第五讲---线性规划与二次规划

z [A eq , b eq ] 0 t t0
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5.2 线性规划的标准形式
求最大值的线性规划
max c x c1 x1 c2 x2 cn xn n
T x
T max c x n x
s.t., Ax b A eq x b eq
固定，然后最大化分子 (cT x )t cT xt t
n z x t ,[ z , t ] 优化变量：
z 目标函数： c , t
T
cT x max f ( x) T n x d x s.t., Ax b A eq x b eq
z 40 x1 36 x2
5 x1 3x2 45
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约束条件： 8 25 x1 8 15 x2 1800 x1 0; x2 0
5.1 线性规划举例
min{z 40 x1 36 x2 [40,36][ x1 , x2 ]T } s.t., 5 x1 3x2 45 x1 0 x2 0 线性规划：目标函数是线性函数，约束 条件是线性不等式或等式约束。 满足约束条件的所有点构成的集合称作 可行解集合。
m 1 m 2
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5.1 线性规划举例
线性分式规划问题-Linear Fractional Programming 找出n维向量
x [ x1 , x2 ,, xn ] n
cT x f ( x) T d x
,使得线性分式函数
在非空、有界集合
Ax b n R x A x b eq eq
5.1 线性规划举例
线性分式规划问题-Linear Fractional Programming 注意到目标函数是齐次的(分子-分母都是线性的),因 此，对分子分母同乘以正数 t 0 ，目标函数的值是不 边的。所以，可以引入辅助变量t，使得分母
(dT x )t dT xt t 1
5.3 线性规划的性质
T max c x n x
A b s.t., Aeq x beq Aeq beq
满足所有约束条件的向量构成的集合 是线性规划的可行域，最优解是否存 在取决于可行域的性质 ● 线性规划的可行域是凸集； ● 线性规划可能有解、无解或无界； ● 线性规划的最优解在顶点上；
min b x
T
s.t.,
a
i 1
m
ji
xi c j , j 1, 2, , n
xi 0, i 1, 2, , m
s.t., Ax c x0
x1 b1 c1 a11 a12 a1m x b c a a a 22 2m x 2 , b 2 , c 2 , A 21 an1 an 2 anm xm bm cn 雷达信号处理国防科技重点实验室
x2
可行解集合
5 x1 3x2 45
max{x1 x2 } s.t.,
凸多边形区域
x1
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5.1 线性规划举例
配餐问题
有m种不同类型的食物, F1 , F2 , , Fm，这些食物提供了有益 于健康的n种营养成分 N1 , N 2 ,, N n 。c j 是人体每天对营养成分 N j 的最小需求量。bi 是食物 Fi 的单价. a ji 是每单位质量的食物 Fi 包 含营养成分 N j 的量。 问题：如何配餐的花费代价最小 ？
上的最大值。
基本假定：线性分式函 数的分母在集合上是严 格正的
带线性约束的优化问 题，可以直接求解， 但很难说明得到的 解是全局最优的。 问题：如何转化为线 雷达信号处理国防科技重点实验室 性规划求解？
cT x max f ( x) T n x d x s.t., Ax b A eq x b eq
优化变量：设每天食物 Fi 的量分别是 xi
花费代价： C bi xii 1ji源自m营养约束：a
i 1
m
xi c j , j 1, 2, , N
xi 0, i 1, 2, , m
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5.1 线性规划举例
线性规划
m min C bi xi i 1
j 1
y
ij
si ,
5.1 线性规划举例
数据拟合问题-Min_Max问题 设测定了一组数据 {( xn , yn ) : n 1,2,, N} ,用 m(m n 1) 次 的多项式拟合变量 x 和 y,问题:找一个n次多项式使得所有
数据点的最大偏差是最小的。
问题描述 设多项式函数为
数学建模基础
第五讲: 线性规划与二次规划
---水鹏朗 雷达信号处理国防科技重点实验室
5.1 线性规划举例
例1某工厂每日8小时产量不低于1800件。为了进行质量控制，
计划聘请两种不同水平的检验员。 一级检验员：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时； 二级检验员：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。 检验员每错检一次，工厂要损失2元。 问题：为使总检验费用最省，应聘一级、二级检验员各几名？ 优化变量：设需要一级和二级检验员的人数分别为x1，x2人 工资花费： 8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2 错检损失： 8 25 (1 0.98) x1 8 15 (1 0.95) x2 2 8x1 12 x2 总花费：
min max { k }
a k 1,2,, n


m [1, xk ,, xk ]a yk k
绝对值约束转 化为线性约束
m [1, xk ,, xk ]a yk k
where
关于a的线性等式约束
引进辅助变量控制所有样本点的偏差
k [1, xk ,, xkm ]a yk
I i 1 J
b y ij ij i 1 j 1
I J
min b T y
标准化
s.t ., Ay c y0
s.t., yij rj ,
j 1, 2, , J i 1, 2, , I
e1 e1 r1 e1 r e e e yij 0, i 1, 2, , I ; j 1, 2, , J 2 2 2 2 T b [b11 , b12 ,, b1J , b21 ,, b2 J ,, bI 1 ,, bIJ ] , r e e e J J J ，c J T A s1 1 0 0 y [ y11 , y12 ,, y1J , y21 ,, y2 J ,, yI 1 ,, yIJ ] s 0 1 0 2 1是元素全是1 的J 维行向量 0是J维行向量 0 1 0 sI e j 是第j个元素为1 ，其它元素是0的J维行向量 雷达信号处理国防科技重点实验室
y Pm ( x) ai xi [1, x,, x m ]a
i 0 m
a [a0 , a1 ,, am ]T
在每个数据点的偏差
k Pm ( xk ) yk [1, xk ,, xkm ]a yk
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5.1 线性规划举例
问题描述(续)
s.t., Ax b Aeq x beq
T min c x n x
b, beq 是m1和m 2维的列向量 m1个不等式，m 2个等式约束
A b s.t., Aeq x beq Aeq beq 雷达信号处理国防科技重点实验室
求最小值的线性规划
T
A b s.t., Aeq x beq Aeq beq
min c x c1 x1 c2 x2 cn xn n
x
A是 m1 n 的矩阵 A eq 是 m 2 n 的矩阵
cT x max f ( x) T x n d x s.t., Ax b A eq x b eq
T max [ c , ] t [ z ,t ] n1 z s.t., [A, b] x 0 t
1 1 x1 min [ ,a ] 1 1 x2 s.t., A c a 1 1 xn A 1 1 x1 1 1 x2 1 1 xn
m 1
线性规划
x y1 y x 2 m yn xn ,c m y1 x1 m x2 y2 m xn yn
优化变量：设从基地 Pi 运输到港口M j 的货物量为 yij
总运费：
存货量约束：
C bij yij
I
J
y
j 1
J
i 1 j 1
ij
si
运输能力约束：
非负约束： yij 0
y
i 1
I
ij
rj
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5.1 线性规划举例
线性规划
min C
5.1 线性规划举例
运输问题
有I个生产基地 P 1, P 2 , , P I 存储着某种货物，这些货物必须 运至J个港口 M1 , M 2 ,, M J 装船出口。生产基地 Pi 存储货物的 总量是 si (i 1, 2,, I ) , 港口 M j 对货物运输能力是 r j . 设从 基地 Pi 到港口 M j 单位质量货品的运输价格是 bij 。 问题：给出最节省的运输方案。