相似三角形有关的几何探究题试题

类型2 与相似三角形有关的几何探究题

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5．(2012·安徽)如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.

(1)求线段BG 的长；

(2)求证：DG 平分∠EDF；

(3)连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG⊥CG.

解：(1)∵D，E ，F 分别是△ABC 三边中点，∴DE ∥12AB ，DE=12AB ，DF ∥12AC ，DF=12

AC. 又∵△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，

即BD ＋DG ＋BG ＝AC ＋C D ＋DG ＋AG ，

∴BG ＝AC ＋AG.

∵BG ＝AB －AG ，∴BG ＝AB ＋AC 2＝b ＋c 2

. (2)证明：BG ＝b ＋c 2，FG ＝BG －BF ＝b ＋c 2－c 2＝b 2

，∴FG ＝DF.∴∠FDG＝∠FG D. 又∵DE∥AB，∴∠EDG ＝∠FGD.

∴∠FDG ＝∠EDG.

∴DG 平分∠EDF.

(3)证明：在△DFG 中，∠FDG ＝∠FGD，∴△DFG 是等腰三角形．

∵△BD G 与△DFG 相似，∴△BDG 是等腰三角形．

∴BD ＝DG.

∴CD ＝BD ＝DG.∴B，G ，C 三点共圆．

∴∠BGC ＝90°.∴BG ⊥CG.

6．(2016·合肥十校联考)如图1，在四边形ABCD 中，∠DAB 被对角线AC 平分，且AC 2＝AB ·AD，我们称该四边形

为“可分四边形”，∠DAB 称为“可分角”．

(1)如图2，四边形ABCD 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，那么∠DAB＝120°；

(2)如图3，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AC 平分∠DAB，且∠BCD＝150°，求证：四边形ABCD 为“可分四边形”；

(3)现有四边形ABC D 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，且AC ＝4，BC ＝2，∠D ＝90°，求AD 的长．

解：(1)提示：由题意易知△ADC∽△ACB，则∠D＝∠ACB，∠ACD ＝∠B.∵∠DCB＝∠DAB，∴∠DAB ＝13

×360°＝120°. (2)证明：∵AC 平分∠DAB，∠DAB ＝60°，

∴∠DAC ＝∠CAB＝30°.

∵∠DCB ＝150° ，∴∠DCA ＝150°－∠ACB.

在△ADC 中，∠ADC ＝180°－ ∠DAC－ ∠DCA ＝180°－30°－(150°－∠ACB)＝∠ACB，

∴△ACD ∽△ABC.

∴AD AC ＝AC AB .∴AC 2＝AB·AD. 又∠DAC＝∠CAB， ∴四边形ABCD 为“可分四边形”．

(3)∵四边形ABCD 为“可分四边形”，∠DAB 为“可分角”，

∴AC 平分∠DAB，AC 2＝AB·AD.

∴∠DAC ＝∠CAB，AD AC ＝AC AB

.∴△ACD∽△ABC. ∴∠ACB ＝∠D＝90°.

在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2 ＋ BC 2

＝2 5.

∵ AC 2＝AB·AD，∴AD ＝AC 2AB ＝4225＝855. 7．(2016·淮北濉溪县一模)(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC ＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD·B C ＝AP·BP；

(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；

(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD 中，AB ＝6，AD ＝BD ＝5，点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC＝∠A，设点P 的运动时间为t(秒)，当以D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．

解：(1)证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，

∴∠ADP ＋∠APD＝90°，∠BPC ＋∠APD＝90°，即∠ADP＝∠BPC.

∴△ADP ∽△BPC.

∴AD BP ＝AP BC

，即AD·BC＝AP·BP. (2)结论AD·BC＝AP·BP 仍然成立．

理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，∠BPD ＝∠A＋∠ADP，

∴∠DPC ＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.

∵∠DPC ＝∠A＝∠B＝θ，∴∠BPC ＝∠ADP.

∴△ADP ∽△BPC.

∴AD BP ＝AP BC

，即AD·BC＝AP·BP. (3)过点D 作DE⊥AB 于点E.

∵AD ＝BD ＝5，AB ＝6，∴AE ＝BE ＝3.

由勾股定理可得DE ＝4.

∵以点D 为圆心，DC 为半径的圆与AB 相切，

∴DC ＝DE ＝4.∴BC＝BD －DC ＝1.

又∵AD＝BD ，∴∠A ＝∠B.

∴∠DPC ＝∠A＝∠B.

由(1)、(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP.

∴5×1＝t(6－t)，解得t 1＝1，t 2＝5.

∴t 的值为1或5.

8．已知：△A BC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，点M ，N 分别在AC ，BC 上，将△ABC 沿MN 折叠，顶点C 恰好落在斜边的P 点上．

(1)如图1，当MN∥AB 时，求证：

①AM ＝MC ；②PA PB ＝CM CN

； (2)如图2，当MN 与AB 不平行时，PA PB ＝CM CN

还成立吗？请说明理由． 解：(1)证明：①由折叠可知∠CMN＝∠NMP，CM ＝PM.

∵MN ∥AB ，∴∠CMN ＝∠A，∠NMP ＝∠MPA，即∠A＝∠MPA.

∴MA ＝MP.

∴AM ＝MC.

②由①可知∠CMN＝∠A ＝45°，∠CNM ＝∠B＝45°，∠A ＝∠B＝45°， ∴MC ＝NC ＝AM ＝BN ，∠PMA ＝∠PNB＝90°.

∴△APM ∽△BPN.

∴PA PB ＝AM BN .∴PA PB ＝CM CN

. (2)成立．理由：

过点M ，N 分别做AB 的垂线，垂足分别为点E ，F. 由题意可知，CM ＝PM ，CN ＝PN ，∠MPN ＝90°，

∴∠MPE ＋∠NPF＝90°.

∵∠MPE ＋∠EMP＝90°，∴∠EMP ＝∠NPF.

∴△MEP ∽△PFN.∴MP PN ＝ME PF ＝PE NF

. ∵∠A ＝∠B＝45°，ME ⊥AP ，NF ⊥AB ，

∴△MAE 和△NFB 均为等腰直角三角形，即ME ＝AE ，NF ＝BF. ∵

ME PE ＝PF NF .∴AE PE ＝PF BF . ∴

AE ＋PE PE ＝PF ＋BF BF ，即AP PE ＝PB BF . ∴

AP PB ＝PE BF ＝PE NF . ∴PA PB ＝MP PN ＝CM CN .