的解集．【解答】解：令 g（x）= ，则，已知当 x＞0 时，xf′（x）＞2f（x），则当 x＞0 时，g′（x）＞0，所以函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，又 f（2）=0，f（x）是偶函数，所以 g（2）=，且 g（x）为偶函数，要求 f（x）＞0，即求 g（x）＞0，即 g（x）＞g（2），则有|x|＞2，可得 x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）；故答案为（-∞，-2）∪（2，+∞）.15.答案：解：（Ⅰ）f（x）=x3-2x2+x 的导数为 f′（x）=3x2-4x+1，可得曲线 y=f（x）在 x=2 处的切线斜率为 12-8+1=5，切点为（2，2），可得切线方程为 y-2=5（x-2），即为 5x-y-8=0；（Ⅱ）设切点为（m，m3-2m2+m），可得切线的斜率为 3m2-4m+1，即有切线方程为 y-（m3-2m2+m）=（3m2-4m+1）（x-m），代入（0，0），可得-（m3-2m2+m）=（3m2-4m+1）（-m），第 8 页，共 11 页解得 m=0 或 m=1，当 m=0 时，可得切线方程为 y=x；当 m=1 时，可得切线方程为 y=0．综上可得所求切线方程为 y=x 或 y=0．解析：（Ⅰ）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）设切点为（m，m3-2m2+m），可得切线的斜率和方程，代入原点，可得 m 的值，即可得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，注意切点的确定，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.答案：解：（1）由题意；所以：，定义域为（0，+∞）令⇒x2-x＞0⇒x＞1，∴单增区间为（1，+∞）；令⇒x2-x＜0⇒0＜x＜1，∴单减区间为（0，1）（2）由（1）知在区间函数 f（x）单调递减，在区间[1，e]函数 f（x）单调递增，所以，而，，所以．解析：（1）函数 f（x）=ax2+blnx 在 x=1 处有极值，得到 f（1）= ，f′（1）=0 得到 a、b 即可；找到函数的定义域，求出导函数，能求出函数 f（x）的单调区间．（2）根据函数的单调性即可求出函数的最值本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间和最值的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．17.答案：解：函数的定义域为（0，+∞），f（x）= - +lnx= x-2- x-1+lnx函数的导数 f′（x）=- + + =，设 h（x）=ax2+2x-2，（a≠0），则判别式△=4+8a，若△=4+8a≤0，①则时，h（x）≤0，则 f′（x）≥0，即此时函数 f（x）在（0，+∞）上单调递增；第 9 页，共 11 页②当时，△＞0，对称轴 x=- =- ＞0．h（x）=0 的两个根==，即＜，由 f′（x）＞0 得递增，由 f′（x）＜0 得即此时 f（x）在＞0，即 ax2+2x-2＜0，即 0＜x＜或 x＞，此时函数单调＜0，即 ax2+2x-2＞0，即＜x＜，此时函数单调递减，上单调递增，在上单调递减；③a＞0 时，此时△＞0，对称轴 x=- =- ＜0，h（x）=0 的两个根==，即＞，由由 f′（x）＞0 得函数单调递增，由 f′（x）＜0 得＞0，即 ax2+2x-2＞0，即 x＞或 x＜＞（舍），此时＜0，即 ax2+2x-2＜0，即＜x＜，∵x＞0，∴此时 0＜x＜，此时函数单调递减，即此时 f（x）在上单调递减，在上单调递增．解析：求函数的定义域和导数，结合函数单调性和导数之间的关系，本题主要考查函数单调性的判断，结合函数单调性和导数的关系以及一元二次方程根与判别式△的关系讨论不等式的解集是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．18.答案：解：（Ⅰ）函数 f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令 x2-ax+1=0，则 =a2-4，①0＜a≤2 时， ≤0，f′（x）≥0 恒成立，函数 f（x）在（0，+∞）递增； ②a＞2 时，＞0，方程 x2-ax+1=0 有两根：x1=，x2=，且 0＜x1＜x2，函数 f（x）在（0，x1）上 f′（x）＞0，在（x1，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞）上，f′（x）＞0，故函数 f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）在（x1，x2）上递减，x1+x2=a，x1•x2=1，则 f（x1）-f（x2）=2ln +（x1-x2）（x1+x2-2a）第 10 页，共 11 页=2ln + - ，令 t= ，则 0＜t＜1，f（x1）-f（x2）=2lnt+ -t，令 g（t）=2lnt+ -t，0＜t＜1，则 g′（t）=- ＜0，故 g（t）在（0，1）递减且 g（）= -2ln2，故 g（t）=f（x1）-f（x2）≥ -2ln2=g（），即 0＜t≤ ，而 a2== + +2=t+ +2，其中 0＜t≤ ，∵（t+ +2）′=1- ≤0 在 t∈（0， ]恒成立，故 a2=t+ +2 在（0， ]递减，从而 a 的范围是 a2≥ ，故 a≥ ．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题．（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）得到 x1+x2=a，x1•x2=1，则 f（x1）-f（x2）=2ln +（x1-x2）（x1+x2-2a）=2ln + - ，令 t= ，则 0＜t＜1，f（x1）-f（x2）=2lnt+ -t，令 g（t）=2lnt+ -t，根据函数的单调性求出 a 的范围即可．第 11 页，共 11 页。

23厦门市第一学期高二年级质量检测数学试卷

厦门市2022—2023学年度第一学期高二年级质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线1:210l x ay −−=与直线2:210l x y ++=垂直，则a =A ．1−B ．1C ．2D ．42．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22a =，520S =，则4a =A ．3B ．4C ．5D ．63．已知直线l 过点()2,0P ，方向向量为()1,1n =−，则原点O 到l 的距离为A．1B C D ．24．已知圆2221:290C x y mx m +−+−=与圆222:20C x y y +−=，若1C 与2C 有且仅有一条公切线，则实数m的值为A ．1±B ．C ．3±D ．2±5．在三棱锥A BCD −中，点M 是BC 中点，若DM xAB yAC zAD =++，则x y z ++= A ．0B ．12C. 1D. 26．已知点P 在双曲线222:1(0)y C x b b−=>的右支上，直线OP 交C 于点Q （异于P ），点F 为C 的左焦点，若4PF =，PFQ ∠为锐角，则b 的取值范围为A ．()0,2B ．)3C ．(2,D ．()2,+∞7. 在平行六面体1111ABCD A BC D −中，1AB AD AA ==，1160BAA AA DAB D ∠=∠=∠=︒， 11(01)AQ A B λλ<=<，则直线1AC 与直线DQ 所成角的余弦值为A ．0B ．12C D ．18．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，FO 为半径的圆与E 交于点P ，且PA PF ⊥，则E 的离心率为A B ．23C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=−−，则 A ．9k < B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等10．如图，四边形ABCD 为正方形，EA BF ∥，EA ⊥平面ABCD ，22AB AE BF ===，点M 在棱EC上，且EM EC λ=，则A ．当14λ=时，DM ∥平面BFC B ．当12λ=时，MF ⊥平面EACC ．当12λ=时，点M 到平面BCF 的距离为1D ．当14λ=时，平面MBD 与平面ABCD 的夹角为π411．2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为60︒，则彗星与地球的最短距离可能为（单位：千万公里）A ．31 B ．21 C ．1 D ．312．大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子．斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、凤梨的排列、向日葵花瓣数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列{}n a 可以用递推的方法来定义：11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，则A ．135********a a a a a ++++=B ．12320202022a a a a a ++++=C ．2222320212120212022a a a a a a ++++=D.132420192021202020221220212022111111aa a a a a a a a a a a ++++=−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．写出双曲线22:14y C x −=的一条渐近线方程 ▲ ． 14．在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为线段1BB 的中点，则直线1C E 与平面11A D B 所成角的正弦值是 ▲ ．15．在平面上给定相异两点A 、B ，设点P 与A 、Bλ=，当0λ>且1λ≠时，点P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在PAD △中，PA PD =，()3,0A −，边PD 中点为()3,0B ，则PAB ∠的最大值为 ▲ ． 16．平面上一系列点()111,A x y ，()222,A x y ，，(),n n n A x y ，，其中()11,2A ，10n n y y +>>，已知nA 在曲线24y x =上，圆()()222:n n n n A x x y y r −+−=与y 轴相切，且圆n A 与圆1n A +外切，则3A 的坐标为▲ ；记1n n n b y y +=，则数列{}n b 的前6项和为 ▲ ．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 为菱形，π3COA ∠=，(C ，点D 为AB 的中点，记OAC △的外接圆为圆M ．（1）求圆M 的方程；（2）求直线CD 被圆M 所截得的弦长．18．（12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且124a a +=，23269a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和.19．（12分）已知点()0,1F ，点B 为直线1y =−上的动点，过B 作直线1y =−的垂线l ，且线段FB 的中垂线与l 交于点P .（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）设FB 与x 轴交于点M ，直线PF 与Γ交于点G （异于P ），求四边形OMFG 面积的最小值．1A20．（12分）现实世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美，譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．已知ABC △中，2AB BC ==，120ABC =∠︒，将ABC △绕着BC 旋转到DBC △的位置，如图所示．（1）求证：BC AD ⊥；（2）当三棱锥D ABC −的体积最大时，求平面ABD 和平面BDC 的夹角的余弦值．21．（12分）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前nn 年的销售额比前一年销售额多123n −⎛⎫ ⎪⎝⎭千万元.（1）分别求甲、乙超市第n 年销售额的表达式；（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？22．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点)．（1）求E 的方程；（2）过()1,0T 作斜率之积为1的两条直线1l 与2l ，设1l 交E 于A ，B 两点， 2l 交E 于C ，D 两点， AB ,CD 的中点分别为,M N ．探究：OMN △与TMN △面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1全册质量试题试题及答案答案解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1高二数学选修1－1质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是A.24y x=- B.24x y=C.24y x=-或24x y= D.24y x=或24x y=-2. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为A.22110084x y+= B.221259x y+=C.22110084x y+=或22184100x y+= D.221259x y+=或221259y x+=3.如果方程22143x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A.34m << B. 72m >C. 732m <<D.742m << 4.“5,12k k Z αππ=+∈”是“1sin 22α=”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知函数2sin y x x =，则y '＝A. 2sin x xB.2cos x x C. 22sin cos x x x x + D. 22cos sin x x x x +6. 已知(2)2f =-，(2)(2)1f g '==，(2)2g '=，则函数()()g x f x 在2x =处的导数值为A. 54-B.54C.5-D. 5 7. 已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为 A.221916x y -= B.221169x y -= C.2212536x y -= D. 2212536y x -= 8.设P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF +的值为A. 10B. 8C. 6D. 49.命题“a, b 都是偶数，则a 与b 的和是偶数”的逆否命题是A. a 与b 的和是偶数，则a, b 都是偶数B. a 与b 的和不是偶数，则a, b 都不是偶数C. a, b 不都是偶数，则a 与b 的和不是偶数D. a 与b 的和不是偶数，则a, b 不都是偶数10 .若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为210x y +-=，则A. 00()f x '>B. 00()f x '<C. 00()f x '=D. 0()f x '不存在11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件；（2）“a b >”是“22a b >”的充要条件；（3） “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件；（4）“A B B =”是“A φ=”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12. 双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

【详解】，则，
故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；
，根据单调性知，正确；
，，故方程有实数解，正确；
，易知当时成立，当时，，设，
则，故函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；
16.设过原点的直线与双曲线：交于两个不同点，为的一个焦点，若，，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接，根据对称性知为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接，根据对称性知为平行四边形.
，则，，
，，故 .
【详解】，，取得到 .
故函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
对比图象知：满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若，且，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到，得到答案.
C.当，时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（）

2019-2020学年高中数学人教A版必修一阶段质量检测：第二章基本初等函数(Ⅰ) 含解析

阶段质量检测(二)基本初等函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(lg 9－1)2等于()A．lg 9－1 B．1－lg 9C．8 D．2 2解析：因为lg 9<lg 10＝1，所以(lg 9－1)2＝1－lg 9.答案：B解析：方法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a 增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除由于y＝x a递增较慢，所以选D.＝x a的图象不过(0,1)点，故A的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xB错，D对；C项中由对数函数x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，2⎝⎭4a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.答案：A12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x ，x ≥1，a x ，x <1，在R 上为减函数，则实数的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]16．若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则函数g(x)＝log a(x－m)(其中a>0≠1)的图象过定点A的坐标为________．解析：若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则m＝2，则函数g(x)＝log a(x－m)＝log a(x－2)(其中a>0，a≠1)，令x－2＝1，则x＝3，g(x)＝0，其图象过定点A的坐标为(3,0)．答案：(3,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)43所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.19．(12分)已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明；(3)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <1，即－1<x <1.⎩⎪g (x )，f (x )>g (x )，解析：(1)设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)2，解得α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得＝－1，即g (x )＝x －1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －1的图象，可得函数h (x )的图象如图所示．的解析式及图象可知，函数h (。

2019-2020学年人教A版河南省天一大联考高二第一学期(上)段考数学试卷试题及答案(文科) 含解析

2019-2020学年高二第一学期（上）段考数学试卷（文科）一、选择题1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知，则＝（）A．B．C．D．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣1212．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A ＝．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|0≤x＜3} 解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{y|y≥1}，∴∁R B＝{y|y＜1}，A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：A．2．下列说法正确的是（）A．命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x＞y+1”B．若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1C．若x2﹣2019x＝0则x＝2019D．若a＞b，则解：命题“若x＞y+1，则x＞y”的逆否命题为“若x≤y，则x≤y+1”，所以A不正确；若x2≥1，则x≤﹣1或x≥1，所以B正确；若x2﹣2019x＝0则x＝2019或x＝0，所以C不正确；若a＞b，则，反例a＞0，b＜0，满足条件，但是推不出结果，所以D不正确；故选：B．3．已知，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a解：∵1＝20＜20.1＜2，0.50.5＜1，，∴c＞a＞b．故选：B．4．函数f（x）＝x﹣cos x在处的切线方程为（）A．2x﹣4y﹣π＝0 B．2x﹣πy＝0 C．4x﹣πy﹣1＝0 D．4x﹣2y﹣π＝0 解：由题意知，f'（x）＝1+sin x，则切线的斜率k＝f'（）＝2，切点坐标（，）∴切线的方程为y﹣＝2（x﹣），即 4x﹣2y﹣π＝0，故选：D．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（）A．234 升B．468 升C．639 升D．903 升解：根据题意，第一天派出64人，需要分发大米64×3＝192升，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，则第二天派出64+7＝71人，需要分发大米71×3＝213升，第三天派出71+7＝78人，需要分发大米78×3＝234升，则前3天共分发大米192+213+234＝639升；故选：C．6．函数f（x）＝﹣10x3ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为f（﹣x）＝10x3ln|x|＝﹣f（x），所以函数为奇函数，故排除A、D；当x→+0时，f（x）→0，故排除B，故选：C．7．已知，则＝（）A．B．C．D．解：∵，∴sin（）﹣＝0，∴﹣，∴sin x＝cos x，∴tan x＝，∴＝＝＝．故选：B．8．已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时g（x）＝﹣ln（1﹣x），设函数f（x）＝，若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）解：∵函数g（x）是R上的奇函数，且当x＜0时，g（x）＝﹣ln（1﹣x），∴当x＞0时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣ln（1+x）]＝ln（1+x）．∵函数f（x）＝，∴当x≤0时，f（x）＝x3为单调递增函数，值域（﹣∞，0]．当x＞0时，f（x）＝lnx为单调递增函数，值域（0，+∞）．∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．∵f（2﹣x2）＞f（x），∴2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，∴（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1．∴x∈（﹣2，1）．故选：D．9．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x﹣2y的最大值为．（）A．128 B．64 C．D．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，﹣1）．化目标函数z＝2x﹣2y可知x﹣2y取得最大值时，z取得最大值，由图可知，当直线x﹣2y＝u过点B时，直线在y轴上的截距最小，即u最大．∴z max＝24﹣2×（﹣1）＝64．故选：B．10．要想得到函数的图象，只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，＝cos（﹣2x﹣）＝cos（﹣2x）＝cos（2x﹣）＝cos2（x﹣），故只需将函数y＝（cos x﹣sin x）•（cos x+sin x）的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：A．11．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，则＝（）A．24 B．﹣7 C．﹣10 D．﹣12解：建立如图所示的坐标系，A（0，0），B（4，0），C（2，2），E（3，），D（﹣2，2），F（，），则＝（3，）•（﹣，）＝﹣14+2＝﹣12．故选：D．12．已知函数，若方程f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（3，4）解：画出f（x）的图象，如图所示，当x＞0，f（x）＝x+≥4，设g（x）＝2m，则f（x）﹣2m＝0恰有三个不同的实数根，即f（x）和g（x）＝2m图象有三个交点，由图可知2m＞4，即m＞2．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（），向量，的夹角是，且＝﹣1，则||＝．解：∵，∴，∴．故答案为：．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝6，，则sin A＝．解：∵a＝5，c＝6，，∴由余弦定理可得b＝＝＝，∴sin B＝＝，∴由正弦定理，可得sin A＝＝＝．故答案为：．15．已知8a+2b＝1（a＞0，b＞0），则ab的最大值为．解：因为8a+2b＝1，a＞0，b＞0，则ab＝×＝．当且仅当8a＝2b即a＝，b＝时取等号，此时ab取最大值．故答案为：．16．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．若对任意的n∈N*，λ（S n﹣3n）≥4恒成立，则实数λ的最小值为8 ．解：数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝4，2a n＝﹣a n﹣1+9（n≥2）．则：，所以数列{a n﹣3}是以a1﹣3＝1为首项，﹣为公比的等比数列．所以，整理得，所以，所以＞0，故对于任意的正偶数n，，恒成立．等价于，对于任意的正偶数n恒成立．由于，所以，所以，只需满足λ≥8．故答案为：8．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．若“p或q”为真命题，“p且q为假命题，求实数a的取值范围．解：∵p：指数函数f（x）＝（2a﹣1）x在R上单调递减，∴＜a＜1，∵q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1＝0的两个实根均大于0．∴，解得a＞2，∵“p或q”为真命题，“p且q为假命题，∴p真q假，或p假q真，当p真q假时，，解得＜a＜1，当p假q真时，，解得a＞2．∴实数a的取值范围是（，1）∪（2，+∞）．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝cos B tan A+sin B．（Ⅰ）若a+c＝8，△ABC的面积为6，求sin B；（Ⅱ）若b2＝3a2，求B．解：（Ⅰ）∵tan A＝cos B tan A+sin B，∴sin A＝sin A cos B+sin B cos A＝sin（A+B）＝sin C，∴由正弦定理可得a＝c，又∵a+c＝8，∴a＝c＝4，∵△ABC的面积为6＝ac sin B＝4×4×sin B，∴解得：sin B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得a＝c，又b2＝3a2，∴由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣，∵B∈（0，π），∴B＝．19．已知正项等比数列{a n}，a4＝9a2，a3﹣a2＝6（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（I）设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a4＝9a2，a3﹣a2＝6．∴q2＝9，a1（q2﹣q）＝6，解得q＝3，a1＝1，∴a n＝3n﹣1．（II）b n＝na n＝n•3n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n＝1+2×3+3×32+4×33+……+n•3n﹣1．∴3T n＝3+2×32+3×33+……+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n．∴﹣2T n＝1+3+32+33……+3n﹣1﹣n•3n＝﹣n•3n＝，化为：T n＝．20．记数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求使成立的n的最大值．解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n，因为a1＝﹣3，2S n S n﹣1+3S n﹣1＝3S n﹣1（n≥2），所以两边同除以S n S n﹣1，整理得：所以：，所以数列{}是以为首项，﹣为公差的等差数列．所以．则：a n＝S n﹣S n﹣1＝（首项不符合通项），所以．（Ⅱ）由于，所以易知n≥2时，，整理得4n2﹣8n+3≤48，解得2，故最大值为4．21．已知函数f（x）＝cos4x﹣sin2x+3（Ⅰ）设正实数T满足f（T）＝f（0），求T的最小值；（Ⅱ）当时，求f（x）的值域解：（Ⅰ）f（0）＝1﹣0+3＝4，则f（T）＝cos4T﹣sin2T+3＝2cos22T+cos2T+＝4，即有（cos2T﹣1）（4cos2T+5）＝0，因为﹣1≤cos2T≤1，所以cos2T＝1，则2T＝2kπ，所以T＝kπ（k∈Z），又因为T为正实数，所以T最小值为π；（Ⅱ）f（x）＝2cos22x+cos2x+＝2（cos2x+）2+，因为，所以2x∈（﹣，），则cos2x∈（﹣，1]，则f（x）最小值在cos2x＝﹣处取到，则最小值为，最大值在cos2x＝1处取到，则最大值为4，所以f（x）的值域为[，4]．22．已知函数f（x）＝lnx+．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）已知函数g（x）＝f（x）+，其中a为常数且a≠0，若函数g（x）在区间[1，2]上为单调函数，求实数a的取值范围．解：（I），∵＝，x＞0，当f′（x）＜0可得，x∈（0，2），此时f（x）单调递减，当f′（x）＞0可得，x∈（2，+∞），此时f（x）单调递增，故函数的极小值f（2）＝1+ln2，没有极大值，（II）∵g（x）＝f（x）+＝lnx+在区间[1，2]上为单调函数，∴g′（x）＝≥0或g′（x）＝≤0在区间[1，2]上恒成立，即≥或即≤在区间[1，2]上恒成立，∴≥（）max或≤（）min，令h（x）＝，x∈[1，2]，则h（x）在[1，2]上单调递增，故h（x）max＝h（2）＝，h（x）min＝h（1）＝3，∴或，解可得a＜0或或a≥1．故a的范围为{a|a＜0或或a≥1}．。

考点02 异面直线的夹角(人教A版2019)(含答案解析)

考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 B．5C．5D ．162．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为 A ．720 B．20 CD5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14C ．4-D ．47．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 B ．6CD8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ． BC ．6-D9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B ．15CD ．5-11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．6 B ．23CD ．1212．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13C ．12D 13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为A ．12BC ．10D ．1014．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34C ．14D ．1315．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．217．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O ，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为A ． BC ．D 18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．3021．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A BCD23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为 A ．13 B ．22C ．324D ．1224．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，2AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC 与PD 所成角的余弦值是A 3B 6C 6D ．2225．在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A ．427 B 15 C 3D 6二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD '''' C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1AC D ．//CD 平面11AB C5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．6．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，AB =2BC =，若E ，F 是PC 的三等分点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值________．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为________．10．四棱锥P -ABCD 的底面是一个正方形，P A ⊥平面ABCD ，4PA AB ==，E 是棱P A 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是________．11．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值为________．13．已知(0,1,2)AM =，(1,0,2)CN =，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是__________．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，ADC=90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是________．15．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是________．四、双空题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则该棱柱的体积为________；异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．2．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =________，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为________． 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为________；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为________．4．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为________，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为________．5．如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC ==，则此三棱锥四个面中直角三角形的个数为________，异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．五、解答题1．如图，在三棱锥D -ABC 中，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥且2BC =，3AB =，4=AD ．（1）证明：BCD △为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且2AE =，45EAD ∠=︒，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．2．如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小；（2）求三棱锥P BMC -的体积．考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 BCD ．16【试题来源】A 佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测【答案】D【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，2a c ⋅=，2b c ⋅=，从而1AB a c =+， 1BC b c a =+-，22112AB BC a b b c c a ⋅=⋅+⋅+-=，22124AB a c a c =++⋅=+=22212224BC a b c b c a b a c =+++⋅-⋅-⋅=+=所以1111111cos ,6||||AB BC AB BC AB BC ⋅==．故选D ．2．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒【试题来源】四川省自贡市2019-2020学年高二年级上学期期末（理）【答案】B【解析】如图，根据条件，1AB =，令AB =，11B B =；又1111()AB B A B B =-+，1111C B B C B B =-+；2211111111111111211102AB C B B A B C B A B B B B B C B B ∴=-+-=⨯-=-=；∴11AB C B ⊥；1AB ∴和1C B 所成的角的大小为90︒．故选B ．3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得103λ<<，当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意，所以103λ≤<，故选A. 4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为A ．720B ．20C．20D．20【试题来源】第八单元立体几何（A 卷基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷【答案】C【解析】如下图所示，设3AD =，取BC 的中点O ，B C ''的中点M ，连接OA 、OM ，在正三棱柱ABC A B C '''-中，//BB CC ''且BB CC ''=，则四边形BB C C ''为平行四边形，//BC B C ''∴且BC B C ''=，由于O 、M 分别为BC 、B C ''的中点，则//OB MB '且OB MB '=，所以，四边形OBB M '为平行四边形，则//OM BB '且OM BB '=，BB '⊥平面ABC ，则OM ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且O 为BC 的中点，则OA BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、30,,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,32C ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，3,12AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1EC '=-，77cos ,2010AD EC AD EC AD EC -'⋅'<>===-'⋅，2sin ,1cos ,120AD EC ADEC ''<>=-<>==，因此，异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为20．故选C ．5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷【答案】D【解析】解法一：如图，在平面ABFE 中，过F 作//FG AE 交AB 于G ，连接CG ，则CFG ∠或其补角为异面直线AE 与CF 所成的角．设1EF =，则3AB =，2AD =．因为//EF AB ，//AE FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以2FG AE AD ===，1AG =，2BG =，又AB BC ⊥，所以GC =，又2CF BC ==，所以222CG GF CF =+，所以2CFG π∠=．解法二：如图，以矩形ABCD 的中心O 为原点，CB 的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，ADE 和BCF △都是正三角形，所以EF ⊂平面yOz ，且Oz 是线段EF 的垂直平分线．设3AB =，则1EF =，2AD =，31,,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，10,2E ⎛- ⎝，31,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝，所以(AE =-，(1,CF =-，所以111(1)AE CF ⋅=-⨯+⨯-0=，所以AE CF ⊥，所以异面直线AE 与CF所成的角为2π．故选D ．6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14 C．4-D．4【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题【答案】B【解析】以A 为原点，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题得(0A ，0，0)，1(0,0,2)A，B ，1(0C ,2，2)，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,2)AC =，设异面直线1A B 与1AC 所成角为θ，则1111111cos |cos ,|||||4||||88A B AC A B AC A B AC θ=<>===． ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为14．故选B ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 BC ．3D ．3【试题来源】河北省深州市中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【解析】因为PA ⊥底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥，所以以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)E ，(0,2,0)D ，(2,1,2)PE =-，(2,2,0)BD =-，设异面直线BD 与PE 所成的角为θ，(0,]2πθ∈，则||cos||||PE BD PE BD θ⋅==6=．所以异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为6．故选A ． 8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ．18-BC ．6-D 【试题来源】河南省新乡市新乡县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）【答案】B【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系所以()()()()0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,2,1P B C E ，所以()()2,2,1,2,4,2=-=-BE PC ，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为6⋅=BE PC BE PCB ． 9．已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何单元测试【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1 (0,1,2)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(1,1,2)AC =-，(1,0,1)BE =-，设1AC 与BE 所成角为θ，则11cos 6||AC BE AC BE θ⋅===⋅，所以30θ=︒．所以异面直线1AC 与BE 所成的角为30．故选A ． 10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC ABBC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A．5B．15 CD ．【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考（理）【答案】A【解析】如图：以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,00B ，()10,1,1C ，()10,1,1BC =，因为120ABC ∠=，则cos1201A y AB ==-，sin1203A xAB == 即)1,0A-，()1AB =-，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，1111cos 5AB BC AB BC θ⋅===A ．11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．6B ．23C ．2D ．12【试题来源】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试【答案】A【解析】因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1,0,2)B ，1(0,1,C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC AB BC AB BC ⋅<>===．所以直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13 C ．12D 【试题来源】河北省沧州市第三中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,1E ，()2,2,1F ，()0,2,0D，()10,2,0D ，∴ ()0,2,1ED =-，()12,0,1D F =，∴直线ED 与1D F 所成角θ的余弦值为111c 5os 0ED D ED D F Fθ⋅===⋅．故选A ．13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为 A ．12B ．2 CD ．10【试题来源】山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考（文）【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设棱长AB ＝2．A （0，0，0），C （2，2，0）．因为E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，所以E （0，1，2），F （1，1，2），所以()()0,1,2,1,1,2AE CF ==--，所以cos ,1AE CF AE CF AE CF⋅===．所以异面直线AE 与CF ．故选C ． 14．直三棱柱111ABC A B C -中，1ABAC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34 C ．14D ．13【试题来源】福建省莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】C【解析】因为AB AC =，60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设2AB =，则B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ，所以1(1,2)BA =--，1(0,2,2)AC ，122BA =，122AC =112BA AC ⋅=，所以异面直线1BA 和1AC所成角的余弦值为11111cos 42BA AC BA AC θ⋅===⋅，故选C ．15．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【试题来源】浙江省衢州五校2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在线为y 轴，DP 所在线为z 轴，建立空间坐标系，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，令1PD AD ==，(1A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)∴(1PA =，0，1)-，(1BD =-，1-，0)，·1cos 22PA BD PA BDθ∴===-⨯，故两向量夹角的余弦值为12，即两直线PA 与BD 所成角的度数为60︒．故选C ．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考【答案】C【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D ，所以()()11,,3,0,AC a a a CD a =-=-，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos AC CD a AC CD θ⋅-===⋅．故选C. 17．在长方体1111ABCD A B C D -中，1ABAD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为 A． BC ．D 【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AB AD ==，12AA =，所以()11,0,2A ，()1,1,0B ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,2D ， 111,,222A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,1,2BD =--，则11cos ,9A O BD ==．故选D ．18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=【试题来源】天津市第五十五中学2020-2021学年高二（上）第一次月考【答案】C 【解析】两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，∴·3312(2)19u v =⨯+⨯+-⨯=，231u =+=，232v =+=，又两条异面直线所成的角为(0,]2πθ∈，∴·9cos cos ,14·14u v v u vθ====⋅，sin 14θ=．故选C ．19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°【试题来源】河北省承德第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考【答案】D【解析】以B 为原点．1,,BC BA BB 分别为..x y z 轴建立空间直角坐标系：令12AB BC AA ===，则(0,0,0)B ，(0,1,0)E ，(0,0,1)F ，1(2,0,2)C ，所以(0,1,1)EF =-，1(2,0,2)BC =，所以111cos ,||||EF BC EF BC EF BC ⋅<>=12==，所以直线EF 和1BC 所成的角为60．故选D ．20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．30【试题来源】山东省青岛市第十七中学2019-2020学年高一下学期期中考试【答案】C【解析】连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，．因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45，故选C ．21．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【试题来源】辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=．依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点，所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ，则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．3 BCD【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考【答案】C【解析】四面体A BCD -是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M ，(1,1,1),(0,2,0)BM CD ==，cos ,3||BM CD BM CD BM CD⋅〈〉===⋅0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以异面直线BM 与CD C ．23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为A ．13 B．3 CD ．12【试题来源】天津市第二十中2020-2021学年高二（上）期中【答案】B【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅，∴异面直线MB 与1AA ，故选B ．24．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC与PD 所成角的余弦值是ABCD【试题来源】安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（理）【答案】B【解析】因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥ 平面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，所以()))()(0,0,0,,,0,1,0,A BCD P ，因为点E 是棱PB的中点，22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭ ，所以(22,1,,0,1,EC PD⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以11cos ,31PD EC PD ECPD EC⋅===⋅，所以异面直线EC 与PD ．故选B. 25．在棱长为2的正方体1111—ABCD A BC D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A．7 BCD【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】B【解析】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2F OE D =-=-，所以111cos ,53FD OE OE OE FDFD ⋅<>===，所以异面直线OE 和1FD ，故选B ．二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中【答案】BCD【解析】对于选项A ，由题意以A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1A 、A 1D 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A 1(0，0，0)，D (0，2，2)，D 1(0，2，0)，A (0，0，2)，B (2，0，2)，C (2，2，2)，则P (2，1，2)，设Q (x 0，y 0，0)，则AP =(2，1，0)，1D Q =(x 0，y 0－2，0)，由AP ⊥1D Q ，可得10AP DQ ⋅=，即2x 0+y 0－2=0，对于选项A ，由DP =(2，－1，0)，可得1cos DP DQ =，，45===，为定值，所以选项A 错误；对于选项B ，四面体ABPQ 的体积111122123323A BPQ Q ABP ABP V V S AA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，为定值，即体积不变，所以选项B 正确；对于选项C ，因为AA 1⊥A 1Q ，且A 1Q=11111222AA QS AA AQ ∆=⨯⨯=⨯===，因为[]002x ∈，，所以15AA Q S ∆≥=，所以选项C 正确；对于选项D ，如图，因为点Q 满足2x 0+y 0－2=0，即点Q 在直线2x 0+y 0－2=0上运动，取A 1B 1的中点为E ，即点Q 在D 1E 上，因为点P 到D 1E 的距离为2，E (1，0，0)，1D E =(1，－2，0)，11D E =+=，11122PD EE SD ∴⨯⨯== 则平面D 1PQ 截正方体所得截面为1FED G ，其中12CG GD =，112BF FB =，所以，1EFGD 且1EF GD =，又由P 为中点，,BF CG PB PC ==，90B C ∠=∠=︒，所以，PEF 和1PGD 全等，所以，PF PG =，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形1FED G ，该四边形的面积为2△D 1PE ，则截面面积为 2△D 1PE =115122222PD ESD E ⨯⨯⨯==，则截面面积为定值，所以选项D正确．故选BCD ．2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD ''''的截面面积为4C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中【答案】AC【解析】以A '为坐标原点，以A D ''，A B ''，A A '为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz '-，则(0A ，0，1)，1(2M ，1，1)，(1D '，0，0)，(0B '，1，0)，∴1(2AM =，1，0)，(1D B ''=-，1，0)，cos AM ∴<，·10AM D B D B AM D B ''''>==''，AM ∴与D B ''所成角的余弦值为10，故A 正确；取CC '的中点N ，则////MN BC AD ''，故梯形MND A '为过A 、M 、D '的正方体的截面，2MN =，AD '=，AM D N ='=，∴梯形MND A '的高为=，∴梯形MND A '的面积为19)228⨯=，故B 错误；四面体A C BD ''的体积为111414111323D A C D V V -'''-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，又四面体A C BD ''的所有棱长均为，∴四面体A C BD ''的表面积为244⨯⨯=A C BD ''的内切球半径为r ，则123⨯13r =，解得r =，∴四面体A C BD ''的内切球的表面积为243r ππ=，故C 正确；MAC PAC ∠'=∠'，P ∴点在以AC '为轴，以AM 为母线的圆锥的侧面上， (1AC '=，1，1)-，1(2AM =，1，0)，故·15cos AM AC MAC AM AC '∠'=='设AC '与平面A B C D ''''的夹角为α，则2cos cos 353A C AC A AC α''=∠''===>'， MAC α∴<∠'，P ∴点在平面A B C D ''''上的轨迹是双曲线，故D 错误．故选AC ．3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】ABD【解析】如图1所示，由题意，11//C D CD ，11C D ⊂/平面CHD ，CD ⊂平面CHD ，所以11//D C 平面CHD ，所以A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB =，则1(1AC =-，1，1)，(1BD =-，1-，0)，1(1DA =，0，1)；所以11100AC BD =-+=，111010AC DA =-++=，所以1AC BD ⊥，11AC DA ⊥，所以1AC ⊥平面1BDA ，所以B 正确；三棱锥11D BA C -的体积为1111114D BA C ABCD A B C D V V --=-三棱锥正方体11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=，所以C 错误；(1E ，12，0)，(0F ，0，1)2，所以(1EF =-，12-，1)2，1(1BC =-，0，1)，所以cos EF <，111110||||3EF BC BC EF BC ++>===⨯ 所以EF 与1BC 所成的角是30，所以D 正确．故选ABD ．4．如图，在三棱柱111ABCA BC -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1ACD ．//CD 平面11AB C【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】AC【解析】A ：因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥，A 正确；以D为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1A -，()1,0,0A -，(1C，(1B，所以(11,0,A D =，(11,AC=，所以111111cos ,7A D ACA D AC A D AC ⋅===，所以异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14，B 不正确，C 正确；因为(1AB =，(11,AC=，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则1120n AB xn AC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2n =-，因为()0,CD =，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选AC ．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【试题来源】山东省新泰市第一中学（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--，因为1DC =，212BC ==，所以1113cos ,17DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为17，故答案为17． 2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．【试题来源】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B 、()0,2,2E 、()1,1,0F ，()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，111111cos ,2A E BF A E B F A E B F⋅<>===⋅，因此，直线1A E 与直线1B F ． 3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥、PA BC⊥，过点A 作//AE CB ，又CB AB ⊥，则AP 、AB 、AE 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，直线AB 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()000A ，，、()002P ，，、(400)B ，，、(420)C -，，，又D 为PB 中点，则(201)D ，，，故(422)PC =--，，，(201)AD =，，，所以cos 102PC AD PC AD PC AD⋅===⋅，，故答案为104．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】19【分析】建立空间直角坐标系，利用公式11sin DM A N DM A Nθ⋅=⋅，进行求解即可【解析】如图，设正方体的边长为a ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立坐标系得，(,0,0)D a ，(0,,)2a M a ，1(,,)A a a a ，(0,0,)2a N ，所以，(,,)2a DM a a =-，1(,,)2a A N a a =--，所以，11sin 9a DM A N DM A N θ⋅==⋅19=，故答案为19. 5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习考点扫描【答案】45【分析】以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得出(,,1)DH m m =，()1001CC =，，，进而根据向量的乘积公式求解【解析】如图，以D 点为原点，以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：()()()1000100001D DA CC ==，，，，，，，，，连接11BD B D ，，在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于点H ，设(,,1)DH m m =，(0)m >，DP 与1CC 所成角为θ 由已知60HDA ∠=︒，根据cos DA DH DA DH HDA ⋅=∠，可得221m m =+，解得21m DH⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1112cos 2C DH D C co C H DH s CC C θ⋅===⋅，， ∴45θ=︒，故答案为456．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP359】【数学】【答案】15【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则())()()0,0,0,,0,2,0,0,1,2A EC F ，所以()()3,1,1,0,1,2AE CF ==-，所以1cos ,55AE CF AE CFAE CF⋅===⋅，故答案为15．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．。

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阶段质量检测(一) 解三角形(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．在△ABC 中，已知BC ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积等于( ) A ．9 B ．18 C ．93 D ．18 3解析：选C 在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin B sin A ＝6×sin 120°sin 30°＝6 3.又∵C ＝180°－120°－30°＝30°， ∴S △ABC ＝12×63×6×12＝9 3.2．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A.62 B.63 C.12 D.32解析：选B A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C，即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60°＝63，故选B.3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＝ 3(1－cos B )，则sin A 的值为( ) A.24 B.34 C.64 D.32解析：选C 由sin B ＝3(1－cos B )，得sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝32.又0<B <π，得B ＝π3，由2sin A ＝2sinπ3⇒sin A ＝64. 4．在△ABC 中，∠B ＝120°，AB ＝2，角A 的平分线AD ＝3，则AC ＝ ( ) A ．1 B ．2 C. 6 D ．22解析：选C 如图，在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin ∠B ＝AB sin ∠ADB ，∴sin ∠ADB ＝22.由题意知0°<∠ADB <60°，∴∠ADB ＝45°，∴∠BAD ＝180°－45°－120°＝15°. ∴∠BAC ＝30°，∠C ＝30°，BC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得AC sin ∠B ＝BCsin ∠BAC ，∴AC ＝6，故选C.5．在△ABC 中，A >B ，则以下不等式正确的个数为( ) ①sin A >sin B ；②cos A <cos B ；③sin 2A >sin 2B ； ④cos 2A <cos 2B .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选D 由题意知，sin A >sin B ，cos A <cos B 均正确，由sin A >sin B >0可知sin 2A >sin 2B ，∴cos 2A <cos 2B .故正确个数为3个，∴选D.6．在△ABC 中，b ＝2，B ＝45°，若这样的三角形有两个，则边a 的取值范围为( ) A ．a >2 B ．2<a <3 C ．2<a <2 3 D ．2<a <2 2解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b <a ，sin A ＝a sin Bb <1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >2，22a 2<1，⇒2<a <22，故选D.7．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D 由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 及正弦定理可知a 2＝b 2＋c 2⇒A 为直角；而由sin A ＝2sin B cos C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，整理得sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，故B ＝C .综合上述，B ＝C ＝π4，A ＝π2.即△ABC 为等腰直角三角形．8．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝( ) A ．4 B ．1 C.12 D.13解析：选B 由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×a c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1，故选B.9．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标C 的距离为( )A ．5 000米B ．5 000 2 米C ．4 000米D ．4 000 2 米解析：选B 如图，在△ABC 中，AB ＝10 000米，A ＝30°，C ＝75°－30°＝45°.根据正弦定理，BC ＝AB ·sin Asin C ＝10 000×1222＝5 0002(米)．10．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足b cos C ＝(3a －c )cos B ．若b ＝42，则ac 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选D 由正弦定理及已知b cos C ＝(3a －c )cos B ，得sin B cos C ＝(3sin A －sin C )cos B ，化简得sin B ·cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A ·cos B ，即sin A ＝3sin A cos B ，得cos B ＝13.由11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c ＝1，C ＝π3.若sin C ＋sin(A －B )＝3sin 2B ，则△ABC 的面积为( )A.1534B.154C.2134或36D.3328或36解析：选D 由题意，得sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A ·cos B ＝6sin B cos B ，∴cos B ＝0或sin A ＝3sin B ，∴B ＝π2或a ＝3b .若B ＝π2，则A ＝π6，S ＝12c ·c tan A ＝36；若a ＝3b ，由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝1，得b 2＝17，∴S ＝12ab sin C ＝3328.12．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＝b (1＋cos A )，S △ABC ＝2，则(c ＋a －b )(c ＋b －a )的取值范围是( )A ．(0,8)B ．(0,82)C ．(8,82＋8)D ．(82－8,8)解析：选D 根据正弦定理，a cos B ＝b (1＋cos A )可化为sin A cos B ＝sin B (1＋cos A )，即sin(A －B )＝sin B ．由于△ABC 为锐角三角形，故A －B ＝B ，即A ＝2B ，所以A ＋B ＝3B ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，C ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以tan C ＝2tanC21－tan2C 2>1，解得－1＋2<tan C2<1.由S △ABC ＝ 12ab sin C ＝2，得ab sin C ＝4.由余弦定理，得(c ＋a －b )·(c ＋b －a )＝(c ＋a －b )[c －(a －b )]＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －2ab cos C ＝2ab (1－cos C )＝8sin C(1－cos C )＝ 8tan C2∈(82－8,8)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .A ＝60°，c ∶b ＝8∶5，△ABC 的面积为403，则△ABC 外接圆的半径为________．解析：∵S △ABC ＝12bc ·sin A ＝403，∴bc ＝160.∵c ∶b ＝8∶5，∴c ＝16，b ＝10.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝196，∴a ＝14.设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2R ＝a sin A ＝1432，∴R ＝1433.答案：143314．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ―→·AC ―→ ＝________.解析：S △ABC ＝12·|AB |·|AC |·sin A ，即3＝12·|AB |·|AC |·32，所以|AB |·|AC |＝4，＝4×12＝2.答案：215．在△ABC 中，a ＝14，A ＝60°，b ∶c ＝8∶5，则该三角形的面积为________．解析：设这两边长分别为8x 和5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2，则b ＝16，c ＝10，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×16×10sin 60°＝40 3.答案：40 316．等腰三角形的底边长为a ，腰长为2a ，则腰上的中线长等于________．解析：如图，AB ＝AC ＝2a ，BC ＝a ，设BC 中点为D ，连接AD ，则AD ⊥BC . 在Rt △ABD 中，cos B ＝BD BA ＝12a 2a ＝14.设AB 中点为点E ，连接CE ，则在△BEC 中，BE ＝BC ＝a ，由余弦定理CE 2＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE ·cos B ＝a 2＋a 2－2a 2·14＝2a 2－12a 2＝32a 2，∴CE ＝62a . 答案：62a 三、解答题(共70分)17．(本小题10分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.求：(1)角C 的大小； (2)AB 的长度．解：(1)在△ABC 中，cos C ＝cos[π－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°. (2)由题设，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.18．(本小题12分)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝x ，BC ＝1，对角线AC 与BD 的夹角∠BOC ＝45°，记直线AB 与CD 的距离为h (x )．请求出h (x )的表达式，并写出x 的取值范围．解：在△BOC 中，由余弦定理，得 BC 2＝OB 2＋OC 2－2OB ·OC cos ∠BOC ，所以OB 2＋OC 2－2OB ·OC ＝1.①在△ABO 中，由余弦定理，得BA 2＝OB 2＋OA 2－2OB ·OA cos ∠BOA ，所以OB 2＋OA 2＋2OB ·OA ＝x 2.②又OC ＝OA ，从而由②－①，得OB ·OA ＝x 2－122，所以S △OBA ＝12OB ·OA sin 135°＝24OB ·OA ＝x 2－18.又S △OBA ＝12AB ×12h (x )，所以h (x )＝x 2－12x .易知0＜h (x )≤1，所以可解得1＜x ≤2＋1.综上所述，所求h (x )＝x 2－12x，x 的取值范围为(1，2＋1]．19．(本小题12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a bc ＋c ab －bac ＝1a cos C ＋c cos A.(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为332，其外接圆半径为3，且c >a ，求c .解：(1)在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2ac＝2cos B ，∴a bc ＋c ab －b ac ＝a 2abc ＋c 2abc －b 2abc ＝a 2＋c 2－b 2abc ＝2cos B b. ∴2cos B b ＝1a cos C ＋c cos A.由正弦定理，得2cos B sin B ＝1sin A cos C ＋sin C cos A ＝1sin (A ＋C ).又∵A ＋C ＝π－B ，∴2cos B sin B ＝sin B . 又∵sin B ≠0，∴cos B ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题意，得b sin B ＝23，∴b ＝3.由△ABC 的面积为332，得12ac sin B ＝34ac ＝332，∴ac ＝6.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2－6＝9，∴a 2＋c 2＝15.解⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋c 2＝15，ac ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2 3.又∵c >a ，∴a ＝3，c ＝2 3. 20．(本小题12分)在△ABC 中，已知(1)求证：tan B ＝3tan A; (2)若cos C ＝55，求A 的值．解：(1)证明：∵∴AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC cos A ＝3BC cos B . 由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，∴sin B cos A ＝3sin A cos B .又∵0<A ＋B <π，∴cos A >0，cos B >0， ∴sin B cos B ＝3×sin A cos A ，即tan B ＝3tan A . (2)∵cos C ＝55，0<C <π， ∴sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255， ∴tan C ＝2.即tan []π－（A ＋B ）＝2，即tan(A ＋B )＝－2， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13，∵tan A >0， ∴tan A ＝1， ∴A ＝π4.21.(本小题12分)某工程队在某海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC 的外围选择一点D (D 在平面ABC 内)，建设一条军用飞机跑道AD .在点D 测得B ，C 两点的视角∠BDC ＝60°，如图所示，记∠CBD ＝θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD 最长？解：在△BCD 中，BC ＝1，∠BDC ＝60°，∠CBD ＝θ. 由正弦定理得BC sin 60°＝BDsin (120°－θ)，∴BD ＝sin (120°－θ)sin 60°＝cos θ＋33sin θ.在△ABD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°＋θ.由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos(60°＋θ)＝12＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋33sin θ2－2×1×cos θ＋33sin θ×⎝⎛⎭⎫12cos θ－32sin θ＝1＋43sin 2 θ＋433sin θcos θ＝53＋43sin(2θ－30°)．∴当2θ－30°＝90°，θ＝60°时，跑道AD 最长．22．(本小题12分)如图，角A 为钝角，且sin A ＝35，点P 、Q 分别是在角A 的两边上不同于点A 的动点．(1)若AP ＝5，PQ ＝35，求AQ 的长；(2)设∠APQ ＝α，∠AQP ＝β，且cos α＝1213，求sin(2α＋β)的值．解：(1)∵A 是钝角，sin A ＝35，∴cos A ＝－45.在△APQ 中，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ cos A ，即AQ 2＋8AQ －20＝0，解得AQ ＝2或－10(舍去)，∴AQ ＝2. (2)由cos α＝1213，得sin α＝513.在△APQ 中，α＋β＋A ＝π，又sin(α＋β)＝sin(π－A )＝sin A ＝35，cos (α＋β)＝－cos A ＝45，∴sin(2α＋β)＝sin[a ＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝513×45＋1213×35＝5665.。